matlab程序(解泊松方程)

泊松方程的有限差分法的MATLAB实现

泊松方程的有限差分法的MATLAB实现作者：冯立伟徐涛屈福志来源：《电脑知识与技术》2017年第13期摘要：泊松方程是物理及工程应用领域中一类非常重要的方程，研究其数值求解方法具有重要意义。

给出了使用有限差分法求解泊松方程的计算方法，并讨论了使用MATLAB编写计算程序，使用数值算例和静电场实例进行了数值实验，实验结果与理论一致，检验了算法的有效性。

关键词：泊松方程；五点差分格式；有限差分法中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2017）13-0233-031概述物理过程，都可用椭圆型方程来描述。

其中最典型的方程是泊松（Poisson）方程。

传热学中带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布、流体动力学中不可压缩流体的稳定无旋流动、弹性力学中平衡问题及电磁学中静电场的电势等均满足泊松方程，泊松方程也是数值网格生成技术所遵循的基本方程。

因此，研究其数值求解方法具有重要意义。

MATLAB是目前应用最广泛的科学和工程计算软件。

MATLAB基于矩阵运算，具有强大数值运算能力，是方便实用、功能强大的数学软件；同时，MATLAB具有强大的图形绘制功能，用户只需提供绘图数据和指定绘图方式，用很少的程序指令就可得到将计算结果转化为直观、形象的图像。

使用MAT-LAB求解微分方程已有大量的研究。

因此，近些年来，越来越多的人开始使用MATLAB来求解泊松方程。

利用MAT-LAB强大的数值计算能力和图形绘制技术，可以实现使用差分法求解泊松方程并绘制出数值解的二维、三维图像，从而可以更好地理解泊松方程解的物理意义。

本文讨论使用差分法通过MATLAB编程求解二维矩形区域上的泊松方程，并使用两个算例进行检验和对结果进行分析。

边界条件为将未知解函数在内部节点上的值按行排列，组成解向量为：3差分格式的求解为了便于使用MATLAB编写程序，将差分方程转化为矩阵形式：4数值实验算例1：为了分析和比较差分格式在不同步长下的结果，使用2范数意义下的绝对误差和相对误差作为评价指标，表1给出了步长h=0.01取不同值的绝对误差和相对误差从表1可看出随着网格步长h的减小数值解的绝对误差和相对误差在变小。

matlab poisson方程边值问题

Poisson方程是一个偏微分方程，其形式为 Δu = f，其中 Δ 是拉普拉斯算子，u 是未知函数，f 是已知函数。

在MATLAB中，可以使用内置的函数和工具箱来解决Poisson方程的边值问题。

以下是一个使用MATLAB内置函数来解决Poisson方程的简单示例：
matlab复制代码
% 定义网格大小和边界条件
[x, y] = meshgrid(-10:0.5:10, -10:0.5:10);
u_x = 0; % x方向的边界条件
u_y = 0; % y方向的边界条件
% 定义源函数
f = sin(pi*x).*sin(pi*y);
% 定义拉普拉斯算子
laplacian = [010; 1-41; 010];
% 使用内置函数解决Poisson方程
u = depecndt(laplacian, u_x, u_y) + f;
% 绘制结果
surf(x, y, u);
这个示例使用了内置的depecndt函数来求解Poisson方程，其中u_x和u_y是边界条件。

使用meshgrid 函数创建了一个网格，然后定义了源函数f和拉普拉斯算子。

最后，使用surf函数绘制了结果。

注意，这是一个简单的示例，并且假设所有的边界条件都为零。

在实际应用中，您需要根据具体问题来定义边界条件和源函数。

mathematica怎么解泊松方程

mathematica怎么解泊松方程摘要：1.泊松方程的概述2.数值解法介绍3.用Mathematica 解泊松方程的具体步骤4.结论正文：1.泊松方程的概述泊松方程是数学中常见的偏微分方程，应用于静电学、机械工程和理论物理等领域。

它是由法国数学家、几何学家及物理学家泊松提出的，以拉普拉斯算子为代表。

泊松方程可以表示为在三维直角坐标系中的形式。

2.数值解法介绍泊松方程的解法有很多种，如格林函数法、松弛方法、代数法等。

这些方法在实际应用中都有很好的效果。

3.用Mathematica 解泊松方程的具体步骤Mathematica 是一种强大的数学软件，可以用来解决各种数学问题，包括泊松方程。

下面是用Mathematica 解泊松方程的具体步骤：首先，我们需要明确泊松方程的边界条件和初始条件。

假设我们考虑一个在x 轴上对称的电场分布，那么边界条件可以表示为：f(x, y, z) = 0 (x = ±a, y = 0, z = 0)其中a 表示边界的宽度。

初始条件可以表示为：f(x, y, 0) = f0(x, y)接下来，我们可以在Mathematica 中定义一个函数，用于表示泊松方程的解：```MathematicaClearAll[f]eq = Laplacian[f[x, y, z], {x, y, z}] == -δ[x]f[x, y, z];bc = {f[x, y, 0] == f0[x, y], f[a, y, 0] == 0, f[x, 0, 0] == 0, f[x, y, a] == 0};ics = {f[x, y, z] == 0, f[x, y, 0] == f0[x, y]};sol = DSolve[{eq, bc, ics}, f[x, y, z], {x, y, z}]```其中，δ[x] 表示Diracδ函数，用于表示点源。

