人教A版(2019)必修第二册《第6章 平面向量及其应用》单元测试卷(3)
第六章平面向量及其应用单元测试-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2022—2023学年下学期高一（必修2）单元测试第六章 平面向量考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（重庆市渝东六校共同体2021-2022学年高一期中）下列等式中一定成立的是（）A. B. C. D. 【答案】D【详解】，则不一定成立.选项A 判断错误；.选项B 判断错误；.选项C 判断错误；.选项D 判断正确.故选：D2.设向量，且，则（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【详解】因为，所以因为，所以所以 ，所以故选：A ．3.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A ．B ．8－4C ．1D ．【答案】A【详解】依题意OA OB BA += O A O B AB-=u u r u u u r u u u r 0AB BA += 0AB BC CA ++= BA OA OB =-OA OB BA +=OA OB BA -=u u r u u u r u u r0AB BA +=u u u r u u r r=0AB BC CA AC CA +++=,x y R ∈(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ,//a c b c ⊥x y +=a c ⊥240x -=//b c420y --=22x y =⎧⎨=-⎩0x y +=34332⎪⎩⎪⎨⎧=︒=-+=-+,60cos 2,4)(22222ab ab c b a c b a两式相减整理得ab ＝.故选A.]4.（浙江省衢温“5+1”联盟2021-2022学年高一期中）已知点，，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D. 【答案】A【详解】，，故在方向上的投影向量为故选：A5.在平行四边形ABCD 中，与交于点O ，E 是线段的中点，的延长线与CD交于点F .若，则（ ）A．B ．C ．D ．【答案】C6.△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则·的值为( )A ．79 B ．69C ．5D ．－5【答案】D【详解】由余弦定理得：cos ∠ABC ＝＝＝.因为向量与的夹角为180°－∠ABC ，所以·＝||||·cos (180°－∠ABC )＝5×7×(－)＝－5.故选D.]7.在△ABC 中，，，BC 边上的中线，则（）A. 1 B.C. 2D.【答案】A【详解】设，由为边上的中线，则34(2,1)A -(1,1)B --(1,2)C (3,4)D AB CD11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛ ⎝11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2AB =- ()2,2= CD ABCD 11,22AB CD CD CD CD⋅⎛⎫⋅==-- ⎪⎝⎭ AC BD OD AE ,AB a AD b == EF =11412a b+ 11412a b-11124a b +11124a b -AB BC BC AB AC BC AB ⋅-+2222752875222⨯⨯-+71AB BC AB BC AB BC 713A π∠=2AB =AD AC =,2AC x BC y ==AD BC ,CD y BD y==在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得因为，可得，即在中，由余弦定理得代入可得，解得或（舍），即故选：A8.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，，令⊙.下面说法错误的是（ ）A. 若与共线，则⊙B. ⊙=⊙C. 对任意的，有⊙=(⊙)D. (⊙)2【答案】B【详解】若，，共线，则，依运算“⊙”知⊙，故A 正确；由于⊙，又⊙，因此⊙=－⊙，故B 不正确；对于C ，由于，因此，又，故C 正确；对于D ，,故D 正确.故选: B二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.设，，是非零向量，下列说法不正确的是（）A. 若，则B. 若，则C.D. 若，则【答案】ABDACD △2272cos 4ADC x y y =+-∠⋅ABD △272cos 44y A B y D =+-∠⋅cos cos ADC ADB ∠=-∠227422x y +=+22122y x =+ABC V 22(2)422cos3y x x π=+-⨯⨯⨯2230x x +-=1x =3x =-1AC =(),a m n = (),b p q = ab mq np =-a b a 0b = a b b aR λ∈()a λ b λa b a b ()222a b a b+⋅= (),a m n = (),b p q = 0mq np -=a 0b =a b mq np =-b a np mq =-a b b a(),a m n λλλ=()a b mq np λλλ=- e ()()a b mq np mq np λλλλ=-=-e ()()()()22222222222222()a ba bm q mnpq n p mp nq m p q n p q +⋅=-+++=+++e ()()222222=m npqa b ++= a b ca b = a b = ()0a a b ⋅-= a b= ()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c +=- a b a b a b⊥【详解】A选项，，但向量方向可能不同，故A 说法不正确；B 选项，，可以得到，不一定得到，B 说法错误；C 选项，，C 说法正确；D 选项，，两边平方，化简得：，故夹角为，D 说法错误；故选：ABD10.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．则下列命题正确的是（ ）A ．若a ＝3，b ＝3，B ＝30°，则A ＝60°B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin B C ．若＜cos A ，则△ABC 为钝角三角形D ．若a ＝，b ＝3，c 2+2ab ＝a 2+b 2，△ABC 的面积为3【答案】BC【详解】△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于A ：由于a ＝3，b ＝3，B ＝30°，利用正弦定理，解得sin A ＝，由于0＜A ＜π，所以A ＝60°或120°，故错误；对于B ：当A ＞B 时，所以a ＞b ，根据正弦定理2R sin A ＞2R sin B ，整理得sin A ＞sin B ，故正确；对于C ：若＜cos A ，整理得c ＜b cos A ，故2c 2＜2bc cos A ，结合余弦定理．整理得a 2+c 2＜b 2，故△ABC 为钝角三角形，故正确；对于D ：若a ＝，b ＝3，且c 2+2ab ＝a 2+b 2，利用余弦定理可得2ab ＝2ab cos C ，解得cos C＝，因为0＜C ＜π，所以C ＝，所以S △ABC ＝ab sin C ＝＝，故D 错误；故选：BC ．11.已知，，则以下结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则a b =()0a a b ⋅-= ()a ab ⊥- a b = ()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c +=-a b a b a b a b ⋅=-⋅ ,a b π3bc21a = ()3,4b =//a b r r6a b +=r r a b ⊥a b a b+=-C. 若，则D. 的最小值为4【答案】BD【详解】，则.对于A选项，若，则，所以，或，A 选项错误；对于B 选项，若，则，，，则，，B 选项正确；对于C 选项，若，且，则，或，C 选项错误；对于D 选项，由向量模的三角不等式可得，D 选项正确.故选：BD.12.在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且BC ＝6，AD ＝2，则（ ）A ．△ABC 面积最大值是12B ．cos B ≥C ．||不可能是5D ．【答案】BD【详解】设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于A ，，当AD ⊥BC 时不等式等号成立，所以△ABC 面积最大值为6，故A 错误；对于B ，//a b r r34,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b -r r()3,4b = 5b ==//a b r ra b a b +=± 6a b +=r r 4a b += a b ⊥0a b ⋅= ()2222222a b a ba ab b a b ∴+=+=+⋅+=+ ()2222222a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+ 22a b a b +=- a b a b ∴+=- //a b r r1a = b a b =± 34,55a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 34,55a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭4a b a b -≥-=35BE AD +1135(,)22BE AC ⋅∈在△ABD 中，，当时，不等式等号成立，故B 正确；对于C ，因为，所以，解得，因为，所以，故可能是5，故C 错误；对于，，所以，又，所以．故选：BD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量､，其中，且，则下列与的夹角等于___________.【答案】【详解】利用夹角公式求出向量与的夹角因为，所以，即又，所以，所以所以，所以故答案为：（或120°）.14.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 为△ABC 的面积，且，则角C 等于__________．【答案】.a b 2a b = ()()23a b a b -⊥+ a b23πa b()()23a b a b -⊥+ ()()230a b a b -⋅+= 223520a ab b -⋅-= 2a b = 223580a a b a -⋅-= 2a b a⋅=- 1cos 2a b a b θ⋅==- 23πθ=23π2=⋅S CA CB 4π【详解】因为，所以，所以，因为，则，所以，，所以．故答案为：.15.某人在点C 测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D处，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为 米．【答案】100【解析】由题意得，AB⊥平面BCO，∵BC、BD平面BCO，∴AB⊥BC，AB⊥BD．设塔高AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x，在△BCD中由余弦定理，得BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CD cos120°，∴3x2＝x2+10000+100x，解得x＝100或＝﹣50（舍去）．故塔高为100米．故答案为：100．16.如图，菱形ABCD的边长为1，∠BAD＝60°，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M＝ ，∠EMF的余弦值为 ．【答案】，﹣【详解】根据题意，菱形ABCD的边长为1，∠BAD＝60°，则∠ABC＝120°，F是BC边上靠近点B的三等分点，则＝，则＝+＝+，则||2＝2+•+2＝，故||＝，设∠EMF＝θ，即和的夹角为θ，即和的夹角为θ，E是AB的中点，则＝，＝﹣＝﹣，2cos=⋅=S CA CB ba C12sin cos2⨯=ab C ba C sin cosC C= (0,)Cπ∈cos sin0C C=>tan1C=4Cπ=4π⊂则||2＝|﹣|2＝2﹣•+2＝，则||＝；•＝（﹣）•（+）＝（﹣）•（+）＝×2﹣×2﹣•＝﹣，则cosθ＝＝＝﹣，即∠EMF 的余弦值为﹣；故答案为：，﹣．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知平面向量，，，，且与的夹角为．（1）求；（2）求；（3）若与垂直，求的值．【详解】（1）；（2），（3），，即，解得：.18.如图，在长方形ABCD 中，E 为边DC 的中点，F 为边BC 上一点，且.设，.a b 2= a 1= b a b3πa b ⋅ 2a b +2a b + ()2a b R λλ+∈ λ1cos 2132a b a b π⋅=⋅=⨯=()2222224444412a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=2a b +∴= ()()22a b a b λ+⊥+ ()()220a b a b λ∴+⋅+=()()222428421230a a b b λλλλλ++⋅+=+++=+=4λ=-34CF CB =AB a = AD b =（1）试用基底表示，；（2）若，求证：E ，G ，F 三点共线.【详解】（1）由题，，.（2），则，∴E ，G ，F 三点共线.19.已知平面向量．（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角．求实数的取值范围．【详解】（1）设，因为，所以，因为解得：，或，所以或（2），，因为与的夹角为锐角，所以，，解得：且，即20.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且＝－.(1)求B 的大小；(2)若b ＝，a ＋c ＝4，求a 的值．{},a bAE EF 3458AG a b =+a b AD AD DE AD AE 21+=+=+=+=131313242424EF EC CF AB CB AB AD a b =+=+=-=- 3511348248EG AG AE a b b a a b =-=+--=- 12EG EF =(1,2),(3,2)a b ==--//(2)c a b +c =ca a λb +λ(,)c x y =2(2,4)(3,2)(1,2),+=+--=-a b (2)∥+c a b 2x y =-c = =24x y =⎧⎨=-⎩24x y =-⎧⎨=⎩(2,4)c =-(2,4)-(1,2)a = (1,2)(3,2)(13,22)λλλλλ+=+--=--a b a a λb + ()0222(13)a ab λλλ⎧⋅+>⎪⎨-≠-⎪⎩()()1322200λλλ⎧-+⨯->⎨≠⎩57λ<0λ≠5(,0)(0,)7λ∈-∞⋃C B cos cos ca b+213【详解】(1)由余弦定理得cos B＝，cos C ＝，∴原式化为·＝－，整理得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，∴cos B ＝ ＝＝－，又∵0＜B ＜π，∴B ＝.(2)将b ＝，a ＋c ＝4，B ＝，代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得13＝a 2＋(4－a )2－2a (4－a )·cos，即a 2－4a ＋3＝0.解得a ＝1或a ＝3.21.已知ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若(a−c)sin A +c sin (A +B)=b sin B ．(1)求角B ；(2)若a +c =4，求ΔABC 周长的最小值，并求出此时ΔABC 的面积．【详解】∵sin(A +B )=sin(π−C )=sin C ∴由正弦定理可得(a−c)a +c 2=b 2即a 2+c 2−b 2=ac ，∴cos B =a2+c 2−b 22ac=12，∵B ∈(0,π),∴B =π3．(2)∵b 2=a 2+c 2−2ac cos B =(a +c )2−3ac ，即3ac =16−b 2，由基本不等式可得，∴16−b 2，解得b⩾2，当且仅当a =c =2时取等号，∴b min =2,△ABC 周长的最小值为6，此时△ABC 的面积为S =12ac sin B =3．22.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）已知，且 （在①，③，这三个条件中任选两个补充到横线上），求；（Ⅱ）若，，与交于点，过的直线分别交线段于两点，设，，求的最小值．ac b c a 2222-+ab c b a 2222-+ac b c a 2222-+2222cb a ab -+c a b+2ac b c a 2222-+ac ac 2-2132π1332π32π()cos sin b c A A =-1CA CB ⋅=- π6B =1a =-c 14CD CA = 12CE CB =AE BD F F AD BE ,M N ,CM pCA = CN qCB =p q +【详解】（Ⅰ）由已知得所以，即，所以，，所以．若选①②由，所以由，得，所以由所以，所以，得．所以，．若选②③由，得，又因为，所以由正弦定理所以，若选①③由，所以()sin sin cos sin B C A A =-()sin sin cos sin sin A C C A C A+=-sincos cos sin sin cos sin sin A C A C C A C A +=-cos sin C C =-3π4C =1CA CB ⋅=- cos 1ba C =ab =π6B =ππ12A B C =--=2sin sin a b R A B ==212b R ==a R =b R =2ab ==-R =3π2sin 24c R C ===30B = ππ12A B C =--=1a =sin sin sin c b a C B A ==12b ===2c =1CA CB ⋅=- cos 1ba C =ab =又，所以所以所以…………6分（Ⅱ）设，则因为三点共线，三点共线所以，解得，所以由三点共线，得所以当且仅当，．1a =-b =2222cos c a b ab C=+-)212⎛=+-⋅ ⎝4=2c =CF CA CB λμ=+ 42CF CD CB CA CEλμλμ=+=+ A F E ,,B F D ,,4121λμλμ+=⎧⎨+=⎩17λ=37μ=13137777CF CA CB CM CN p q=+=+ M N F ,,13177p q+=()134377777q p p q p q p q p q⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭…p =q =p q +。
2019-2020学年新人教A版必修二 第六章 平面向量及其应用 单元测试
1、已知()()1,2,1,1a b ==-1.若θ为a 与b 的夹角,求cos θ的值2.若2a b +与ka b -垂直,求k 的值2、已知4a =,3b =,()()23261a b a b -⋅+=.1.求a 与b 的夹角θ;2.求a b +和a b -;3、如图,在OMN ∆中, ,A B 分别是,OM ON 的中点,若(),OP xOA yOB x y R =+∈,且点P 落在四边形ABNM 内(含边界),则12y x y +++的取值范围是( )A. 12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4、如图,已知ABC ∆中, 90A =︒,30B =︒,点P 在BC 上运动且满足CP CB λ=，,当PA PC ⋅取到最小值时, λ的值为( )A.14B. 15C. 16D. 18 5、在ABC ∆中,2,3,1,AB AC AB BC ==⋅=则BC =( )C.6、如图,半径为1的扇形AOB 中, 2,3AOB π∠=P 是弧AB 上的一点,且满足,OP OB ⊥,M N 分别是线段,OA OB 上的动点,则PM PN →→⋅的最大值为( )A. 2B.2 C. 17、平面上有四个互异的点,,,A B C D ,已知()20DB DC DA CB +-⋅=,则ABC ∆的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形8、如果一个物体在力f 作用下产生位移s ,f 与s 的夹角为θ,那么力f 所做的功为( ) A. cos f θ B. cos f s θ C. sin f s θ⋅ D. f s -9、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是∆ABC 的( )A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点10、将力F 分解为1F 、2F 两个分力, 如果已知力1F 的大小和2F 的方向(力2F 与力F 间夹角为锐角θ,如下图所示,则下列命题中不正确的是 ( )A.当1sin F F θ>时,一定有两解.B.当 1sin F F F θ<<时,有两解C.当1sin F F θ=时,有唯一解D.当1sin F F θ<时,无解11、若 , ,且AD BC =uuu r uu u r ,则四边形ABCD 的形状为__________.12、过点(3,2)A -垂直于向量(5,3)n =-的直线方程是__________.13、—条河宽为400m,一船从A 出发垂直到达河正对岸的B 处,船速为20km/h,水速为12km/h, 则船到达B 处所需时间为__________min.14、如图,已知矩形,2,ABCD AD E =为AB 边上的点,现将ADE ∆沿DE 翻折至A DE ∆',使得点A '在平面EBCD 上的投影在CD 上,且直线'A D 与平面EBCD 所成角为30,则线段AE 的长为__________15、连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,记向量(,)a m n =与向量(1,1)b =-的夹角为θ,则θ为直角的概率是__________.答案以及解析1答案及解析：答案:1.已知()()1,2,1,1a b ==-,若θ为a 与b 的夹角,则cos 14a ba b θ⋅===+⋅ 2.若2a b +与ka b -垂直,则()()()22222a b ka b ka k a b b +⋅-=+-⋅-()()252120k k =⨯+-⋅--=, 求得0k =或10k =解析:2答案及解析：答案：1.因为()()23261a b a b -⋅+=, 所以2244361a a b b -⋅-=.因为4a =,3b =,所以2244443cos 3361θ⨯-⨯⨯-⨯=,解得1cos 2θ=-,所以120θ=. 2. 22216243cos120913a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯+=, 所以13a b +=,同样可求22237a b a a b b -=-⋅+=. 解析：3答案及解析：答案：C解析：4答案及解析：答案：D解析：令CA b =,CB a =,在Rt ABC ∆中,由30B =︒可知12b a =, 根据已知CP CB λ=，,得2(+)=cos120PA PC PC CA PC PC CA PC ⋅=⋅+()()22211()24a ab a λλλλ=-=-, 当11428λ-==-时, PA PC ⋅取得最小值.故本题正确答案为D .5答案及解析：∵ 2()1AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=,∴5AB AC ⋅=,即23cos 5A ⨯=, ∴5cos 6A =. 由余弦定理得2222cos 3BC AB AC AB AC A =+-⋅= ,∴BC =故选A.6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：B解析：8答案及解析：答案：B解析：9答案及解析：答案：D解析：因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，所以有()0OB OC OA ⋅-=，即0OB AC ⋅=,所以OB AC ⊥,同理OC BA ⊥,所以点O 是ABC ∆的三条高的交点故选D.10答案及解析：答案：A解析：由向量加法的三角形法则可知,另一个分力1F 的最小值为1sin F F θ=,此时12F F ⊥,则当1sin F F θ=时, 有唯一解;当1sin F F θ<时, 1F 、2F 、F 不能构成一个矢量三角形,故无解;当1sin F F F θ<<时,可构成两个矢量三角形,有两解.所以B 、C 、D 正确.所以选A.11答案及解析：答案：等腰梯形 解析：∵53AD CD =-uuu r uu u r ,∴AB CD P uu u r uu u r ,AB CD ≠uu u r uu u r . 又AB 、CD 无公共点,∴AB CD P . 又∵AD BC =uuu r uu u r ,∴四边形ABCD 为等腰梯形.12答案及解析：答案：53210x y --=解析：设(,)P x y 为直线上一动点,则(3,2)AP x y =-+uu u r , 由0AP n ⋅=uu u r 得5(3)(3)(2)0x y -+-+=,∴Q 直线方程为53210x y --=.13答案及解析：答案：1.5解析：14答案及解析：解析：15答案及解析： 答案：16解析：由向量垂直的充要条件可得,满足题意时有: 0a b ⋅= ,即: 0m n -=,m n =,满足题意的事件有6种,则θ为直角的概率是61666p ==⨯.。
第六章平面向量及其应用达标检测卷 (含答案)高一数学人教A版(2019)必修第二册
∴ ， ， ．
选②，过点 作 延长线的垂线，垂足于 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为对角线 平分 ，所以 ，
所以 ．
19．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由正弦定理可得 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
∵ ，所以 ．
（2）
，
∵ ，∴ ，
所以 ，即 ．
20．【答案】（1） ， ；（2）证明见解析．
①当 时，
②当 是线段 的中点时， ，
③若 为定值1，则在平面直角坐标系中，点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的轨迹是一条线段
④ 的最大值为
A．1B．2C．3D．4
