角动量定理及角动量守恒定律
角动量定理 角动量守恒定律
.
f2
N2
2
l mg O
f1 l 1 2mg N1
由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端，因此球 1 脱离 细杆时细杆与水平线夹角也为
1
6
因轻杆没有质量，球 1 一旦脱离轻杆，球 2 与轻杆间的相互作用 立即消失，此后球 2 只受重力作用而作斜抛运动，其初速度：
若M 0 L L0 ——质点系的角动量守恒
内力不改变系统的总角动量
t0
例 6.1 如图，质量为 m 的小球，拴于不可伸长的 轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其 半径为 R，角速度为 ，绳的另一端通过光滑的竖 直管用手拉住，如把绳向下拉 R/2 时角速度 为 多少？
m
R
F
解：
L mvR mR
2
R 1 2 L' mv' mR ' 2 4
L L'
' 4
m
R
F
例6.2 如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平 槽内，现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球
A，开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A
以初速度v0 在光滑的水平地面上向右运动。当A运 动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运 动时速度vB的大小。
3gl 2 g sin 1 v0 l 3l 3
y v0 B2 A
0
初速度的方向与水平线的夹角：
0
2 1
3
mg
l O
2 1
x
得任意 t 时刻球2的位置坐标：
角动量定理 角动量守恒定律
量守恒。
13
第3章动量与角动量
例2 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行 星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一
质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。 求 θ角及着陆滑行的初速度。 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒
m
r0
v0
v
R
OM
质点的动量矩守恒 1 GMm 1 2 GMm 2 mv 0 mv 2 r0 2 R
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
d1
m v
d3
d2
解
4
LA d1mv LB d1mv LC 0
第3章动量与角动量
B
C
二、力对定点的力矩 定义 为力对定点O的力矩 M r F 大小： M r F sin
方向：垂直 r , F 组成的平面 M ML2T 2 SI Nm 量纲：
r r r M r F 0
L
r L mvrsin m rsin t 1 r r rsin S 2 2m 2m t t
12
r r r L r m C
r r F
r
m
掠面 速度
行星对太阳的位矢在相等 的时间内扫过相等的面积
i i
L Li ri Pi
P2 r2 o
P 1
r1
质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参 考点的动量矩的矢量和
dLi 2. 质点系的动量矩定理 M i dt i i M M i ri Fi ri fi
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
角动量及角动量定理
dL
vi
mivi
ri
L r p
Fi Mi
～角动量
dt
在惯性系中，作用于质点的合外力对某定点的力矩 等于质点对该点的角动量的时间变化率。
1
二、质点的角动量守恒定律
M 0 M
dL dt
t2
M
d
t
t
1
t2 t
d
L
0
L2
L1
1
在惯性系中，如果作用于质点的合外力对某定点的 力矩恒为零，则质点对于该点的角动量恒定。
例六：对于质量为 m 的质点的匀速直线运动的情形。
解①：如图选择惯性系中的定点，
r
M 0 L r mvsin mvh o
解②：如图选择惯性系中的定点，
mv
h
M 0 L r mvsin 0
r
mv
2
三、质点系的角动量定理及其守恒定律 i fij
1. 角动量定理：
ri
Mi ri(Fi
i j
fij
)
d Li dt
f ji
o
rj
j
ri f ij
M
rj f ji Mi
ri f ij r j ri Fi
f ij
d Li dt
( ri d
dt
(
r j)
Li)
f ij
0 dL dt
在惯性系中，作用于质点系的诸外力对某定点的力 矩和等于各质点对该点的角动量和的时间变化率。
§2.3 角动量定理及角动量守恒定律
一、质点的角动量定理
对于标量，定义了第一质量矩： miri M rc
对于矢量，有力矩：Mi
ri F
§5.2 角动量定理及其守恒律
f2
r2
内容
⒈质点系对点的角动量定理:
M外 dL dt
质点系在碰撞过程中对o轴的角动量守恒
o
⊙ 正方向
胶泥碰前速度
v0 2gh
h
m'
v m vo
m v
据角动量守恒
m' 2ghR (m'm)vR mvR
v
m' 2 gh m ' 2m
例1：人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动， 地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的( (A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒． (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． )
⒋质点对轴的角动量守恒定律：
若M z 0，则Lz = C
说 明
在应用角动量定理或角动 量守恒定律时，力矩和角动 量必须选取惯性系中的同一 参考点或同一参考轴.