然后，我们可以通过以下命令求解泊松方程：```Mathematicasol = DSolve[{eq, bc, ics}, f[x, y, z], {x, y, z}]```最后，我们可以使用Plot3D 函数绘制泊松方程的解：```MathematicaPlot3D[Evaluate[f[x, y, z] /.sol], {x, -a, a}, {y, -a, a}, {z, 0, a},AxesLabel -> {"x", "y", "z"}, AxesOrigin -> {0, 0, 0}]```4.结论通过使用Mathematica 解泊松方程，我们可以得到数值解，并绘制出电场分布的图形。

拉普拉斯方程与泊松方程

5.1.3 云与大地之间的电缆
带电的云与大地之间存在一个均匀的电场，平行与大地的电缆相当于一根无穷长导体。在平行于电场的方向作垂直于电缆的截面，研究该截面上的电势分布。
该问题可以用如下方程加以描述：
选择偏微分方程工具箱求解，注意：求解区域是两区域之差；区域内选择椭圆型方程。
5.2 三维拉普拉斯方程
fun=legendre(k,z); f=fun(1,:); f0=f(1,51); Ri=2/a^2*(1/(k-1)+1/(k+2)).*ri-2/a/(k-1)*(ri/a).^k; Ro=1/a/(k/2+1)*(a./ro).^(k+1); [R,PH]=meshgrid(Ri,f); ui =ui-GM*f0*R.*PH; [R,PH]=meshgrid(Ro,f); uo=uo-GM*f0*R.*PH; end; [ro,T]=meshgrid(ro,th);Yo=ro.*cos(T);Xo=ro.*sin(T); [ri,T]=meshgrid(ri,th); Yi=ri.*cos(T); Xi=ri.*sin(T); figure(1);contour(Xo,Yo,uo,'b');hold on; axis equal; contour(Xi,Yi,ui,'r'); title('圆盘引力势等势线');
ri=r; ri(find(ri>a))=NaN;
ro=r; ro(find(ro Bqi=0; Bro=0; Bqo=0;
for k=1:2:43
fun10=legendre(k,0); P0=fun10(2);
fun=legendre(k,cos(t));

matlab实验内容

2017年-matlab实验内容2017年文化素质课 MATLAB实验实验一、MATLAB基本操与运算基础【实验目的】（1）熟悉MATLAB基本环境，掌握MATLAB变量的使用（2）掌握MATLAB数组的创建（3）掌握MATLAB数组和矩阵的运算【实验内容及步骤】熟悉建立数组的方法：逐个元素输入法、冒号法、特殊方法（使用函数linspace建立）1、有关向量、矩阵或数组的一些运算（1）设A=15；B=20；求C=A+B与c=a+b？（2）设A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，B=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]；求A*B与A.*B？（3）设a=10，b=20；求i=a/b=？与j=a\b= ？（4）设a=[1 -2 3;4 5 -4;5 -6 7]（5）在MATLAB命令行窗口运行A=[1,2;3,4]+i*[5,6;7,8]；看结果如何？如果改成运行A=[1,2;3,4]+i[5,6;7,8]，结果又如何？（6）请写出完成下列计算的指令：a=[1 2 3;3 4 2;5 2 3]，求a^2=？,a.^2=？（7）有一段指令如下，请思考并说明运行结果及其原因clearX=[1 2;8 9;3 6];X( : ) %转化为列向量（8）写出下列指令的运行结果>> A = [ 1 2 3 ]; B = [ 4 5 6 ];>> C = 3.^A>> D = A.^B2、设有矩阵A和B，A=[1 2 3 4 5;6 7 8 9 10;11 12 13 14 15;16 17 18 19 20;21 2223 24 25]，B=[3 0 16;17 -6 9;0 23 -4;9 7 0;4 13 11]1）求它们的乘积C2）将矩阵C的右下角3x2子矩阵赋给D3、完成下列操作1）求[100，999]之间能被61整除的数及其个数（提示：先利用冒号表达式，再利用find和length 函数。

matlab程序(解泊松方程)

求解泊松方程的function Finite_element_tri(Imax)% 用有限元法求解三角形形区域上的Possion方程Jmax=2*Imax;% 其中Imax Jmax分别表示x轴和y轴方向的网格数，其中Jmax等于Imax的两倍% 定义一些全局变量global ndm nel na% ndm 总节点数% nel 基元数% na 表示活动节点数V=0; J=0;X0=1/Imax;Y0=X0;%V=0为边界条件domain_tri % 调用函数画求解区域[X,Y,NN,NE]=setelm_tri(Imax,Jmax); % 给节点和三角形元素编号，并设定节点坐标% 以下求解有限元方程的求系数矩阵T=zeros(ndm,ndm);for n=1:neln1=NE(1,n); n2=NE(2,n); n3=NE(3,n);%整体编号s=abs((X(n2)-X(n1))*(Y(n3)-Y(n1))-(X(n3)-X(n1))*(Y(n2)-Y(n1)))/2;%三角形面积for k=1:3if n1<=na|n2<=naT(n1,n2)=T(n1,n2)+((Y(n2)-Y(n3))*(Y(n3)-Y(n1))+(X(n3)-X(n2))*(X(n1)-X(n3)))/(4*s);T(n2,n1)=T(n1,n2);T(n1,n1)=T(n1,n1)+((Y(n2)-Y(n3))^2+(X(n3)-X(n2))^2)/(4*s);%V=0则边界积分为零，非零时积分编程类似，再加边界积分。

