高考抽象函数技巧全总结

抽象函数高考讲解
1.判断函数的奇偶性：
例 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。

2.确定参数的取值范围
例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2
(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。

3.解不定式的有关题目
例9：如果()f x =2
ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小
例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

例2、已知函数f （x ）对任意，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式
的解。

2、指数函数型抽象函数
例3、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在
，使得
，对任何x 和y ，
成立。

求：
（1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。

例4、是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）＞0，x ∈N ；②；③f （2）
＝4。

同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，如不存在，说明理由。

3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

例5、设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足
，求：
（1）f （1）；（2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围。

例6、设函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝g （x ）。

如果f （ab ）＝f （a ）＋f （b ），那么g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由。

4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。

例7、己知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；②f （a ）＝－1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）；
③当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0。

试问：（1）f （x ）的奇偶性如何？说明理由。

（2）在（0，4a ）上,f （x ）的单调性如何？说明理由。

5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

例8、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）·f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当
时，。

（1）判断f （x ）的奇偶性；（2）判断f （x ）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若
，求a 的取值范围。

抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 二、求值问题 例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①
；②
，求f(3)，
f(9)的值。

三、值域问题
例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，总成立，且存在，使得
，求函数
的值域。

六、奇偶性问题 例7. 已知函数对任意不等于零的实数
都有
，试判断函数f(x)
的奇偶性。

二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例3 已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402
，试确定a 的取值范围。

例4 已知f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )2
2
1-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

三. 解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。

例5 已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2
223--<的解集。

四. 证明某些问题
例6 设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期。

例7 已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。

例9 定义在（-11，）上的函数f x ()满足（1），对任意x y ，，∈-()11都有f x f y f x y
x y
()()(
)+=++1， （2）当x ∈-()10，时，有f x ()>0
， （1）试判断f x ()的奇偶性；（2）判断f x ()的单调性； （3）求证f f f n n f ()()()()
151
111311
2
2+++++>…。

1. 已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (
21
)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xy
y x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)上为奇函数； ⑵对数列x 1＝
21
，x n ＋1＝212n
n x x +，求f (x n ); ⑶求证
252)(1)(1)(121++-
>+++n n x f x f x f n
19.设函数的定义域为全体R ，当x<0时，，且对任意的实数x ，y∈R，有
成立，数列满足，且（n∈N *
）
（Ⅰ）求证：是R 上的减函数； （Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若不等式对一切n∈N *
均成立，求k 的最大值．
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。

例3. 已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足fx y fx fy ()()()
=+，求证：f x ()是偶函数。

抽象函数的周期问题——由一道高考题引出的几点思考
2001年高考数学（文科）第22题：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。

对任意x x 1201
2
，，∈[]都有f x xf x f x ()()()1212
+=⋅。

（I ）设f ()12=，求f f ()()121
4
，； （II ）证明f x ()是周期函数。

思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期。

思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()
对称。

证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。

思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称。

证明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期。

，
思考四：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0中心对称，且其图象关于直线x b b a =≠()对称。

证明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期。

思考五：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0和N b ab ()()，0≠对称。

证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。

1. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有
(1)(3)0f f ==．
（1）试判断函数()y f x =的奇偶性；
（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。