o'
α L
T
o
F
mg
角动量守恒与选取的参考点或参考轴有关。
M o
Fl cos
L o'
mvl ,
例1
解得：v1 5.91104 m / s; v2 3.88 104 m / s
二、质点系的角动量
第i个质点对o点的角动量
Li ri P i
P2
r2
P 1
质点系对o点的角动量
dLi ri Fi ri f i 对 mi 使用角动量定理： dt
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
角动量定理、角动量守恒定律
在 M d L 中 ，若 M 0 dt
即：J J
1
2
M 0 的原因可能有：
则 L常量
（1） F 0 （不受外力）
（2）外力作用于转轴上
（3）外力作用线通过转轴
（4）外力作用线与转轴平行
以上几种情况对定轴转动均没有作用，则刚
体对此轴的角动量守恒。
角动量守恒定律也适用于定轴转动系统。
例1：一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂伸 直水平地举起两哑铃，在该人把此二哑铃水平收缩 到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统 的：
（A）机械能守恒，角动量守恒 （B）机械能守恒，角动量不守恒 （C）机械能不守恒，角动量守恒 （D）机械能不守恒，角动量不守恒
选C
像其他所有行星一样，太阳是由大量的灰尘雾和早 先充满宇宙空间的气体所组成。在几十亿年的时间内， 这些物质在引力的吸引下，慢慢缩聚起来，刚开始的时 候，这些气体团旋转的很慢，后来随着它们体积的缩小， 旋转速度不断提高，这个道理就和滑冰运动员把自己的 双臂逐渐收拢起来的时候，她的旋转速度就会不断加快 的道理一样。缩聚和旋转速度的加快，使组成太阳的物 质变成一个碟子般的东西。
2、刚体的角动量定理 在定轴转动中
MJaJddJ
dt dt
积分形式：
0 tM d tL L 1 2d L L 2 L 1 J2 J1
左边为对某个固定转轴的外力矩的作用在某段时间内 的积累效果，称为冲量矩。 右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。
3、角动量守恒定律
盘状星系——角动量守恒的结果
例2：有一个半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖 直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀 角速度 0 转动，此时有一质量为m的人站在转台中 心。随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时 转台的角速度为：
1-6 角动量定理 角动量守恒定律
r
mv
dL ˆ M m g v0 t k dt
直接用力矩的定义求？
例3：如图，一质量为m的小球由一细绳系着，以角速 0在无摩擦的水平面上绕半径为r的圆周运动。如果 度 在绳的另一端作用一铅直向下的力F。在某一时刻小 球的运动半径变为r/2. 试求：(1)小球新的角速度；(2) 拉力所作的功。 v N 解： （１） 分析 重力不产生力 r O 矩，平等于转轴；Ｆ也没有力矩， 通过转轴。因此角动量守恒。 mg F r 2 2
其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。
解：已知 r a cos ti b sin tj
dr v
L r mv
dt
a sin ti b cos tj
2 2 mab cos tk mab sin tk mab k
若 M 合外力矩 0 d L 则： 0 L 恒矢量 dt
涡旋星系
2、守恒定律表明尽管自然界千变万化，变换无穷， 但决非杂乱无章，而是严格地受着某种规律的制约， 变中有不变。这反映着自然界的和谐统一。
例题2. 一质量为m的质点以速度 v 从参考点平抛出去， 0 用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。 L 解： Z ˆ ˆ v v0 i g t j M X v0 ˆ 1 2ˆ O
设：在合外力矩M的作用下， 时间内 系统的角动量从
t2 L2 L1
t1 t2
称为力矩的角 冲量或冲量矩
L1 L2
对上式积分：
Mdt dL L2 L1
t1
角动量定理（积分形式）
作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。
-角动量定理角动量守恒定律
太原理工大学物理系
结论： 1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lxi Ly j Lzk M Mxi M y j Mzk
质点系对x轴的角动量定理
Mx
dLx dt
太原理工大学物理系
质点系的角动量守恒定律可以表示为三 个分量形式
解：小球的合外力矩为 0 ，故角动量守恒 。 有：
L = mvr = 恒量 即： m v1 r1 =m v2 r2
v2
r1v1 r2
太原理工大学物理系
五、质点系的角动量与角动量守恒
1.质点系对定点的角动量
P2
第i个质点对o点的角动量
r2
Li ri Pi
o
质点系对o点的角动量
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
太原理工大学物理系
可以证明：内力 对定 点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
有 M
ri Fi
i
M外
dL dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角动量的
时间变化率等于质点系对该点的合外力矩。
力矩在y轴方向的分量
M y zFx xFz
力矩在z轴方向的分量
M z xFy yFx
太原理工大学物理系
力矩在某一方向的分量称为力对该轴的力矩。
当质点在oxy平面内运动时，质点
z 所受的力也在该平面时，角动量和力
矩只有在z轴有分量。