endk=n1;n1=n2;n2=n3;n3=k; % 轮换坐标将值赋入3阶主子矩阵中endendM=T(1:na,1:na);% 求有限元方程的右端项f=X;%场源函数G=zeros(na,1);for n=1:neln1=NE(1,n); n2=NE(2,n); n3=NE(3,n);s=abs((X(n2)-X(n1))*(Y(n3)-Y(n1))-(X(n3)-X(n1))*(Y(n2)-Y(n1)))/2;for k=1:3if n1<=naG(n1)=G(n1)+(2*f(n1)+f(n2)+f(n3))*s/12;%f在单元上为线性差值时场域单元的积分公式endn4=n1; n1=n2; n2=n3; n3=n4; % 轮换坐标标endendF=M\G; % 求解方程得结果NNV=zeros(Imax+1,Jmax+1);fi=zeros(ndm,1);fi(1:na)=F(1:na);fi(na+1:ndm)=V;for j=0:Jmaxfor i=0:Imaxn=NN(i+1,j+1);if n<=0n=na+1;endNNV(i+1,j+1)=fi(n);endendfigure(2)imagesc(NNV);%画解函数的平面图X1=zeros(1,Imax+1);Y1=zeros(1,Jmax+1);for i=1:Imax+1X1(i)=(i-1)*X0;endfor i=1:Jmax+1Y1(i)=(i-1)*Y0;endfigure(3)surf(X1,Y1,NNV');% 画解函数的曲面图% 以下是结果的输出fid=fopen('Finite_element_tri.txt','w');fprintf(fid,'\n *********有限元法求解三角形区域上Possion方程的结果********** \n \n'); L=[1:ndm]';fprintf(fid,'\n\n 节点编号坐标分量x 坐标分量y u（x,y）的值\n\n');for i=1:ndmfprintf(fid,'%8d%14.5f%14.5f%14.5f\n',L(i),X(i),Y(i),fi(i));endfclose(fid);function domain_tri% 画求解区域xy=[0 1;0 -1;1 0];A=zeros(3,3);A(1,1)=2; A(1,2)=-1;A(1,3)=-1;A(2,2)=2; A(2,1)=-1;A(2,3)=-1;A(3,3)=2; A(3,2)=-1;A(3,1)=-1;A=sparse(A);figure(1);gplot(A,xy);function [X,Y,NN,NE]=setelm_tri(Imax,Jmax)% 给节点和三角形单元编号，并设定节点坐标% 定义一些全局变量global ndm nel na% I1 I2 J1 J2 Imax Jmax分别描述网线纵向和横向数目的变量% X Y表示节点坐标% NN描述节点编号% NE 描述各单元局部节点编号与总体编号对应的矩阵% ndm 总节点数% nel 单元数% na 表示不含边界的节点数nlm=Imax*Jmax;dx=1/Imax;dy=1/Jmax;X=nlm:1;Y=nlm:1;NN=zeros(Imax+1,Jmax+1);n1=0;for j=3:Jmax/2for i=2:j-1n1=n1+1;NN(i,j)=n1; %X=i列，Y=j行处节点X(n1)=(i-1)*dx;Y(n1)=-1+(j-1)*dy;endendk=Jmax/2+1;for j=Jmax/2+1:Jmax-1 %三角形区域上下两部分节点坐标分别求k=k-1;for i=2:kn1=n1+1;NN(i,j)=n1;X(n1)=(i-1)*dx;Y(n1)=1+(j-Jmax-1)*dy;endendna=n1;%不含边界节点数for j=Jmax+1:-1:Jmax/2+1 %降序n1=n1+1;NN(1,j)=n1;X(n1)=0;Y(n1)=1+(j-Jmax-1)*dy;endfor j=Jmax/2:-1:1n1=n1+1;NN(1,j)=n1;X(n1)=0;Y(n1)=-1+(j-1)*dy;end %for i=2:Imax+1n1=n1+1;NN(i,i)=n1;X(n1)=(i-1)*dx;Y(n1)=-1+(i-1)*dy;endK=0;for i=Imax:-1:2K=K+2;n1=n1+1;NN(i,i+K)=n1;X(n1)=(i-1)*dx;Y(n1)=1+(i+K-Jmax-1)*dy;end% 以上四个循环为对边界节点进行编号ndm=n1;NE=zeros(3,2*ndm); n1=0;for j=3:Jmax/2for i=2:j-1n1=n1+1;NE(1,n1)=NN(i,j);NE(2,n1)=NN(i-1,j+1);NE(3,n1)=NN(i-1,j);n1=n1+1;NE(1,n1)=NN(i,j);NE(2,n1)=NN(i,j+1);NE(3,n1)=NN(i-1,j+1);endendk=Jmax/2+1;for j=Jmax/2+1:Jmax-1k=k-1;for i=2:kn1=n1+1;NE(1,n1)=NN(i,j);NE(2,n1)=NN(i-1,j+1);NE(3,n1)=NN(i-1,j);n1=n1+1;NE(1,n1)=NN(i,j);NE(2,n1)=NN(i,j+1);NE(3,n1)=NN(i-1,j+1);endend %内部节点对应左上角正方形的两个三角形单元，上左，左上for i=2:Imaxn1=n1+1;NE(1,n1)=NN(i,i);NE(2,n1)=NN(i-1,i);NE(3,n1)=NN(i-1,i-1);n1=n1+1;NE(1,n1)=NN(i,i);NE(2,n1)=NN(i-1,i+1);NE(3,n1)=NN(i-1,i);n1=n1+1;NE(1,n1)=NN(i,i);NE(2,n1)=NN(i,i+1);NE(3,n1)=NN(i-1,i+1);end %下斜边界节点要对应三个单元，上左，左上，左下n1=n1+1;NE(1,n1)=NN(Imax+1,Imax+1);NE(2,n1)=NN(Imax,Imax+1);NE(3,n1)=NN(Imax,Imax);%右顶点的左下n1=n1+1;NE(1,n1)=NN(Imax+1,Imax+1);NE(2,n1)=NN(Imax,Imax+2);NE(3,n1)=NN(Imax,Imax+1);%右顶点的左上K=0;for i=Imax:-1:2K=K+2;n1=n1+1;NE(1,n1)=NN(i,i+K);NE(2,n1)=NN(i-1,i+K+1);NE(3,n1)=NN(i-1,i+K);end %右上边界的左上nel=n1;%此时n1值为总的单元个数求解偏微分方程function [c,f,s]=pdefun (x,t,u,du)c=[1;1];f=[0.024*du(1);0.17*du(2)];temp=u(1)-u(2);s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp));function u0=pdeic(x)function[pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)%a表示左边界，b表示右边界pa=[0;ua(2)];qa=[1;0];pb=[ub(1)-1;0];qb=[0;1];clx=0:0.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t);figure('numberite'off 'name';'PDE Demo--by Matlabsky')%创建个窗口，窗口名字是name后边的名字'NumberTitle'off'是关掉默认显示名字title('The Solution ofu_ 1')xlabel('X')ylabel('T)subplot(212)st+f:+,..;,)title('The Solutionofu_ 2")xlabel(X')ylabel('T)zlabel("U')。

