点到直线的距离公式

（师边听边按照学生6的叙述作图。如图 并板书：（2）构造 ，利用面积相等，即 = ）
师：学生6另辟蹊径，打开了构造之门。你们看，他构造了一个 ，而我们所需求的线段恰好转Biblioteka Baidu为△PAB斜边上的高。很好！从无三角形到有三角形——“无中生有”有创意！
（设计意图：及时总结，升华。也学生意识不到自己正在构造，创新，老师的点拨可以使他们意识到自己的行为，从而，实现正迁移，进而解决其它问题。）
（师擦去直线PA，如图）
师：（坚定）学生8有较强的简化意识，这可是数学家应具有的品质，但他遇到了困难，我们能帮帮他吗？
（发现有横在面前的难题，大家都积极思考。片刻）
（设计意图：数学追求过程的简洁，结果的简洁。鼓励学生不断地改进法，策略，可促使学生思维深刻。同时发挥学生的主动性,通过让学生自主探索,培养学生研究问题及解决问题的能力.）
（左图，黑色线代表台风路线，右上角紫色区域代表台北市）
（设计意图：联著名数学家A.R辛钦说过；“我想尽力做到引进新概念、新理论时，学生先有准备，能尽可能地看到这些新概念、新理论的引进是很自然的，甚至是不可避免的。我认为只有利用这种法，在学生面才能非形式化地理解并掌握所学到的东西”因此，通过实际问题，创设情境，呼应数学来源于生活，激发学生学习的兴趣和探讨问题的欲望。）
生11（愣了一下）：全体实数，因为被开数是恒大于等于零的。
师（稍激动）：点到直线的距离，实质上是点到直线上所有点中距离最小的点所对应的值！学生11恰好利用了这个最小值的性质。好样的！
（板书：（5）构造函数，利用函数最小值）
（掌声又响起）
（设计意图：数学的抽象性可通过函数窥见一斑，能把定点和垂足间的距离与定点和直线上其它点的距离联系起来，可见学生的思维开始深刻起来。老师应该及时地诠释给其他同学听并给与生11鼓励和肯定。）
（学生5表述时，师在黑板上画出点和直线）
师：回答的好极了！学生5不仅抽象出了数学模型，而且给出了解题法。（屏幕显示：已知点P（3，4），直线的程为求点P到直L的距离？）他的法，实质上是把定义演绎了一遍。你们看“点到直线的距离”的定义，不正是这样叙述的吗？下面让我们共同来看看用定义的法解题的步骤。
（数学概念是学生能顺利分析问题、转化问题的必要条件，用上述法求解点到直线的距离，思路最自然的原因，就是学生对其概念已经认知）
（掌声响起）
生7：不用面积关系，用△PAH和△BAP相似 可知 即可求出∣PH∣。 （生齐答：对！）
（师板书：（3）通过三角形△PAH和△BAP相似 ）
生8：（面带犹豫）我想，学生6作两条平行线构造出直角△PAB，如果只作一条平行线比如说PB也可构造出直角三角形，在直角三角形PBH中应该也能求出∣PH∣，但我还没有想出该怎样求？
（冷不妨学生10提出这样的问题，大家稍愣了一下。马上意识到有必要研究这个问题。片刻）
( 还是)生9：没问题！如果倾斜角是锐角，则∠P和它相等！如图
其他同学都如有所思地齐说：对，对。
师：这是我们探讨出的第四种法，它利用了三角函数
的相关知识，既用形又用数，把数和形完美的结合起来！
简化了问题。
（板书：（4）构造三角形，利用三角函数，通过∣PH∣=∣PB∣∣COSθ∣）
（预案2 ）
（设计意图：数学具有很强的逻辑性，动脑动手必须相结合。在黑板上一步一步展示知识产生的过程是必要的。同时，也给学生留有思考理解的空间。）
（板书：（7）构造向量，利用向量）
（学生板书：首先，在直线上任取一点，不妨取直线和Y 轴的交点M（ ）则 ， 又直线的法向量 （1， ）
∴
= = ）
师：我们得到一个具有一般性的结论。但由于推导公式的过程中A≠0 且B≠0，那么，如果，A=0或B=0时，我们推导出的公式还能用吗？
(设计意图:数形结合思想是中学数学重要的思想法。老师应该适时地强调。)
生11：老师，我没有用形仅用数也可以求解！你看，如果在直线上任选一点M（x,y）,则因为点M在直线上，
所以 ，
则∣PM∣= ，然后，求这个函数的最小值就行了。
师：噢！原来转化为函数求最小值的问题了。那函数的定义域是什么?