Lx 0 Ly 0 Lz L
Mx 0 My 0 Mz M
角动量定理和角动量守恒定律
O
M
l
l /2
1 1 2 2 l 0 = Ml ω + (Mg ) 2 3 2
3g ω= l
m
第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 1 1 2 1 2 ′ + mVl = ( M + m)lV ， V = ω′l Ml ω = Ml ω 3 3 3
t2
∫
例：水平面内，均质杆 (M, l) 水平面内， 子弹 (m,V ) 击穿杆的 自由端后速度降为 V / 2 求：杆转动的角速度 ω 解：角动量守恒 3mV V 1 2 mVl = m l + Ml ω ， ω = 2Ml 2 3
O
M
l
ω
m
V /2
V
例：rA = 0.2m ，mA = 2kg
ω0A = 50rads rB = 0.1m ，mB = 4kg ω0B = 200rads 1
dL d dω = (Iω) = I = Iβ = M dt dt dt dL = M ：角动量定理 dt dL = Mdt
L = ∫ Mdt
t1 t2
y
x
如果 M = 0 ，则 L = C ：角动量守恒定律 非刚体， 一般随时间变化， 非刚体， I 一般随时间变化， M = Iβ 不成立 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 定轴转动， dL = M ， dL = Mdt ， L = Mdt 定轴转动， dt t1 L = C ， L = Iω ， M = Iβ
如果合外力矩 M = 0
例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点 A和 O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩， 小球受到的张力矩，重力矩， LA 合力矩和角动量 对 A: M = R ×T = 0
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。
5-2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
若质点系的所有质点均分别在与 z 轴垂直的平 面内运动，且一共同的角速度绕 z 轴作圆周运动， 则质点系对 z 轴的角动量为
Lz ri mi vi mi ri
i i
2
当质点系对轴的角动量守恒时：
ri 变小，则
M z 0 ，Lz 常量
增大；
ri 变大，则
减小.
质点系对轴的角动量定理
质点系对轴的角动量定理
dLz Mz dt
如果在一个过程中，质点系所受的外力 对 z 轴的力矩始终保持为零，则质点系对该 轴的角动量守恒.
M z 0 ，Lz 常量
质点系对轴的角动量守恒定律
当内力矩远大于外力矩时，质点系对轴的角动量 也是守恒的. （例：P170例1）
在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
dLy dLx dLz M x M ix , My , Mz . dt dt dt
• 如果只考虑上式中某一个分量，例如 z 分量，则 表现为对轴的特征：即质点系对于 z 轴的角动量对时 间的变化率等于质点系所受一切外力对 z 轴力矩的代 数和，叫做质点系对 z 轴的角动量定理。
ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0
ri fij 0
i i j
成对出现的内力对参考点的力矩矢量和为零. 由于系统内力总是成对出现，则系统内力矩的矢量和为零. • 可见，系统的内力矩只能使系统内各质点的角动量改变， 但不能改变质点系总的角动量。
如果在一个过程中，始终无外力矩作用或所受 的外力矩为零，则质点系的总角动量守恒 .
M外 0 ，L 常矢量
质点系对某一固定点的角动量守恒定律
物理-角动量定理与角动量守恒定律
dt
dt
i
当质点系相对惯性系中某给定参考点的合外力 矩为零时，该质点系对同一参考点的总角动量保持 不变。
——角动量守恒定律
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
Hale Waihona Puke 说明1、同一问题中应 用角动量定理或判断角动量守恒时， M 与 L 必须相对同一参考点计算！
2、如果相对某一特殊参考点，合外力矩为零，系统只 只对这一特殊点角动量守恒，但相对其他参考点的 角动量不一定也守恒；
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
说明
3、关于角动量守恒与动量守恒的条件：
一般地
(ri Fi ) 0 与
Fi 0 彼此独立！
角动量守恒与动量守恒也是相互独立的。
例：行星在绕太阳的公转过程：动量不守恒，
但对太阳的角动量守恒。
MS
rF
0
z LS
LS
r m
恒矢量
S
如直角坐标系中。沿 z 轴分量式为：
当 Mz Miz 0，则Lz Liz 恒量
5. 适用范围：惯性系；
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
银河系
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
初始角动量
径向
轴向
引力 收缩
L守恒
引力 收缩
速度增大 离心力增大
引力 收缩
达到平衡
高速旋转的盘形结构
dL L2 (t2 ) L1(t1 )
t1
L1 (t1 )
—— M在时间t t2 t1内的角冲量（冲量矩）
（积分式）
对同一参考点，质点所受合力在某一时间内的 角冲量等于同时间内角动量的增量 。
说明
•直角坐标系中的分量式（如Z轴分量式）：
第5节 角动量定理、角动量守恒定
解 (1) 在图(a)中由圆心O点向质量m引矢量 r0 ，则
L0 r0 mv
其方向垂直于轨道平面沿OB方向向上，因为 r0 ⊥mv，故
L0 r mv mr 2
即圆锥摆对圆心O点的角动量 L0 是个沿OB向上的大小和方向都不变的恒矢量.