有限元法求解二维Poisson方程的MATLAB实现

(x,y) e 9 0 ,
其中
— ax ay
e i 2(/3), 为 i?2 中的
有界凸区域，区域 / 3 = { ( * ，；K) U2 + y2 < l }.
1 二维 P oisson方程的有限元法
l .i 有限元方法的基本原理和步骤有限元法是基于变分原理和剖分技术的一种数
值计算方法，把微分方法的定解问题转化为求解一
摘要：文章讨论了圆形区域上的三角形单元剖分、有限元空间，通过变分形式离散得到有限元方程 .用 M A T L A B 编程求得数值解，并进行了误差分析. 关键词：Poisson方程；有限元方法；M A T L A B 编程；三角形单元剖分
U e l f +2( n , R m).
定理[7]1 (有限元近似解的炉模估计）假设满足引理的条件，则对 V f/ E 妒+1(/3,i T ) ，存在与 A 无关的常数C , 使得
W u - u . w, ^ chk \ u \ M
定理[7]2 (有限元近似解的 i 2 模估计）假设
1
0
0
0
2
3
0
0
細 !1[8]:
4
560ຫໍສະໝຸດ 中图分类号：0241.8
文献标识码：A
文章编号：1009 - 4 9 7 0 ( 2 0 1 8 ) 0 5 - 0015 - 04
0 引言
热学、流体力学、电磁学、声学等学科中的相
关过程，都可以用椭圆型方程来描述 .最为典型的

matlab 泊松分布随机数

matlab 泊松分布随机数泊松分布是一种常用的概率分布模型，广泛应用于各种领域中。

在matlab中，可以使用poissrnd函数生成服从泊松分布的随机数。

我们需要了解什么是泊松分布。

泊松分布是一种离散型概率分布，它描述了在一个固定时间内，某个事件发生的次数。

比如，在一个小时内到达某个商场的顾客数，或者在一天内接到的电话数。

泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=e^(-λ) λ^k / k!其中，λ表示在单位时间内事件平均发生的次数，k表示事件发生的次数。