8．已知点P是 所在平面内一点，有下列四个等式：
甲： ；
乙： ；
丙： ；
丁： ．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ABD
【解析】 ， ，
对于A： ， ， ，
故A正确；
对于B： ， ，
故B正确；
对于C：向量 在向量 上的投影是 ，故C错误；
对于D：向量 的单位向量是 ，故D正确，
（1）若M在距离A点4 km处，求点M，N之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小．试确定M的位置，使 的面积最小，并求出最小面积．
22．（12分）如图，在平面四边形 中， ， ， ， 是等边三角形．
2020-2021学年人教A版(2019)高一数学必修第二册第六章平面向量及其应用综合练习卷含解析
第六章 平面向量及其应用考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( ) A ．OA →－OB →＝AB →B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →2．如图，a －b 等于( )A ．2e 1－4e 2B ．－4e 1－2e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 23．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，且λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．1或45．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( )A ．－12 B ．12 C ．－2D ．26．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2C ．2D ． 37．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)8．如图所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．设向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝0，以a ，b ，a －b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是( )A ．0或1B ．2或3C ．4D ．610．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n11．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为34或32 12．给出下列四个命题，其中正确的选项有( )A ．非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°B ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形C ．若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1D ．若OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m的取值范围是m >－34三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝___.14．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是___.15．(2018·浙江，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__217__，c ＝____.16．(2020·江西弋阳一中高二月考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则△ABC 面积的最大值为____. 四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，cos A ＝34，sin B ＝5716，c >4．(1)求b ；(2)求△ABC 的周长.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值.19．(本小题满分12分)(2020·全国Ⅱ卷理)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C . (1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值.20．(本小题满分12分)△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是边BC 的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC .21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile ，问乙船每小时航行多少n mile?22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2＋sin x,1)，b ＝(2，－2)，c ＝(sin x －3,1)，d ＝(1，k )，(x ∈R ，k ∈R ).(1)若x ∈[－π2，π2]，且a ∥(b ＋c )，求x 的值； (2)若函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最小值；(3)是否存在实数k ，使得(a ＋d )⊥(b ＋c )？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.第六章 平面向量及其应用考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( D ) A ．OA →－OB →＝AB →B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0． 2．如图，a －b 等于( C )A ．2e 1－4e 2B ．－4e 1－2e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] a －b ＝e 1－3e 2．3．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，且λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线[解析] OM →＝λOB →＋OA →－λOA →，所以OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，AM →＝λAB →，由λ∈(1,2)可知，A ，B ，M 三点共线，且B 在线段AM 上.4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于( C )A ．1B ．2C ．4D ．1或4[解析] 在△ABC 中，b ＝7，c ＝3，cos B ＝32，由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即7＝a 2＋3－3a ，解得a ＝4或a ＝－1(舍去).故a 的值为4．5．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( C )A ．－12 B ．12 C ．－2D ．2[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋(－2λ，3λ) ＝(1－2λ，2＋3λ)，由(a ＋λb )⊥c ，可得(1－2λ)×4＋(2＋3λ)×5＝0，解得λ＝－2．6．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( D )A ．1B ．2C ．2D ． 3 [解析] 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，得a 2＋b 2－ab ＝c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°. ∴sin C ＝32，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3.7．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD的长为( C )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)[解析] 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得 AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)， 因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC .又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1).在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60° ＝4(3－3).故选C ．8．如图所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( D )A ．2B ．0C ．－1D ．－2[解析] 由平行四边形法则得PA →＋PB →＝2PO →，故(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，又|PC →|＝2－|PO →|，且PO →，PC →反向，设|PO →|＝t (0≤t ≤2)，则(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2t (2－t )＝2(t 2－2t )＝2[(t －1)2－1]. ∵0≤t ≤2，∴当t ＝1时，(PA →＋PB →)·PC →取得最小值－2，故选D ． 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．设向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝0，以a ，b ，a －b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是( ABC )A ．0或1B ．2或3C ．4D ．6[解析] 由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个，1个，2个，3个，4个，故选ABC ．10．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( AB )A ．m (a －b )＝m a －m bB ．(m －n )a ＝m a －n aC ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n[解析] 对于A 和B 属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C ，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；对于D ，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误.故选AB ．11．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ACD ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为34或32[解析] 对于A ，sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形；对于B ，由sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形，B 错误；对于C ，sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2<c 2，∴△ABC 为钝角三角形，C 正确；对于D ，如图所示，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin B b ＝32.而c >b ，∴C ＝60°或C ＝120°，∴A ＝90°或A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34，D 正确.故选ACD ．12．给出下列四个命题，其中正确的选项有( ABC )A ．非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°B ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形C ．若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1D ．若OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m >－34[解析] A 中，令OA →＝a ，OB →＝b .以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故A 正确；B 中，∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，∴|AB →|2＝|AC →|2，故△ABC 为等腰三角形，故B 正确；C 中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1．故C 正确；D 中，∵BA →＝OA →－OB →＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →>0，即3＋3m ＋m >0，∴m >－34.又当BA →与BC →同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m >－34且m ≠12，故D 不正确.故选ABC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝__23__.[解析] 由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·(2a －5b )|a |·|2a －5b | ＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23. 14．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__.[解析] 由于a ⊥b ，由此画出以a ，b 为邻边的矩形ABCD ，如图所示，其中，AD →＝a ，AB →＝b ，∵a ＋b ＋c ＝0，∴CA →＝c ，BD →＝a －b .∵(a －b )⊥c ，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD 为正方形. ∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4．15．(2018·浙江，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__217__，c ＝__3__.[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴7sin60°＝2sin B ，得sin B ＝217，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋c 2－74c ＝12，解得c ＝3．16．(2020·江西弋阳一中高二月考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则△ABC 面积的最大值为[解析] (a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab . 又∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∴2ab cos C ＝ab ，∴cos C ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴16＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，∴ab ≤16．∴△ABC 面积的最大值 S ＝12ab sin C ≤12×16×sin π3＝4 3.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，cos A ＝34，sin B ＝5716，c >4．(1)求b ；(2)求△ABC 的周长.[解析] (1)因为a ＝4，cos A ＝34，sin B ＝5716， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝74，所以由正弦定理可得： b ＝a sin B sin A ＝4×571674＝5．(2)因为由余弦定理可得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得：16＝25＋c 2－2×5×c ×34，整理可得：2c 2－15c ＋18＝0， 解得：c ＝6或32(由c >4，舍去)，所以△ABC 的周长＝a ＋b ＋c ＝4＋5＋6＝15．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值. [解析] (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小.由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210，由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2， 易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5， ∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115. 19．(本小题满分12分)(2020·全国Ⅱ卷理)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C . (1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值.[解析] (1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，① 由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，② 由①，②得cos A ＝－12.因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23，从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3.又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3.20．(本小题满分12分)△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是边BC 的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC .[解析] 如图，B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC →＝(2，－2).设AF →＝λAC →，则BF →＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ).又DA →＝(－1,2)，BF →⊥DA →，∴BF →·DA →＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝23. ∴BF →＝(43，23)，DF →＝BF →－BD →＝(13，23).又DC →＝(1,0)，∴cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →|·|DB →|＝55， cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →|·|DC →|＝55， 又∠ADB ，∠FDC ∈(0，π)，∴∠ADB ＝∠FDC .21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile ，问乙船每小时航行多少n mile?[解析] 解法一：如图，连接A 1B 2，由题意知A 2B 2＝10 2 n mile ，A 1A 2＝302×2060＝10 2 n mile.所以A 1A 2＝A 2B 2．又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，所以△A 1A 2B 2是等边三角形.所以A 1B 2＝A 1A 2＝10 2 n mile.由题意知，A 1B 1＝20 n mile ，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200．所以B 1B 2＝10 2 n mile. 因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h).答：乙船每小时航行30 2 n mile.解法二：如下图所示，连接A 2B 1，由题意知A 1B 1＝20 n mile ，A 1A 2＝302×2060＝10 2 n mile ，∠B 1A 1A 2＝105°，又cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝2(1－3)4， sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝2(1＋3)4， 在△A 2A 1B 1中，由余弦定理，得A 2B 21＝A 1B 21＋A 1A 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos105°＝202＋(102)2－2×20×102×2(1－3)4＝100(4＋23)， 所以A 2B 1＝10(1＋3)n mile由正弦定理，得sin ∠A 1A 2B 1＝A 1B 1A 2B 1·sin ∠B 1A 1A 2＝2010(1＋3)×2(1＋3)4＝22， 所以∠A 1A 2B 1＝45°，即∠B 1A 2B 2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝2(1＋3)4. 在△B 1A 2B 2中，由题知A 2B 2＝10 2 n mile ，由余弦定理，得B 1B 22＝A 2B 21＋A 2B 22－2A 2B 1·A 2B 2·cos15°＝102(1＋3)2＋(102)2－2×10(1＋3)×102×2(1＋3)4＝200， 所以B 1B 2＝10 2 n mile ，故乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h).答：乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2＋sin x,1)，b ＝(2，－2)，c ＝(sin x －3,1)，d ＝(1，k )，(x ∈R ，k ∈R ).(1)若x ∈[－π2，π2]，且a ∥(b ＋c )，求x 的值；(2)若函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最小值；(3)是否存在实数k ，使得(a ＋d )⊥(b ＋c )？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.[解析] (1)∵b ＋c ＝(sin x －1，－1)，又a ∥(b ＋c )，∴－(2＋sin x )＝sin x －1，即sin x ＝－12.又x ∈[－π2，π2]，∴x ＝－π6.(2)∵a ＝(2＋sin x,1)，b ＝(2，－2)，∴f (x )＝a ·b ＝2(2＋sin x )－2＝2sin x ＋2． 又x ∈R ，∴当sin x ＝－1时，f (x )有最小值，且最小值为0．(3)∵a ＋d ＝(3＋sin x,1＋k )，b ＋c ＝(sin x －1，－1)，若(a ＋d )⊥(b ＋c )，则(a ＋d )·(b ＋c )＝0， 即(3＋sin x )(sin x －1)－(1＋k )＝0，∴k ＝sin 2x ＋2sin x －4＝(sin x ＋1)2－5．由sin x ∈[－1,1]，∴－5≤(sin x ＋1)2－5≤－1，得k ∈[－5，－1].∴存在k ∈[－5，－1]，使得(a ＋d )⊥(b ＋c ).。
人教A版(2019)数学必修第二册 第六章平面向量及其应用