16
在图(b)中，由悬点B向在某位置P处的质点m引矢径
L
0
·
r
mv
L r mv
螺旋法则确定。 注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量 L 画在参考点上。
角动量是矢量，角动量 L 的方向垂直于 r 和 mv 所组成的平 面，其指向可用右手
L 的大小为 L r mv sin
★ 在直角坐标系中
mv mv x i mv y j mv z k
2
l mv mlr
(2) 如图(c)，质点m所在位置对于圆心O，张力T的力矩为
M T0 r0 T
其方向垂直于纸面向外，大小为
M T0 r0T sin r0T cos
因在竖直方向有Tcosθ＝mg，所以
M T0 r0 mg
17
此时重力对圆心O的力矩为
M mg0 r0 mg
Lz r sin mv r mv
Lz
Lz r mv sin r mv
r
mv
mv
☆ 质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量 在转动平面内的分量； 或运用坐标分量式求得：
Lz x mv y ymv x
10
2.5.2 质点的角动量定理
Fx
Fy
Fz
M z xFy yFx
角动量定理角动量守恒定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
大学物理——角动量定理和角动量守恒定律
解：把飞船和排出的 废气看作一个系统， 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量，
dm/2
u
Lg
r
L0
u dm/2
上页 下页 返回 退出
所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即
L0＝J
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体
， 这 些 气 体 对 中 心 轴 的 角 动 量 为 dm·r(u+v) ， 方 向
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A
上页 下页 返回 退出
解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs
l
（5）
上页 下页 返回 退出
当’取正值，则棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
上页 下页 返回 退出
数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示，定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为： θsin Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。
二、力对转轴的力矩：力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M；2）刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩，用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θsin Fr M ＝其中θ是F 与r的夹角。
3）若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力1F，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F才对刚体的转动状态有影响。
对于定轴转动，力矩M的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。
三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。
本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。
下面将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。
1．质点的角动量（Angular Momentum ）——描述转动特征的物理量 1）概念一质量为m 的质点，以速度v运动，相对于坐标原点O 的位置矢量为r，定义质点对坐标原点O 的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积，即v m r P r L⨯=⨯= 角动量是矢量，大小为 L=rmv sin α式中α为质点动量与质点位置矢量的夹角。
角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。
角动量的单位： kg.m 2.s -1 2）说明：（1）大到天体，小到基本粒子，都具有转动的特征。
但从18世纪定义角动量，直到20世纪人们才开始认识到角动量是自然界最基本最重要的概念之一，它不仅在经典力学中很重要，而且在近代物理中的运用更为广泛。
例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。
原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。
这叫做角动量的量子化。
因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。
（2）角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。
对于不同的参考点，同一质点有不同的位置矢量，因而角动量也不相同。
因此在说明一个质点的角动量时，必须指明是相对于哪一个参考点而言的。
（3）角动量的定义式v m r P r L⨯=⨯=与力矩的定义式F r M ⨯=形式相同，故角动量有时也称为动量矩——动量对转轴的矩。
（4）若质点作圆周运动，r v⊥，且在同一平面内，则角动量的大小为L=mrv=mr 2ω，写成矢量形式为ω 2mr L =（5）质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量r变化，但是质点的角动量L 保持不变。
L=rmv sin α=mvd2．质点的角动量定理（Theorem of Angular Momentum ） （1）质点的转动定律问题：讨论质点在力矩的作用下，其角动量如何变化。
