高一数学三角函数讲解

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数学高一知识点三角函数

数学高一知识点三角函数是高中数学课程的重要内容之一。

本文将详细介绍三角函数的定义、性质以及在解决实际问题中的应用。

一、三角函数的定义三角函数是描述角度与圆上点的坐标之间关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：对于任意角度θ，在单位圆上，以角度θ所对应的弧长比上单位圆的半径，即为sinθ。

2. 余弦函数（cos）：对于任意角度θ，在单位圆上，以角度θ所对应的弧长比上单位圆的半径，即为cosθ。

3. 正切函数（tan）：对于任意角度θ，正切函数的值等于正弦函数与余弦函数的比值，即为tanθ=sinθ/cosθ。

二、三角函数的性质三角函数具有一系列重要的性质，包括周期性、奇偶性、周期性平移性等等。

1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ)=cosθ。

3. 周期性平移性：正弦函数和余弦函数具有周期性平移性，即sin(θ+π)=sinθ，cos(θ+π)=cosθ。

三、三角函数的应用三角函数在几何学、物理学以及工程学等领域有广泛的应用。

以下是三角函数的一些应用示例：1. 几何学中的角度测量：三角函数可以用来测量角度的大小。

通过已知边长比例，可以使用正弦函数、余弦函数和正切函数求解角度的值。

2. 物理学中的振动问题：三角函数可以用来描述振动的变化规律。

例如，弹簧振子的位移可以用正弦函数表示。

3. 工程学中的电路分析：三角函数可以用来分析电路中的交流信号。

正弦函数和余弦函数可以表示电流和电压的变化规律。

四、总结是高中数学课程的重要内容。

三角函数的定义、性质以及应用十分广泛，掌握这些知识对于解决实际问题具有重要意义。

希望通过本文的介绍，能帮助读者更好地理解和应用三角函数。

如何总结高一数学的三角函数公式及应用

如何总结高一数学的三角函数公式及应用在高一数学的学习中，三角函数无疑是一个重点和难点。

三角函数公式众多，应用广泛，要想熟练掌握并灵活运用，总结是关键。

首先，让我们来认识一下三角函数的基本定义。

在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。

三角函数的基本公式包括：1、同角三角函数的基本关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。

2、诱导公式：这是一组用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数的公式。

例如，sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π ＋α) ＝cosα 等。

接下来是和差公式，这在三角函数的计算和化简中经常用到。

1、正弦的和差公式：sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβ，sin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ。

2、余弦的和差公式：cos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβ，cos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ。

然后是倍角公式，这是对和差公式的进一步推导和应用。

1、二倍角的正弦公式：sin2α ＝2sinαcosα。

2、二倍角的余弦公式：cos2α ＝cos²α sin²α ＝2cos²α 1 ＝ 12sin²α。

3、二倍角的正切公式：tan2α ＝2tanα ／（1 tan²α)。

半角公式也是重要的一部分：1、半角的正弦公式：sin(α/2) ＝±√（1 cosα) ／ 22、半角的余弦公式：cos(α/2) ＝±√（1 ＋cosα) ／ 23、半角的正切公式：tan(α/2) ＝±√（1 cosα) ／（1 ＋cosα) ＝sinα ／（1 ＋cosα) ＝（1 cosα) ／sinα这些公式如何应用呢？在求解三角形的问题中，我们常常利用正弦定理和余弦定理。

高一数学三角函数知识点

高一数学三角函数知识点一、引入数学是一门系统性的学科，而高中数学则是数学学科中的重要组成部分。

在高中数学学习过程中，有许多知识点是学生们必须掌握的，其中包括了三角函数。

本文将深入探讨高一数学中的三角函数的知识点，以期对广大高中学生有所帮助。

二、三角函数的定义三角函数是数学中研究角与边之间关系的函数。

高一数学中常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数可以通过定义、图像以及其应用来进行全面的学习。

三、正弦函数正弦函数是三角函数中最常见的一个函数之一。

它的定义是一个波动的曲线，描述了角度和直角三角形的边之间的关系。

通过定义和图像，我们可以了解到正弦函数的一些重要性质，如周期性和对称性。

四、余弦函数余弦函数是正弦函数的补充，它也是三角函数的重要部分。

余弦函数也是一个周期性函数，定义范围为实数集。

除了正弦函数具有的对称性外，余弦函数还具有一些特殊的属性，如它在$x=0$时取得最大值，也具有在实数集上的连续性。

五、正切函数正切函数是三角函数中的一个重要对象，它描述了角度和直角三角形的边之间的关系。

正切函数的定义范围是除了$x$等于$(2n+1)\frac{\pi}{2}$，其中$n$是任意整数，正切函数是不连续的。

通过了解正切函数在定义范围内的性质，我们可以更好地理解它的应用。

六、三角函数的应用三角函数在实际生活中有许多应用，如地理测量、物理学和经济学等。

举个例子，正弦函数可以用于解决船只测距问题，余弦函数可以用于解决桥梁设计中的张力问题，正切函数可以用于解决天文学中的星体距离问题。

这些应用说明了三角函数在实际问题中的重要性。

七、总结高一数学中的三角函数知识点是高中数学中重要的一部分。

通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、图像以及应用的学习，不仅可以加深对三角函数的理解，还可以培养解决问题的能力。