(设计意图:解数学应用题时，从中抽象出数学模型，如果是函数问题时，学生很易忽视定义域，即自变量的取值限制。因而，虽然此处函数的定义域是全体实数，所以仍作了强调。)
（热烈的掌声响起。师生共同鼓掌）
师：真是太棒了！充分利用直线程中的已知资源。仅通过直线程的系数便把∣COSθ∣求出，进而解决问题。即简化了构造的图形，又减少了运算量，真是一箭双雕！妙！
（忍不住再次鼓掌）
（设计意图：及时鼓励是使学生保持较高的积极性，较强烈的参与性的重要手段）
生10：（突然小声地说）如果直线的倾斜角是锐角呢？
生9：(边站起，边大声高兴地叫道)我解决这个问题了！
师:(笑)恭喜你！那快把你的案说给我们听听。
生9：首先，作为斜边的∣PB∣易求，欲求∣PH∣可考虑边边关系
但∣BH∣不好求，所以排除从边边关系入手的案。现考虑边角关系，已知一边还需一个角，我们知道直线有倾斜角，于是我想△PBH中哪个角和倾斜角 有关？果然，我发现∠P和直线的倾斜角 互补！ 只要在图中延长PB 便知。 现在∣PH∣=∣PB∣COS（ ），因而，只需求｜COSθ∣即可。因为 ， 所以 。这样，问题就解决了。
（设计意图：对于一般性的结论，我们总是希望它的适用围越广越好。这也正是数学高度概括性的体现。同时，对A=0或B=0情况的补充体现了数学思维的密性。）
生14：我们可以来验证一下。如果A=0，则直线程为y= ,点P（x0,y0）到直线y= 的距离d=︱y0 ︱;如代入公式也得到d=︱y0 ︱。所以当A=0时公式适用；同理，当B=0时，公式仍然适用。
因而，欲求点到直线的距离，只需在直线上任选一点M，得到 ， 再选取直线的法向量 ，利用 在 上的投影的绝对值，即
便可求解
（又响起一阵热烈的掌声）
师：（很激动）我发现咱们班藏龙卧虎啊！比较前面的各种法，此种法最抽象，但计算最简单。好，我们就按照学生13的法去求点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0（A≠0 且B≠0）的距离。我请一位同学在黑板上展示推导过程。其它同学自己动手也来推导一下。
六、教学法
以“学生为主体，教师为主导，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想为指导，采用“问题探究”的教学法。通过创设问题情景，引导学生在自主探究与合作交流中构建新知识。
课堂实录：
师：同学们！我们知道，数学像文学作品一样，来源于生活，高于生活，并指导生活。那么，在你的生活中，听说过以下问题吗？它们又是怎样的数学问题？
（多媒体演示）
（设计意图：新教材引入算法的目的——让程序化思想成为我们思考问题的习惯。此环节是为了训练学生有条理的分析问题，渗透算法思想）
师：学生5已经率先找到解决问题的法了。你也是这样想的吗？你还有其它法吗？师在黑板左侧板书：求点到直线的距离的法（1）利用定义；）
（设计意图：对于不同的学生，他们有不同的认知结构，即使在相同的外部刺激下都会有不同的同化和顺应，因而，要相信会有不同的解题法，否则需改变或增加外部刺激。）（关于“同化和顺应”见后注）（预案1）
生3：经过点做已知直线的垂线，垂线的长即点到直线的距离。
生4：不对。怎能是垂线的长，应该是垂线段的长。
师：学生4订正的很好！“垂线段的长”再具体些是不是“点和垂足间的距离”？
（多媒体演示）
点到直线的距离：经过点做已知直线的垂线，点和垂足之间的距离。
师：明确了点到直线的距离的概念后，我们回头看看台风问题：
(2)会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离。
(3)通过自主探究、合作交流等式，培养学生勇于探索、自主探究和发散思维能力和合作互助的团队精神。
（4）通过解题法的多样性，展现数学思维的灵活性和开阔性，使学生体会解析几的魅力。
四、教学重点
点到直线的距离公式的探究过程及公式的简单应用。
五、教学难点
点到直线的距离公式的探究。
生12：我受学生11的启发，又有一种法：因为给一个距离所在的值就会有直线上的两个点和这个值相对应，当且仅当这个值是最小的时候仅有一个点和其对应。所以可以利用这种唯一性解题。令∣PM∣=d= ，则d2=
即
然后利用该程的判别式△=0即可求解d值。
