子结构法在带裙楼的高层建筑共同作用分析中的应用

１ 子 结构 法的原 理
子结构法是将一个大型空间结构分为 Ｎ个子结构体系 ，
其 中每一个子 结构有 两种节 点 ：内部 节点和边界 节点 。内
部节点不与其它 子结构相 连接 ，而边 界节 点是这个子 结构
与 其 它 予 结 构 连 接 的 节 点 ，如 图 １ 示 ： 所
上包括主楼和裙楼 凝聚 的刚度矩 阵和荷 载 向量 ，子结 构 Ｎ ＋１ 为整个 结构体系 的整体刚度矩阵和荷载向量。
先将 结构分 割为若 干个子结 构 ，每个 子结构 的大 小可
根据计算 机的容量来定 ，也可以定 义成不 同大 小的子结构 。 如图 ２一（ ） 示 ，整体 结构体 系被 边界 Ｉ、 Ⅱ、…、ｎ一 １所 １ 、ｎ分割为子结构 １ ～Ｎ＋ ，其 中子结构 Ｎ一１为结构大底 １
盘上 即主 楼 结 构 的 刚 度 矩 阵 和 荷 载 向 量 ，子 结 构 Ｎ 为 基 础
２ １ 年 第 ４期 ０ １
第３ ７卷 总第 １２期 ６
◎ ｕＢ之 ａａ Ｓａｕｎ ｌ ｉｎ｛ｇｔｓ ｃ ｌ ｅ ｈ ｉ 材ｒ ・Ｍｉ Ｊ ｄ ｉ
结 构 刚度 要 大 。
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２５ Ｏ８ ・・ ｌ １月 ５ 年
参 考 文 献
［Ｄ：６ ９ ］ Ｉ ６ １
［ ］ 宰金眠 ， １ 宰金璋． 高层建筑基 础分析与设 计 ［ ． 京． Ｍ］ 北 中国建
图 ３ 联 合 基 础 和 单 独 基 础 的 变 形 曲 线 图
筑 工 业 出版 社 ，９ ３ １９ ．
荷载的凝聚过程 ，它不但适 用于 普通 的高层 建筑 ，而且 也 适用于带裙楼的差异 上部结 构的 高层建筑 ，但二 者在 刚度 凝聚的过程 和结 果均存 在不 同之处 ，下面就来说 明子结构 法在带 裙楼的高层建 筑共 同作用分析 中的应用问题。
２ 带裙楼 的 高层 建 筑 结构 刚 度 矩 阵和 荷 载 向量 的 凝 聚过程
示 ：
主 楼 基 础 裙 楼 基 础
Ｌ０ Ｋ 一 Ｋ Ｋ Ｋ ｊＬＵ ｊ ｌ ｂ
可 消 去 内部 节 点 位 移 ｛ ｝得 到 子结 构 １ 于 边 界 Ｉ上 ， 关
的边界节点 的边界刚度矩 阵［ ］ 和边界荷载 向量 ｛ 再 Ｓ｝ ；
Байду номын сангаас
把 ［ ］ ｛ ， 加到子结构 ２上 形成＝ 结 构 ２ （ 和 Ｓ ｝ 叠 Ｆ ’ 阴影部
矩阵和荷载 向量凝 聚 ，直至上部 结构 的全部 刚度 矩阵和 荷
载向量均凝聚 到基础顶 面为 止。总之 ，子结 构法是 将庞 大
的空 间结构离散为 多重子结 构 ，然后将 上部 结构 的刚度矩 阵和荷载 向量分别 用凝 聚后 的等 效刚度 矩 阵和等效荷 载 向 量来表示 的简化计算 方法 。
李 垒
（ 西安 建筑科 技 大学土木 工程学 院 ，陕 西 西安
摘 要： 在普通建筑结构、基础与地基共同作用分析
的基 础上 ，对带裙楼 高层 建筑的子 结构 法进 行 了研 究，并
证 明 了带 裙 楼 的 高 层 建 筑 ，组 合 后 的 基 础 子 结 构 刚 度 大 于 叠加 后 的基 础 子 结 构 刚 度 ，为 此 类 结 构 型 式 的 基 础 联 合 设
可以得到差异上 部结构 中各 节点 的位 移 ，然后 就可 以进行
内力 分 析 。
５ 结
论
沉降值 比主楼 与裙楼 的沉 降叠 加值小 得 多 ，其 中一个很 重
要 的原 因就 是组合后 的基础 子结构 刚度比叠加 后的基 础子
通过对带裙楼 的高层 建筑 结构 与基础 和地 基 的共 同作
子结构 １和子结构 ２组成 的部 分结构 （ 称为扩 大子结 构 ） 或
对该边 界作用的效果完全 等价。
继续 上述过程 ， 得到全部上部结构关 ： ｆ边界 ｎ的等效边