同时，要注意掌握并运用这些知识点，将它们应用于实际问题中，培养自己的数学思维和创新能力。

希望本文能对广大高中学生在学习高一数学中的三角函数有所帮助。

高一数学三角函数知识点讲解

高一数学三角函数知识点讲解在高一数学的学习中，三角函数是一个非常重要的知识点，它不仅在数学领域中有着广泛的应用，还为后续学习物理等学科打下了坚实的基础。

下面，我们就来详细地讲解一下高一数学中三角函数的相关知识。

一、角的概念的推广在初中，我们对角的认识主要局限在 0°到 360°之间。

但在高中，为了更全面地研究角，我们将角的概念进行了推广。

正角：按逆时针方向旋转形成的角。

负角：按顺时针方向旋转形成的角。

零角：一条射线没有作任何旋转形成的角。

角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限就称这个角是第几象限角。

如果终边落在坐标轴上，就称这个角不属于任何象限。

二、弧度制角度制是用度（°）作为度量单位来度量角的大小。

而弧度制则是以“弧度”为单位来度量角的大小。

如果半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为 l，那么角α的弧度数的绝对值是｜α| ＝ l ／ r 。

弧度与角度的换算：180°＝π 弧度，1°＝π ／ 180 弧度，1 弧度＝（180 ／π）°。

在弧度制下，扇形的弧长公式为 l ＝｜α| r ，扇形的面积公式为 S ＝ 1/2 ｜α| r² 。

三、任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上任意一点 P（x，y），r ＝√（x²＋y²) ，那么正弦函数：sinα ＝ y ／ r余弦函数：cosα ＝ x ／ r正切函数：tanα ＝ y ／ x （x ≠ 0）三角函数值在各象限的符号：第一象限：正弦、余弦、正切都是正的；第二象限：正弦是正的，余弦、正切是负的；第三象限：正切是正的，正弦、余弦是负的；第四象限：余弦是正的，正弦、正切是负的。

四、同角三角函数的基本关系平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1商数关系：tanα ＝sinα ／cosα （cosα ≠ 0）五、诱导公式诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。

高一数学必修一 - 三角函数知识点总结

高一数学必修一 - 三角函数知识点总结1. 弧度制和角度制- 弧度制是以角度为单位，一个完整的圆的弧度为2π。

- 角度制是以角度为单位，一个完整的圆的角度为360°。

2. 三角函数的定义- 正弦函数（sin）：对于一个角θ，其正弦值定义为对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边。

- 余弦函数（cos）：对于一个角θ，其余弦值定义为邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。

- 正切函数（tan）：对于一个角θ，其正切值定义为对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。

3. 基本三角函数性质- 正弦函数的取值范围为[-1, 1]，且在周期为2π时有正负对称性。

- 余弦函数的取值范围为[-1, 1]，且在周期为2π时有正负对称性。

- 正切函数的取值范围为(-∞, +∞)，并且在π/2、3π/2、5π/2等处有正负无穷的间断点。

4. 三角函数的性质- 正弦函数和余弦函数是周期函数，其周期为2π。

- 正弦函数和余弦函数在0、π/6、π/4、π/3、π/2这些特殊角度处有确定的值，可以使用特殊角度的正弦值和余弦值表来查找。

5. 基本三角函数的关系- 正弦函数和余弦函数的关系为：sin^2θ + cos^2θ = 1。

- 正切函数与正弦函数和余弦函数的关系为：tanθ = sinθ / cosθ。

6. 三角函数的图像- 正弦函数的图像是一条上下周期变化的曲线。

- 余弦函数的图像是一条左右周期变化的曲线。

- 正切函数的图像是一条以x轴为渐进线的周期变化曲线。

7. 三角函数的应用- 三角函数在几何问题中有广泛的应用，例如求解三角形的边长和角度。

- 三角函数在物理问题中也有重要的应用，例如描述波动和振动等现象。

以上是高一数学必修一中三角函数的基本知识点总结。

希望对你有帮助！。

三角函数的概念高一数学精讲课件

则 PM y , P0M 0 y0 ，OM x ,OM 0 x0 ,
OMP OM0P0.
所以得到 P0M0 PM ,
1r
即 y0
y.
r
因为
y与
y0 同号，所以
y0
y r
，即sin
y.
r
同理可证：cos x ，tan y .
r
x
PART 2 三角函数值的正负
根据三角函数的定义，请将三角函数值的符号填入下图：
所以tan 672 0；
（3）因为3 2，所以3角的终边位于 x轴的非正半轴上，所以tan3 0.
练习.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是 144mm，求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数
3
2 1 0 1 2 3 -1
2 22
222
tana 0
3 3
1
3
/
3
-1 3 0
3
例题探究
例3. 确定下列三角函数的符号（1）sin250° （2）tan(-672°) （3）tan3π
解：（1）因为250 是第三象限角，所以sin 250 0；（2）因为672 48 360 2，所以672 角的终边与48
() ( )
y
() ( )
O
x
() ( )
O
x
() ( )
O
x
() ( )
PART 3 特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0
6
sina 0 1 2
432
2 31
22
2 3 5
3 46
3 21 0 2 22

