2015年重庆高2016级高二上期期末考试数学复习试题(四)(含答案)

2015年重庆高2016级高二上期期末考试
数学复习试题卷（理科）（四）
一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分） 1．如果命题"
()p q ⌝
∨”为假命题，则（ ）
A ．,p q 均为真命题
B ．q p ,均为假命题
C ．q p ,至少有一个为真命题
D ．q p ,中至多有一个为真命题
2．设双曲线)0,0(122
22>>=-n m n y m x
的焦距为x y 6=，则此双曲线的
方程为（ ）
A ．1622
=-
y x B ．124
422=-y x C ．1622=-y x D ．132422=-y x 3．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n
B ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥
C ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥
D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 4．下列命题中，真命题是 （ ）
A ．00,20x x R ∃∈≤使成立
B ．2,2x x R x ∀∈>都有成立
C ．0=+b a 的充要条件是a
b
=-1 D ．1>a 且1>b 是1>ab 的充分条件
5．已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于（ ） A ．1或3- B ．1-或3 C ．1或3 D ．1-或3
6．设c b a ,,分别是△ABC 中，C B A ,,所对边的边长，则直线0s i n
=++⋅c ay x A 与0sin sin =+⋅-C y B bx 的位置关系是( )
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直 7．已知圆C ：02222=-+-y x x ，点)0,2(-A 及点),4(a B ，从A 点观察B 点， 要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),1()1,(+∞⋃--∞ B ．),2()2,(+∞⋃--∞
C ．),33
4
()334,(+∞⋃-
-∞ D ．),23()23,(+∞⋃--∞ 8．一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为（ ）
A
．6+ B
．12+ C
．12+ D
．18+
9．点)1,3(-P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左准线上.过点P 且方向为)5,2(-=的光线,经直线y =
－2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) A ．
2
2
B ．31
C ．33 (
D ．21
10．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-
．若方程1(2)kx ⊗-=有解，则k 的取值范围是（ ）
A ．[]0,1
B ﹒40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ﹒10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ﹒14,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）
11．已知302010x y x y x y ++≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩则222415x y x y +-++的最大值为
12．已知()(1,5,1),2,14,2,24a b a x b =-=-+=，则x =
13．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是),4(a ，则当
||4a >时，||||PA PM +的最小值 （结果用a 表示）
14．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21A ，B 是圆F ：42122
=+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-y x (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交
BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为_____________
15．点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1； ④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确命题的序号是________
三、解答题（共6道题，共75分）
16．已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆4)3(:22=-+y x C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线
063:=++y x m 相交于点N ．
（1）当l 与m 垂直时，求证：直线l 必过圆心C ； （2）当32=PQ 时，求直线l 的方程； （3）求证：AN AM ⋅是定值．
17．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，点O 是正方形ABCD 对角线的交点，
14,2AA AB ==，点E ，F 分别在1CC 和1A A 上，且1A F CE =
（1）求证：1B F ∥平面BDE （2）若1
AO BE ⊥，求CE 的长； （3）在（2）的条件下，求二面角1A BE O --的余弦值．
18．(12分)已知椭圆)0(33:222>=+b b y x C . （1）求椭圆C 的离心率；
（2）若B A b ,,1=是椭圆C 上两点，且3=AB ，求△AOB 面积的最大值.
19．（12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，
BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥． （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；
（2）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EF
EA
的值；若不存在，说明理由．
20．（13分）已知曲线E 上的点到直线2y =-的距离比到点)1,0(F 的距离大1 （1）求曲线E 的方程；
（2）若过)4,1(M 作曲线E 的弦AB ，使弦AB 以M 为中点，求弦AB 所在直线的方程.
（3）若直线b x y l +=:与曲线E 相切于点P ,求以点P 为圆心，且与曲线E 的准线相切的圆的方程．
21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
F 的直线l 与C 相交
于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l
（1）求椭圆的方程；
（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