人教A 版（2019）数学必修第二册 第六章平面向量及其应用一、单选题(共16题；共32分)1．（2分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足 a ⃗ −b ⃗ =(1,−5) ， a⃗ +2b ⃗ =(−2,1) 则 b ⃗ = （ ） A ．(1,2) B ．(1,−2) C ．(−1,2) D ．(−1,−2)2．（2分）在 ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若 A =π4 ， a =√5 ， b =√2 ，则 ΔABC 的面积等于（ ） A ．12 或 32B ．12C ．√22D ．323．（2分）在△ ABC 中， a =4,A =30∘ ， B =60∘ ，则 b 等于( )A ．4√3B ．6C ．√3D ．94．（2分）已知向量 a⃗ ＝(1，0)， b ⃗ ＝(-3，4)的夹角为 θ ，则sin2 θ 等于 ( ) A ．−725B ．725C ．−2425D ．24255．（2分）已知向量 a ⃗ =(1,2) ， b ⃗ =(m,−1) ，若 a ⃗ ∥(a ⃗ +b⃗ ) ，则实数 m = （ ） A ．12B ．−12C ．3D ．6．（2分）已知向量 a ⃗ =(x −1,2),b ⃗ =(2,1) ,则 a ⃗ ⊥b⃗ 的充要条件是 （ ） A ．x =−12B ．x =−1C ．x =5D ．x =07．（2分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 的夹角为60°， |a |=1 ， |b ⃗ |=2 ，则 |2a −b⃗ |= （ ） A ．2B ．2√3C ．√7D ．18．（2分）在 ΔABC 中， AM 为 BC 边上的中线，点 N 满足 AN ⇀=12NM ⇀ ，则 BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A ．16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 9．（2分）已知 a ⃗ =(x,−4,2) ， b ⃗ =(3,y,−5) ，若 a ⃗ ⊥b⃗ ，则 x 2+y 2 的取值范围为（ ） A ．[2,+∞) B ．[3,+∞) C ．[4,+∞) D ．[5,+∞)10．（2分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足 |a |=2 ， |b ⃗ |=1 ， |a +2b⃗ |=2√3 ，那么 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°11．（2分）已知非零向量 a ⇀ ， b ⇀ 满足 |b ⇀|=4|a ⇀| ，且 a ⇀⊥(2a ⇀+b ⇀) ，则 a ⇀ 与 b ⇀ 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π612．（2分）ΔABC 中所在的平面上的点 D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ 13．（2分）若向量 a ⃗ 与向量 b ⃗ 满足：| a ⃗ |=2，| b ⃗ |=3，且当λ∈R 时，| b ⃗ −λa ⃗ |的最小值为2 √2 ，则向量 a ⃗ +b⃗ 在向量 a ⃗ 方向上的投影为（ ） A ．1 或2 B ．2 C ．1 或3 D ．314．（2分）ΔABC 中， AB =5 ， AC =10 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25 ，点 P 是 ΔABC 内（包括边界）的一动点，且 AP⇀=35AB ⇀−25λAC ⇀(λ∈R) ，则 |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值是（ ） A ．√41 B ．√39 C ．3D ．3√3215．（2分）蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离 √32a 的军事基地 C 和 D ，测得红军的两支精锐部队分别在 A 处和 B 处，且 ∠ADB =30° ， ∠BDC =30° ， ∠DCA =60° ， ∠ACB =45° ，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是 （ ）A ．√64aB ．√62aC ．38aD ．√32a16．（2分）一艘客船上午9:30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距8 √2 海里，则灯塔S 在B 处的（ ） A ．北偏东75° B ．北偏东75°或东偏南75° C ．东偏南75°D ．以上方位都不对二、填空题(共4题；共4分)17．（1分）已知向量 a ⇀=(x,2) ， b ⇀=(2,1) ，且 a ⇀//b ⇀ ，则 |a ⇀|=18．（1分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足 |a |=1 ， b ⃗ =(1,√3) ，若 a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=2 ，则 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为 .19．（1分）如图，在单位圆 C 中， A 为圆上的一个定点， B 为圆上的一个动点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 .20．（1分）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，CB=2，ΔACD为正三角形，则ΔBCD面积的最大值为．三、解答题(共4题；共30分)21．（5分）已知平面向量a⃗=(2,2), b⃗=(x,−1)（I）若a⃗∥b⃗,求x；（Ⅱ）若a⃗⊥(a⃗−2b⃗),求a⃗与b⃗所成夹角的余弦值．22．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√3acosC=(2b−√3c)cosA (Ⅰ )求角A的大小；(Ⅱ )若a=2，求△ABC面积的最大值．23．（10分）已知ΔABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，AD为角平分线．用向量的方法解答：（1）（5分）求AD的长度；（2）（5分）过点D作直线交AB，AC于不同两点E、F，且满足AE⇀=xAB⇀，AF⇀=yAC⇀，求：1x+2y的值，并说明理由．24．（10分）在ΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b，c，记m→=(2sinB,−√3)，n→=(cos2B,2cos2B2−1)，且m→∥n→.（1）（5分）求锐角∠B的大小；（2）（5分）若b=2，求SΔABC的最大值.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】 ∵a −b⃗ =(1,−5)① a⃗ +2b ⃗ =(−2,1)② ②—①得 3b⃗ =(−3,6) ，所以 b ⃗ =(−1,2) . 故答案为： C【分析】由题意两式作差即可求出 b ⃗ 的坐标。
2019统编人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》章节单元测试卷2套含答案解析
第六章《平面向量及其应用》单元测试卷（一）一、单选题1．已知4,3,37a b a b ==-=，则向量a 与b 的夹角是（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．在ABC 中，2CD DB =，则AD =( )A ．1233AB AC + B ．1233AB AC - C ．2133AB AC -D ．2133AB AC +3．若(1,2)a =，(1,0)b =-，则2a b -等于( ) A ．(2,3)B ．(1,3)C ．(3,4)D ．(2,1)4．（2020·浙江高三）已知向量,a b 满足22||2,228a a a b b =+⋅+=，则a b⋅的取值范围是（ ） A．2,2] B．[2]--C．1]D ．[1]5．（2016·湖南高一期末（理））如图，正方形中，M ，N 分别是BC 和CD 的中点，若，则（ ）A. B. C. D.6．已知向量()1,1a =-，()3,b m =，()//a a b +，则(m = ) A ．2-B ．2C ．3-D ．37．（2020·上海高二期中）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A ．45B ．54C ．56D ．12ABCD AC AM BN λμ=+λμ+=35432858．（2020·贵州高二月考）已知平面向量＝（2，4），＝（－1，2），若，则等于（ ）．A ．4B ．2C ．8D ．89．（2020·全国高一专题练习）已知实数m n ，和向量a b ，，有下列说法： ①()m a b ma mb -=-；②()m n a ma na -=-； ③若ma mb =，则a b =； ④若(0)ma na a =≠，则m n =. 其中，正确的说法是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④10．（2020·河南高一期中）若a b a b ==-，则b 与a b +的夹角为（ ） A ．30B ．60C ．150D ．12011．（2020·辽宁高一期中（文））已知平面向量()()3,1,,3,//a b x a b ==-，则x 等于（ ） A ．9 B ．1 C ．-1 D ．-912．（2020·全国高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b ==，则AC =（ ）． A ．a B ．bC ．a b +D ．a b -二、填空题13．（2016·吉林高三月考（文））向量1=a ,2=b ,)2()(b a b a -⊥+，则向量a 与b 的夹角为 ．14．（2020·天津高三期中（理））如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，3,1,BC BD AD ==则·AC AD ＝__________.15．若向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,1,3a b c ===，则|a b c ++|= . 【答案】5或216．（2020·上海市通河中学高二期末）已知向量(1,2)OA =-，(3,)OB m =，OA AB ⊥，则m =_____. 三、解答题17．（2015·上海中学高二期中）已知2a =，1b =，a 与b 的夹角为45︒，求使向量()2a b λ-与()3a b λ-的夹角是锐角的实数λ的取值范围.18．（2020·黑龙江高二期中（文））直线过点(3,1)P -，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点． （Ⅰ）若点P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程； （Ⅱ）若2AP PB =，求直线l 的方程．19．（2020·湖南雅礼中学高一月考）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .（1）设BO x AB y AC =+，求x y +的值；（2）若6AB AC AO EC ⋅=⋅，求ABAC的值.20．（2020·全国高一专题练习）化简：①BC ＋AB ；②DB ＋CD ＋BC ；③AB ＋DF ＋CD ＋BC ＋FA .21．（2020·江苏高一期末）已知向量()()2,,1,6a m b m ==-． （1）若//a b ，求实数m 的值； （2）若a b a b +=-，求实数m 的值．22．（2016·河南高三月考（理））已知→a 、→b 、→c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，－2）.（1）若|c |=，且//c a ，求c 的坐标；（2）若|→b |=1，且→a +→b 与→a -2→b 垂直，求a 与b 的夹角θ的余弦值.参考答案一、选择题 1. 【答案】C【解析】()2220121624cos ,937cos ,,1202a b a ab b a b a b a b -=-+=-+=⇒=-⇒=故选C.2. 【答案】D【解析】因为2CD DB =，故D 为线段BC 上靠近B 点的三等分点， 由向量的定比分点可知：2133AD AB AC =+. 故选：D.3. 【答案】C【解析】由(1,2)a =，(1,0)b =-.()()()221,21,03,4a b -=--=故选：C4. 【答案】B【解析】由||2a =，22228a a b b +⋅+=，得2222||a b b b ⋅=-=-， ∴2||||cos 2||a b b θ⋅=-（θ为a 和b 的夹角），∴22||cos 2||b b θ-=，而|cos |1θ，∴22||12||b b -，()2222||4||b b -，即42||8||40b b -+≤，解得24||42b -≤+∴22||[22a b b ⋅=-∈---+，故选：B5. 【答案】D【解析】以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则()111,,,1,1,122AM BN AC ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵，∴112112λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.[来源:Z|xx|]∴λ+μ=85. 6. 【答案】C【解析】向量a =（﹣1，1），b =（3，m ），∴a b +=（2，1+m ）， ∵a ∥（a b +）， ∴1×2＝﹣1（1+m ）， ∴m ＝﹣3．故选C ．7. 【答案】A【解析】∵0aMA bMB cMC ++=，∴()()a AM bMB cMC b AB AM c AC AM =+=-+-， ∴b cAM AB AC a b c a b c=+++++，又AM x AB y AC =+，∴,b c x y a b c a b c==++++，11b cx y a a b cb c++==++++，由余弦定理得2222227152cos ()44a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-， 由2()4b c bc +≤（当且仅当b c =时取等号），得222215()()()4416b c b c a b c ++≥+-⨯=， AC AM BN λμ=+∴14a b c ≥+，∴141514x y +≤=+，即x y +的最大值是45． 故选：A.[来源学#科#网Z#X#X#K]8. 【答案】D【解析】易得＝2×（-1）＋4×2＝6，所以＝（2，4）－6（－1，2）＝（8，－8），所以＝＝8．故选D ．9. 【答案】B【解析】①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故③不正确；④正确，因为由ma na =，得()0m n a -=，又因为0a ≠，所以0-=m n ，即m n =.故选B[来10. 【答案】A【解析】根据向量运算的集合意义可知以,a b 为邻边的平行四边形为菱形，且ab a b ==-，即三者围成的图形为等边三角形，根据菱形与等边三角形的几何性质可知b 与a b +的夹角为30.11. 【答案】D【解析】由题意3(3)10x ⨯--⨯=，9x =-．故选D ．12. 【答案】C【解析】平行四边形中，AC AB AD a b =+=+，故选C ．二、填空题 13. 【答案】2π【解析】)2()(-⊥+，∴()(2)0a b a b +⋅-=，即222cos ,0a a b a b b +⋅-=，∴cos ,0a b =，即向量a 与b 的夹角为2π． 14. 【答案】3.【解析】()AC AD AB BC AD ⋅=+⋅，且=0AB AD ⋅，则AC AD BC AD ⋅=⋅，设,BD k =，则BC =，∴AC AD ⋅11k=⨯⨯=15. 【解析】向量,,a b c 两两所成的角相等，则夹角可能为0也可能为23π， （1）若夹角为0，则1135a b c a b c ++=++=++=； （2）若夹角为23π，则211cos11()322a b a b π⋅==⨯⨯-=-，同理32a c ⋅=-，32b c ⋅=-， 22222()222a b c a b c a b c a b a c b c ++=++=+++⋅+⋅+⋅2221331132()2()2()222=+++⨯-+⨯-+⨯-＝4，∴2a b c ++=．故答案为5或2．16. 【答案】4【解析】因为向量(1,2)OA =-，(3,)OB m =， 所以()()()3,1,24,2AB OB OA m m =-=--=-OA AB ⊥，则0OA AB ⋅=即()14220m -⨯+⨯-= 解得4m = 故答案为: 4三、解答题17. 【答案】(()6,6【解析】()2a b λ-与()3a b λ-夹角为锐角时，()()()()2222232634630a b a b a a b b λλλλλλλλ-⋅-=-+⋅+=-++>；解得16λ<<；当λ=()2a b λ-与()3a b λ-分别为()26a b -与)3b -同向，夹角为零，不合题意，舍去；∴实数λ的取值范围为(()6,6.18. 【答案】（Ⅰ）360x y -+=；（Ⅱ）690x y -+=【解析】（Ⅰ）设(,0),(0,)A a B b ，则362122a ab b ⎧-=⇒=-⎪⎪⎨⎪=⇒=⎪⎩360x y ⇒-+=． （Ⅱ）(3,1),(3,1)AP a PB b =--=-936269031222a a AP PB x y b b =-⎧--=⎧⎪=⇒⇒⇒-+=⎨⎨=-=⎩⎪⎩．19. 【答案】（1）12-；（2【解析】（1）因为,,E O C 三点共线，所以1(1)(1)3AO t AE t AC tAB t AC =+-=+-， 设AO mAD =，所以()222m m mAO AB AC AB AC =+=+，[来源:学|科|网]所以13212m t m t ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3412t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；所以1144AO AB AC =+，11314444BO BA AO AB AB AC AB AC =+=-++=-+， 所以12x y +=-；（2）因为1166()43AO EC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=⨯+-+ ⎪⎝⎭22312233AB AB AC AC ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭2213||||22AB AB AC AC =-+⋅+又6AB AC AO EC ⋅=⋅， 所以2213||||022AB AC -+=， 得||3||AB AC =，即ABAC= 20. 【答案】①AC；②0 ；③0【解析】①BC ＋AB ＝AB +BC ＝AC ； ②DB ＋CD ＋BC ＝BC ＋CD ＋DB ＝0；③AB ＋DF ＋CD ＋BC ＋FA .=AB ＋BC ＋CD ＋DF ＋FA ＝0. 21. 【答案】（1）3-或4；（2）14【解析】（1）由于//a b ，所以()2610m m ⋅--=，解得3m =-或4m =.（2）将a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，即()2160m m -+=，解得14m =.22. 【答案】（1）()4,2-=c 或()4,2-=c ；（2）553. 【解析】（1）设(),c x y =，则由→→a c //和52=→c 可得2212020y x x y ⋅+⋅=⎧⎨+=⎩， 解得{24-==x y 或者{24=-=x y)4,2(-=∴→c 或)4,2(-=→c（2） →a +→b 与→a -2→b 垂直，∴()(2)0a b a b +⋅-= 即2220,a a b b -⋅-= ∴ 3a b ⋅=， ∴35cos ||||a b a b θ⋅==⋅第六章《平面向量及其应用》测试卷（二）一、单选题1．（2020·山西省大同一中高一月考）下列结论中正确的是（ ）①若//a b 且||||a b =，则a b =；①若a b =，则//a b 且||||a b =；①若a 与b 方向相同且||||a b =，则a b =；①若a b ≠，则a 与b 方向相反且||||a b ≠.A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①2．（2020·上海高二课时练习）已知点O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心 3．（2020·宜丰县第二中学高一月考）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 4．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC∠平分线交①ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（ ）A ．a b +B ．12a b +C ．12a b +D ．23a b + 5．（2020·北京市西城外国语学校高一月考）设向量a ，b 的模分别为2和3，且夹角为60︒，则a b +等于（ ）A B ．13 C D ．196．（2020·大连市普兰店区第一中学高一月考）已知正方形ABCD 的边长2，AB a =，BC b =，AC c =则a b c ++为（ ）A ．6B ．4+C ． D ．7．（2020·河南省高三三模（文））已知点O 是ABC 内部一点，且满足0OA OB OC ++=，又2AB AC ⋅=，60BAC ∠=︒则OBC 的面积为（ ）A B C ．1 D 8．（2020·江苏省徐州一中高三其他）设向量()1,1a =-，()21,22a b k k -=-+，且a b ⊥，则k =（ ）.A ．5-B ．5C ．3D ．3- 二、多选题 9．（2020·山东省高一期中）已知1a =，()3,4b =，则以下结论正确的是（ ）A ．若//a b ，则6a b +=B ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若//a b ，则34,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．a b -的最小值为4 10．（2020·山东省高三二模）已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQB ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅>D ．4S =11．（2020·山东省高三三模）已知向量()()()2,1,3,2,1,1a b c =-=-=，则（ ） A ．//a bB ．()a b c +⊥ C ．a b c += D ．53c a b =+ 12．（2020·山东省高一期中）在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ）A ．0AB AC AD +-=B ．0DA EB FC ++=C ．若3||||||AB AC AD AB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量 D ．若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题 13．（2020·上海高二课时练习）已知(3,4),(,),(2,1)a b x y c =-==，若20a b c +-=，则b =______．14．（2020·四川省高三三模（文））已知(1,2),(1,)a b m =-=，若//a b ，则m =_____. 15．（2020·上海高二课时练习）已知||1,||2,|2|23a b a b ==-=，则向量a 与b 的夹角为_______． 16．（2020·大连市普兰店区第一中学高一月考）已知向量1232a e e =-，124b e e =+，其中()11,0e =，()20,1e =，则a b ⋅=_______，a 与b 夹角,a b 的余弦值为_______.四、解答题 17．（2019·广东省高一期末）已知向量()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =，函数()21f x a b =⋅-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若()1f x =，求x 的值.18．（2020·宁夏回族自治区高三三模（文））设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3c =，且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的大小；（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线，求ABC 的周长.19．（2020·四川省高一月考）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(2,)m c a b =-与向量(cos ,cos )n B C =互相垂直.（1）求角B ；（2）若3,6a c ==，且2AD DC =，求BD 的长.20．（2020·山东省高一期中）如图所示，ABC 中，,AB a AC b ==，D 为AB 中点，E 为CD 上一点，且3DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .（1）用向量a 与b 表示AE ；（2）用向量a 与b 表示AF ，并求出:AE EF 和:BF FC 的值.21．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（理））如图，考虑点1,0A ，()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()cos ,sin P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，并计算sin37.5cos37.5︒⋅︒的值.22．（2020·宝鸡中学高一期中）如图所示，在ABO ∆中，14OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 相交于点M ，设OA a =，OB b =.（1）试用向量a ，b 表示OM ；（2）过点M 作直线EF ，分别交线段AC ，BD 于点E ，F .记OE a λ=，OF b μ=，求证：13λμ+为定值.参考答案一、单项选择题1. 【答案】B【解析】由题意，对于①中，由//a b ，||||a b =，则向量a 与b 同向或反向，当向量a 与b 同向时，可得a b =，当向量a 与b 反向时，则a b ≠，所以不正确的； 对于①中，若a b =，根据相等向量的概念，可得//a b 且||||a b =，所以是正确的； 对于①中，若a 与b 方向相同且||||a b =，根据相等向量的概念，可得a b =，所以是正确的； 对于①中，若a b ≠，根据向量的概念，则a 与b 方向不一定相反且不一定||||a b ≠，所以不正确. 故选：B .2. 【答案】B【解析】OA OB +是以OA 、OB 为邻边所作平行四边形的一条对角线， 由平行四边形的性质，得OA OB +所在直线必过线段AB 的中点D ，因为0OA OB OC ++=，即OA OB OC +=-．所以OC 与OA OB +方向相反，所以OC 所在直线也过线段AB 的中点D ， 同理可得，OB 、OA 所在直线分别过边AC 、BC 的中点， 因此，O 为ABC ∆三边中线的交点，即O 是ABC ∆的重心． 故选：B.3. 【答案】C【解析】画出图形，如下图．选取,?AB AD 为基底，则()211333AE AO AC AB AD ===+， ①()121 333ED AD AE AD AB AD AD AB =-=-+=-． 