高一数学讲义第六章三角函数

高一数学讲义第六章三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sin x （或cos x ）对应，即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x （或cos x ）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为sin y x =（或cos y x =），叫做自变量为x 的正弦函数（或余弦函数）．sin y x =和cos y x =的定义域都是R ，值域都是[]11-，． ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ，的性质：1．奇偶性根据诱导公式，对x ∀∈R ，有()sin sin x x -=-，()cos cos x x -=， ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数，()cos y x x =∈R 是偶函数．2．周期性对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ，当0k ≠时，2πk 是()sin f x x =的周期，2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢？假设存在T ，满足02πT <<，且是函数()sin f x x =的周期，即()()f x T f x +=，令π2x =，得ππ1sinsin cos 22T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，与02πT <<时，cos 1T <矛盾． 3．函数图像若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点，角x 的始边与Ou 轴重合，终边与单位圆的交点为()P u v ，则sin cos x v x u ==，．当x 在区间[)02π，上连续变化的时候，都有单位圆上点()P u v ，与之对应．相应地在坐标系xOy 中，描绘出点()Q x v ，和点()R x u ，．点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像（见图6－1），点R便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像（见图6－2）．然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像（见图6－3）．图6-34．单调性当ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递增，∴函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调增．当π3π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递减，∴函数sin y x =在π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调减．同理可得，函数cos y x =在[]0π，上单调减，在[]π2π，上单调增．拓展：函数sin y x =在ππ2ππ2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ．函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ．说明：若()y f x =是定义在实数集R 上的周期函数，最小正周期是T ，[]a b ，是()y f x =的单调区间，则对任意整数k ，[]kT a kT b ++，均是()y f x =的单调区间． 5．最值回顾：函数sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ．函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ．结论：当()π2π2x k k =+∈Z 时，函数sin y x =取最大值1；当()π2π2x k k =-∈Z 时，函数sin y x =取最小值1-；当()2πx k k =∈Z 时，函数cos y x =取最大值1；当()2ππx k k =+∈Z 时，函数cos y x =取最小值1-．例1．求证：()sin f x x =是偶函数．证明：对x ∀∈R ，有()()()sin sin f x x x f x -=-==， ()sin f x x ∴=是偶函数．例2．研究函数()sin cos f x x x =+的奇偶性．解：πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．另解：若()()f x f x -=，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=+，则sin 0x =，即πx k =，k ∈Z ．若()()f x f x -=-，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=--，则cos 0x =，即ππ2x k =+，k ∈Z ． ()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．说明：对于()sin cos f x x x =+，虽然有无数多个实数x ，满足()()f x f x -=，但是()f x 并不是偶函数．同理()f x 也不是奇函数．函数的奇偶性是函数的整体性质．若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-对于定义域内的每一个x 恒成立；若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=对于定义域内的每一个x 恒成立．例3．已知A ωϕ、、都是常数，且0A >，ω>0，求证：函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期是2πω．解：对于任何实数x ，()2π2πsin sin 2πf x A x A x ωϕωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()sin A x f x ωϕ=+=，2πω∴是函数()()sin f x A x ωϕ=+的周期．可以证明2πω是函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期．例4．作出函数sin cos y x x =+在[]02π，上的图像．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．描点作图，见图6－4．图6-4例5．求函数sin cos y x x =+的单调增区间．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．πππ2π2π242k x k k -++∈Z ，≤≤，3ππ2π2π44k x k k ∴-+∈Z ，≤≤． ∴函数sin cos y x x =+的单调增区间是()3ππ2π2π44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例6．求函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间．解：π2π32ππ3k xk k -+∈Z ，≤≤，2ππ2π4π3939k k x k ∴++∈Z ，≤≤．∴函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是()2ππ2π4π3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例7．求函数()sin cos 0y a x b x ab =+≠的最值．解：()sin cos y a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=， max min y y ∴==．例8．求下列函数的最值：（1）2sin 2cos y x x =+；（2）()22sin cos y a x b x a b =+≠；（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒；（4）66sin cos y x x =+．解：（1）()2111sin 2cos sin 2cos22222y x x x x x ϕ=+=++=++，max y ∴min y =．（2）()222sin cos sin y a x b x a b x b =+=-+，∴若a b >，则2sin 1x =时，max y a =；2sin 0x =时，min y b =．若a b <，则2sin 0x =时，max y b =；2sin 1x =时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．另解：221cos21cos2sin cos cos22222x x b a a by a x b x ab x -+-+=+=+=+， ∴若a b >，则cos21x =-时，max y a =；cos21x =时，min y b =．若a b <，则cos21x =时，max y b =；cos21x =-时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒3cos10sin23sin10cos25cos70sin25sin70cos2x x x x =︒+︒+︒+︒()()3cos105cos70sin 23sin105sin 70cos2x x =︒+︒+︒+︒ ()7sin 2x ϕ=+，其中3sin105sin 70tan 3cos105cos70ϕ︒+︒=︒+︒，max 7y ∴=，min 7y =-．（4）664224sin cos sin sin cos cos y x x x x x x =+=-+()2222223sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x =+-=-，max 1y ∴=，min 14y =．说明：在求函数的最值过程中，始终要贯彻“统一名称统一角”的观点．基础练习1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期：（1）()sin sin 2f x x x =+；（2）()sin f x x x =；（3）()πsin πf x x =；（4）()2sin sin 2f x x x =+；（5）()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++；（7）()66sin cos f x x x =+；（8）()()2222sin cos 0f x a x b x a b =++≠．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和sin y x =图像的区别．（1）2sin 1y x =-；（2）12sin 2y x =．3．观察正弦曲线和余弦曲线．写出满足下列条件的区间：（1）sin 0x >；（2）cos 0x <；（3）1sin 2x >；（4）cos x <． 4．求下列函数的单调区间：（1）πcos 27y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）π2sin 34y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值．（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）23cos 4sin 2y x x =--；（3）22sin 3sin 1y x x =-+，π2π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．能力提高7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、，，满足：()()cos cos sin sin cos ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．8．求下列函数的周期：（1）sin3cos y x x =+；（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++；（3）()2cos 325y x =-+．9．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．10．（1）求函数()2sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数()2cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，实数0a >，求a b ，的值．6.2 正切函数的性质与图像定义：对于ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，都有唯一确定的值tan x 与之对应，按照此对应法则建立的函数tan y x =，叫做正切函数．正切函数的性质：1．周期性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan πtan k x x k +=∈Z ，， tan t x ∴=是周期函数．可以证明函数tan y x =的最小正周期是π（见图6－5）．图6-52．奇偶性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan tan x x -=-，tan y x ∴=是奇函数． 3．单调性12π02x x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭、，，且12x x <，()121212sin tan tan cos cos x x x x x x --=12π02x x -<-<， ()12sin 0x x ∴-<． 1cos 0x >，2cos 0x >，()121212sin tan tan 0cos cos x x x x x x -∴-=>，即tan y x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增．tan y x =是奇函数， tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增．tan y x =是周期为π的函数，∴函数tan y x =的单调增区间是()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．4．值域函数tan y x =的值域是R ．正切函数tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，的图像如图6－6：图6-6利用正切函数的周期性，得到正切函数的图像．例1．判断函数()tan 1lgtan 1x f x x +=-的奇偶性．解：函数的定义域应满足tan 10tan 1x x +>-，即tan 1x <-，或tan 1x >．于是定义域是()ππππππππ2442k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，，定义域是关于原点对称的． ()()()1tan 11tan 1tan lg lg lg tan 1tan 1tan 1x x x f x x x --+-+⎛⎫-=== ⎪-----⎝⎭()tan 1lgtan 1x f x x +=-=--．所以，tan 1lgtan 1x y x +=-是奇函数．例2．解不等式：tan21x -≤．解：在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，πtan 14⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴不等式tan21x -≤的解集由不等式()πππ2π24k x k k -<-∈Z ≤确定，解得()ππππ22428k k x k -<-∈Z ≤， ∴不等式tan21x -≤的解集为ππππ22428k k x x k ⎧⎫-<-∈⎨⎬⎩⎭Z ，≤．基础练习 1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗？为什么？ 2．求下列函数的周期：（1）()()tan 0y ax b a =+≠；（2）tan cot y x x =-． 3．求函数11tan 2y x=+五的定义域．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2sin 3x y x -=-；（2）sin 2cos 3x y x -=-．能力提高6．求函数sin cos π0,sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最值．7．根据条件比较下列各组数的大小：（1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小；（2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin θ，()sin tan θ的大小；（3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）：（1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，；（2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，；（3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，；（4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，；（5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，．解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。