2015年重庆高2016级高二上期期末考试
数 学复习试题 答 案（理科）
一．选择题
1—5 CBBDA 6—10 DDCCA 二．填空题
11．26 12.(1,1,-1)
13. 1 14. 224
13x y += 15. ①②④
三．解答题
16，解：（1）因为l 与m 垂直，直线m 的一个法向量为（1，3）， 所以直线l 的一个方向向量为=（1，3），所以l 的方程为，即3x ﹣y+3=0．
所以直线l 过圆心C （0，3）．
（2）由|PQ|=2得，圆心C 到直线l 的距离d=1， 设直线l 的方程为x ﹣ny+1=0，则由d==1．解得n=0，或n=，
所以直线l 的方程为x+1=0或4x ﹣3y+4=0． （3）因为CM ⊥l ，所以=（
+
）•
=
•
+
•
=
•
．
设N （x N ，y N ）
，则=（x N +1，y N ），又
=（1，3），
故
•
=（x N +1+3y N ）=（x N +3y N ）+1．
因为点N 在直线m 上，所以 x N +3y N +6=0，即x N +3y N =﹣6， 所以
•
=
•
﹣6+1=﹣5 （定值）．
17.解：解：（Ⅰ）证明：取1BE CE =，连结1EE 和1AE ,
∴1EE BC =，1EE ∥BC ，BC AD =，BC ∥AD ， ∴1EE AD =，1EE ∥AD ．∴四边形1AE ED 为平行四边形， ∴1AE ∥DE ， 在矩形11A ABB 中，11A F BE =，
∴四边形11B FAE 为平行四边形． ∴1B F ∥1AE ，1B F ∥DE ． ∵DE ⊂平面BDE ，1B F ⊄平面BDE ，∴1B F ∥平面BDE ．———4分
（Ⅱ）连结OE ，在棱柱1111ABCD A BC D -中，以OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为Y 轴建系，
3
4
CE =
．————8分 （Ⅲ）以A 为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标
系． 11
(2,0,0),(2,2,),(0,0,4),(1,1,0)2B E A O ．
1117
(1,1,4),(2,0,4),(2,2,)2
OA A B A E =--=-=-，
由（Ⅱ）知1OA 为平面
OBE 的一个法向量， 设(,,)x y z =n 为平面1A BE 的一个法向量，
则 110
0A B A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即 2407
2202x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 令1z =，所以 1(2,,1)4=-n ． ∴12
cos ,OA <>=n
∵二面角1A BE O --的平面角为锐角， ∴二面角1A BE
O --的余弦值为
6
． 12分 20. (Ⅰ)解：由x 2＋3y 2＝3b
2
得 222213x y b b +=，所以e ＝c
a
(Ⅱ)解：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，△ABO 的面积为S ． 如果AB ⊥x 轴，由对称性不妨记
A 的坐标为
)，此时S
＝12＝3
4
； 如果AB 不垂直于x 轴，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 由22
,33,y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩
得x 2＋3(kx ＋m) 2
＝3， 即 (1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，又Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2) (3m 2－3)＞0，
所以 x 1＋x 2＝－2
613km
k
+，x 1 x 2＝223313m k -+， (x 1－x 2)2
＝(x 1＋x 2)2
－4 x 1 x 2＝2222
12(13)
(13)k m k +-+， ①
由
| AB |
| AB |(x 1－x 2)2＝
2
3
1k
+， ② 结合①，②得m 2
＝(1＋3k 2
)－22
2(13)4(1)k k ++．又原点O 到直线
AB 所以S ＝1
2
⋅
因此 S 2
＝34⋅221m k +＝34⋅[22131k k ++－2222(13)4(1)k k ++]＝34⋅[－14(22
131k k
++－2)2
＋１] ＝－316⋅(22
131k k ++－2)2
＋34≤34，
故．当且仅当22131k k ++＝2，即k ＝±
13
4
，故
S max
．
19. 解：（1） 因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABE 则CEB ∠即为直线EC 与平面ABE 所成的角。

设BC=,1，则AB=2
，
，所
以，则直角三角形CBE 中，
33
3
1s i n =
==∠CE CB CEB 即直线EC 与平面ABE
(2)假设存在，
取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥。

因为平面⊥ABE 平面ABCD ，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥． 由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．则A(0,1，0)，B(0，-1,0)，C （1，-1,0），D （1,0，0），F （0，,1λλ-）
设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =， 因为(1,1,0),(0,1,1)BD BF λλ==+- ，则
0(1)(1)0a b b c λλ+=⎧⎨
++-=⎩取1,(1,1,v =-(1,1,1)EC =-- 所以11110,=13v EC λλλ+=+-
=-解得，所以假设成立, 即存在点F 满足1
3
EF EA =时，有EC // 平面FBD ．
20.解（1）24x y =
（2）设1,122(,),(,)A x y B x y ，由211222
44x y x y ⎧=⎪
⎨=⎪⎩得121212AB y y k x x -==-，所以直线AB 的方程为14(1)2y x -=-，
即270x y -+=
（3）设切点00(,)P x y ，由2
4
x y =得'2x y =，所以001,22x x ==，即点(2,1)P ，圆P 的半径为2，所
以圆P 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
21
、解(I ）设(,0)F c ，直线:0l
x y c --=
，由坐标原点O 到l
=
1c =.又c e a b a ==∴==（II ）由(I ）知椭圆的方程为22
:132
x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y 由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 :1l x my =+
代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然0∆>。

由韦达定理有：1224,23m y y m +=-
+12
24
,23
y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为：
点1212P (,)x x y y ++的坐标为，点P 在椭圆上，即
22
1212()()132
x x y y +++=。

整理得
2222112212
122323466x y x y x x y y +++++=。

又A B 、在椭圆上，即
22221122236,236x y x y +=+=.
故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将212121212(1)(1)()1x x
my my m y y m y
y =++=+++及①代入②解得2
1
2
m =
12y y ∴+=,12
x x +=22432232m m -+=+,即
3(,2P .。