故选C ．4. 【答案】C【解析】设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+． 故选C ．5. 【答案】C【解析】2222=()2cos ,a b a b a a b a b b ++=+<>+ 24223cos 609=19a b ∴+=+⨯⨯⨯+=19a b ∴+故选：C6. 【答案】C【解析】如图，因为正方形ABCD 的边长为2，AB a = ,BC b = ,AC c =， 2AB BC AC AC a b c +++=+= ,222=+448AC AB BC =+= 242AC =故选：C ． 7. 【答案】A【解析】0OA OB OC ++=， ∴OA OB OC +=-， O ∴为三角形的重心，∴OBC 的面积为ABC ∆面积的13， 2AB AC =，∴||||cos 2AB AC BAC ∠=，60BAC ∠=︒， ∴||||4AB AC =，ABC 面积为1||||sin 2AB AC BAC ∠=OBC ∴ 故选：A ．8. 【答案】A【解析】设(),b x y =因为a b ⊥，()1,1a =-，所以0a b ⋅=，即0x y -=，x y =，(),b x x =，所以()212,12a b x x -=---，因为()21,22a b k k -=-+，所以1211222x k x k -=-⎧⎨--=+⎩，解得72x =，5k =-， 故选：A.二、多项选择题9. 【答案】BD【解析】()3,4b =，则2345b =+=. 对于A 选项，若//a b ，则a b a b +=±，所以，6a b +=或4a b +=，A 选项错误； 对于B 选项，若a b ⊥，则0a b ⋅=，()2222222a b a b a a b b a b ∴+=+=+⋅+=+，()2222222a b a b a a b b a b -=-=-⋅+=+，则22a b a b +=-，a b a b ∴+=-， B 选项正确； 对于C 选项，若//a b ，且1a =，则b a b =±，34,55a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭或34,55a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，C 选项错误； 对于D 选项，由向量模的三角不等式可得4a b a b -≥-=，D 选项正确. 故选：BD.10. 【答案】BD【解析】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点，且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点，所以PB 与CQ 不平行，故A 错误；对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误；对于D ，设ABC 的高为h ，132ABC S AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQ SAQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 11. 【答案】BD【解析】由题意22(3)(1)0⨯--⨯-≠，A 错；()()()1,1,110a b a b c a b c +=-+⋅=-+=+⊥，故.B 正确，C 错误； 53a b +5(2,1)3(3,2)(1,1)c =-+-==，D 正确．故选：BD12. 【答案】BCD【解析】如图所示：对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误.对选项B ，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-+-+-+ 111111222222AB AC BA BC CA CB =------ 1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确. 对选项C ，||AB AB ，||AC AC ，||AD AD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：||||AB AC AB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量. 因为3||||||AB AC AD AB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线， 又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BD BA B BA BD BA ，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确.对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线，设(1)BP tBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤. 令21111()2228ty t t ， 当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确. 故选：BCD三、填空题13. 【答案】(4,9)-【解析】202(2,1)2(3,4)(26,18)(4,9)a b c b c a +-=∴=-=--=-+=- 故答案为：(4,9)-14. 【答案】2-【解析】//a b121m ∴-⋅=⨯，解得2m =-故答案为：2-15. 【答案】23π 【解析】因为||1,||2,|2|23a b a b ==-=所以222|2|4412a b a a b b -=-+=所以1a b =-所以11cos ,122a ba b a b -<>===-⨯，又[],0,πa b ∈ 所以2,3a b π<>=故答案为：23π16. 【答案】10221【解析】由已知得()()()123231,020,13,2a e e =-=-=-，()()()12441,00,14,1b e e =+=+=第一空：()()3,24,112210a b ⋅=-⋅=-=；第二空：2cos ,3a ba b a b ⋅===+. 故答案为：10；221四、解答题17. 【答案】（1）π；（2）3π 【解析】（1）()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =， ∴23sin cos cosa b x x x ⋅=+∴()21fx a b =⋅-2cos 2cos 1x x x =+-π2cos 22sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 即()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ①()f x 的最小正周期是π. （2）由()1f x =，得π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ①ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，①ππ7π2,626x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，①π5π266x+=，①π3x =. 18. 【答案】（1）3C π=，（2）3+【解析】（1）因为1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，所以11cos cos 24C C C ⎫-⋅=⎪⎪⎝⎭所以1112cos 24444C C --=，所以sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以22,62C k k Z πππ-=+∈，所以,3C k k Z ππ=+∈因为C 是ABC 的内角，所以3C π=（2）因为向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线所以sin 2sin 0B A -=，即20b a -=由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即22219442a a a =+-⋅解得a b ==所以ABC 的周长为3+19. 【答案】（1）3π（2）【解析】（1）由已知得，(2)cos cos 0m n c a B b C ⋅=-+=由正弦定理可得0sin cos 2sin cos sin cos C B A B B C =-+， 0sin()2sin cos B C A B =+-sin 2sin cos A A B =-，1cos 2B ∴=，0B π<<，3B π∴=. （2）法一：2AD DC =， 212333BD BA AD BA AC BA BC ∴=+=+=+ 633BA BC B π===，，， 222212144||||||1233999BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫∴=+=++⋅= ⎪⎝⎭，BD ∴=.法二：在ABC ∆中，由余弦定理得，2222cos 9361827b a c ac B =+-=+-=b AC ∴==2222a bc C π+=∴=，， 13DC AC ==∴在直角BCD 中，BD =20. 【答案】（1）1263AE a b =+，（2）1455AF a b =+，:5:1,:4:1AE EF BF FC == 【解析】（1）3,DC EC E =∴是线段CD 的一个三等分点（靠近C 点）. 又D 为AB 中点，112221,223333CD AB AC a b DE DC CD b a ∴=-=-==-=-， 故1211223363AE AD DE a b a a b ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭. （2）设,,,AF xa yb A E F =+三点共线，①存在λ，使AF AE λ=. 由（1）知，1222,,,636363AE a b AF a b x y λλλλ=+∴=+∴==. 又C ，F ，B 三点共线，1x y ∴+=，即261,635λλλ+=∴=. 1414,5555x y AF a b ∴==∴=+. 65AF AE ∴=，即6,5,:5:15AE EF AE AE EF AE EF +=∴=∴=. 14445555BF AF AB a b a a b =-=+-=-+， 1411()5555FC AC AF b a b a b =-=-+=-+， ①4BF FC =，①:4:1BF FC =．综上，14,:5:1,:4:155AF a b AE EF BF FC =+==21. 【答案】（1）推导见解析；（2【解析】（1）由三角函数的定义，可得()()()()()12cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin P P P ααββαβαβ-++， 根据图象，可得2212AP PP =，即2212AP PP =， 即()()()()()2222cos 1sin cos cos sin sin αβαββαβα+-++=-++. 即()cos cos cos sin sin αββαβα+=-.（2）由（1）可得()cos cos cos sin sin αββαβα+=-， ①()cos cos cos sin sin αββαβα-=+ ①由①+①可得：()()2cos cos cos cos βααβαβ=++- 所以()()1cos cos cos cos 2βααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦， 所以()111sin 37.5cos37.5sin 75cos15cos 4530222︒︒=︒=︒=︒-︒= 22. 【答案】(1) 1377OM a b =+. (2)证明见解析. 【解析】（1）由A ，M ，D 三点共线，设(1)OM mOA m OD =+-，由B ，M ，C 三 由B ，M ，C 三点共线，可设()1OM nOC n OB =+- ()14n a n b =+-， ①14112m n m n ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得17m =，47n =， ①1377OM a b =+. （2）①E ，M ，F 三点共线，设()1OM kOE k OF =+- ()1k a k b λμ=+-， 由（1）知17k λ=，()317k μ-=，①17k λ=，377k μ=-， ①137λμ+=为定值.。
高中试卷-人教A版2019必修二第六章 平面向量及其应用 单元测试卷(Word版含解析)(含答案)
第六章 平面向量及其应用 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(共40分)1、(4分)已知D 是ABC △所在平面内的一点，且2BD DC =-u u u r u u u r，设AD AB AC l m =+u u u r u u u r u u u r ，则l m -=( ).A.32- B.23C.3D.-32、(4分)在菱形ABCD 中，||2AB AB AD =×=uuu r uuu r uuu r ，AM MD =uuuu r uuuu r ，2DN DA DB =+uuur uuu r uuu r，P 是菱形ABCD 内部及边界上一点，则PM PN ×uuuu r uuu r的最大值是( )A.134B.132C.13D.2343、(4分)已知点O 为ABC △所在平面上一点，且满足()10OA OB OC l l uuu r uuu r uuu r r＋＋＋＝，若OAC △的面积与OAB △的面积比值为1:4，则l 的值为( )A.12B.13C.2D.34、(4分)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°．根据以上性质，已知()()()2,02004A B C -，，，，，P 为ABC △内一点，记()f P PA PB PC =++，则()f P 的最小值为( )A.B.4＋C.4D.25、(4分)已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，||-=a b a 与b 的夹角为( ).A.π6B.π4C.π3D.2π36、(4分)已知在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC Ð=°，2AD DC ==，1BC =，P 是DC 的中点，则||PA PB +=u u r u u r( ).C.3D.97、(4分)已知||2=a ，向量a 与向量b 的夹角为120°，e 是与b 同向的单位向量，则a 在b 上的投影向量为( ).A.eB. D.-e8、(4分)已知对任意的平面向量(,)AB a b =u u u r ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转j 角得到向量(cos sin ,sin cos )AP a b a b j j j j =-+u u u r，叫作把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转j 角得到点P .已知(1,2)A ，(1B +，把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转π4得到点P ，则点P 的坐标为( ).A.(3,1)-B.(2,1)-C.(2,3)D.(2,3)-9、(4分)若平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0)=a ，||1=b ，则|2|+a b 等于( ).B. C.4D.1210、(4分)已知向量(3,2)=-a ，(,4)x =-b ，若//a b ，则实数x 等于( ).A.4B.5C.6D.7二、填空题(共25分)11、(5分)在ABC △中,3,4,,AB AC D E ==为BC 上两点且BD DE EC ==,若AD =则AE 的长为_____________.12、(5分)若||||||l ===a b c ，且满足0×=a b ，2×=a c ，1×=b c ，则l =__________.13、(5分)已知在梯形ABCD 中，//AB CD ，90A =°，23AB CD ==，2AD =，若EF 在线段AB上运动，且1EF =，则CE CF ×u u u r u u u r的最小值为____________.14、(5分)已知()21OA =-uuu r ,，()02OB =uuu r，，若AC OB uuu r uuu r ∥，BC AB ^uuu r uuu r ，则点C 的坐标_________.15、(5分)已知中心为O 的正六边形ABCDEF 的边长为2，则OA OC ×=u u r u u u r_____________.三、解答题(共35分)16、(8分)已知ABC △的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且满足2sin sin 2A aB =.(1)求角A 的大小；(2)若ABC △的外接圆半径为1,求b c +的最大值.17、(9分)已知ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2AB AC BA BC CA CB×+×=×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r（1）若cos cos A Bb a=，判断ABC △的形状并说明理由；（2）若ABC △是锐角三角形，求sin C 的取值范围18、(9分)ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =ABC △的面积为，求ABC △的周长.19、(9分)在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC △的面积S 222.a b c =+-（1）求C Ð；（2）若ABC △为锐角三角形，c =，求24sin a B -的取值范围．参考答案1、答案：D解析：由题意作图，如图所示，因为2BD DC =-u u u r u u u r，所以C 为BD 的中点，所以22()2AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AD AB AC l m =+u u u r u u u r u u u r ，所以由平面向量基本定理可得1l =-，2m =，所以3l m -=-，故选D.2、答案：B 解析：3、答案：B 解析：4、答案：B解析：设(0,0)O 为坐标原点，由(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，知||||AC BC ==且ABC △为锐角三角形，因此，费马点M 在线段OC 上，设(0,)M h ，如图，则MAB △为顶角是120°的等腰三角形，故||tan 30O h B =°=，所以()()||||||444f P f M MA MB MC h h ³=++=+-=+，则()f P 的最小值为4+故选：B.5、答案：C解析：||-=a b Q ，2223\+-×=a b a b ，14212cos ,3\+-´´×áñ=a b ，1cos ,2\áñ=a b ，,[0,π]áñÎa b Q ，π,3\áñ=a b .故选C.6、答案：C解析：因为12PA PD DA CD DA =+=+u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，11112222PB PC CB DC DA CD DA =+=+=-+u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以111133||23222222PA PB CD DA CD DA DA DA DA +=+-+=+==´=u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，故选C.7、答案：D解析：a 在b 上的投影向量为||cos120××°=-a e e .故选D.8、答案：D解析：由已知可得(AB =u u u r，将点(1B -+绕点A 沿逆时针方向旋转π4，得ππππ,(3,1)4444AP æö=-+=-ç÷èøu u u r .(1,2)A Q ，(2,3)P \-，故选D.9、答案：B解析：因为(2,0)=a ，所以||2=a ，又因为向量a 与b 的夹角为60°，||1=b ，所以1||||cos602112×==´=°´a b a b ，所以|2|+===a b 10、答案：C解析：由题意可得(3)(4)20x -´--=，解得6x =.故选C.11解析：由题意,在ADB △中,由余弦定理得222cos 2AD DB AB ADB AD DB +-Ð=×;在ADC △中,由余弦定理得222cos 2AD DC AC ADC AD DC +-Ð=×.又π,cos cos 0ADC ADB ADC ADB Ð+Ð=\Ð+Ð=,即222222022AD DB AB AD DC AC AD DB AD DC+-+-+=××.又3,4,AB AC AD ===,.5,BD DE EC BC ==\=π4,cos 25BAC C \Ð=\=.易知1533CE BC ==.在AEC △中,由余弦定理得2222554732cos 16249359AE AC CE AC CE C =+-×××=+-´´´=,AE \=.12、答案：略解析：13、答案：154解析：如图所示，以A 为原点，AB u u u r 的方向为x 轴正方向，AD u u u r的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(3,0)B ，3,22C æöç÷èø，(0,2)D ，不妨设(,0)E t ，(1,0)(02)F t t +££，则3,22CE t æö=--ç÷èøu u u r ，1,22CF t æö=--ç÷èøu u u r ，2313115,2,24(1)22224CE CF t t t t t æöæöæöæö\×=----=-×-+=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøu u u r u u u r ，故当1t =时，CE CF ×u u u r u u u r 取得最小值，最小值为154.14、答案：()2,6-解析：设(),C x y , 则()2,1AC x y =+-uuu r ,()(),2,2,1BC x y AB =-=uuu r uuu r.由//,AC OB BC AB ^uuu r uuu r uuu r uuu r, 得()220,220,x x y ì+=í+-=î解得2,6,x y =-ìí=î所以点C 的坐标为()2,6-.15、答案：-2解析：由图可得1||||cos 2222OA OC OA OC AOC æö×=×Ð=´´-=-ç÷èøu u r u u u r u u r u u u r .16、答案：(1) π3A =(2)解析： (1)因为2sin sin 2A a B =,所以2sin sin sin 2A AB B =,因为(0,π)B Î,所以sin 0B ¹,2sin 2AA =,即22sincos 222A A A =,因为(0,π)A Î,所以sin 02A¹,则2cos22A A =,tan 2A =,26A p =,3A p =.(2)因为ABC △的外接圆半径为1,所以2sin 2a A ===,则222222223()2cos ()3()4b c a b c bc A b c bc b c bc b c +=+-=+-=+-³+-,即2()34b c +³,当且仅当b c ==时取等号,故b c +£,b c +的最大值为.17、答案：（1）等边三角形（2）解析：（1）由数量积的定义得，cos cos 2cos cb A ca B ba C +=.由余弦定理得2222222222222b c a a c b a b c +-+-+-+=即2222a b c +=ABC △是等边三角形.由正弦定理及cos cos A Bb a=得sin cos sin cos A A B B ×=×，即sin 2sin 2A B =因为()2,20,2πA B Î，所以22A B =或22πA B +=当22A B =时，ABC △是等腰三角形，此时a b c ==，所以ABC △是等边三角形；当22πA B +=，即π2A B +=时，ABC △是直角三角形，这与2222a b c +=矛盾.故ABC △是等边三角形.（2）不妨设a b …，由2222a b c +=得22222222a a b c b +=……，于是a c b……又因为ABC △是锐角三角形、所以222a c b +>，即223a b >，因此1ba<…由余弦定理得，2221cos 24a b c b a C ab a b +-æö==+ç÷èø令b t a =，则1t <…，函数114y t t æö=+ç÷èø在éë上单调递增.所以111cos 42C t t éæö=+Îêç÷èøë，因此sin C Î故sin C 的取值范围是18、答案：（1）π3B =（2）6+解析： （1）cos cos 2cos a C c A b B +=Q ，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==，∵在ABC V 中，0πB <<，∴sin 0B ¹，即2cos 1B =，∴1cos 2B =，即π3B =；（2）由余弦定理得：(222122a c ac =+-×，∴()2312a c ac +-=，∵1sin 2S ac B ===，∴8ac =，∴()22412a c +-=，∴6a c +=，∴ABC △的周长为6+. 19、答案： (1)π3（2）(2,2)-解析： (1)2221sin ,2ab C a b c =+-222cos ,2a b c C C ab+-==πtan 3C C =（2）由正弦定理得2,2sin sin sin a ca A A C===，π24sin 4sin 4sin 4sin 4sin 2sin 3a B A B B B B B æö-=-=+-=-ç÷èøπ4sin 3B æö=-ç÷èøABC Q △为锐角三角形，π2ππ0,0232B B \<<<-<，ππ62B \<<，πππ636B \-<-<，π24sin 23B æö-<-<ç÷èø24sin a B -的取值范围是(2,2)-。
高中数学人教A版(2019)必修二 第六章 平面向量及其应用 单元试卷