高一数学必修4三角函数的定义讲义

三角函数的定义知识梳理1、任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0).2、三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．3、三角函数的定义域三角函数定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z 4、三角函数值的符号5、终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .例题精讲题型一、三角函数的定义及应用例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sinα＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．题型二、三角函数值符号的运用例2、(1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．变式训练若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．题型三、诱导公式一的应用例3、计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.变式训练求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.课堂小测1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3、sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5、化简下列各式：(1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.同步练习1、25πsin6等于( )A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-2、若角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=（）A ．1615 B ．1615- C ．1516D ．1516- 3、利用余弦线比较cos1，πcos 3，cos 1.5的大小关系是( ) A ．πcos1cos cos1.53<< B ．πcos1cos1.5cos 3<< C ．πcos1coscos1.53>> D ．πcos1.5cos1cos 3>> 4、如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A T '' B ．正弦线MP ，正切线A T '' C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT5、角α的终边经过点(),4P b -且3cos 5α=-，则b 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 6、已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数()|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x f x x x=++的值域是( ) A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1-- C ．{}1,3 D ．{}1,3- 7、在[]0,2π上，满足3sin 2x ≥的x 的取值范围为( ) A ．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A ．sin2θB ．cos2θC ．tan2θD ．cos 2θ9、已知α的终边经过点()36,2a a -+，且sin 0,cos 0,αα>≤则α的取值范围为________．10、若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(),P m n 是α终边上一点，且10OP =，则m n -=_____. 11、已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围为__________． 12、(1)23π17πcos tan 34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540︒+︒+︒+︒.13、当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin tan ααα<<.14、已知角α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α，tan α的值．。

