2015南师附中四校一卷(南京清江花苑严老师)

2015南师附中四校一卷
数学（
）必做题部分
参考公式：样本数据
的方差
，其中
；
棱锥的体积公式：
，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高.
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1．设集合
，
，且
，则实数
的值为▲．
2．设
是虚数单位，则复数
的模为▲．
3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为▲ .
次数 1 2 3 4
5
得分33 30 27 29 31
4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为▲ .
5．已知
，则
的值为▲ .
6．以双曲线
的中心为顶点，右准线为准线的
抛物线方程为▲ .
7．右图是函数
图像的一部分，
则
的值为▲ .
8．若一个正四棱锥的底面边长为
，侧棱长为3cm，
则它的体积为▲ cm3.
9．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次得到的点数
、
分别作为点
的横、纵坐标，则点
不在直线
下方的概率为
▲ .
10．已知圆C的圆心C在直线
上，且圆C经过两点A（0,4），B（2,2），则圆C的方程为▲ .
11．已知函数
是奇函数，当
时，
，则满足不等式
的x的取值范围是▲ .
12.已知数列
，
的通项公式分别为
，
，若
，则数列
的通项公式为▲ .
13．已知函数
图像上有两点
，若曲线
分别在点A、B处的切线互相垂直，则
的最大值是▲ .
14.设函数
，当
时，
恒成立，则
的最小值是▲ .
二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（14分）如图，在△ABC中，
.
（1）若
（
为实数），求
的值；
（2）若AB=3，AC=4，∠BAC=60°，求
的值.
16.（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.
（1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
（2）求证：EF//平面ABCD.
17.（14分）如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB上选一点D，将△ACD沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d. 实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k>0）.
（1）设∠ACD=
，试将S表示为
的函数；
（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）？
18.（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：
的离心率为
，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：
相切于点M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求PM·PF的取值范围；
（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.
19.（16分）已知
是实数，函数
，
，其中
是自然对数的底数．
（1）设
时，求
的单调区间；
（2）设a=0时，试比较
与
的大小，并给出证明；
（3）若关于x的不等式
有解，求实数
的取值范围.
20.（16分）设数列
的前n项和为
，且
，
.
（1）若数列
是等差数列，求数列
的通项公式；
（2）设
，求证：数列
是等差数列.
数学Ⅱ(附加题)
注意事项
21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.A.选修4-1【几何证明选讲】（10分）
如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于点D. 求证：AC平分∠BAD.
21.B.选修4-2【矩阵与变换】（10分）
二阶矩阵A有特征值
，其对应的一个特征向量为
，并且矩阵A对应的变换将点（1,2）变换成点（8,4），求矩阵A.
21.C.选修4-4【坐标系与参数方程】（10分）
已知直线
的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
，直线
与圆C相交于点A、B.
（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求线段AB的长度.
21.D.选修4-5【不等式选讲】（10分）
设a、b、c>0，求证：
.
22.（10分）已知抛物线
上有四点
、
，点M（3,0），直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q.
（1）求
的值；（2）求证：MP=MQ.
23.（10分）设
，
，
，
（1）当
时，试指出
与
的大小关系；
（2）当
时，试比较
与
的大小，并证明你的结论.。