在matlab中，可以使用poissrnd函数生成泊松分布的随机数。

函数的基本语法为：Y=poissrnd(lambda,m,n)其中，lambda为泊松分布的参数，m和n分别表示生成随机数的矩阵的行数和列数。

函数返回一个大小为m*n的矩阵Y，其中的元素服从泊松分布。

下面我们通过一个例子来说明如何使用poissrnd函数。

假设某家餐厅在一天内接待的客人数服从泊松分布，平均每天接待100位客人。

我们可以使用poissrnd函数生成一组模拟数据，并进行统计分析。

代码如下：lambda=100; %泊松分布的参数m=1; %生成的随机数为一维向量n=1000; %生成1000个随机数Y=poissrnd(lambda,m,n); %生成泊松分布的随机数figurehist(Y,0:200) %绘制直方图xlabel('客人数')ylabel('频数')title('餐厅客人数分布')运行代码后，我们可以得到一组模拟数据，并绘制出直方图，如下图所示：从直方图中可以看出，餐厅每天接待的客人数分布大致呈现出泊松分布的形态，中心点在100左右。

由于泊松分布的特殊性质，当事件平均发生次数较小时，泊松分布的方差会比较大，因此我们可以看到图中分布的右尾部分比较长。

除了生成随机数之外，我们还可以使用matlab中的其他函数对泊松分布进行更深入的分析。

matlab泊松分布随机数的产生

matlab泊松分布随机数的产生Matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的函数库，包括用于随机数生成的函数。

泊松分布是一种常见的概率分布，用于描述某个事件在一定时间或空间内发生的次数。

在Matlab中，我们可以使用自带的函数来生成泊松分布的随机数。

要生成泊松分布的随机数，我们可以使用`poissrnd`函数。

该函数的语法为：```matlabX = poissrnd(lambda, m, n)```其中，`lambda`为泊松分布的参数，表示单位时间或单位空间内事件的平均发生次数；`m`和`n`分别表示生成随机数的矩阵的行数和列数。

下面是一个简单的例子，演示了如何使用Matlab生成泊松分布的随机数：```matlablambda = 5; % 泊松分布的参数m = 100; % 生成随机数的矩阵的行数n = 1; % 生成随机数的矩阵的列数X = poissrnd(lambda, m, n); % 生成泊松分布的随机数% 统计随机数的分布情况[counts, bins] = hist(X, min(X):max(X));bar(bins, counts/m);xlabel('随机数');ylabel('频率');title('泊松分布的随机数');```在上述例子中，我们生成了100个泊松分布的随机数，并绘制了随机数的频率分布直方图。

通过直方图，我们可以观察到泊松分布的特性。

除了使用`poissrnd`函数，我们还可以使用`poisspdf`函数来计算泊松分布的概率密度函数的值，以及使用`poisscdf`函数来计算泊松分布的累积分布函数的值。

这些函数可以帮助我们更好地理解和分析泊松分布。

Matlab提供了方便易用的函数来生成泊松分布的随机数，并进行相关的统计分析。

通过使用这些函数，我们可以更好地理解泊松分布的特性，并将其应用于各种实际问题中。

matlab泊松方程第二类边界

泊松方程是数学和物理学中的一个重要方程，描述了在给定边界条件下，场的分布情况。

在工程学、地理学、地球物理学以及生物学等领域都有着广泛的应用。

而在数学和科学计算软件领域，Matlab是一个强大的工具，可以用于求解泊松方程并对其进行深入的研究。

Matlab作为一款高效的科学计算软件，提供了丰富的数学工具箱，其中包括了解决偏微分方程（PDE）的工具。

泊松方程作为一种二维的偏微分方程，在Matlab中有着完善的求解方式，而第二类边界条件则是泊松方程中的一种特殊情况，值得我们深入探讨。

在处理泊松方程第二类边界条件时，我们需要明确边界条件的定义和意义。

泊松方程第二类边界条件通常是指在边界上给定了场函数的某种形式，比如通过边界上的电势来定义电场的分布。

在Matlab中，我们可以通过指定边界条件的类型和数值来求解泊松方程，进而得到不同边界条件下场的分布情况。

在求解泊松方程第二类边界条件时，我们首先需要构建二维的网格模型，并在网格上定义泊松方程的离散形式。

根据边界条件的要求，我们可以在网格的边界上指定相应的数值。

通过Matlab提供的PDE工具箱，可以很方便地对这些边界条件进行处理，并求解泊松方程得到场的分布情况。

在实际求解中，我们还需要考虑网格的精细程度、求解的精度要求以及计算效率等因素。

在Matlab中，我们可以通过调整网格的密度和使用不同的求解算法来得到更精确和高效的结果。

Matlab还提供了丰富的可视化工具，可以直观地展示泊松方程第二类边界条件下场的分布情况，使我们更好地理解并分析结果。

总结来看，Matlab作为一款强大的科学计算软件，为我们提供了丰富的工具和方法来求解并研究泊松方程第二类边界条件。

在实际应用中，我们可以通过合理地设置边界条件、调整网格密度和求解算法，得到满足精度和计算效率要求的结果。

通过对泊松方程第二类边界条件的深入研究和分析，可以更好地理解场的分布情况，为工程、物理和其他领域的问题提供有效的解决方案。

超松弛迭代法求解泊松方程

计算流作业1. 题目对1512cm cm ⨯的矩形平板，假设板表面绝热，仅在四条边有热流通过，且导热系数为常数。

设一条15cm 边温度保持为100︒，其余三条边温度为20︒。

计算板内稳定的温度场并绘出等温线。

采用迭代法计算时，采用不同的松弛因子，并比较收敛速度，观察在不同的网格尺度下，最佳松弛因子的变化。

2. 理论基础超松弛SOR 迭代法迭代公式为：11212,,1,1,,1,1,2(1)(())2(1)m m m m m m i j i j i j i j i j i j i j x ωψωψψψβψψζβ++++-+-=-++++-+3. 结果分析计算时取,x y 方向网格数分别为(4,5),(8,10),(32,40)，松弛因子取值范围为1.0,1.0475,1.095, 1.95。