三角函数公式的总结和归纳：高一数学

三角函数公式的总结和归纳：高一数学1. 弧度和角度的转换公式- 角度转弧度公式：$radian = \frac{\pi}{180} \times degree$ - 弧度转角度公式：$degree = \frac{180}{\pi} \times radian$2. 正弦函数公式- 正弦函数定义：$sin\theta = \frac{y}{r}$- 正弦函数的周期性：$sin(\theta + 2\pi) = sin\theta$- 正弦函数的奇偶性：$sin(-\theta) = -sin\theta$3. 余弦函数公式- 余弦函数定义：$cos\theta = \frac{x}{r}$- 余弦函数的周期性：$cos(\theta + 2\pi) = cos\theta$- 余弦函数的奇偶性：$cos(-\theta) = cos\theta$4. 正切函数公式- 正切函数定义：$tan\theta = \frac{y}{x}$- 正切函数的周期性：$tan(\theta + \pi) = tan\theta$- 正切函数的奇偶性：$tan(-\theta) = -tan\theta$5. 三角函数的基本关系式- 正弦定理：$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$ - 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cosC$- 正切定理：$\frac{a-b}{a+b} = \frac{tan(\frac{A-B}{2})}{tan(\frac{A+B}{2})}$6. 三角函数的和差化简公式- 正弦函数的和差化简公式：$sin(A\pm B) = sinA \cdot cosB\pm cosA \cdot sinB$- 余弦函数的和差化简公式：$cos(A\pm B) = cosA \cdot cosB \mp sinA \cdot sinB$- 正切函数的和差化简公式：$tan(A\pm B) = \frac{tanA \pm tanB}{1 \mp tanA \cdot tanB}$7. 三角函数的倍角化简公式- 正弦函数的倍角化简公式：$sin2A = 2sinA \cdot cosA$- 余弦函数的倍角化简公式：$cos2A = cos^2A - sin^2A$- 正切函数的倍角化简公式：$tan2A = \frac{2tanA}{1 -tan^2A}$8. 三角函数的半角化简公式- 正弦函数的半角化简公式：$sin\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 - cosA}{2}}$- 余弦函数的半角化简公式：$cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 + cosA}{2}}$- 正切函数的半角化简公式：$tan\frac{A}{2} = \frac{sinA}{1 + cosA}$总结本文对高一数学中三角函数公式进行了总结和归纳。

三角函数公式：高一数学的精华归纳

三角函数公式：高一数学的精华归纳1. 正弦函数（sine function）公式正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它在高一数学研究中占据重要地位。

以下是与正弦函数相关的几个重要公式：- 正弦函数的定义：对于任意角θ，其正弦值为对边与斜边的比值，即sin(θ) = a / c，其中a为对边，c为斜边。

- 正弦函数的周期性：sin(θ + 2π) = sin(θ)。

正弦函数的值在每个周期内重复。

- 正弦函数的奇偶性：sin(-θ) = -sin(θ)。

正弦函数关于原点对称。

- 正弦函数的和差公式：sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)，sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)。

2. 余弦函数（cosine function）公式余弦函数也是高一数学中常见的三角函数之一，与正弦函数密切相关。

以下是与余弦函数相关的几个重要公式：- 余弦函数的定义：对于任意角θ，其余弦值为邻边与斜边的比值，即cos(θ) = b / c，其中b为邻边，c为斜边。

- 余弦函数的周期性：cos(θ + 2π) = cos(θ)。

余弦函数的值在每个周期内重复。

- 余弦函数的奇偶性：cos(-θ) = cos(θ)。

余弦函数关于y轴对称。

- 余弦函数的和差公式：cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)，cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)。

3. 正切函数（tangent function）公式正切函数是三角函数中的另一个重要函数，它在高一数学的研究中也经常出现。

以下是与正切函数相关的几个重要公式：- 正切函数的定义：对于任意角θ，其正切值为对边与邻边的比值，即tan(θ) = a / b，其中a为对边，b为邻边。

- 正切函数的周期性：tan(θ + π) = tan(θ)。

高一数学必修四课件第章三角函数的周期性

研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数学模型，研究其周期性有助于深入理解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函数等后续课程的基础内容之一，掌握好这部分内容有助于后续课程的学习。
利用三角函数的周期性，可以将复杂的问题转化为简单的问题进行处理，从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动、振动等。
04 三角函数周期性的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频率的正弦波或余弦波，实现信号的频谱分析。
通过三角函数周期性对信号进行滤波、降噪等处理，提高信号质量。

精通高一数学：三角函数公式的概括

精通高一数学：三角函数公式的概括一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最常用的函数之一。

其定义如下：$$y = \sin(x)$$其中，$x$ 表示自变量，$y$ 表示函数值。

正弦函数的主要特点有：1. 周期性：正弦函数的周期为$2\pi$，即在每个周期内，函数的值会重复出现。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即关于原点对称。

3. 取值范围：正弦函数的值域为$[-1, 1]$。

正弦函数的常见公式有：1. 正弦函数的和差公式：$$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$$2. 正弦函数的倍角公式：$$\sin(2A) = 2\sin A \cos A$$3. 正弦函数的半角公式：$$\sin\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$$ 二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数也是三角函数中常用的函数之一。

其定义如下：$$y = \cos(x)$$余弦函数的主要特点有：1. 周期性：余弦函数的周期为$2\pi$，即在每个周期内，函数的值会重复出现。

2. 偶奇性：余弦函数是偶函数，即关于$y$轴对称。

3. 取值范围：余弦函数的值域为$[-1, 1]$。

余弦函数的常见公式有：1. 余弦函数的和差公式：$$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$$2. 余弦函数的倍角公式：$$\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$$3. 余弦函数的半角公式：$$\cos\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$$三、正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一重要函数。