高中数学人教A 版（2019）必修二 第六章 平面向量及其应用 单元试卷一、单选题(共14题；共55分)1．（3分）已知Rt △ABC ，AB=3，BC=4，CA=5，P 为△ABC 外接圆上的一动点，且 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的最大值是（ ） A ．54B ．43C ．√176D ．532．（4分）已知向量 a ⇀ ， b ⇀ 的夹角为 60° ， |a ⇀|=1 且 c ⇀=−2a ⇀+tb ⇀(t ∈R) ，则 |c ⇀|+|c ⇀−a ⇀|的最小值为（ ） A ．√13B ．√19C ．5D ．9√1343．（4分）下列说法中：⑴若向量a →∥b →，则存在实数λ，使得a →=λb →；⑵非零向量a →，b →，c →，d →，若满足d →=(a →·c →)b →−(a →·b →)c →，则a →⊥d →⑶与向量a →=(1，2)，b →=(2，1)夹角相等的单位向量c →=(√22，√22)⑷已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA →−tBC →|≥|AC →|，则△ABC 一定为锐角三角形。
其中正确说法的序号是( ) A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)4．（4分）如图，在 ΔABC 中，点 M ， N 分别为 CA ， CB 的中点，若 AB =√5 ， CB =1 ，且满足 3AG⇀⋅MB ⇀=CA ⇀2+CB ⇀2 ，则 AG ⇀⋅AC ⇀ 等于（ ）A ．2B ．√5C ．23D ．835．（4分）定义域为[a ，b ]的函数y =f (x )图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y)是函数y =f (x )图象上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，λ∈(0，1)．已知向量ON →=λOA →+(1−λ)OB →，若不等式|MN |→≤k 恒成立，则称函数y =f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y =x −1x 在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞)B ．[112，+∞)C ．[32+√2，+∞)D ．[32−√2，+∞)6．（4分）已知集合M ={1，2，3}，N ={1，2，3，4}，定义函数f ：M →N ． 若点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且DA →+DC →=λDB →(λ∈R ) ，则满足条件的函数f (x )有（ ） A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个7．（4分）点P 是△ABC 内一点且满足4PA →+3PB →+2PC →=0→，则△PBC,△PAC,△PAB 的面积比为（ ） A ．4:3:2B ．2:3:4C ．1:1:1D ．3:4:68．（4分）已知向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足 |OA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ，μ∈R) ，若M 为AB 的中点，并且 |MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ，则λ+μ的最大值是（ ） A ．1−√3B ．1+√2C ．√5D ．1+√39．（4分）在 ΔABC 中， ∠C =900，|AB|=6 ，点 P 满足 |CP|=2 ，则 PA⇀⋅PB ⇀ 的最大值为（ ） A ．9B ．16C ．18D ．2510．（4分）点M 是 △ABC 的边BC 上任意一点，N 在线段AM 上，且 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 x +y =13 ，则 △NBC 的面积与 △ABC 的面积的比值是 ( )A ．B ．C ．D ．11．（4分）如图，在半径为2的扇形 AOB 中， ∠AOB =3π4， P 是弧 AB 上的一个三等分点， M,N 分别是线段 OA ， OB 上的动点，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．4√212．（4分）在 ΔABC 中， E ， F 分别为 AB ， AC 的中点， P 为 EF 上的任一点，实数x ， y 满足 PA ⇀+xPB ⇀+yPC ⇀=0⃗ ，设 ΔABC 、 ΔPBC 、 ΔPCA 、 ΔPAB 的面积分别为 S 、 S 1 、 S 2 、 S 3 ，记 Si S=λi （ i =1,2,3 ），则 λ2⋅λ3 取到最大值时， 2x +y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．−32D ．3213．（4分）定义域为[a ，b ]的函数y =f (x )图象上两点A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，M(x ，y)是y =f (x )图象上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，λ∈[0，1].已知向量ON →=λOA →+(1−λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 对任意λ∈[0，1]恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y =x −1x 在[1，3]上“k 阶线性近似”，则实数的k 取值范围为( )A ．[0，+∞)B ．[112，+∞)C ．[43−23√3，+∞)D ．[43+23√3，+∞)14．（4分）在中，已知,则为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形二、填空题(共11题；共43分)15．（4分）已知非零平面向量 a ⃗ ,b ⃗ 不共线，且满足 a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ 2=4 ，记 c ⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ ，当 b ⃗ ,c ⃗ 的夹角取得最大值时， |a −b⃗ | 的值为 ． 16．（4分）已知O 是锐角△MBC 的外接圆圆心，A 是最大角，若cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m 的取值范围为 。
第六章平面向量及其应用综合训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 平面向量及其应用 章末综合训练一、选择题1. 下列结论中，不正确的是 ( ) A ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的意义是相同的 C ．若向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣，则 a =b ⃗ D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗2. 设 a ，b ⃗ 是向量，则“∣a ∣=∣b ⃗ ∣”是“∣a +b ⃗ ∣=∣a −b⃗ ∣”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知向量 a 与 b ⃗ 方向相反，a =(1,−√3)，|b ⃗ |=2，则 |a −b⃗ |= ( )A ． 2B ． 4C ． 8D ． 164. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a =3，b =7，cosB =−12，则 c = ( )A ． 4B ． 5C ． 8D ． 105. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ．3√326. 如图所示，为了测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 作为测量基点，从 A 点测得 M 点的仰角 ∠MAN =60∘，C 点的仰角 ∠CAB =45∘，∠MAC =75∘，从 C 点测得 ∠MCA =60∘，已知山高 BC =500 m ，则山高 MN （单位：m ）为 ( )A ． 750B ． 750√3C ． 850D ． 850√37. 已知在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 b =1，c =√3，且 2sin (B +C )cosC =1−2cosAsinC ，则 △ABC 的面积是 ( )A ．√34B ． 12C ．√34或√32D ．√34或 128. 已知 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗是平面内两个夹角为 2π3的单位向量，设 m ⃗⃗ ，n ⃗ 为同一平面内的两个向量，若 m ⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，∣n ⃗ −e 1⃗⃗⃗ ∣=12，则 ∣m ⃗⃗ −n ⃗ ∣ 的最大值为 ( )A ． 12B ． 32C ．√3−12D ．√3+12二、多选题9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列计算错误的是 ( )A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ C ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 10. △ABC 满足下列条件，其中有两个解的是 ( )A ． b =3，c =4，B =30∘B ． b =12，c =9，C =60∘C ． b =3√3，c =6，B =60∘D ． a =5，b =8，A =30∘ 11. 设 a ，b⃗ 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是 ( ) A ．若 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣，则 a⊥b ⃗ B ．若 a ⊥b ⃗ ，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣C ．若 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣，则存在实数 λ，使得 b⃗ =λaD ．若存在实数 λ，使得 b ⃗ =λa ，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣12. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边 a ，b ，c ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有 △ABC 满足 sinA:sinB:sinC =2:3:√7，且 △ABC 的面积 S =6√3，请运用上述公式判断下列结论正确的是 ( ) A ． △ABC 的周长为 10+2√7B ． △ABC 三个内角 A ，B ，C 满足 2C =A +B C ． △ABC 外接圆的直径为4√213D ． △ABC 的中线 CD 的长为 3√2三、填空题13. 在 △ABC 中，sinA:sinB:sinC =3:2:4，则 cosC = ．14. 已知 A ，B ，C 三点共线，若 O 是这直线外一点，满足 mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点 A 分 BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的比为 ．15. 已知 △ABC 的面积为 3√15，且 AC −AB =2，cosA =−14，则 BC 的长为 ．16.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB=4，BC=CD=2，若E，F分别是BC，AB上的点，且满足BEBC =AFAB=λ，当AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF⃗⃗⃗⃗⃗ =0时，则实数λ的值是．四、解答题17.已知a=(1,2)，b⃗=(−3,2)，当k为何值时：(1) ka+b⃗与a−3b⃗垂直？(2) ka+b⃗与a−3b⃗平行？平行时它们是同向还是反向？18.如图所示，AD，BE，CF是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点．19.已知平面向量a，b⃗，c满足∣a∣=4，∣∣b⃗∣∣=3，∣c∣=2，b⃗⋅c=3，求(a−b⃗)2(a−c)2−[(a−b⃗)⋅(a−c)]2的最大值．20. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a =1，B =π3，△ABC 的面积为3√34．(1) 求 △ABC 的周长； (2) 求 cos (B −C ) 的值．21. 已知 △ABC 的外接圆半径为 R ，其内角 A ，B ，C 的对边长分别为 a ，b ，c ，设 2R (sin 2A −sin 2B )=(a −c )sinC ． (1) 求角 B ；(2) 若 b =12，c =8，求 sinA 的值．22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数． (1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．。
高中数学人教A版(2019)必修二 第六章 平面向量及其应用 章节检测试卷
高中数学人教A 版（2019）必修二 第六章 平面向量及其应用 章节检测试卷考试时间：90分钟 满分：120分(共14题；共42分)1．（3分）下列说法正确的是（ ）A ．零向量没有方向B ．向量就是有向线段C ．只有零向量的模长等于0D ．单位向量都相等2．（3分）下列说法中，正确的是（ ）A ．任意两个单位向量都是相等的向量B ．若A ，B 是平面内的两个不同的点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．若向量 a ⃗ //b ⃗ ， b ⃗ //c ⃗ ，则 a⃗ //c ⃗ D ．零向量与任意向量平行3．（3分）下列说法正确的是（ ）A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小4．（3分）如果 a⃗ ， b ⃗ 是两个单位向量，则 a ⃗ 与 b ⃗ 一定（ ） A ．相等 B ．平行 C ．方向相同 D ．长度相等5．（3分）已知两点 A(5,3) ， B(2,7) ，则与向量 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是（ ） A ．(−35,45)B ．(35,−45)C ．(−45,35)D ．(45,−35)6．（3分）已知向量 a ⇀=(√3, 1) ，则 |a⇀|= （ ） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．27．（3分）已知平面向量 a⃗ 、 b ⃗ 的夹角为135°，且 a ⃗ 为单位向量， b ⃗ =(1，1) ，则 |a +b ⃗ |= （ ） A ．√5B ．3+√2C ．1D ．3−√28．（3分）已知向量 a ⇀ 和 b ⇀ 的夹角为 120° , |a ⇀|=1,|b ⇀|=3 ,则 |a ⇀−b ⇀|= ( ).2 / 10A ．2√3B ．√15C ．4D ．√139．（3分）已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为 60∘ ，那么 |a +3b| 等于（ ）A ．√7B ．√10C ．√13D ．410．（3分）与向量 d⃗ =(12，5) 平行的单位向量为（ ） A ．(1213,5)B ．(−1213,−513)C ．(1213,513) 或 (−1213,−513)D ．(±1213,±513) 11．（3分）在 ΔABC 中， AB =AC ， ∠BAC =π5 ，则向量 AB⇀ 与 BC ⇀ 的夹角为（ ） A ．B ．C ．D ．12．（3分）已知两点 A(2,−1),B(5,3) ，则与向量 AB⇀ 同向的单位向量是（ ） A ． B ． C ． D ．13．（3分）设向量 a ⇀=(x ，−4) ， b ⇀=(1，−x) ，若向量 a ⇀与 b ⇀ 同向，则 x = （ ） A ．0B ．-2C ．±2D ．214．（3分）设 e 1⇀ ， e 2⇀ 是平面向量 a ⇀的一组基底，则能作为平面向量 a ⇀ 的一组基底的是（ ）A ．e 1⇀−e 2⇀ ， e 2⇀−e 1⇀B ．e 2⇀+2e 1⇀ ， e 1⇀+12e 2⇀C ．2e 2⇀−3e 1⇀ ， 6e 1⇀−4e 2⇀D ．e 1⇀+e 2⇀ ， e 1⇀−e 2⇀(共8题；共32分)15．（4分）向量 a ⃗ =(√3sinx,sinx),b ⃗ =(cosx,sinx),x ∈[0,π2] ，且 |a |=|b ⃗ | ，则x= .16．（4分）已知向量 a →=(1,√3),b →=(2,0) ，则 |a →−2b →|=17．（4分）设向量a →=(−1,2)， b →=(2x,−1) ，若 a →//b →，则 x = .18．（4分）已知向量 a ⇀=(2,1) ， a ⇀⋅b ⇀=10 ， |a ⇀+b ⇀|=5√2 ，则 |b⇀|= . 19．（4分）已知向量 a ⃗ =(1,−2) ， b ⃗ =(−2,m) ， c ⃗ =(−1,2) ，若 (a +b ⃗ )//c ，则m = .20．（4分）已知 a ⃗ ， b ⃗ 为单位向量，且 a ⃗ ， b ⃗ 所成角为 π3，则 |2a +b ⃗ | 为 ．21．（4分）向量 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为 π3 ，若对任意的t ∈R ，| a ⃗ −tb ⃗ |的最小值为 √3 ，则| a⃗ |= ． 22．（4分）设 e 1⃗⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗⃗ +me 2⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗⃗ ，若A ，B ，C 三点共线，则实数m= ．(共4题；共46分)23．（10分）已知 a ⃗ =（x ，1）， b ⃗ =（4，﹣2）． （Ⅰ）当 a⃗ ∥ b ⃗ 时，求| a ⃗ + b ⃗ |； （Ⅱ）若 a⃗ 与 b ⃗ 所成角为钝角，求x 的范围． 24．（12分）已知向量 a ⃗ ，b ⃗ 是夹角为 600 的单位向量， c ⃗ =3a ⃗ +2b ⃗ ，d ⃗ =ma ⃗ −4b⃗ 。
人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (3)
高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1. 下列各量中是向量的为 ( ) A ．动能 B ．重力 C ．功 D ．温度2. 已知 A ={与a ⃗共线的向量}，B ={与a ⃗长度相等的向量}，C ={与a ⃗长度相等,方向相反的向量}，其中 a ⃗ 为非零向量，则下列关系中错误的是 ( ) A ． C ⫋A B ． A ∩B ={a ⃗}C ． C ⫋BD ． A ∩B ⫌{a ⃗}3. 在 △ABC 中，B =60∘，b 2=ac ，则 cosA = ( ) A ． 0B ． 12C ．√22D ．√324. 在 Rt △ABC 中，∠A =90∘，AB =2，AC =4，点 P 在 △ABC 斜边 BC 的中线 AD 上，则 (PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ( ) A ．258B ． 5C ． 52D ． 55. 若 a ⃗，b ⃗⃗ 均为单位向量，则“∣∣2a ⃗−b ⃗⃗∣∣=∣∣a ⃗+2b ⃗⃗∣∣”是“a ⃗⊥b ⃗⃗”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6. 已知向量 a ⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(x,x −1)，若 (b ⃗⃗−2a ⃗)∥a ⃗，则 x 等于 ( ) A ． 13B ． 23C ． 1D ． 37. 已知点 A (1,3)，B (4,−1)，则与向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为 ( ) A ．(35,−45)B ．(45,−35)C ．(−35,45)D ．(−45,35)8. 如图所示的方格纸中有定点 O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A ． OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ． OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ． FO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ． EO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗9. 如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角 ∠MAN =60∘，C 点的仰角 ∠CAB =45∘ 以及 ∠MAC =75∘，从 C 点测得 ∠MCA =60∘，已知山高 BC =100 m ，则山高 MN = ( )A ． 150 mB ． 150√2 mC ． 150√3 mD ． 50√6 m10. 已知 ABCD 为平行四边形，且 A (4,1,3)，B (2,−5,1)，C (3,7,−5)，则顶点 D 的坐标为 ( ) A ． (74,4,−1)B ． (2,4,1)C ． (−2,14,1)D ． (5,13,−3)二、填空题（共6题） 11. 判断正误．正弦定理对任意的三角形都成立．12. 已知 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 是两个不共线向量，且向量 a ⃗+λb ⃗⃗ 与 −(b ⃗⃗−3a ⃗) 共线，则 λ= ．13. 两个向量平行与平面中两条直线平行的区别在于 ．14. 已知正三角形 ABC 的边长为 √3，点 M 是 △ABC 所在平面内的任一动点，若 ∣∣MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=1，则∣∣MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣ 的取值范围为 ．15. 在 △ABC 中，已知 A =30∘，a =4，b =4√3，则 B = ，c = ．16. 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=8，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=5，则 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣ 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 如图，A ，B 两点在河的同侧，且 A ，B 两点均不可到达，为了测出 A ，B 两点间的距离，测量者在河岸边选定两点 C ，D ，测得 CD =√32km ，同时在 C ，D 两点分别测得 ∠ADB =∠CDB =30∘，∠ACD =60∘，∠ACB =45∘，求 A ，B 两点间的距离．18. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设 (sinB −sinC )2=sin 2A −sinBsinC ．(1) 求 A ；(2) 若 √2a +b =2c ，求 sinC ．19. 在直角三角形 ABC 中，∠C =90∘，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=5，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=3．求：(1) AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； (2) (AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗)．20. 如图，在 △ABC 中，已知 AB =4，AC =6，点 E 为 AB 的中点，点 D ，F 分别在边 BC ，AC 上，且 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，EF 交 AD 于点 P ．(1) 若 ∠BAC =π3，求 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角 θ 的余弦值； (2) 求 APAD 的值．21.设a⃗=(4,3)，a⃗在b⃗⃗上的投影为5√2，b⃗⃗在x轴上的投影为2，且∣∣b⃗⃗∣∣≤14，求向量b⃗⃗的坐2标．22.若a⃗=(−6,8)，2a⃗−b⃗⃗=(2,2)，求b⃗⃗和∣∣b⃗⃗∣∣．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】既有大小又有方向的量是向量，则B 正确，A ，C ，D 错误． 【知识点】平面向量的概念与表示2. 【答案】B【解析】因为 A ∩B 中含有与 a ⃗ 长度相等、方向相反的向量，所以B 选项错误． 【知识点】平面向量的概念与表示3. 【答案】B【解析】因为由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2−ac ， 又 b 2=ac ，所以 a 2+c 2−ac =ac ，所以 (a −c )2=0， 所以 a =c ，所以 A =B =C =60∘，所以 cosA =12． 【知识点】余弦定理4. 