2 一元线性回归模型

4、回归分析

(1)“回归”一词的古典意义 英国生物学家F.高尔顿（Francis 遗传学研究中首先提出的。
Galton）在
(2)“回归”一词的现代意义： 回归分析是研究一个被解释变量（或因变量）对一 个或多个解释变量（或自变量）数量依赖关系的数 学分析方法。 目的：通过解释变量的已知值或设定值，去估计被 解释变量的平均值，或分析解释变量变动对被解释 变量产生的影响。
相关关系：非确定现象随机变量间的关系。
函数关系：
圆面积 f , 半径 半径2
欧姆定律（电流C=V/k, V为电压）
相关关系： 农作物产量 f 气温, 降雨量, 阳光, 施肥量
高档消费品的销售量与城镇居民收入之间的关 系 储蓄额与居民收入之间的关系 广告支出与商品销售额 工业增加值与能源消耗量 数学成绩与统计学成绩 „„
问：能否从该样本估计总体回归函数PRF？
可支配收入X 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 消费支出Y 888 1121 1340 1650 2179 2210 2398 2650 3021 3288
回答：of course
该样本的散点图： 样本散点图近 似于一条直线，画 一条直线以尽可能 地拟合该散点图， 由于样本取自总体， 该线可以近似地代 表总体回归线。该 线称为样本回归线
上例
ui Yi -E（Y Xi ） Yi 0 1X i 总体回归函数 Yi 0 1X i ui 个别值表现形式
引入随机扰动项的主要原因: 1、作为未知影响因素的代表
2、作为无法取得数据的已知因素的代表 3、作为众多细小影响因素的综合代表 4、模型的设定误差 5、变量的观测误差 6、变量的内在随机性
ˆ ˆ ˆX Y i 0 1 i
应变量Y的实际观测值Yi不完全等于样本估计 值，二者之差用ei 表示， ei 称为剩余项或残 差项。
ei Yi Yˆ i
ˆ ˆX e Yi (Y Xi ) 0 1X i
Yi 0 1X i ui
g(Y ) f(X 1,X 2 ,

Xk )

回归线：对于每一个X的取值，都有Y的条件期望 与之对应，代表这些Y的条件期望的点的轨迹所形成 的直线或曲线，称为回归线。 回归函数：因变量Y随解释变量X的变化而有规律的变 化，如果把Y的条件期望表现为X的某种函数
g(Y ) f(X 1,X 2 , X k )
样本回归线的函数形式为： 称为样本回归函数（SRF）
ˆ ˆ ˆX Y i 0 1 i
SRF的特点
每次抽样都能获得一个样本，就可以拟合一条 样本回归线，所以样本回归线，可以有许多条。 样本回归线不是总体回归线，至多只是未知总体 回归线的近似表现。
样本回归函数的表现形式
样本回归函数如果是线性函数，可以表示为：
ˆ ˆX e Yi 0 1 i i
注意几个概念

Y的条件分布： 当解释变量X取某固定值时（条件），Y的值不确 定，Y的不同取值形成一定的分布，这是Y的条件 分布

Y的条件期望： 对于X的每一个取值， 对Y所形成的分布确 定其期望或均值， 称为Y的条件期望或 条件均值E(Y|Xi)
回归模型与回归函数

回归模型：反映被解释变量与解释变量之间数量依赖 关系的随机模型。
3、相关程度的度量——相关系数
变量X、Y的总体线性相关系数为
变量X、Y的样本线性相关系数为
使用相关系数时应注意：


X和Y都是相互对称的随机变量 线性相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值，由 于抽样波动，样本相关系数是个随机变量，其统 计显著性有待检验 相关系数只能反映线性相关程度，不能确定因果 关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线 计量经济学关心：变量间的因果关系及隐藏在随 机性后面的统计规律性，这有赖于回归分析方法
第二章
一元线性回归模型
2.1
回归分析与回归模型
2.2
基本概念及普通最小二乘法
2.3 总体回归模型的基本假定及OLS估 计量的统计性质 2.4 拟合优度的度量
2.5
2.6
回归系数的假设检验及其区间估计
预测
2.1
回归分析与回归模型
2.1.1 相关分析与回归分析 1、变量间的关系
经济变量之间的关系，大体可分为两类： 函数关系：确定现象非随机变量间的关系。
回归函数分为：总体回归函数（PRF）和样本回归函数 （SRF）
随着收入的 增加，消费 “平均地说” 也在增加， 且Y的条件均 值均落在一 根正斜率的 直线上。这 条直线称为 总体回归线。
2.1.2 随机扰动项
总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社 区家庭平均的消费支出水平。 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均 水平有偏差。 ui Yi - E（Y Xi） 记 称ui为随机扰动项或随机误差项。代表排除在模型 以外的所有因素对Y的影响。
2、相关关系
相关关系最直观的描述方式——散点图
销售量和价格的散点图 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 价格（元）
销售量（万台）
相关关系的类型： 1）从相关关系涉及的变量数量 简单（一元）相关 多重（复）相关 2）从变量相关的表现形式 线性相关——散点图接近一条直线 非线性相关——散点图接近一条曲线 3）从变量相关关系变化的方向 正相关——变量同方向变化，同增同减 负相关——变量反方向变化，一增一减 不相关
重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济方法的选择
2.2
基本概念及普通最小二乘法
2.2.1 基本概念 总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在一 次观测中得到总体的一个样本。
问题：能从一次抽样中获得总体的近似信息吗？如 果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 例2：在例1的总体中有如下一个样本，