其定义如下：$$y = \tan(x)$$正切函数的主要特点有：1. 周期性：正切函数的周期为$\pi$，即在每个周期内，函数的值会重复出现。

高一数学必修一三角函数知识点

高一数学必修一中的三角函数知识点是高中数学学习的基础，也是考试中经常考查的重点内容。

下面就介绍一下三角函数的相关知识点。

一、正弦、余弦、正切的定义。

正弦函数和余弦函数分别是把一个角的弧度分解成其正弦和余弦，其定义分别为：角度θ对应的正弦值为sinθ，余弦值为cosθ；正切函数则是把一个角度θ分解成它的正切值，其定义为：角度θ对应的正切值为tanθ。

二、三角函数的基本关系。

三角函数之间有若干基本关系，例如：sin2θ+cos2θ=1，sinθ/cosθ=tanθ，cotθ=1/tanθ等，并且还有各种变形关系，例如，sin2θ=2sinxcosx，cos2θ=cos2x-sin2x等，都是必须掌握的。

三、求反三角函数的方法。

求反三角函数是指求出正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数函数，也就是求出θ的值。

要求反三角函数，可以采用两种方法：一是根据定义求解，即把函数式代入公式，求出θ；二是使用三角函数表，根据三角函数表查找对应的值。

四、求解三角形的边长和角度。

三角函数还可以用来求解三角形的边长和角度，例如求已知两边长及其夹角求第三边的长度，可以利用余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc·cosA；求已知两边长及其夹角求第三个角度，可以利用余弦定理：cosA=(a^2-b^2-c^2)/2bc，两种情况都要用到三角函数。

五、三角函数的图形。

三角函数的图形可以用极坐标系和直角坐标系表示，极坐标系可以用点（r，θ）表示，其中r是极坐标系中的点到原点的距离，θ是极坐标系中的点到横轴的夹角；直角坐标系也可以用点（x，y）表示，其中x是点在x轴的横坐标，y是点在y轴的纵坐标。

以上就是高一数学必修一中三角函数的基本知识点，希望以上介绍能够帮助大家更好的学习和理解三角函数的相关知识点，掌握它们的应用，取得好的成绩。

高一数学三角函数公式的详尽归纳

高一数学三角函数公式的详尽归纳三角函数是高中数学中的重要组成部分，掌握三角函数的公式对于解决相关问题至关重要。

本文将对高一数学中涉及的三角函数公式进行详尽的归纳与整理。

1. 基本三角函数定义1.1 正弦函数（sin）正弦函数定义为直角三角形中对边与斜边的比值，即：\[ \sin(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} \]1.2 余弦函数（cos）余弦函数定义为直角三角形中邻边与斜边的比值，即：\[ \cos(\theta) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} \]1.3 正切函数（tan）正切函数定义为直角三角形中对边与邻边的比值，即：\[ \tan(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \]2. 三角函数的周期性2.1 周期性公式三角函数的周期性可以通过以下公式表示：\[ \sin(x + 2k\pi) = \sin(x) \]\[ \cos(x + 2k\pi) = \cos(x) \]\[ \tan(x + \pi) = \tan(x) \]其中，$ k $ 是任意整数。

3. 三角函数的倍角公式3.1 正弦函数的倍角公式\[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \]3.2 余弦函数的倍角公式\[ \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 \]\[ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta) \]3.3 正切函数的倍角公式\[ \tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} \]4. 三角函数的和差公式4.1 正弦函数的和差公式\[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm\cos(\alpha)\sin(\beta) \]4.2 余弦函数的和差公式\[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp\sin(\alpha)\sin(\beta) \]4.3 正切函数的和差公式\[ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)} \]5. 三角函数的半角公式5.1 正弦函数的半角公式\[ \sin(\theta/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{2}} \]5.2 余弦函数的半角公式\[ \cos(\theta/2) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}} \]5.3 正切函数的半角公式\[ \tan(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)} \]6. 三角恒等式6.1 和差化积公式\[ \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \] \[ \cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \]6.2 积化和差公式\[ \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = \sin(\alpha + \beta) \]\[ \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha - \beta) \]7. 三角函数的图像与性质7.1 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像为周期波动曲线，最大值为1，最小值为-1。

高一数学常用三角函数

高一数学常用三角函数
三角函数是高中数学中的一个重要内容，常用的一些基本三角函数包括正弦函数sin、余弦函数cos、正切函数tan、余切函数cot等。

以下是这些函数的定义和基本性质：
1.正弦函数sin：表示直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，即sinθ=y/r（其中θ为锐角，r为斜边长度，y为对边长度）。

正弦函数的值域为[-1,1]，在第一象限内，随着角度的增大而增大；在第二象限内，随着角度的增大而减小。

2.余弦函数cos：表示直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，即cosθ=x/r（其中θ为锐角，r为斜边长度，x为邻边长度）。

余弦函数的值域也为[-1,1]，在第一象限内，随着角度的增大而增大；在第二象限内，随着角度的增大而减小。

3.正切函数tan：表示直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，即tanθ=y/x（其中θ为锐角，x为
邻边长度，y为对边长度）。