【答案】C【解析】因为 ∠A =90∘，所以以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为 x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系如图所示，所以 A (0,0)，B (2,0)，C (0,4)， 所以 D (1,2)，P (x,y )， 设 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0≤λ≤1)， 则 (x,y )=λ(1,2)，所以 x =λ，y =2λ，所以 P (λ,2λ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2−λ,−2λ)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−λ,4−2λ)， 所以(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2−2λ,4−4λ)⋅(λ,2λ)=−10λ2+10λ=−10(λ−12)2+52,所以当 λ=12 时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 52．【知识点】平面向量数量积的坐标运算5. 【答案】C【解析】 a ⃗，b ⃗⃗ 均为单位向量，“∣∣2a ⃗−b ⃗⃗∣∣=∣∣a ⃗+2b ⃗⃗∣∣”⇒4+1−4a ⃗⋅b ⃗⃗=1+4+4a ⃗⋅b ⃗⃗⇔a ⃗⋅b ⃗⃗=0⇔“a ⃗⊥b ⃗⃗”． 所以“∣∣2a ⃗−b ⃗⃗∣∣=∣∣a ⃗+2b ⃗⃗∣∣”是“a⃗⊥b ⃗⃗”的充要条件． 【知识点】平面向量的数量积与垂直6. 【答案】A【知识点】平面向量数乘的坐标运算7. 【答案】A【解析】AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,−4)，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=5．与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=(35,−45)． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算8. 【答案】C【解析】设 a ⃗=OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，利用向量加法的平行四边形法则作出向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，再平移，发现 a ⃗=FO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 【知识点】平面向量的加减法及其几何意义9. 【答案】A【解析】在 Rt △ABC 中，∠CAB =45∘，BC =100 m ， 所以 AC =100√2 m ．在 △AMC 中，∠MAC =75∘，∠MCA =60∘， 从而 ∠AMC =45∘，由正弦定理得，ACsin45∘=AMsin60∘，因此AM=100√3m．在Rt△AMN中，AM=100√3m，∠MAN=60∘，由MNAM =sin60∘，得MN=100√3×√32=150m．【知识点】解三角形的实际应用问题10. 【答案】D【知识点】平面向量和与差的坐标运算二、填空题（共6题）11. 【答案】√【知识点】正弦定理12. 【答案】−13【知识点】平面向量的分解13. 【答案】两个向量平行是指两个向量所在的直线平行或重合，而两条直线平行是指平面上的两条直线没有公共点【知识点】平面向量的概念与表示14. 【答案】[0,6]【知识点】平面向量的数量积与垂直15. 【答案】60∘或120∘；8或4【知识点】正弦定理、余弦定理16. 【答案】[3,13]【知识点】平面向量的加减法及其几何意义三、解答题（共6题）17. 【答案】因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60∘，∠ACD=60∘，所以∠DAC=60∘，所以AC=CD=√32km．在△BCD中，易知∠DBC=45∘，由正弦定理，得BC=CDsin∠DBC ⋅sin∠CDB=√32sin45∘⋅sin30∘=√64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BCcos45∘=34+38−2×√32×√64×√22=38,所以 AB =√64km ． 故 A ，B 两点间的距离为√64km ． 【知识点】解三角形的实际应用问题、余弦定理18. 【答案】(1) 由已知得 sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ， 故由正弦定理得 b 2+c 2−a 2=bc ， 由余弦定理得 cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，因为 0∘<A <180∘， 所以 A =60∘．(2) 由（1）知 B =120∘−C ，由题设及正弦定理得 √2sinA +sin (120∘−C )=2sinC ， 即√62+√32cosC +12sinC =2sinC ，可得 cos (C +60∘)=−√22． 由于 0∘<C <120∘， 所以 sin (C +60∘)=√22，故sinC =sin (C +60∘−60∘)=sin (C +60∘)cos60∘−cos (C +60∘)sin60∘=√6+√24. 【知识点】余弦定理、正弦定理、两角和与差的正弦19. 【答案】(1) 提示： AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−∣AB∣⋅∣AC∣⋅cosA =−∣AC∣2=−9.(2) (AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=9+9+0+(−16)= 2.【知识点】平面向量的数量积与垂直20. 【答案】(1) 以 AC 所在直线为 x 轴，过 B 且垂直于 AC 的直线为 y 轴建系如图， 则 A (−2,0)，F (−1,0)，E(−1,√3)，D (43,4√33)， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(103,4√33)，EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−√3)， 所以 cosθ=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣∣∣EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=−2√11137． (2) 因为 A ，P ，D 三点共线，可设 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2λ3AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 同理，可设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−t )AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=t 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+1−t 6AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 由平面向量基本定理可得 {2λ3=t 2,λ3=1−t 6,解得 {λ=310,t =25,所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=310AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AP AD =310．【知识点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量的数乘及其几何意义21. 【答案】设 b⃗⃗=(x,y )，因为 b ⃗⃗ 在 x 轴投影为 2， 所以 x =2，即 b⃗⃗=(2,y )． 又 a ⃗ 在 b ⃗⃗ 上投影为 5√22， 所以a ⃗⃗⋅b ⃗⃗∣b∣=5√22，√4+y 2=5√22． 所以 y =−27或 y =14，又 ∣∣b ⃗⃗∣∣≤14． 所以 y =14 舍去，所以 b ⃗⃗=(2,−27)． 【知识点】平面向量数量积的坐标运算22. 【答案】 a ⃗=(−6,8)，2a ⃗−b ⃗⃗=(2,2)⇒b ⃗⃗=2a ⃗−(2,2)=(−14,14)，∣∣b ⃗⃗∣∣=14√2．【知识点】平面向量数乘的坐标运算。
第六章 平面向量及其应用 复习参考题——高一数学人教A版(2019)必修第二册洞悉课后习题
第六章 平面向量及其应用 复习参考题——高一数学人教A 版（2019）必修第二册洞悉课后习题【教材课后习题】1.判断下列命题是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）. （1）AB BA +=0.( ) （2）AB BC AC +=.( ) （3）AB AC BC -=.( ) （4）00AB =.( )2.选择题（1）如果a ，b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ). A.=a bB.1⋅=a bC.22≠a bD.22||||=a b（2）对于任意两个向量a 和b ，下列命题中正确的是( ). A.若a ，b 满足||||>a b ，且a 与b 同向，则>a b B.||||||+≤+a b a b C.||||||⋅≥a b a b D.||||||-≤-a b a b（3）在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则( ). A.四边形ABCD 是矩形 B.四边形ABCD 是菱形 C.四边形ABCD 是正方形D.四边形ABCD 是平行四边形（4）设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ). A.a 与λ-a 的方向相反 B.||||λ-≥a a C.a 与2λa 的方向相同D.||||λλ-=a a（5）设M 是ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD +++=( )A.OMB.2OMC.3OMD.4OM（6）在下列各组向量中，可以作为基底的是( ). A.1(0,0)=e ，2(1,2)=-e B.1(1,2)=-e ，2(5,7)=eC.1(3,5)=e ，2(6,10)=eD.1(2,3)=-e ，213,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭e3.已知六边形ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，BD =b ，分别用a ，b 表示DE ，AD ，BC ，EF ，FA ，AB ，CE .4.已知平面直角坐标系中，点O 为原点，(3,4)A --，(5,12)B -. （1）求AB 的坐标及||AB 的值；（2）若OC OA OB =+，OD OA OB =-，求OC 与OD 的坐标； （3）求OA OB ⋅的值.5.已知点(1,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C .若AB CD =，则点D 的坐标是什么?6.已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，(1,0)=-c ，求满足λμ=+c a b 的λ和μ的值.7.已知ABC △的顶点坐标分别为(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C ，求cos A ，cos B ，cos C 的值.8.已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b .当λ为何值时，λ+a b 与a 垂直?9.已知向量a 与b 的夹角为30°，||=a ，||2=b ，求||+a b ，||-a b 的值. 10.如图，支座A 受1F ，2F 两个力的作用，已知1F 与水平线成θ角，140N =F ，2F 沿水平方向，270N =F ，1F 与2F 的合力F 的大小为100N ，求cos θ以及F 与2F 的夹角β的余弦值.11.在ABC △中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1′，边长精确到0.01cm ）：（1）12cm a =，5cm b =，120A =︒； （2）6cm a =，8cm b =，30A =︒； （3）7cm a =，23cm b =，130C =︒； （4）2cm a =，3cm b =，4cm c =.12.海中有一座小岛，周围3nmile 内有暗礁.一艘海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东75°；海轮航行8nmile 以后，望见该岛在北偏东55°.如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险? 13.选择题（1）已知a ，b 是不共线的向量，且5AB =+a b ，28BC =-+a b ，3()CD =-a b ，则( ).A.A ，B ，D 三点共线B.A ，B ，C 三点共线C.B ，C ，D 三点共线D.A ，C ，D 三点共线（2）已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ，则||++=a b c ( ).A.0B.3D.（3）已知OA =a ，OB =b ，OC =c ，OD =d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( ).A.0+++=a b c dB.0-+-=a b c dC.0+--=a b c dD.0--+=a b c d（4）若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则122a =+e e 与1232=-+b e e 的夹角为( ). A.30°B.60°C.120°D.150°（5）已知等边三角形ABC 的边长为1，BC =a ，CA =b ，AB =c ，那么⋅+⋅+⋅=a b b c c a ( ).A.3B.-3C.32 D.32-（6）若平面向量a ，b ，c 两两的夹角相等，且||1=a ，||1=b ，||3=c ，则||++=a b c ( ).A.2B.5C.2或514.已知a ，b ，c ，d 为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义. （1）||||⊥⇔+=-a b a b a b ；（2）若+=a b c ，-=a b d ，则||||=⇔⊥a b c d .15.已知123PP P △，向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123OP OP OP ==.求证：123PP P △是等边三角形.16.如图，已知OA =a ，OB =b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，用a ，b 表示向量MN .（本题可以运用信息技术发现规律）17.一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了9km 到达B 地，然后由B 地行了16km 到达D 地，求这个人由A 地到D 地的位移（角度精确到1°）.【定点变式训练】18.在ABC △中，设,,AB AC D ==a b 为AC 边的中点，则BD =( ) A.12+a bB.12+a bC.12-a bD.12-b a19.已知向量,a b 不共线，若向量λ+a b 与λ+b a 的方向相反，则λ的值为( ) A.1B.0C.-1D.1±20.如图所示，在四边形ABCD 中，1,3DC AB E =为BC 的中点，且AE xAB y AD =+，则32x y -=( )A.12B.32C.1D.221.已知作用在点A 的三个力1(3,4)=f ，2(2,5)=-f ，3(3,1)=f ，且(1,1)A ，则合力123=++f f f f 的终点坐标为( )A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)22.P 是 ABC 所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC 的形状是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形23.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若60A =︒，1b =，其面积sin sin sin a b cA B C++=++( )A. 24.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =( )B. C. D.25.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓.荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将A 到D 修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A ，B ，C ，D 在同一水平面内)，则A ，D 间的距离为( )kmkm26.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，则ABC △是( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰（非等边）三角形D.等腰直角三角形27.已知向量(3,4),(2,4)m =-=a b .若向量23-a b 与b 共线，则实数m =________. 28.平面向量(1,2),(4,2),()m m ===+∈R a b c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =________.29.已知在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=，且c a =，则cos B =____________.30.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100m BC =，则山高MN =__________m.31.设,a b 是不共线的两个非零向量.(1)若2,3,3OA OB OC =-=+=-a b a b a b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若8k +a b 与2k +a b 共线，求实数k 的值；(3)若,23,2AB BC CD k =+=-=-a b a b a b ，且A ，C ，D 三点共线，求实数k 的值.32.已知||=a ||=b 5⋅=-a b ，(1)x x =+-c a b . （1）当⊥b c 时，求实数x 的值；（2）当||c 取最小值时，求向量a 与c 的夹角的余弦值. 33.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B .(2)若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围.34.如图，在海岸A 处，发现南偏东45°方向距A 为2)海里的B 处有一艘走私船，在A 处正北方向，距A 为C 处的缉私船立即奉命以海里/时的速度追截走私船.(1)刚发现走私船时，求两船的距离.(2)若走私船正以/时的速度从B 处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：2.5≈≈)35.已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin sin A B C A B +-=.(1)求角C 大小.(2)若2c =b +的取值范围.答案以及解析1.答案：（1）√ （2）√ （3）× （4）×解析：（1）AB 与BA 是相反向量，它们的和为零向量.故正确.（2）当第一个向量的终点是第二个向量的起点时，这两个向量的和等于第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量.故正确.（3）当两个向量有共同的起点时，那么这两个向量的差等于减向量的终点指向被减向量的终点的向量.故不正确.（4）实数0与任意向量的数乘结果是零向量，而不是实数0.故不正确. 2.答案：（1）D （2）B （3）D （4）C （5）D （6）B解析：（1）因为a ，b 是两个单位向量，所以||||=a b ，因此22||||=a b ，也即22=a b ，故C 项错误，D 项正确；两个单位向量尽管长度相等，但方向不一定相同，故A 项错误；||||cos θ⋅=⋅a b a b ，只有a ，b 的夹角θ为0时，才有1⋅=a b ，故B 项错误.（2）A 项错误，向量不能比较大小；B 项正确；C 项错误，||||||⋅≤a b a b ；D 项错误，||||||-≤-a b a b .故选B.（3）AC AB AD =+是向量加法的平行四边形法则.（4）当0λ>时，a 与λ-a 的方向相反，当0λ<时，a 与λ-a 的方向相同，故A 项错误；||||||λλ-=a a ，只有当||1λ≥时，才有||||λ-≥a a ，故B 项错误；因为20λ>，所以a 与2λa 同向，故C 项正确；D 项错误.故选C.（5）因为2,2OA OC OM OB OD OM +=+=， 所以4OA OB OC OD OM +++=.（6）两个不共线的向量可以作为基底.A 项中12//e e ，故不能作为基底；B 项中1e ，2e 不共线，可以作为基底；C 项中1212=e e ，所以12//e e ，不能作为基底；D 项中124=e e ，不能作为基底，故选B.3.答案：2133DE =-+a b ，2233AD =+a b ，1133BC =+b a ，1133EF =--a b ，1233FA =-a b ，1233CD =-+a b ，CE =-+a b解析：如图，设ACBD M =.因为六边形ABCDEF 为正六边形， 所以120ABC BCD ∠=∠=︒， 且ABC DCB ≌△△. 又ABC △是等腰三角形， 所以30BAC BCA ∠=∠=︒， 从而可有90ACD DBA ∠=∠=︒，则1sin 302CM BM AM AM ==︒=， 则1sin 302CM BM AM AM ==︒=，所以13MC =a ，23AM =a ，同理有13BM =b ，23MD =b .所以2133DE BA MA MB ==-=-+a b ，2233AD AM MD =+=+a b ，1133BC BM MC =+=+b a .1133EF BC =-=--a b ，1233FA DC DM MC ==+=-a b ，1233CD FA =-=-+a b ，2133AB DE =-=-a b ，CE CD DE =+=-+a b .4.答案：（1）(8,8)AB =-，||82AB = （2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =- （3）33解析：（1）(5,12)(3,4)(8,8)AB =----=-，2||8AB ==. （2）(3,4)(5,12)(2,16)OC OA OB =+=--+-=-，(3,4)(5,12)(8,8)OD OA OB =-=----=-.（3）(3,4)(5,12)154833OA OB ⋅=--⋅-=-+=. 5.答案：(2,0)-解析：设(,)D x y ，由(1,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C 知(2,1)AB =--，(,1)CD x y =-，要使AB CD =，则有2,11,x y =-⎧⎨-=-⎩解得2,0.x y =-⎧⎨=⎩所以点D 的坐标为(2,0)-.6.答案：10λμ=-⎧⎨=⎩解析：由λμ=+c a b ，得(1,0)(1,0)(1,1)(,)λμλμμ-=+=+.即1,0,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得1,0.λμ=-⎧⎨=⎩7.答案：3cos 5A =，cos 0B =，4cos 5C = 解析：由(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C 可知(3,0)AB =，(0,4)BC =，所以0AB BC ⋅=，即AB BC ⊥，所以90B ∠=︒，||3AB =，||4BC =，所以||5AC =，故3cos 5A =，cos 0B =，4cos 5C =. 8.答案：1λ=-解析：(1,0)=a ，(1,1)=b ，(1,)λλλ∴+=+a b . 又λ+a b 与a 垂直，()0λ∴+⋅=a b a ，(1,)(1,0)0λλ∴+⋅=，即10λ+=，1λ∴=-.9.答案：||+=a b ，||1-=a b解析：||||cos3023⋅=︒==a b a b ，||∴+====a b||1-====a b . 10.答案：5cos 8θ=，19cos 20β=解析：12+=F F F ，()2212∴+=F F F ，即22212122++⋅=F F F F F .222407024070cos 100θ∴++⨯⨯⨯=，解得5cos 8θ=.又21-=F F F ，()2221∴-=F F F ，即2222212-⋅+=F F F F F ， 222100210070cos 7040β∴-⨯⨯⨯+=，解得19cos 20β=. 11.答案：见解析解析：（1）在ABC △中，根据正弦定理，得219B '=︒，602193851C ''=︒-︒=︒，8.69cm c ≈（2）在ABC △中，根据正弦定理，得2sin 3B =，因为b a >，所以4149B '≈︒或13811B '≈︒；当4149B '=︒时，10811C '=︒，11.40cm c ≈； 当13811B '=︒时，1149C '=︒， 2.46cm c ≈.（3）在ABC △中，根据余弦定理，得28.02cm c ≈，根据正弦定理，得112A '≈︒，501123858B ''≈︒-︒=︒.（4）在ABC △中，根据余弦定理的推论，得cos 0.875A ≈，即2857A '≈︒，同理可得4634B '≈︒，10429C '≈︒. 12.答案：没有解析：设海轮在B 处望见小岛A 在北偏东75°，在C 处望见小岛A 在北偏东55°，从小岛A 向海轮的航线BC 作垂线，垂足为D .设垂线段AD 的长度为x nmile ，CD 为y nmile （如图），则tan 35,tan15,8x y x y ⎧=︒⎪⎪⎨⎪=︒⎪+⎩即，,tan 358,tan15xy x y ⎧=⎪⎪︒⎨⎪=+⎪︒⎩则8tan 35tan15x x =-︒︒，解得8tan15tan 35 3.473tan 35tan15x ︒︒=≈>︒-︒.所以这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险.13.