近似函数和加权余量原理

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工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
为求 u ，设有一组完备、线性无关的函数
u1, u2 , , uk , ， 取其前m 项的线性组合作为u 的近似解u 。 若当 m 时，有 u u ，
则称 u1, u2 , , uk , 为基函数序列，
uk 为基函数。 c1, c2 , , cm 为待定系数。
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工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
代入伽辽金加权余量方程的如下方程组
Ni (2)d Nid
（ i 1,2, , n ）
对上式应用格林公式，得
Ni
•
d
N i
n
d
N id
（ i 1,2, , n ）
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工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
7.1 加权余量法
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工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
1、加权余量概念
假定边值问题方程
Lu f
式中， u 为未知函数， L 是算符（算子），表示对u 的一种运算， f 为已知函数。
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主讲人： 王泽 忠
在上述几种加权余量法中，
伽辽金法应用最广泛。
有限元法基于伽辽金法
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主讲人： 王泽 忠
7.2 有限元法
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工程电磁场
主讲人： 王泽
在一维情况下， 权函数按如下幂函数序列选取。
1, x, x2 , x3 , , xk ,
在二维情况下， 权函数按如下幂函数序列选取。
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工程电磁场
1, x, y, x2 , xy, y2 , x3 , x2 y, xy 2 , y3,
主讲人： 王泽 忠
忠
1．二维静电场的伽辽金方程
二维静电场电位的基本方程
2
1 0
n 2,3
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设基函数为
主讲人： 王泽 忠
N1 , N 2 , , Nn
相应的待定常数为
1, 2 , , n
的近似解表示为
n
N j j
j1
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wi (P, Pi)
主讲人： 王泽 忠
(P, Pi)Rd 0
R(Pi ) 0
（ i 1,2, , n ）
配点法又叫点匹配法。
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（2）子域法
主讲人： 王泽 忠
将求解区域划分成n 个子域，
每次选取权函数在一个子域上为 1， 其他子域上为零。
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主讲人： 王泽 忠
工程电磁场
王泽 忠
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主讲人： 王泽 忠
7 有限元法与边界元法
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有限元法
主讲人： 王泽 忠
可以从变分原理导出，
也可以从加权余量法导出。
前者需要补充泛函、变分法、欧拉方程、 泛函极值等数学知识，推导过程比较复杂
即 u 是方程的精确解。
一般情况下余量不为零。
只能放松约束，
强制余量的加权积分为零。
即
wi Rd 0
（ i 1,2, , n ）
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主讲人： 王泽 忠
式中 wi 为权函数，
w1, w2 , , wk , 为权函数序列，
权函数之间要求线性无关。
。 后者相对比较直观，而且应用范围更广
， 推导过程简单。
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忠
边界元法可以直接应用加权余量法。
二维静电场， 三角形线性插值有限元法的基本原理
实施过程。
三维静电场，三角形线性插值边界元法。
重点掌握加权余量概念、
有限元法和边界元法的基本原理和实施方法。
使 I 最小的条件为
I c
0
i
（ i 1,2, , n ）
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得
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R
R c
d
0
i
即权函数为
wi
R ci
（ i 1,2, , n ）
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主讲人： 王泽
忠
（4）矩量法（狭义）
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u 的近似解表示为
主讲人： 王泽 忠
m
u c ju j
j1
将近似解代入方程，得余量
m
R Lu f c j Lu j f
j1
如果余量为零，说明已经满足方程，
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主讲人： 王泽 忠
权函数的不同选择导致不同的近似方法。
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主讲人： 王泽
忠
2、几种加权余量法
（1）配点法
在求解区域中选取n 个点 P1, P2, , Pn， 让方程的余量在这n 个点上为零。
即选权函数为
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三维情况，可依次类推。
这里所称的矩量法是一种狭义的矩量法
， 广义矩量法等同于加权余量法。
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工程电磁场 （5）伽辽金法
主讲人： 王泽 忠
选取权函数序列与基函数序列相同。
wi ui
ui Rd 0
m
ui L u jd ui fd
j 1
（ i 1,2, , n ）
wi 01（（PP不在在子子域域i内i内））
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主讲人： 王泽 忠
Rd 0
i
（ i 1,2, , n ）
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主讲人： 王泽
忠
（3）最小二乘法
按使方程余量平方积分最小选取权函数。
令 I (c1, c, , cm ) R2d
主讲人： 王泽 忠
代入第二、三类边界条件得
Ni • d Ni ( )d Ni d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ i 1,2, , n ）
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