界 刚度矩 阵 ［ ］ 和等效 边界 荷载 向量 ｛ 即实 现 了上 ｜｝ Ｓ ， 部结构 向基 础顶 面的全部 凝聚过 程 ， ［ ］ 将 吒 和 ｛ ｝ 筒记 为 ［ ］和［ 日 。 Ｓ ］
— Ｉ
基础子结构【
子结构【山± Ｋ
子结构【 ｄＭ Ｋ
—
＂－ －－－ －ｑ ＂ － － ＞
十
—
图 ４ 组 合 刚度 与 叠加 刚度
３ 基础 与 地基 的接触 方式
带裙 楼的高层建 筑基 础与地 基 的接触 方式 ，与 普通 高
层建筑的接触方 式相 同 ，分为 全接触 和节 点接 触两 种 ，详
则：
（） ４ （） ５
０ 前
言
子结 构法是在 １６ 由 ＪＳ Ｐｚｍｅｉｃｉ ９ ８年 ． ． ｒｅ ｉ ｅｋ 首先 提出的； ｎ
１７ 年 由 Ｍ．． ａｄｄｎ首次将子结构法应用 于分析上部结 ９１ Ｊ Ｈ ｄ ａｉ 构 、基础 与地基 共 同作 用理 论。子结构法 是为 了解 决大 型 结构 的计算与计算 机容 量的 有限之 间的矛盾 而产生 的，它
［ ＋Ｋ ＋ ］ Ｕ｝＝ ｛ Ｋ ｛ Ｑ｝＋［ ． ］＋［ ］ ｝ （ ） ｓ ｛ ９ 上式代表 的方 程组 阶数 为基础子结构 节点 自由度总数 ，
可利用实 现刚度与荷 载凝 聚的计 算过程完成 消元 和回代 ， 即
可得 到位 移向量［ 。 第 Ｎ个子结构开始 向上逐 个回代就 ｕ］ 从
效刚度矩 阵和等 效边 界荷 载 向量叠 加 到下 一个 子结 构上 ，
形成 新 的子 结 构 ，然 后 继 续 对 新 的 子 结 构 进 行 相 同 的 刚 度
几层形成 比较快后 来增 长较慢 直到停滞 的现象 ，简化 了上 部结构刚度的计算问题 ¨ 。 Ｊ 结构分析的子结构 法可 以明确地 表达上部 结构 刚度与
（） ３
令：
关 键 词 ：子 结 构 法 ；共 同作 用 ；高层 建筑 基 础 中 图分 类 号 ：Ｔ ９ ２ ９ Ｕ ７ ． 文 献标 识 码 ：Ｂ
文 章 编 号 ：１７ ４ １ （０ １ ４— ｏ ４一 ２ ６２— ０ １ ２ １ ）０ ０ ５ Ｏ
［ ］＝ ［ ］一［ ］ ］ ［ ］ ［ ｛ Ｓ ｝： ｛ Ｑ ｝一［ ］ ］ ｛ ［ Ｑ｝
如 图 ２～（ ） ２ 所示 ，先从子结 构 ｌ 开始 向边界 Ｉ 行凝 进 聚 ，形 成关于子结构 １的公式 ，即公式 （ ） ７。
然后 由公式 ： 『 ， ，
其 中 ，组 合 刚 度 是 指 主 楼 与 裙 楼 在 联 合 基 础 设 计 时 整 体 性 的 刚 度 ，叠 加 刚 度 是 指 主 楼 与 裙 楼 各 自的 刚 度 相 加 而 等 到 的 刚 度 。组 合 后 的基 础 子 结 构 的 刚 度 比 主 楼 刚 度 与 裙 楼 刚度 叠 加 后 的 基 础 子 结 构 刚 度 要 大 ，就 是 说 主 楼 与 裙 楼 的整 体 刚 度要 比 各 自相 加 而 得 的 刚 度 大 。 其 关 系 如 图 ４所
细可见文献 ［ ］ １。
４ 共同作 用基本 方 程
基础子结 构 Ｎ＋１ 叠加了上部结构的刚度和荷 载之后 在
带裙楼 的高层建 筑结 构剐度 凝聚 与普 通结构 的 剐度凝 聚有所不 同 ，在 主楼 刚度 向大底 盘凝 聚时 ，主楼 刚度 与裙
楼 刚 度 进 行 了组 合 ，形 成 基 础 子 结 构 的 刚 度 。 分 析 表 明 ，
忽 略 了上 部 结 构 内 力 重 分 布 ， 以及 上 部 结 构 的 刚 度 在 最 初
［ ］ ｝＝ ｛ ｛ ．｝ Ｓ （） ６ 式 中［ ］ ｛ 一 分别 为子结构 向边界 节点 凝聚 的等 效刚 、．｝ ｓ
度矩阵和等效边界荷载 向量 。
一
个 子结构 的刚度矩 阵和荷 载 向量 凝聚完 成后 ，将 等
子 结 构 刚 度 会 对 基 础 的变 形 产 生 较 为 明 显 的 影 响 。