设质点的质量为m ，在合力F的作用下，运动方程为()tv m t v m a m F d d d d=== 用位置矢量r 叉乘上式，得()tv m r F r d d⨯=⨯考虑到()()v m t r v m t r v m r t⨯+⨯=⨯d d d d d d和 0d d =⨯=⨯v v v tr得 ()v m r tF r⨯=⨯d d由力矩 F r M ⨯＝和角动量的定义式()v m r tL⨯=d d得 tLM d d ＝表述：作用于质点的合力对参考点O 的力矩，等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率，有些书将其称为质点的转动定律（或角动量定理的微分形式）。
这与牛顿第二定律t P F /=在形式上是相似的，其中M 对应着F ，L 对应着P 。
（2）冲量矩和质点的角动量定理把上式改写为 L t M= dt M为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。
对上式积分得1221L L t M t t-=⎰式中1L 和2L 分别为质点在时刻t 1和t 2的角动量，⎰21t t t M为质点在时间间隔t 2- t 1内所受的冲量矩。
质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。
成立条件：惯性系3．质点的角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum ） 若质点所受的合外力矩为零，即M =0，则＝恒矢量＝v m r L⨯这就是角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。
说明：(1)质点的角动量守恒定律的条件是M =0，这可能有两种情况：● 合力为零；● 合力不为零，但合外力矩为零。
例如：质点作匀速圆周运动就是这种情况。
质点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力是指向圆心的所谓有心力，故其力矩为零，所以质点作匀速圆周运动时，它对圆心的角动量是守恒的。
不仅如此，只要作用于质点的力是有心力，有心力对力心的力矩总是零，所以，在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。
太阳系中行星的轨道为椭圆，太阳位于两焦点之一，太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考点O ，则行星的角动量是守恒的。
特例：（1）在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的； （2）匀速直线运动。
（2）角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。
在研究天体运动和微观粒子运动时，角动量守恒定律都起着重要作用。
[典型例题]1、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为ML 2/3．一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v /2，则此时棒的角速度应为(A) ML m v ． (B) ML m 23v ． (C) ML m 35v． (D) ML m 47v ．解：角动量守恒 L m ML mvL v 2231+=ω,ML m 2v 3=ω, ∴ 选（D ） 2．在一光滑水平上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量m=1kg 的滑块，如图所示。
弹簧自然长度l 0=0.2m ，倔强系数k=100N ·m -1。
设t=0时，弹簧长度为0l ，滑块速度v 0=5m ·s -1，方向与弹簧垂直。
在某一时刻，弹簧位于与初始位置垂直的位置，长度l=0.5m 。
求该时刻滑块速度v 的大小和方向。
v 21v俯视图解：θsin 00 mv mv =解得202030,/4)(==--=θs m v v m k3．假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的 (A) 角动量守恒，动能也守恒． (B) 角动量守恒，动能不守恒．(C) 角动量不守恒，动能守恒． (D) 角动量不守恒，动量也不守恒． 提示：卫星所受唯一外力为万有引力，是“有心力”，故角动量守恒；该外力不做功，故动能守恒。
4．若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩____________（填一定或不一定）为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是 ____________．提示：反例如：合力为0，但合力矩不为0，此时动量一定守恒。
5．一根长为l 的细绳的一端固定于光滑水平面上的O 点，另一端系一质量为m 的小球，开始时绳子是松弛的，小球与O 点的距离为h ．使小球以某个初速率沿该光滑水平面上一直线运动，该直线垂直于小球初始位置与O 点的连线．当小球与O 点的距离达到l 时，绳子绷紧从而使小球沿一个以O 点为圆心的圆形轨迹运动，则小球作圆周运动时的动能E K 与初动能E K 0的比值E K / E K 0 = _______________ ．提示：小球运动过程角动量守恒：0mv h mvh =⇒ 0v h v l = ⇒ 22220v h v l =6．如图所示，在中间有一小孔O 的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量m = 4 kg 的小块物体．绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住．开始时物体以半径R 0 = 0.5 m 在桌面上转动，其线速度是4 m/s ．现将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径．而绳最多只能承受 600 N 的拉力．求绳刚被拉断时，物体的转动半径R 等于多少？提示：N 、G 合力矩为0，T 为有心力，故物体角动量守恒： 00mv R mvR = ① 又有拉力提供向心力：2mv T R =② 联立①②可解7．在光滑的水平面上，有一根原长l 0 = 0.6 m 、劲度系数k = 8 N/m 的弹性绳，绳的一端系着一个质量m = 0.2 kg 的小球B ，另一端固定在水平面上的A 点．最初弹性绳是松弛的，小球B 的位置及速度0v如图所示．在以后的运动中当小球B 的速率为v 时，它与A 点的距离最大，且弹性绳长l = 0.8 m ，求此时的速率v 及初速率v 0．提示：小球受G 、N 、T ，前两项力矩之和为0，后者为有心 力。
故小球角动量守恒：00sin 30mv d mvl = ① 又滑动过程中只有T 作功，故小球与弹性绳机械能守恒：22200111()222mv mv K l l =+- ②联立①②可解。
O20212212021)( -+=k mv mv ABd0.4 m30°v。