师（很激动）：太棒了！把函数问题转化为程问题。在全体实数上的二次程有两等根即一解时，正好是它的判别式为零时。学生12在学生11的法的基础上，再接再厉，进行了更深层次的思考，展示了函数和程之间的联系。学生12向我们展示了数学思维的深刻性。他的继续探求的行为和习惯值得我们学 习。他的探究能力也让我们佩服！
（板书：（6）构造程，利用程的判别式为零）
（热烈的掌声响起）
（设计意图：教师应该抓住一切适当的机会对学生进行学习习惯的培养，良好品质的培养，同时，通过对学生的表扬，调动其他学生的主动性和积极性。）
生13：我还有一种法，和前面的都不一样！我使用了向量的相关知识。我们知道，向量的数量积的几意义：如图， =d（θ为 的夹角）
师：回答得非常正确！到此，我们使用学生12的法推导出d= 的公式，学生14对其进行了完善。好，现在，让我们来观察这个千呼万唤使出来的公式，它有什么特点？
（设计意图：把知识进行必要的形式化是必不可少的，使知识便与存储记忆。但要适可而止。因为，过度的形式化会加重学生的负担。）
（多媒体演示）
如图，在铁路的附近，有一座仓库，现要修建一条公路使之连接起来，那么怎样设计能使公路最短? 最短路程又是多少?
生1：我们可以从仓库向铁路做垂线，沿垂线段铺设公路可使其最短。
师：很好！将来你肯定是一个合格的工程师。再来看下一个：
（多媒体演示）
报道：9月15号13号台风“珊珊”从太平洋出发以近直线型路线运动，如图，台风波及区域约直径100海里，请预测台北人民是否需要做台风来临前的相关工作？
(多媒体演示)
若在某给定的坐标系下，在一定的比例尺下，台风的路线所在的直线程为 台北市所在点的坐标为（3，4），此时台风波及区域的直径为10，你
能解决上述问题吗？
（思考，片刻）
（设计意图：呼应数学高于生活，增强学生的建模意识，能抽象出数学模型，为解决问题做准备工作）
生5：这个问题相当于已知点P（3，4），直线的程为求点P到直线L的距离. 我们可以先利用点斜式求直线L的垂线L’的程，然后，直线程和垂线的程联立，可解出垂足坐标，再利用两点间距离公式即可求出点到直线的距离。
二、学情分析
我上课的班级是一中的实验班，从总体上看，本班学生的数学基础比较好，平时肯思考问题，钻研精神强，有较好的自主学习和探究学习能力，同时，学生已掌握直线的程和平面上两点间的距离公式，具备了探讨新问题的一定的基础知识。但学生大容量的自主探究，对课堂教学过程的控制带来一定的难度。
三、教学目标
(1)经历点到直线的距离公式探索过程，抽象出求点到直线距离的步骤；理解用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的法；
生2：如果可以把台北市看作一个点，那么，需要计算台北市到台风路线所在直线的距离，比较这个值和50海里的大小，若该值较大，则台北人民可以高枕无忧，否则，需做准备工作。
师：回答的很好！以上两个生活情景和怎样的数学问题有关？
生齐答：点到直线的距离。
师：什么是点到直线的距离，你能给它下个定义吗？
（设计意图：从感性认识上升到理性认识，用数学语言表述需准确、精炼、具有高度概括性。此处，为了训练学生的表达能力而设计，同时为用定义法求点到直线的距离埋下伏笔。）
教学设计：点到直线的距离公式
一、教材分析
点到直线的距离公式是高中解析几课程中最重要的也是最精彩的公式之一，它是解决点与直线 、直线与直线位置关系的基础，也是研究直线与圆、圆与圆的位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线做准备。教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和法；逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想法来解决数学问题；充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。
（很多学生举起了手）
生6：老师，我有一个新法：过点P分别作X轴，Y轴的平行线，交直线L于A，B两点，再过点P作L的垂线，垂足为H。根据点的P坐标和直线L的程可求点A的坐标，从而∣PA∣易求，∣PB∣ 易求，通过两点间距离公式可求∣AB∣。然后利用 的面积即可表示为 ，也可表示为 ，则可求点P到直线L的距离∣PH∣。