正切函数的值域为全体实数，在每个象限内，随着角度的增大而增大。

4.余切函数cot：表示直角三角形中锐角的邻边与对边的比值，即cotθ=x/y（其中θ为锐角，x为邻边长度，y为对边长度）。

余切函数的值域也为全体实数，在每个象限内，随着角度的增大而减小。

除了这四个基本的三角函数之外，还有一些其他的三角函数和公式，例如两角和与差的三角函数公式、倍角公式、半角公式等。

这些公式可以用来进行三角函数的计算和变换。

高一数学三角函数知识点归纳总结

高一数学三角函数知识点归纳总结三角函数的应用在数学中占有重要地位，是中学数学解题的重要工具。

它是由正弦函数、余弦函数、正切函数、反正切函数等几个基本函数组成。

高一学生要掌握三角函数的基本概念、性质、应用和解三角形的方法。

本文介绍了高一数学中三角函数知识点归纳，从而探究三角函数的应用。

一、基本概念1、正弦函数是一种三角函数，它的英文全称为sine，简写为sin，表示y=sin x，其中x为角度，y为正弦函数值，表示的是一个角的正弦余弦比值。

2、余弦函数也是一种三角函数，它的英文全称为cosine，简写为cos，表示y=cos x，其中x为角度，y为余弦函数值，表示的是一个角的正弦余弦比值。

3、正切函数是一种三角函数，它的英文全称为tangent，简写为tan，表示y=tan x，其中x为角度，y为正切函数值，表示的是一个角的正切值。

4、反正切函数是一种三角函数，它的英文全称为cotangent，简写为cot，表示y=cot x，其中x为角度，y为反正切函数值，表示的是一个角的反正切值。

二、性质1、三角函数的值在同一个角度上都是相同的，而角度不同，三角函数的值也不同。

2、正弦函数和余弦函数由正切函数和反正切函数共同组成，即sin x =1/tan x，cos x=1/cot x，因此可以简化计算过程。

3、正弦函数和余弦函数的值在四个象限内，正切函数和反正切函数的值在四个象限上可以进行重复分析，以此作一个完整图像，准确表示出三角函数的值。

4、定理：正弦函数、余弦函数和正切函数三者之间存在着反比关系，即：sin x =1/cos x，cos x=1/sin x，tan x=1/cot x，cot x=1/tan x。

三、应用1、正弦函数在很多领域有着广泛的应用，比如在电学领域，它可以用来计算电流和电压的波形，甚至可以用来计算地球磁场的波形变化。

2、余弦函数也有着广泛的应用，它可以用来计算机械运动中的转角变化，也可以用来分析物体的运动轨迹，比如环形运动中，可以用它来计算物体绕着圆心运动的角度变化。

高一数学三角函数图像与性质详解

高一数学三角函数图像与性质详解在高一数学的学习中，三角函数是一个非常重要的知识点。

三角函数的图像与性质不仅是数学考试中的重点，也是解决许多实际问题的有力工具。

接下来，让我们一起深入探讨三角函数的图像与性质。

首先，我们来了解一下三角函数的定义。

在直角三角形中，正弦函数（sin）等于对边与斜边的比值，余弦函数（cos）等于邻边与斜边的比值，正切函数（tan）等于对边与邻边的比值。

正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波浪形曲线。

它在 x ＝ 0 时，函数值为 0；在 x ＝π/2 时，函数值为 1；在 x ＝π 时，函数值为 0；在 x ＝3π/2 时，函数值为－1；在 x ＝2π 时，函数值又回到0。

正弦函数的性质包括：1、定义域为全体实数。

2、值域为－1, 1。

3、它是一个奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)。

4、周期性，周期为2π。

余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π的曲线，不过它的形状与正弦函数有所不同。

在 x ＝ 0 时，函数值为 1；在 x ＝π/2 时，函数值为 0；在 x ＝π 时，函数值为－1；在 x ＝3π/2 时，函数值为 0；在 x ＝2π 时，函数值又回到 1。

余弦函数的性质有：1、定义域为全体实数。

2、值域为－1, 1。

3、它是一个偶函数，即 cos(x) ＝ cos(x)。

4、周期性，周期同样为2π。

正切函数 y ＝ tan x 的图像则与正弦、余弦函数大不相同。

它的定义域是x ≠ π/2 ＋kπ（k 为整数），其值域为全体实数。

正切函数的周期为π。

正切函数的性质主要有：1、定义域的特殊性。

2、它是一个奇函数，tan(x) ＝ tan(x)。

了解了三角函数的基本图像和性质后，我们来看看它们的平移和伸缩变换。

对于函数 y ＝ sin(x ＋φ)，其中φ 称为相位。

当φ ＞ 0 时，图像向左平移φ 个单位；当φ ＜ 0 时，图像向右平移｜φ| 个单位。

三角函数第七课(三角函数图像变换)讲义高一上学期数学人教A版

三角函数第七课 §三角函数图像变换复习：指出y = sin x 的图像变换为)32sin(π+=x y 的图像的两种方法平移法过程：两种方法殊途同归(1) y=sinx相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换 )sin(ϕ+ω=x A y (2)y=sinx 周期变换y=sin ωx 相位变换y=sin(ωx+φ)振幅变换)sin(ϕ+ω=x A y三种变换： 1. 平移变换①对“x ”左加右减; ②对“y ”上加下减。