答案：（1）A （2）D （3）B （4）C （5）D （6）C解析：（1）283()5BD BC CD AB =+=-++-=+=a b a b a b ，∴A ，B ，D 三点共线.（2）因为AB BC AC +=，所以|||2|++=a b c c .因为||=c，所以||++=a b c 故选D.（3）易知OB OA AB -=，OC OD DC -=，而在平行四边形ABCD中，AB DC =，所以OB OA OC OD -=-，即-=-b a c d ，也即-+-=0a b c d =0，故选B.（4）12121cos602⋅=⋅︒=e e e e ， ()()221212112217232626222a b ∴⋅=+⋅-+=-+⋅+=-++=-e e e e e e e e ， ()222221211221||24444172==+=+⋅+=+⨯+=e a a e e e e e ，()222221211221||329124912472==-+=-⋅+=-⨯+=b b e e e e e e .设向量a 与向量b 的夹角为θ，则71cos ||2θ-⋅===-‖a b a b .又0180θ︒≤≤︒，所以120θ=︒，故选C.（5）311cos12011cos12011cos1202⋅+⋅+⋅=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=-a b b c c a .（6）由向量a ，b ，c 两两所成的角相等，故向量a ，b ，c 两两所成的角都等于0或2π3.当a ，b ，c 两两所成的角为2π3时，2π111cos 32⋅=⨯⨯=-a b ，2π313cos 32⋅=⨯⨯=-b c ，2π331cos 32⋅=⨯⨯=-c a .则22222||()222c ++=++=+++⋅+⋅+⋅a b c a b a b c a b b c c a1331192224222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，||2∴++=a b c .当a ，b ，c 唡两所成的角为0时，||||||||5++=++=a b c a b c .故选C. 14.答案：（1）见解析 （2）见解析解析：（1）先证||||⊥⇒+=-a b a b a b .||+==a b||-==a b .因为⊥a b ，所以，于是||||+=-a b a b . 再证||||+=-⇒⊥a b a b a b .由||||+=-a b a b ，两边平方得2222||2||||2||+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ， 所以0⋅=a b ，于是⊥a b .几何意义是矩形的两条对角线相等. （2）先证||||=⇒⊥a b c d .22()()||||⋅=+⋅-=-c d a b a b a b .又||||=a b ，所以0⋅=c d ， 所以⊥c d .再证||||⊥⇒=c d a b ， 由⊥c d 得0⋅=c d ，即22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ， 所以||||=a b ，几何意义是菱形的对角线互相垂直，如图所示.15.答案：见解析解析：由已知，可得123OP OP OP +=-， 两边平方得222121232OP OP OP OP OP +⋅+=，令2311OP OP OP ===，2112OP OP ∴⋅=-， ()222212121121211232PP OP OP OP OP OP OP ⎛⎫∴=-=+-⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，123PP ∴=. 同理233112OP OP OP OP ⋅=⋅=-，1223313PP P P P P ∴=== 故123PP P △是等边三角形.16.答案：22MN =-b a解析：连接AB （图略），由对称性可知，AB 是SMN △的中位线，22()2()22MN AB OB OA ==-=-=-b a b a .17.答案：这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了 解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图.由题意可得(0,0)A ，(9,0)B ，(12,C -，D .AD AB BC CD ∴=++=，||20AD ==tan 204DOx ∠==， 23DOx ∴∠≈︒，902367DOy ∠≈-=︒︒︒.∴这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了.18.答案：D解析：因为,,AB AC D ==a b 为AC 边的中点，所以12AD AC =.由向量减法的三角形法则可得，1122BD AD AB AC AB =-=-=-b a ，故选D. 19.答案：C解析：向量λ+a b 与λ+b a 的方向相反，()//()λλ∴++a b b a .由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m ，使得()m λλ+=+a b b a ， 即(1)()m m λλ-=-a b .a 与b 不共线，10m m λλ∴-=-=，可得2.10,1m λλλ=∴-==±.当1λ=时，向量+a b 与+b a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去.1λ∴=-.20.答案：C解析：由题意，得11()22AE AB BE AB BC AB AB AD DC =+=+=+-++11212332AB AB AD AB AB AD ⎛⎫=+-++=+ ⎪⎝⎭.21,32AE xAB yAD xAB yAD AB AD =+∴+=+. AB 与AD 不共线，∴由平面向量基本定理得2,31.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 213232132x y ∴-=⨯-⨯=.故选C.21.答案：A解析：123(3,4)(2,5)(3,1)(8,0)=++=+-+=f f f f ，设合力f 的终点为(,)P x y ，O 为坐标原点，则(1,1)(8,0)(9,1)OP OA =+=+=f .故选A. 22.答案：B解析：P 是ABC 所在平面上一点，且||2|0,|||()()0PB PC PB PC PA CB PB PA PC PA --+-=∴--+-=∣∣，即||||,||||CB AB AC AB AC AB AC =+∴-=+，两边平方并化简得0,,90AC AB AC AB A ︒⋅=∴⊥∴=，即ABC 是直角三角形.故选B. 23.答案：C解析：设ABC △的面积为S ，由题意知1sin 2S bc A =1sin602c =⋅︒，解得4c =.由余弦定理得22212cos 1168132a b c bc A =+-=+-⨯=，即a =由正弦定理可得sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++.故选C.24.答案：C解析：方法一：在ABC △中，由余弦定理可得22222cos 16924393AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以3AB =，则2221cos 29AB BC AC B AB BC +-==⋅.又因为(0,π)B ∈，所以sin B，所以sin tan cos BB B==.故选C.方法二：过点B 作BD AC ⊥交AC 于点D ，则1cos 22DC BC C AC ===，可得ABC △为等腰三角形，且AB BC =.在Rt BCD △中，BD ==，所以tan 2B DC BD ===，所以22tan2tan 1tan 2BB B ==-故选C. 25.答案：A解析：本题考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用.连接AC ，设ACB α∠=，ACD β∠=，则在ACB △中，4AB =，5BC =，90ABC ∠=︒，所以AC =sin α=cos α=，所以()1cos cos 1202βα=︒-=-+=2222cos 4192365AD AC CD AC CD β=+-⋅⋅=+-=-AD =故选A.26.答案：B解析：()()3a b c b c a bc +++-=，22()3b c a bc ∴+-=，222b bc c a -+=.根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222222cos b bc c a b c bc A -+==+-，即2cos bc bc A =，1cos 2A ∴=.0180A <<︒︒，60A ∴=︒.又sin 2sin cos A B C =，sin 2cos sin A C B∴=，即22222a a b c b ab+-=⋅，化简可得22b c =，即b c =，ABC ∴△是等边三角形.故选B.27.答案：32-解析：因为23(66,4)m -=---a b ，所以(66)42(4)m m --⨯=⨯-，故32m =-. 28.答案：2解析：由(1,2),(4,2)==a b ，得(4,22),|||m m m =+=++==c a b a b ，58,820m m ⋅=+⋅=+a c b c .c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，||||||||⋅⋅∴=c a c bc a c b ，即=，解得2m =.29.答案：78解析：根据正弦定理得2222sin sin sin 6sin 60A A B B a ab b +-=+-=，即(3)(2)0,2a b a b a b +-=∴=，则2c b =，根据余弦定理得2222222447cos 288a c b b b b B ac b +-+-===.30.答案：150解析：在ABC △中，45BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，100BC =，100sin 45AC ∴==︒在AMC △中，75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，45AMC ∴∠=︒，由正弦定理可得sin sin AM ACACM AMC=∠∠，即sin 60sin 45AM =︒︒，解得AM =在Rt AMN △中，sin MN AM MAN =⋅∠sin 60=︒150(m)=. 故答案为150. 31.答案：(1)见解析 (2)值为4± (3)43k =解析：(1)2,2AB OB OA AC OC OA =-=+=-=--a b a b ， 所以AC AB =-.又因为A 为公共点，所以A ，B ，C 三点共线.(2)设8(2),k k λλ+=+∈a b a b R ，则8,2, k k λλ=⎧⎨=⎩解得4,2k λ=⎧⎨=⎩或4,2,k λ=-⎧⎨=-⎩所以实数k 的值为4±.(3)()(23)32AC AB BC =+=++-=-a b a b a b . 因为A ，C ，D 三点共线，所以AC 与CD 共线. 从而存在实数μ使AC CD μ=，即32(2)k μ-=-a b a b ，得32,2,k μμ=⎧⎨-=-⎩解得3,24.3k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以43k =.32.答案：（1）12x = （2解析：（1）⊥b c ，2[(1)](1)55(1)0x x x x x x ∴⋅=⋅+-=⋅+-=-+-=b c b a b b a b ，解得12x =.（2）222222||[(1)]2(1)(1)x x x x x x =+-=+-⋅+-=c a b a a b b 222221010(1)5(1)252052515x x x x x x x ⎛⎫--+-=-+=-+ ⎪⎝⎭.当25x =时，2||c 有最小值1，即||c 有最小值1.此时，2355=+c a b .223232310(5)1555555⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭a c a a b a a b ，设向量a ，c 的夹角为θ，则cos ||||θ⋅===a c a c . 33.答案：(1)60B =︒(2)⎝⎭解析：(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=. 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=. 由180A BC ++=︒，可得sin cos 22A C B+=， 故cos2sin cos 222B B B =. 因为cos 02B≠，故1sin22B =，因此60B =︒.(2)由题设及(1)知ABC △的面积ABC S =△.由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+. 由于ABC △为锐角三角形，故090,090A C ︒<<︒︒<<︒， 由(1)知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<，ABC S <<△.因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭. 34.答案：(1)4海里.(2)南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.解析：(1)在ABC △中，因为2)AB =海里，AC =海里，135BAC ∠=︒，由余弦定理，得4BC =(海里). (2)根据正弦定理，可得sin1351sin 2AC ABC BC ︒∠==. 所以30ABC ∠=︒，易知15ACB ∠=︒，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，如图所示.则有CD =(海里)，BD =(海里).而120CBD ∠=︒，在BCD △中，根据正弦定理，可得sin sin BD CBD BCD CD ∠∠===所以45,15BCD BDC ∠∠=︒=︒，所以60ACD ∠=︒.在CBD △中根据正弦定理，得sin sin CB CD BDC CBD =∠∠，解得0.78t ≈小时≈47分钟. 故缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.35.答案：(1)5π6C =. (2)取值范围是(2,.解析：(1)因为222sin sin sin sin A B C A B +-=，所以由正弦定理得222a b c +-=，所以222cos 2a b c C ab +-=== 因为(0,π)C ∈，所以5π6C =. (2)由正弦定理得24sin c R C==，2sin )b R A B +=+π4sin 6A A ⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦14cos 2A A A ⎫=+⎪⎪⎭π4sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,6A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以πππ,663A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，b +的取值范围是(2,.。
第六章平面向量及其应用单元练习卷-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 平面向量及其应用 单元练习卷一、选择题1．设向量 a ⃗ =(k,2) ， b ⃗ =(2,−2) ，若 a⃗ //b ⃗ ，则实数 k 的值是（ ） A ．2 B ．−2 C ．1 D ．−12．设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（ ） A ．(a +b ⃗ )+c =a +(b ⃗ +c )B ．(a +b ⃗ )⋅c =a ⋅c +b ⃗ ⋅cC ．(a ⋅b ⃗ )⋅c =(b ⃗ ⋅c )⋅aD ．(a +b ⃗ )⋅(a +c )=|a |2+(b ⃗ +c )⋅a +b ⃗ ⋅c3．已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a |=|b ⃗ |=|a +b ⃗ |，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．5π6 D ．2π3 4．在ABC 中，若c=2acosB ，则△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知点O 是平面内任意一点，则“存在t ∈R ，使得OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +tOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“A ，B ，C 三点共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →= （ ） A ．1 B ．−2 C ．2 D ．√2 7．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，且BD ＝2DC ＝4，∠BAC =60°，则AD 的最大值为（ ）A ．2√3+2B ．4C ．√3+1D ．2 8．设非零向量 a ，b 夹角为 θ ，若 |a|=2|b| ，且不等式 |2a +b|≥|a +λb| 对任意 θ 恒成立，则实数 λ 的取值范围为（ ） A ．[−1，3] B ．[−1，5] C ．[−7，3] D ．[5，7]二、选择题9．下列说法错误．．的是（ ） A ．若 a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ ，则 a ⃗ =c ⃗ B ．若 a ⃗ //b ⃗ ，则存在唯一实数 λ 使得 a ⃗ =λb ⃗ C ．若 a ⃗ //b ⃗ ， b⃗ //c ⃗ ，则 a ⃗ //c ⃗ D ．与非零向量 a ⃗ 共线的单位向量为 ±a ⃗⃗ |a ⃗⃗ |10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ）A ．若A >B ，则sinA >sinBB ．若sin 2A +sin 2B <sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形C ．若a =8，c =10，B =60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．若acosB =√3， bsinA =3，则角B 的大小为π311．已知向量a ⃗ =(√2，1)，b⃗ =(cosθ，sinθ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ⃗ ⊥b⃗ ，则tanθ=√2 B ．若b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为−√36|a |，则向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角为2π3 C ．与a ⃗ 共线的单位向量只有一个为(√63，√33) D ．存在θ，使得|a +b ⃗ |=|a |+|b⃗ |12．在△ABC 中，D 是边BC 中点，下列说法正确的是（ ）A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B ．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量 C ．若点P 是△ABC 的外心，AC =5，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8，则AB =3 D ．若点Q 是线段AD 上的动点，且满足BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的最大值为14 三、填空题13．已知向量 a ⃗ =(−1，√3) ，则与 a ⃗方向上的单位向量是 .14．已知向量 a ⃗ 和 b ⃗ 满足 |a |=|a −2b ⃗ |=√2 ， |a −b ⃗ |=1 ，则 a ⃗ ⋅b⃗ = ． 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知 bsinC+ csinB=4asinBsinC ，b 2+c 2-a 2=8，则△ABC 的面积为 .16．已知向量 a,b 及实数 t 满足 |a +tb|=3 ．若 a ⋅b =2 ，则 t 的最大值是 ．四、解答题17．已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足| a ⃗ |=1，且（ a ⃗ ﹣ b ⃗ ）•（ a ⃗ + b ⃗ ）= 34 ． （1）求| b⃗ |； （2）当 a ⃗ • b ⃗ =- 14 时，求向量 a ⃗ 与 a ⃗ +2 b ⃗ 的夹角θ的值．18．已知向量 a,b,c 满足 |a|=√10,|b|=√5,a ⋅b =−5,c =xa +(1−x)b . （1）若 b ⊥c ，求实数 x 的值；（2）当 |c| 取最小值时，求向量 a 与 c 的夹角的余弦值.19．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知∠AOB =π6，弓形花园的弦长|AB|=2√3，记弓形花园的顶点为M ，∠MAB =∠MBA =π6，设∠OBA =θ.（1）将|OA|、|OB|用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosB +√3asinB =c +b ．（1）求角A 的大小；（2）若b =3，点G 是△ABC 的重心，且AG =√21，求△ABC 内切圆的半径．21．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．过D 点的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）．（1）用AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）若AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求1λ+2μ的值．22．在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB+√3bsinC=a（1）求角C的大小；（2）若c=1，求a2+b2的取值范围．。
2021年人教A版(2019)必修第二册数学第六章_平面向量及其应用单元测试卷含答案
2021年人教A 版（2019）必修第二册数学第六章 平面向量及其应用单元测试卷含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 6 分 ，共计60分 ， ）1. 与向量a →=(1，2)同向的单位向量是( ) A.(15,25)B.(√55,2√55) C.(√55,−2√55) D.(2√55,√55)2. 已知非零向量a →=(4x, x)，b →=(1, 4x)，若a →⊥b →，则|a →|=( ) A.√13 B.√17 C.√19 D.2√53. 已知a →=(x,3)，b →=(3,1)，且a → // b →，则x 等于（ ） A.−1 B.−9 C.9 D.14. 已知向量a →=(3, 2)，b →=(−2, 1)，c →=(4, 3)，若(λa →+b →)⊥(c →−a →)，则实数λ=( ) A.15 B.5 C.4D.145. 已知向量a →=(√32, 12)，b→=(√3, −1)，则a →，b →的夹角为（ ）A.π4 B.π3 C.π2D.2π36. 化简PM →−PN →+MN →所得的结果是（ ） A.MP →B.NP →C.0→D.MN →7. 已知|a →|=1，b →=(0, 2)，且a →⋅b →=1，则向量a →与b →夹角的大小为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π28. 在△ABC 中，AB =3，AC =4，M 为BC 的中点，则AM →⋅BC →=( ) A.−52 B.−32C.12D.729. 如图，在△ABC 中，∠BAC =π3,AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若AC =3,AB =4，则AP →⋅CD →的值为( )A.−3B.−1312C.1312D.11210. 设x ，y ∈R ，向量a →=(x,1)，b →=(1,y)，c →=(2, −4)，且a →⊥c →，b → // c →，则a →+b →=( ) A.(3, 3)B.(3, −1)C.(−1, 3)D.(3, 32)二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 6 分 ，共计36分 ， ）11. 已知OA →=(k, 2)，OB →=(1, 2k)，OC →=(1−k, −1)且相异的三点A 、B 、C 共线，则实数k =________．12. 已知向量|a →|=2，|b →|=1，且a →与b →的夹角为45∘，则a →在b →方向上的投影为________．13. 已知a →=(−1, 5, 1)，b →=(2, 14, −2)，2a →+4x →=b →，则x →=________．14. 在平面直角坐标系中，已知两点A(2, −1)和B(−1, 5)，点P 满足AP →=2PB →，则点P 的坐标为________．15. 设e 1→，e 2→是两个不共线的向量，已知向量AB →=me →1+2e →2，CB →=e 1→+2e 2→，CD →=2e 1→−e 2→，若A ，B ，D 三点共线，则实数m 的值为________．16. 在△ABC 中，AB =AC ，E ，F 是边BC 的三等分点，若|AB →+AC →|=√3|AB →−AC →|，则cos ∠EAF =________．三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 17 分 ，共计51分 ， ）17. 设m →，n →是两个不共线的向量，若AB →=m →+5n →，BC →=−2m →+8n →，CD →=4m →+2n →，试判断A,B,D 的位置关系. 18.(1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，用向量方法证明：四边形DEBF 是平行四边形；(2)如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN =2NC ，AM 与BN 相交于点P ，AB →=a →，AC →=b →.