［ 、 ｕ 一 分别为 基础 子结 构 的荷 载 向量 和位移 向 Ｑ］ ［ ］
量。
将式 ［］ ＝ ［ ］｛ Ｒ Ｋ （ Ｗ｝ 一 ｛ ｝ ＝ ［ ］ Ｕ｝ 一 Ｗ ） ｛ ［ ］ ｝ Ｋ ｛ 代人 ， 得
［ｄ Ｋｌ 【ｄ ｓｔ
子结
●
Ｉ．
Ｉ
Ｉ
，
图 １ 子 结 构 的 内部 节 点和 边 界 节 点
子结 构 Ｎ＋ Ｉ （） １
（） ２
用分块矩阵写 出平衡方程 ：
）
式 中 、 一 与 节 点 位 移 相对 应 的荷 载 向量 ；
、 一
基础 子 结 构
例如 ，六 度 区 某 框 架 结 构 ，主 楼 为 十 五 层 ，高 度 ４ ．０ ５０ ０ｍ，裙楼为二层 ，高度 ６０ ０ｍ，带一层地 下室 。基 ．０ 础为变厚度筏板 基础 ，主楼厚 度为 １００ ｍ ０ ｍ，裙楼厚 度为 ４ ０ｍ ０ ｍ。持力层 的压 缩模量 Ｅ ＝１ ａ＋地基 承载力 ｔ ０ＭＰ ． ２ ０ｋ ａ ０ Ｐ ，基 础的变形 曲线如 图 ３所示 。图中其它 两条 曲线 分别为主楼基础 与裙 楼基 础 的单独 变形 曲线 。从 图可 以看 出 ，联合基础 的平 均沉 降 和差异 沉降 相对 主楼和 裙楼 的单 独沉降要小 。另外 ，在 主楼 与裙 楼 的相交 处 ，联合 基 础 的
计方 案提 供 了 可行 性 的理 论 依 据 。
７０ ５ ） ０ ５ １
Ｊ ｒ ｝ ［ ｛｝ ｌ ’ ［ ］ ＋ ］ ＝ ｛
Ｌ ］ ｊ＋［ ］ ｊ＝ ｛ ［ ｛ ｛ Ｑ｝
消 去 内部 节 点 位 移 的列 向量 Ｕ ： ｉ
（ ２ ）
（ ］［ ］ ］ ］ ｛ ｝ ｛ 一 ］ ］ ｛ｉ ［ 一 ［ ［ ） ＝ Ｑ｝［ ［ 口｝
的整 体平衡方 程为 ：
［ ＋Ｋ ｛ ｝＝ ｛ Ｋ ］Ｕ Ｑ｝＋｛ Ｓ ｝一｛ Ｒ｝ 式 中 ［ 一 基础子结构 的刚度矩 阵 ； ］ （） ８
组合后 的基 础子结构 刚度 比主楼 刚度 与裙 楼刚 度叠加 后 的 基础子结构 刚度 要大 ，当带裙楼 的高 层建 筑 主楼 与裙 楼之 间不设置永 久沉 降缝 ，即基 础联合 设计 时 ，组合 后 的基础
用分析 的子结构 法的 推演 ，得 出其 与普通 建筑 结构 的子 结
构法有所 不 同，主要 是凝 聚 在基 础顶 的刚 度矩 阵不 一 样 ， 组合后 的基础子结构 的 刚度大 于主楼 刚度 与裙 楼 刚度叠 加 后的基础子结构 刚度 ，为 此类结 构 型式 的基础 联合设 计方 案提供 了可行性依据 。
【山 Ｋ
【山 Ｓ
分别 为内部节点和边界节点的位移列向量。
（ ３） （） ４
将 式（ ）展开 ： １
作者 简介 ： 李 垒， 硕士， 究方向： 男， 研 建筑基础和结构振动。
囤 ２ 用子 结构 法 实现 差 异 上部 结 构 刚度 与
荷 栽 凝 聚 的 过 程 示 意 图
分 ） 再继续 向边界 Ⅱ凝聚 ； 体的做法是对子结构 ２ ， 具 生成公 式 （ ） 再按节点对应 ， ［ ］ 和 ｛ 。 元素叠 加到 公式 １， 把 。 Ｓ｝各 （ ） 端 与 边 界 １ 点 相 对 应 的 位 置 上 ， 后 消 去 ｛ ｉ ， 到 １两 节 然 Ｕ ｝得 关于边界 Ⅱ上边界节 点的边界 刚度矩 阵 ： ］ 和边界 荷载 向量 ｛ ； ］ ｛ ： 边界 Ⅱ 以下 的结构 的作用 与原 Ｓ ｝ ［ 和 Ｓ ｝ 对
・
５ ・ ４
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Ｓｉｈ ａ ｉｄ ｎ ａｔｒａｌ ｃ ｕ ｎ Ｂｕ ｌ ｉ ｅ Ｍ ｅ ｉ ｓ
Ｉ之材 ・ 』
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第 ３ ７卷 总 第 １２期 ６
子 结 构 法 在 带 裙 楼 的 高 层 建 筑 共 同作 用 分 析 中 的 应 用