2. 翻折变换 ①关于x 轴翻折 ②关于y 轴翻折 ③关于原点翻折 ④对“x ”加绝对值 ⑤对“y ”加绝对值 3. 伸缩变换②周期变换巧求初相角，最高点法例题如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式.练习：1.(1)y ＝sin(x ＋4π)是由y ＝sin x 向平移个单位得到的. (2)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin x 向平移个单位得到的. (3)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin(x ＋4π)向平移个单位得到的.2.要得到函数y ＝sin(2x －3π)的图象，只须将函数y ＝sin2x 的图象 A.向左平移3πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向右平移6π3.若将某函数的图象向右平移2π以后所得到的图象的函数式是y ＝sin(x ＋4π)，则原来的函数表达式为( )A.y ＝sin(x ＋43π) B.y ＝sin(x ＋2π) C.y ＝sin(x －4π) D.y ＝sin(x ＋4π)－4π4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移3π，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )A.y ＝sin(2x ＋3π)B.y ＝sin(2x －3π)C.y ＝sin(2x ＋32π)D.y ＝sin(2x －32π)5. 函数y ＝cos(432ππ+x )的最小正周期是__________. 6.要得到函数y ＝cos(2x －4π)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象A.向左平移8π个单位B.向右平移8π个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位7.把函数y ＝cos(3x ＋4π)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) A.向右平移4π B.向左平移4π C.向右平移12π D.向左平移12π8.如图b 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )A.A ＝3，Ｔ＝34π，φ＝－6πB.A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－43πC.A ＝1，Ｔ＝32π，φ＝－43πD.A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－6π9.如图c 是函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象的一段，它的解析式为( )A.)32sin(32π+=x yB.)42sin(32π+=x yC.)3sin(32π-=x yD.)322sin(32π+=x y10.函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，当x ＝3π时，有y ｍa x ＝2，当x ＝0时，有y min ＝－2，则函数表达式是 .11.如图d 是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜2π的一段图象，则函数f （x ）的表达式为 .12.如图e ，是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜2π的一段图象，则f （x ）的表达式为 .13.如图f 所示的曲线是y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式.图c图d图e图f14.函数y ＝A sin （ωx ＋φ）＋ｋ（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，当x ＝35π时，y 有最大值为37π，当x ＝311π时，y 有最小值－32，求此函数的解析式.15．由图g 所示函数图象，求y ＝A sin （ωx ＋φ）（｜φ｜＜π）的表达式.16．函数y ＝Asin(ωx ＋φ）（｜φ｜＜π）的图象如图h ，求函数的表达式.图g图h。

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高一数学每日一题【题型一】三角函数的周期性 1．函数的周期性
(1)一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x 知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 3．y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期
一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2π
ω
.
【例题一】
求下列函数的最小正周期．
(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝sin 1
2x ；(3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 3－π6.
解 (1)定义法：令u ＝2x ，则cos 2x ＝cos u 是周期函数，且最小正周期为2π. ∴cos(u ＋2π)＝cos u ，则cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，即cos[2(x ＋π)]＝cos 2x . ∴cos 2x 的最小正周期为π. 公式法：∵ω＝2，
高一数学三角函数
∴T ＝2π
|ω|
＝π，故y ＝cos 2x 的最小正周期为π.
(2)如果令u ＝12x ，则sin 1
2
x ＝sin u 是周期函数，且最小正周期为2π.
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin x
2，
即sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12x ＋4π＝sin 1
2x . ∴y ＝sin 1
2
x 的最小正周期是4π. (3)∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 3－π6，
即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
13x ＋6π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 3－π6的最小正周期是6π.
【练习一】
已知f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6的最小正周期为π
5，其中ω>0，则ω＝________.
【题型二】三角函数图象的应用正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
【例题二】
1.方程x ＝πsin x 的解的个数为________．答案 3
解析在同一坐标系中作出函数y ＝x
π
及y ＝sin x 的图象如图所示：
由图象y ＝x
π与y ＝sin x 有3个交点，所以方程x ＝πsin x 有3个解．
2.函数y ＝
2cos x ＋1的定义域是________．
答案 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z
解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－1
2，结合图象知x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z .
【练习二】
1.函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－1
2的交点有________个．
2．(1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求f (cos x )的定义域； (2)求函数y ＝lg sin(cos x )的定义域．
【题型三】求三角函数的单调区间
正弦函数、余弦函数的性质：
R R
[－1,1]
【例题三】
求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－x 的单调递增区间．
解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π4，
令z ＝x －π
4
，则y ＝－2sin z .
因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，
即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π
2(k ∈Z )．
∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π
2(k ∈Z )，
2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π
4
(k ∈Z )，
∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－x 的递增区间为
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．
【练习三】
求下列函数的单调增区间．
(1)y ＝1－sin x
2；(2)y ＝log 1
2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x 2.
【题型四】三角函数的最值（值域）【例题四】
1.(1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)求函数
f (x )＝2sin 2 x ＋2sin x －
1
2，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π
2
，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相
应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .
当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π
2
，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为
⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝2k π＋π
2，k ∈Z .
(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π6，5π6，
∴1
2
≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.
∴y ＝2t 2＋2t －
12＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤7
2，
∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1，72.
【练习四】
求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．
【题型五】判断三角函数的奇偶性【例题五】
判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12x ＋π2；
(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2 x
1＋sin x
.
解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 1
2x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12x ＝cos 1
2x ＝f (x )，
∴f (x )是偶函数．
(2)由⎩⎪⎨
⎪⎧
1－sin x >0，
1＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π
2，k ∈Z .
∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．
(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π
2
，k ∈Z .
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．【练习五】
判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
π＋2x ＋x 2sin x ；
(2)f (x )＝
1－2cos x ＋
2cos x －1.。