控制固定余量为510-3.1 温度场网格尺度为0.5dx dy cm ==时，最佳松弛因子下的平板温度场分布结果基本上是对称的。

3.2最佳松弛因子-网格尺度显然，随着网格尺度增加，最佳松弛因子逐渐减小，基本上呈现指数规律。

4.附件!初始温度分布subroutine initial(tt_in,nx_in,ny_in)implicit noneinteger::i,jinteger,intent(in)::nx_in,ny_in !横纵网格数real(kind=8),dimension(0:nx_in,0:ny_in)::tt_in !温度矩阵tt_in=0.tt_in(0,0:ny_in)=20.tt_in(nx_in,0:ny_in)=100.tt_in(1:(nx_in-1),0)=20.tt_in(1:(nx_in-1),ny_in)=20.do i=1,nx_in-1do j=1,ny_in-1tt_in(i,j)=60.end doend doend subroutine initial!超松弛迭代法subroutine sor(tt_sor,nx_sor,ny_sor,ome,be)implicit noneinteger::i,jinteger,intent(in)::nx_sor,ny_sor !横纵网格数real(kind=8),dimension(0:nx_sor,0:ny_sor)::tt_sor !温度real(kind=8),intent(in)::ome,be !松弛因子,网格参数hreal(kind=8)::tem1do i=1,nx_sor-1do j=1,ny_sor-1tem1=tt_sor(i+1,j)+tt_sor(i-1,j)+be**2*(tt_sor(i,j+1)+tt_sor(i,j-1)) tt_sor(i,j)=(1-ome)*tt_sor(i,j)+ome*tem1/2./(1+be**2)end doend doend subroutine sorprogram poissonimplicit noneinteger::i,j,k,linteger,parameter::numk=8 !计算时取的网格大小种类数real(kind=8),allocatable,dimension(:,:)::tem !温度integer::numx,numy !横纵网格数real(kind=8),parameter::lx=12.,ly=15. !计算域长宽integer,parameter::nw=20 !计算时omega取值的数目integer,dimension(nw)::ncell !存储同一omega下迭代需要的步数 real(kind=8)::om,bt !松弛因子,网格参数hreal(kind=8)::dx,dy !横纵方向上的网格参数integer::ct !中间变量real(kind=8)::w_opt !最佳松弛因子integer,parameter::status=-1 !状态变量.1-计算不同网格尺度下的最佳松弛因子!-1-计算特定尺度，取最佳松弛因子时得到的最终温度分布open(unit=15,file='poisson.dat')open(unit=16,file='poisson2.txt')write(16,'("title = data")')write(16,'("variables = x,y,t")')write(16,'("zone i=",i4,3x,"j=",i4)')8,nwdo l=1,8numx=4*lnumy=5*ldx=lx/numxdy=ly/numybt=dx/dyallocate(tem(0:numx,0:numy))ct=10**10do k=1,nwom=1.+0.95*dble(k)/dble(nw)call caclulate_w(tem,numx,numy,om,ncell(k),bt)write(16,'(1x,d15.5,3x,d15.5,3x,i10)')l,om,ncell(k) if(ncell(k)<ct) thenct=ncell(k)w_opt=omend ifend doif(status==1) thenwrite(15,'(1x,d15.5,3x,d15.5)')dx,w_optelse if(status==-1 .and. l==6) thenwrite(15,'("title = data")')write(15,'("variables = x,y,t")')write(15,'("zone i=",i4,3x,"j=",i4)')numx+1,numy+1call caclulate_w(tem,numx,numy,w_opt,ct,bt)do j=0,numydo i=0,numxwrite(15,*)i*dx,j*dy,tem(i,j)end doend doend ifdeallocate(tem)end doend program poisson!计算特定网格和松弛因子下的温度subroutine caclulate_w(tt,nx,ny,omega,nncell,beta)implicit noneinteger::i,jinteger,intent(in)::nx,ny !横纵网格数real(kind=8)::error=1.d-5 !误差限integer,intent(out)::nncell !存储迭代次数real(kind=8)::omega,etem,beta !etem-两次计算间的平均误差real(kind=8),dimension(0:nx,0:ny)::tem0 !存储上一次计算得到的温度矩阵real(kind=8),dimension(0:nx,0:ny)::tt !温度矩阵etem=1.d10nncell=0call initial(tt,nx,ny)do while(etem>error)nncell=nncell+1tem0=ttcall sor(tt,nx,ny,omega,beta)etem=0.do i=1,nx-1do j=1,ny-1etem=etem+(tt(i,j)-tem0(i,j))**2 end doend doetem=sqrt(etem)end doend subroutine caclulate_w。

matlab编程求解2维泊素叶流动的速度分布

文章主题：使用Matlab编程求解2维泊松叶流动的速度分布在流体力学中，泊松叶流动是一种经典的流体流动问题，它描述了在一个受到外界力场作用下的流体中，流体粒子所具有的速度分布。

