周期信号的傅里叶变换

•
1
Fn T1
T
2 T1
fT (t)e jnw1t dt
2
1 1 1 1 1
2T1 T1 o T1 2T1 t
Fn 1
1
T1
因为：T1
t
T
2 T1
(t )e
jnw1t
dt
2
FT1 j 2
1
T1
•
Fn
(
n1 )
2 1
1
T1
O 1
F
2 1
注FT1意( jw：) 两2T种1 频n谱 图 不 n同1
第 1 页
第五节 周期信号的傅立叶变换
•正弦信号的傅里叶变换 •一般周期信号的傅里叶变换 •应用——单位冲激序列的傅氏变换 •应用——周期矩形脉冲序列的傅氏变换 •周期信号傅立叶系数与傅立叶变换关系
X
引言
第 2
页
周期信号：
•
f t 傅里叶级数 F n 表示频谱
离散谱
非周期信号： f t 傅里叶变换 F j表示频谱 连续谱
(
0 )
w02
jw w2
sin
0t
(t)
j
2
0
(
0
)
w0 w02 w2
X
频谱图
第 4
页
cos0t π ( 0 ) ( 0 )
cos0t 频谱图:
F
π
π
0 O 0
sin 0t j π 0 ( 0 )
sin0t 频谱图:
F
π
π
2
0
0 o
0
0
o
2
X
二．一般周期信号的傅里叶变换
X
方法2 利用时域卷积定理
•
Fn
1 T1
F0
j
n1
第 12
页
周期为T1的周期信号可表示为:
周期信号傅氏变换方法一 :
fT (t) f0 (t) T (t)
•
FT j 2π Fn n1
n
FT ( j) F0 ( j) 1 ( n1) 利用冲激函数的抽样性n质
求周期信号傅立 叶变换方法二
n
1 n1
n
1 1 1 1 1
21 1 o 1 21 X
周期性单位冲激序列的频谱(傅里叶变换)
第 10
页
FT1 ( jw)
2
T1
n
n1
1 n1
n
形式一：T1 (t)
1 T1
e jn1t
n
11 ()
e jnT1w
n
结论：周期为T1单位冲激序列的傅里叶变换仍是
第
叶变换方法一
6 页
FT j 2π
•
Fn
n1
n
1 fTt 的频谱由冲激序列组成;
位置: n1 谐波频率
•
•
强度 : 2π Fn 与 Fn 成正比 , 离散谱
2 区分FT ( j)和Fn，两者都是离散谱，但含义不同
Fn 傅立叶级数的复系数，An 2 Fn 表n次谐波实际振幅
FT ( j) 傅里叶变换，是频谱密度函数，谱线的幅度为
第 5
页
设信号周期:T1
2π
1
由傅里叶级数的指数形式出发：
fT t
F e • jn1t n
n
其傅氏变换(用定义)
FT j F fT t
F
nF•n
e
j n1t
•
FnF
n
e jn1t
•
Fn 2π n1 n
•
fT (t) 2π Fn n1 n
X
说明：
求周期信号傅立
cos 0t
1 2
e j0t
ej0t
已知
1 2π
sin 0t
1 2j
e j0t
ej0t
由频移性质
1 ej 0 t 2 0 1 ej0 t 2 0
cos0t π 0 ( 0 )
sin0t jπ 0 ( 0 )
思考：cos 0t (t)
2
0
冲激序列,但周期为ω1，强度也为ω1。
T (t) (t nT1) (t 2T1) (t T ) (t) (t T1) (t 2T1)
n
T (t)
e j2T1
e jT1
1 e jT1
e j2T1
e jnT1w
形式二： T1 (t)
e jnT1w
FT ( j) 1 F0 ( jn1) ( n1)
n
因为 所以
F0
(
j
)
E
Sa 2
FT
(
j
)
1
n
E
Sa
n1
2
(
n1)
E
1
n
Sa
n1
2
n1
X
第
例 用傅立叶变换求如图信号的傅立叶系数
13 页
f(t)
1
…
…
0 T/2 T
t
Fn
1
2(n )2
[(1)n
1
j(1)n n ]
X
讨论信号频谱的实质：信号分解
fT t
Fne jnwt
n
f (t) 1 F ( jw)e jwtdw
2
提出：周期信号的傅里叶变换是否存在？如何求？
与傅里叶级数的关系？
f
t
非周周期期
统一的分析方法：傅里叶变换
要求：建立傅立叶系数和傅里叶变换的关系。
X
一．正弦信号的傅里叶变换
第 3
页
由欧拉公式
2
f0
t
e jn1t d t
1 T1
F0 ( jn1)
比较式(1),(2)
n1
f0t fTt
在
T 2
,
T 2
内f
0
t
与fT
t
相同
求周期信号 复系数另一方法
•
Fn
1 T1
F0
j
n1
X
第
举例应用1：求周期单位冲激序列的傅里叶变换 9 页
T1 t t nT1
T t
n
T t的傅氏级数谱系数
n
n
级数的指数形式X
第
举例应用2：周期矩形脉冲序列的傅氏变换
11
页
f t
E
T1
方法1:复系数法
o
22
T1
t
•
思路: F0 ( j) Fn FT ( j)
F0
(
j
)
E
Sa 2
•
Fn
1 T1
F0
j
n1
E
T1
Sa
n1
2
FT ( j) 2π
•
Fn
n1
n
离散谱
E
1
n
Sa
n1
2
n1
提提出出: 如 :如何何由 由FT ( j)求Fn呢?
FT ( j) Fn
X
•
三．如何由F0 j 求 Fn
第 7
页
•
即单个脉冲的 F0 j与周期信号fTt的谱系数 Fn的关系
f0 t
fT t
T o
T
t T
o
2
2
T
t
设 f0t F0 j
T
F0 j 2T f0 t ejt d t
(1)
2
fT
t
•
Fn e jn1t
n
•
Fn
1 T1
T
f 2
T 0 2
t
e jn1t d t
(2)
X
T
第
F0 j 2T f0 t ejt d t
(1)
8 页
2
fT t
•
Fn e jn1t
n
F•n
1 T1
T
2 T
fT
2
t e jn1t d t 1 T1
(2)
T
2 T