2019平的微积分第一章课件15极限存在准则与两个重要极限

例2 求 lim arcsin x
x? 0
x
? ? 推广： lim sin (x) ? 1(其中 lim (x) ? 0)
? x?x 0 ( x)
x?x 0
注意：limsx in 1 ? 1
x? ?
x
例3 求 lim sin3 x x? 0 sin5 x
例4
求
lim
x? 0
1
?
cos x2
x
.
二、单调有界收敛准则
上述数列夹逼准则可以推广到函数极限 2、关于函数收敛的夹逼准则：
设函数 f ( x), g( x), h( x) 满足如下条件：
。
(1) 当 x ? U ( x0 , r) (或 | x |? M ) 时 , 有 g( x) ? f ( x) ? h( x)
(2) lim g( x) ? A , lim h( x) ? A
例2设 x1 ? 3 , x2 ? 3 ? x1 , ? , xn?1 ?
证明
lim
n? ?
xn
存在
,
并求
lim
n? ?
xn
.
证 ? x2 ? 3 ? x1 ? 3 ? 3 ? 3 ? x1 ,
3 ? xn ,
假定 xk?1 ? xk , 则有 xk? 2 ? 3 ? xk?1 ? 3 ? xk ? xk?1
若数列 {xn}满足： x1 ? x2 ? ??? xn ? ???, 就称为递增数列 .
x1 ? x2 ? ??? xn ? ???, 就称为递减数列 .
单调数列
单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限 .
1) 若{ xn }单调增加且有上界 M, 则{ xn }必有极限
2)
且l有im n? ?
xn
1! n
2! n2
n!
nn
? 1 ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) ? ? ? 1 (1 ? 1)(1 ? 2)? (1 ? n ? 1).
n? ? n2 ? 1 n2 ? 2
n2 ? n
解?
n? n2 ? n
1 ?? ? 1 ?
n2 ? 1
n2 ? n
n ,
n2 ? 1
又 lim n? ?
n ? lim n2 ? n n? ?
1 1 ? 1 ? 1,
n
lim
n? ?
n ? lim n2 ? 1 n? ?
1 ? 1,
1?
1 n2
由夹逼得准则
?
M
.
2) 若{ xn }单调减少且有下界 m, 则{ xn } 必有极限
3)
且l有im n? ?
xn
?
m
.
例1
设
x1 ?
1 2
,
xn ? 1
?
1 ? xn2 2
(n ? 1,2 ,
),
(1) 求证：数列 {xn} 单调递增且有上界 .
(2)
求
lim
n? ?
xn
.
注意 在取极限前应该先证明数列 xn 有极限. 这时常用的一个方法是先证明数列 xn 单调有界.
? ?xn?是单调递增的 .
又? x1 ? 3 ? 3, 假定 xk ? 3,
则有 xk?1 ? 3 ? xk ? 3 ? 3 ? 3,
? ?xn?是有界的 ;
?
lim
n? ?
xn
存在.
设 lim n? ?
xn
?
A,
? xn?1 ? 3 ? xn ,
? xn2?1 ? 3 ? xn ,
两边取极限得
lim
n? ?
xn2? 1
?
lim(3 ?
n? ?
xn ),
即 A2 ? 3 ? A ,
解得 A ? 1 ? 13 , A ? 1 ? 13
2
2
?
lim
n? ?
xn
? 1 ? 13 . 2
(舍去)
形如 [ f ( x)]g( x)的函数(f(x), g(x )是初等函数 ),
其中f(x)>0且 f(x )?1,称之为幂指函数 .
x? 0
? lim sin x ? 1. x? 0 x
BD
1
x OC
A
例4 用夹逼准则证明: lim sin x ? 0 x? 0
重要极限
(一) lim sin x ? 1 x? 0 x
注意区别：lim xsin 1 ? 0,
x? 0
x
lim sin x ? 0 x?? x
例1 求 lim tan x x? 0 x
即 0 ? sin x ? x ? tan x , 即? co1s x ? s1in? x ?11,,
当?
?
?
x
?
tan 0 时,上式也成立.
x
x x sin x
? 2
? 当 0 ? | x |? 时,有 cos x ? sin x ? 1,
2
x
? lim cos x ? 1, lim1 ? 1,
x? 0
(1) yn ? xn ? zn (n ? 1,2,3? )
(2)
lim
n? ?
yn
?
a,
lim
n? ?
zn
?
a,
则数列
(
xn
)?n?
1的极限存在,
且
lim
n? ?
xn
?
a.
注意 用夹逼准则求极限 , 关键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn 的极限相同且容易求 .
例1 求 lim( 1 ? 1 ? ? ? 1 ).
例4 重要极限 lim(1 ? 1 )x ? e
x? ?
x
定义 lim(1 ? 1)n ? e.
n? ?
n
1
说明: 此极限也可写为 lim(1 ? x)x ? e x? 0
lim(1 ? 1 ) x ? e
Leabharlann Baidu
x? ?
x
定义 lim(1 ? 1 )n ? e
n? ?
n
设
xn
?
(1
?
1 )n n
? 1 ? n ?1 ? n(n ? 1) ? 1 ? ? ? n(n ? 1)? (n ? n ? 1) ? 1
lim( 1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1.
n? ? n2 ? 1 n2 ? 2
n2 ? n
例2 (1) 求 lim n 1n ? 2n ? 3n . n? ?
(2)
设
a1,a2 ,a3
为正实数，求
lim n
n? ?
a1n
?
a2n
?
a3n .
lim n
n? ?
a1n
?
a2n
?
a
n 3
?
max{a1 , a2 ,a3 }
第五节
? 极限存在准则 ? 两个重要极限 ? 小结
极限存在准则 两个重要极限
基本要求： 1. 理解极限存在的夹逼准则 . 2. 了解单调有界收敛准则 . 3. 会用两个重要极限去求其它极限 . 要记住两个重要极限的各种形式 ,并能熟练应用 .
一、夹逼准则
1、关于数列收敛的 夹逼准则
若数列 ( xn )?n?1 , ( yn )?n? 1 ,(zn )?n?1 满足下列
x
x
则 lim f ( x) 存在 , 且 lim f ( x) ? A .
x
x
例3 证明重要极限 lim sin x ? 1
x? 0 x
证明
设单位圆圆心角 ?
AOB ?
x (0 ?
x
?
?
).
2
过点 A作单位圆的切线 , 得? AOD ,
过点 B 作 BC垂线OA ,
则有S? AOB ? S扇形AOB ? S? AOD