这是一个非常复杂的问题，需要借助数值计算方法进行求解。

在本文中，我们将使用Matlab编程来求解2维泊松叶流动的速度分布，通过深入的分析和全面的讨论，将帮助你更深入地理解这一流体力学问题。

### 1. 问题概述让我们从问题的概述开始。

泊松叶流动问题描述了一个在二维平面上受到外力作用的黏性流体的速度场分布问题。

在这个问题中，我们需要求解流体速度的二维分布，以及流体的压力分布。

这是一个经典的流体力学问题，在工程实践中有着广泛的应用。

### 2. 相关理论在进入Matlab编程求解之前，我们需要对相关的理论知识进行深入的理解和学习。

泊松叶流动问题涉及到了流体力学、数值计算方法等多个领域的知识，需要我们对Navier-Stokes方程、有限元方法等进行全面的学习和理解，才能够准确地求解问题。

### 3. Matlab编程求解在这一部分，我们将详细讨论如何使用Matlab编程来求解2维泊松叶流动的速度分布。

我们将从建立数学模型开始，逐步介绍编写程序的方法和技巧，以及求解过程中需要注意的问题。

通过实际的编程实例，我们将逐步展示程序的运行结果和求解过程，帮助你更好地理解这一流体力学问题。

### 4. 结果分析在这一部分，我们将对Matlab编程求解的结果进行深入的分析和讨论。

我们将探讨速度分布的特点，流体的压力分布等问题，帮助你更全面地理解泊松叶流动问题的解析过程和结果。

通过对结果的分析，我们将进一步加深对这一经典问题的理解。

### 5. 个人观点与总结在文章的结尾部分，我将共享我对这一问题的个人观点和理解。

我会总结文章中的内容，让你对泊松叶流动问题有一个全面、深刻和灵活的理解。

希望通过本文的阅读，你能对这一经典的流体力学问题有更深入的理解和认识。

Matlab方程的求解

Matlab方程的求解Matlab是一个广泛使用的数学编程环境，它提供了许多强大的数值计算功能，包括求解各种数学方程。

以下是一些关于如何在Matlab中求解方程的基本步骤。

步骤1：启动Matlab首先，你需要打开Matlab。

你可以在Windows、macOS或Linux等操作系统上安装和使用Matlab。

步骤2：创建方程在Matlab中求解方程的第一步是创建方程。

例如，如果你想求解以下线性方程：2x + 3y = 104x - y = 14你可以在Matlab中输入这些方程如下：eq1 = 2x + 3y == 10;eq2 = 4*x - y == 14;步骤3：使用solve函数求解方程接下来，你可以使用Matlab中的solve函数来求解这些方程。

solve函数可以找到使方程为零的变量值。

你可以输入以下命令来求解上述方程：sol = solve([eq1, eq2], [x, y]);在这个例子中，sol是一个包含解的对象，x和y是未知数，eq1和eq2是包含已知数的方程列表。

这个命令会找到满足这两个方程的x和y的值。

步骤4：显示解你可以使用以下命令来查看解：disp(sol)这将显示包含解的对象sol的属性。

例如，它可能会显示以下内容：x = 1.0000 + 2.0000i y = 3.0000 + 2.0000i这表明x的值为1+2i，y的值为3+2i。

如果你需要的是实数解，可以通过以下方法获得：x_real = real(sol.x); y_real = real(sol.y);disp([x_real, y_real])以上就是在Matlab中求解方程的基本步骤。

需要注意的是，对于一些更复杂的方程或者非线性方程，可能需要使用其他的Matlab函数或者额外的工具箱来求解。

在处理复杂的数学问题时，Matlab的文档和帮助功能可以提供更多的信息和帮助。

利用有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解二维泊松方程-红外技术

∇2 = ∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z
引言
半导体器件模拟中的静电场问题可归结为在给定电荷分布和边界条件下求解泊松方程[1]。和薛定谔作为半导体中常用的基本控制方程之一，方程类似[2]，泊松方程、尤其是二维以上的泊松方程一般没有解析解，需要根据所用算法编写程序做数值计算。差分法是常用数值解法之一。本文介绍了一种利用有限差分和 MATLAB 矩阵运算直接求解二维泊松方程的方法，即将求解区间离散为网格化的节点，通过差分将泊松方程转化为以矩阵方程表示的代数方程组，调用一条矩阵左除命令，即可求出其近似数值解。
(13)
(8)
2
大型矩阵的多软件辅助生成
式中：G、I、Z 均为(N－1)×(N－1)阶矩阵，其定义分别为：
二维泊松方程边值问题的有限差分解法，是利用网格状模型上离散节点的数值解来逼近原函数的真实解。在计算机软硬件环境允许的情况下，网格划分越细密，或节点选取越多，离散化模型越能较为精确地逼近真实问题，从而获得具有足够精度的数值解。
收稿日期：2009-10-21；修订日期：2010-04-10. 作者简介：王忆锋（1963-），男，湖南零陵人，高级工程师，主要研究方向为器件仿真。
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第 32 卷第 4 期 2010 年 4 月
红外技术 Infrared Technology
Vol.32 No.4 Apr. 2010
Direct Solution of Two-dimensional Poisson Equation with Finite Difference and MATLAB Matrix Computation
WANG Yi-feng，TANG Li-bin

matlab蒙特卡洛求泊松方程

Matlab蒙特卡洛求解泊松方程一、引言泊松方程是数学中常见的偏微分方程，描述了某些物理系统中的场的分布情况。

求解泊松方程是很多科学和工程问题中的基本任务，在实际问题中，泊松方程往往无法通过解析解得到，因此需要借助数值方法进行求解。

本文将介绍利用Matlab中的蒙特卡洛方法来求解泊松方程的基本原理和实现过程。

二、泊松方程的基本概念泊松方程是指具有以下形式的偏微分方程：∇^2φ = f其中∇^2为拉普拉斯算子，φ为待求解的标量场，f为给定的源项。

泊松方程常见于电场与电势、热传导、流体力学等领域的建模中。

三、蒙特卡洛方法的基本原理蒙特卡洛方法是通过随机抽样的方式，利用大量的随机样本来近似计算复杂问题的方法。

在求解泊松方程时，可以利用蒙特卡洛方法来求解边界值问题。

四、Matlab代码实现在Matlab中，可以利用蒙特卡洛方法来求解泊松方程，下面是一个简单的示例代码：```matlabfunction monte_carlo_poisson(N)N为蒙特卡洛采样点数假设求解的泊松方程为∇^2φ = f，其中f为已知的源项x = rand(N, 1); 在区域内随机生成N个点的x坐标y = rand(N, 1); 在区域内随机生成N个点的y坐标计算每个采样点的函数值f = zeros(N, 1);for i = 1:Nf(i) =pute_f(x(i), y(i)); 根据具体问题计算每个点的源项值 end计算泊松方程的近似解phi = sum(f) / N;输出结果disp(['蒙特卡洛求解的泊松方程近似解为：', num2str(phi)]); endfunction f =pute_f(x, y)根据具体问题计算每个点的源项值这里给出一个简单的示例，假设源项与点的位置有关f = x^2 + y^2;end```五、实验结果与分析通过上述的Matlab代码，可以对泊松方程进行蒙特卡洛求解。

matlab蒙特卡洛方法求解泊松方程

一、概述在数学和工程领域中，泊松方程是一种常见的偏微分方程，描述了物质的扩散和漂移现象。

求解泊松方程在科学计算、工程建模和数据分析等领域中具有重要意义。

而蒙特卡洛方法是一种常用的随机模拟方法，适用于复杂问题的数值求解。

本文将以matlab编程语言为工具，探讨使用蒙特卡洛方法求解泊松方程的过程和实现。

二、泊松方程的数学描述泊松方程是描述标量场\( u(\mathbf{x})\)对应点源（或“蒙古支数”）的引力，在三维笛卡尔坐标系下可表示为：\[ \nabla^2 u = -f(\mathbf{x}) \]其中\( \nabla^2 \)是拉普拉斯算子，\( f(\mathbf{x}) \)表示引力的分布。

对于给定的边界条件和引力分布，求解泊松方程即可得到标量场\( u(\mathbf{x})\)的解析表达式。

三、蒙特卡洛方法的基本原理蒙特卡洛方法是一种基于随机采样的数值求解方法，通过大量的随机样本来估计数学问题的解。

对于求解泊松方程，可以利用蒙特卡洛方法进行随机采样，通过统计分析获得近似解。

四、matlab实现蒙特卡洛方法求解泊松方程的步骤1. 生成随机采样点在matlab中生成满足特定分布的随机采样点。

可以使用rand函数生成均匀分布的随机样本，也可以使用normrnd函数生成正态分布的随机样本。

这些随机采样点将作为泊松方程中的点源，用于估计标量场的解。

2. 计算引力分布根据生成的随机采样点，计算每个点源对应的引力分布。

可以根据点源与其他位置的距离来计算引力的大小，通常可以使用高斯函数或牛顿引力定律来描述点源的引力分布。

3. 统计估计解利用生成的随机采样点和对应的引力分布，通过统计分析来估计标量场的解。

可以计算每个采样点对标量场的贡献，并对这些贡献进行平均或加权平均，从而得到标量场的近似解。

五、示例代码```matlab生成随机采样点N = 1000; 采样点数x = rand(1, N); 生成均匀分布的随机样本计算引力分布f = zeros(size(x)); 初始化引力分布for i = 1:N计算第i个点源对应的引力分布...end统计估计解u = sum(f) / N; 估计标量场的解```六、优缺点分析蒙特卡洛方法求解泊松方程的优点在于能够处理复杂的引力分布，适用于高维空间和非线性问题。