(1)设AP →=λAM →，求λ的值； (2)用a →，b →表示AP →和BP →.19. 已知点M(√3,1),N (cos x,sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )=OM →⋅(ON →−OM →). (1)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间；(2)若A 为△ABC 的内角， f (A )=−4 ，BC =√3，求△ABC 周长的最大值．参考答案与试题解析2021年人教A 版（2019）必修第二册数学第六章 平面向量及其应用单元测试卷含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 6 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 B【考点】平行向量的性质 单位向量【解析】 此题暂无解析 【解答】解：对于选项A ，它的模不为1不是单位向量, 对于B ，C ，D ，它们的模都是1，是单位向量, 又1×2√55=2×√55,故B 中向量与a →平行 1×√55≠2×(−2√55)，故C 中的向量与a →不平行, 1×2√55≠2×√55，故D 中向量与a →不平行. 故选B . 2.【答案】 B【考点】向量模长的计算数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ a →⊥b →，a →=(4x, x)，b →=(1, 4x)， ∴ a →⋅b →=4x +4x 2=0， 解得x =0或x =−1， ∵ a →为非零向量， ∴ x =−1， ∴ a →=(−4, −1)， ∴ |a →|=√17. 故选B .3.【答案】 C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出x 的值． 【解答】解：∵ a →=(x,3)，b →=(3,1)，且a → // b →， ∴ x −3×3=0， 解得x =9． 故选：C ． 4.【答案】 A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】可求出λa →+b →=(3λ−2,2λ+1)，c →−a →=(1,1)，根据(λa →+b →)⊥(c →−a →)即可得出(λa →+b →)⋅(c →−a →)=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出λ． 【解答】解：λa →+b →=(3λ−2,2λ+1)，c →−a →=(1,1)， 因为(λa →+b →)⊥(c →−a →)，所以(λa →+b →)⋅(c →−a →)=3λ−2+2λ+1=0， 解得λ=15． 故选A . 5.【答案】 B【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得cos θ的值，可得a →，b →的夹角θ的值． 【解答】设a →，b →的夹角为θ，θ∈[0, π]，∵ 向量a →=(√32, 12)，b→=(√3, −1)，∴ a →⋅b →=√32⋅√3−12=|a →|⋅|b →|⋅cos θ＝1⋅2cos θ，求得cos θ=12，∴ θ=π3， 6. 【答案】 C【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】利用向量加法的三角形法则，(PM →+MN → )=PN →，代入要求的式子化简． 【解答】解：化简PM →−PN →+MN →=(PM →+MN → )−PN →=PN →−PN →=0→. 故选C . 7.【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积【解析】利用向量的夹角公式即可得出． 【解答】解：∵ |a →|=1，b →=(0, 2)，且a →⋅b →=1， ∴ cos <a →，b →>=|a →||b →|˙=1×√0+22=12．∴ 向量a →与b →夹角的大小为π3． 故选：C ． 8. 【答案】 D【考点】向量的线性运算性质及几何意义 平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知AM →=12(AB →+AC →)，BC →=AC →−AB →， 所以AM →⋅BC →=12(AB →+AC →)⋅(AC →−AB →) =12(AC →2−AB →2)=72.故选D . 9. 【答案】 C【考点】平面向量数量积的运算 向量的三角形法则 【解析】先求出AP →,CD →的表达，进而利用题目所给信息进行求解即可. 【解答】解：已知AP →=mAC →+12AB →， ∵ AD →=2DB →， ∴ AB →=32AD → ， 则AP →=mAC →+34AD →. ∵ C,P,D 三点共线， ∴ m +34=1， 即m =14，∴ AP →=14AC →+12AB →.已知∠BAC =π3，则AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos π3=6，而CD →=CB →+BD →=CA →+AB →−13AB →=23AB →−AC →，故AP →⋅CD →=(14AC →+12AB →)(23AB →−AC →)=16AB →⋅AC →−14|AC →|2+13|AB →2|−12AB →⋅AC →=1312 . 故选C . 10.【答案】 B【考点】数量积的坐标表达式根据平面向量的坐标公式，利用向量平行和向量垂直的坐标公式即可得到结论． 【解答】解：∵ a →=(x,1)，b →=(1,y)，c →=(2, −4)，且a →⊥c →，b → // c →， ∴ 2x −4=0且12=y−4， 即x =2，y =−2．∴ a →=(2,1)，b →=(1,−2)， ∴ a →+b →=(3, −1)，故选：B ．二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 6 分 ，共计36分 ） 11.【答案】−14【考点】平行向量的性质 【解析】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k ． 【解答】解：∵ OA →=(k, 2)，OB →=(1, 2k)，OC →=(1−k, −1)且相异的三点A 、B 、C 共线， ∴ AB →=(1−k, 2k −2)，BC →=(−k, −1−2k)， ∴ (1−k)(−1−2k)−(2k −2)(−k)=0，解得k =1或k =−14，当k =1时，A ，B 重合，故舍去， 故答案为：−14．12. 【答案】 √2【考点】 向量的投影 【解析】根据b →在a →方向上的投影为|b →|⋅cos <a →，b →>，运算求得结果． 【解答】解：根据a →在b →方向上的投影为|a →|⋅cos <a →，b →>=2×cos 45∘=√2. 故答案为：√2． 13. 【答案】【考点】平面向量的坐标运算 【解析】直接利用空间向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：a →=(−1, 5, 1)，b →=(2, 14, −2)，2a →+4x →=b →， 则x →=14(b →−2a →)=14(4,4,−4)=(1, 1, −1) 故答案为：(1, 1, −1) 14.【答案】 (0, 3) 【考点】平面向量的坐标运算 【解析】市场P 的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可． 【解答】解：设P(a, b)，点A(2, −1)和B(−1, 5)，点P 满足AP →=2PB →， 可得(a −2, b +1)=2(−1−a, 5−b)，可得a −2=−2−2a ，b +1=10−2b ，解得a =0，b =3． 点P 的坐标为(0, 3)． 故答案为：(0, 3)． 15. 【答案】−23【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ CB →−CD →=DB →=−e →1+3e →2，AB→=λDB →∴ {m =−λ2=3λ⇒m =−23．故答案为：−23．16. 【答案】1314【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由已知结合向量加法及减法的四边形法则可表示各边，然后结合余弦定理即可求解． 【解答】解：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ， 则AB →+AC →=AD →，AB →−AC →=CB →， 若|AB →+AC →|=√3|AB →−AC →|，则AD =√3BC ，设BC =√3，则AD =3，由AB =AC 可得平行四边形ABDC 为菱形，得BC ⊥AD ， 则AB =AC =(32)(√32)=√3，EF =√33， AE =AF =(32)(√36)=√213， cos ∠EAF =AE 2+AF 2−EF 22AE⋅AF =219×2−132×√213×√213=1314．故答案为：1314.三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 17 分 ，共计51分 ） 17.【答案】解：BD →=BC →+CD →=−2m →+8n →+4m →+2n →=2m →+10n →=2(m →+5n →)=2AB →， ∴ A ，B ，D 三点共线． 【考点】向量的共线定理 【解析】由已知可得：BD →=BC →+CD →=2m →+10n →=2AB →，即可得出结论． 【解答】解：BD →=BC →+CD → =−2m →+8n →+4m →+2n →=2m →+10n →=2(m →+5n →)=2AB →， ∴ A ，B ，D 三点共线． 18. 【答案】(1)证明：设AD →=a →，AE →=b →，则{DE →=AE →−AD →=b →−a →，FB →=CB →−CF →=−a →+b →， 所以DE →=FB →，所以四边形DEBF 为平行四边形 .(2)(1)根据条件，AP →=λAM →=λ2(AB →+AC →) =λ2(AB →+32AN →)=λ2AB →+3λ4AN →.∵ B ，P ，N 三点共线， ∴ λ2+3λ4=1，∴ λ=45；(2)根据(1)，AP →=λ2AB →+λ2AC →=25a →+25b →，BP →=AP →−AB →=−35a →+25b →.【考点】向量在几何中的应用向量加减混合运算及其几何意义 向量的共线定理 【解析】设AD →=a,AE →=b →，则{DE →=AE →−AD →=b →−a →FB →=CB →−CF →=−a →+b →，所以DE →=FB →，所以DE 平行且等于FB ，所以四边形DEBF 为平行四边形 . 【解答】(1)证明：设AD →=a →，AE →=b →， 则{DE →=AE →−AD →=b →−a →，FB →=CB →−CF →=−a →+b →， 所以DE →=FB →，所以四边形DEBF 为平行四边形 .(2)(1)根据条件，AP →=λAM →=λ2(AB →+AC →) =λ2(AB →+32AN →)=λ2AB →+3λ4AN →.∵ B ，P ，N 三点共线， ∴ λ2+3λ4=1，∴ λ=45；(2)根据(1)，AP →=λ2AB →+λ2AC →=25a →+25b →， BP →=AP →−AB →=−35a →+25b →.19. 【答案】解：(1)∵ OM →(√3,1)，ON →(cos x,sin x )， ∴ f (x )=√3cos x +sin x −4 =2sin (x +π3)−4.由−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ(k ∈Z)， 可得−5π6+2kπ≤x ≤π6+2kπ(k ∈Z)，∴ 函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是[0,π6]和[7π6,2π] .(2)∵ f (A )=−4， ∴ A =2π3.又∵ BC =√3， ∴ BCsin A =2.根据正弦定理可得b =2sin B ，c =2sin C ， ∴ 周长L =√3+b +c =2sin B +2sin C +√3=2sin B +2sin (π3−B)+√3=2sin (B +π3)+√3，∴ 周长的最大值为2+√3 . 【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 正弦函数的单调性 两角和与差的正弦公式 正弦定理函数的最值及其几何意义 【解析】解：f (x )=√3cos x +sin x −4=2sin (x +π3)−4 , (1)单调递增区间是[0,π6]和[7π6,2π] .(2)因为f (A )=−4，所以A =2π3.又因为BC =√3，根据正弦定理可得b =2sin B ,c =2sin C ，所以周长L =√3+b +c =2sin B +2sin C +√3=2sin B +2sin (π3−B)+√3=2sin (B +π3)+√3所以，当B =π6时，周长最大为2+√3 . 【解答】解：(1)∵ OM →(√3,1)，ON →(cos x,sin x )， ∴ f (x )=√3cos x +sin x −4 =2sin (x +π3)−4.由−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ(k ∈Z)，可得−5π6+2kπ≤x ≤π6+2kπ(k ∈Z)，∴ 函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是[0,π6]和[7π6,2π] .(2)∵ f (A )=−4， ∴ A =2π3.又∵ BC =√3， ∴ BCsin A =2.根据正弦定理可得b =2sin B ，c =2sin C ， ∴ 周长L =√3+b +c =2sin B +2sin C +√3=2sin B +2sin (π3−B)+√3=2sin (B +π3)+√3， ∴ 周长的最大值为2+√3 .。
2019-2020学年新人教A版必修二 第六章 平面向量及其应用 单元测试
一、选择题【题1】下列命题正确的是（ ）A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行考点向量及与向量相关的基本概念 难度2星 题型选择关键词无【解析】 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b 都是非零向量，所以应选C.答案C.【题2】若||||OA OB OA OB +=-则向量,OA OB 的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．不确定考点向量数乘运算及其几何意义 难度2星题型选择关键词无【解析】||||OA OB OA OB +-与分别表示平行四边形的两条对角线，它们相等，即说明四边形ABCD 为矩形。
故选C答案C【题3】若非零向量a ，b 满足a b b -=，则（ ）A ．22b a b >-B ．22b a b <-C ．22a a b >-D ．22a a b <-考点向量的加、减法难度3星题型选择关键词2018年，浙江，高考【解析】 若两向量共线，则由于a ，b 是非零向量，且a b b -=，则必有2a b =；代入可知A ，C 满足；若两向量不共线，设OA a =，OB b =，则B A a b =-，有B A O B=，延长OB 至C ，使B C O B =，则2CA a b =-．由O B B C A B ==知，90OAC ∠=︒，于是22OC b a b AC =>-=．而2OA 与AC 的大小无法确定，故选A ．CO答案A ；【题4】如图，设P 、Q 为△AB C 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为()A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13考点平面向量基本定理 难度3星题型选择关键词无【解析】 如图,设25AM AB =,15AN AC =则AP AM AN =+由平行四边形法则知NP ∥AB ，所以ABP AN ABC AC ∆=∆=15，同理可得14ABQ ABC ∆=∆。
第六章平面向量及其应用-综合复习训练(含解析)高中数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 平面向量及其应用综合复习训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设O 为ABC 的内心，13AB AC ==，10BC =，(),AO mAB nAC m n =+∈R ，则m n += （ ）.A ．1336B ．1318C ．518D ．5362．已知向量()()1,1,2,3a b =-= ，则b 在a上的投影向量的坐标为（ ）A ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知向量()2,0a =r，b λ⎛= ⎝ ，若向量b 在向量a上的投影向量1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭ ，则b = （ ）ABCD ．14．已知非零向量a ，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b = ”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若1,30a b A ===︒，则B =（ ）A ．30︒B ．30︒或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒6．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，设22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+，2sin 0A B -=，则角B 等于（ ）A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．150︒7．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知 ()sin sin sin cos 0B A C C -+=，2a c ==，b 为（ ）ABC ．2D．8．ABC 中，()()()2,5,cos ,sin ,,R AB m m AC m ααα=+=∈，若对任意的实数,t AB t AC AB AC -≥- 恒成立，则BC 边的最小长度是（ ）．ABCD．二、多选题9．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，b ，1c =，则（ ）A ．ABC 为锐角三角形B ．ABCC ．O 为ABC 的外心，则143OA OC ⋅=- D ．设3AG AC =，则BG =10．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且2a =，AB AC ⋅=，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B ．若2b =，则ABC 只有一解C ．若ABC 为锐角三角形，则b取值范围是(4⎤⎦D ．若ABC 为锐角三角形，则ABC的面积的取值范围(211．在OAB 中，点121,,,n P P P -⋯分别是AB 上的n 等分点，其中*N ,4n n ∈≥，则（ ）A ．3221n n n n OP OP OP OP ----⋅=⋅B ．2312n n n OP OP OP ---=+C ．1111n n OP OA OB n n -=+++D ．1212(1)||n OP OP OP n OA OB -++⋯+=-+12．设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，21,e e分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若12OP xe ye =+ ，则把有序实数对(,)x y 叫做向量OP在斜坐标系Oxy 中的坐标，记作(,)OP x y = .则下列说法正确的是（ ）A ．若(2,1)OP =，则||OP = B ．若1(2,1),1,2AB BC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ ，则A ，B ，C 三点共线C ．若12(3,2),(2,3)OP OP ==- ，则12OP OP ⊥D ．若(2,0),(0,3),(4,1)OA OB OC === ，则四边形OACB三、填空题13．已知ABC 的边4AC =，且321tan tan A B+=，则ABC 的面积的最大值为 ．14．在ABC 中，已知向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且0AB AC ⋅= ，则角B = .15．若3AB =，2AC CB =，平面内一点P ，满足PA PC PB PC PA PB ⋅⋅= ，sin PAB ∠的最大值是 ．16．已知,,A B C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+ ，则AB与AC 的夹角为．四、解答题17．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24cos cos a bc A ac B =+．(1)求sin sin AC的值．(2)若BD 是ABC ∠的平分线．（i ）求证：2BD BA BC DA DC =⋅-⋅；（ii ）若1a =，求BD AC ⋅的最大值．18．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，21,e e分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+ ，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP在坐标系Oxy 中的坐标． 设1223OP e e =+ ，(1)求||OP的模长；(2)设2OQ e me =+ ，若//OP OQ ，求实数m 的值；(3)若1112OA x e y e =+ ，2122OB x e y e =+ ，有同学认为“OA OB ⊥”的充要条件是“12120x x y y +=”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．19．已知C 为OAB 所在平面内一点，满足0,2OA OB OC OA OB OC ++===，且OAB 的面积为(1)求cos AOB ∠的值;(2)求OA OC ⋅的值;(3)若点P 是线段AC 上一点，过点P 分别向,BA BC 作垂线，垂足分别为E ，F ，求PB PE PB PF ⋅+⋅的最小值．20．在①cos cos 2B bC a c =-；②11tan tan A B +=；③设ABC 的面积为S ，且2223()3b a c +-=．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且_____，b =(1)若4a c +=，求ABC 的面积；(2)求ABC 周长的范围(3)若ABC 为锐角三角形，求b ca+的取值范围．21．已知向量a 与b的夹角为30,2a ︒= .(1)求a b + 的值；(2)若b =，求a 在b 上的投影向量c的坐标.参考答案：1．B【分析】取BC 的中点E ，连AE ，则OE 为内切圆的半径，利用面积关系求出OE ，得1318AO AE = ，再根据()12AE AB AC =+ 得13133636AO AB AC =+，由平面向量基本定理求出,m n 可得答案.【详解】取BC 的中点E ，连AE ，因为13AB AC ==，10BC =，所以AE BC ⊥，12AE ==，所以ABC 的内心O 在线段AE 上，OE 为内切圆的半径，因为ABC AOB AOC BOC S S S S =++ ，所以()1122AE BC OE AB AC BC ⋅=⋅++，所以()11121013131022OE ⨯⨯=⋅++，得10OE 3=，所以10261233AO AE OE =-=-=，所以1318AO AE =，又()12AE AB AC =+ ，所以13133636AO AB AC =+，又已知AO mAB nAC =+ ，所以1336m n ==，所以1318m n +=.故选：B.【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到13133636AO AB AC =+是本题解题关键.2．D【分析】利用b 在a上的投影向量的定义求解.【详解】因为()()21,12,3231,||2a b a ⋅=-⋅=-+== ，所以b 在a上的投影向量的坐标为()1111,1,222a b a aa ⋅⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭．故选：D ．3．D【分析】利用b 在a上的投影向量的定义求解.【详解】解：由已知可得，b 在a上的投影向量为()2,0222a b a a a a a λλλ⋅⋅===⨯，又b 在a上的投影向量1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭，所以12λ=.所以1b ==== ，D 正确．故选：D.4．B【分析】根据向量数量积的运算性质及充分条件、必要条件得解.【详解】若a c b c ⋅=⋅ ，可得()0a b c -⋅= ，即a b - 与c 垂直即可，得不出a b =，若a b =时，a c b c ⋅=⋅ 显然成立，所以“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件，故选：B 5．D【分析】利用正弦定理求出sin B ，从而求出B .【详解】由正弦定理sin sin a b A B =，得1sin 30︒=sin B =，又0150B ︒<<︒，所以60B =︒或120B =︒.故选：D 6．A【分析】先利用正弦定理角化边，整理后利用余弦定理求出角A2sin 0A B -=求出角B .【详解】由正弦定理可得22()(2b c a bc +=+，整理得222+=b c a ，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-===，又()0,πA ∈，所以3π4A =，3π2sin 04B -=，得1sin 2B =，又()0,πB ∈，所以π6B =或5π6B =（πA B +>，舍去）故选：A.7．C【分析】利用三角恒等变换可得cos sin 0A A -=，进而可求得A ，由余弦定理得222π224b b =+- ，可求b 的值.【详解】由sin sin (sin cos )0B A C C -+=，可得sin()sin sin sin cos 0A C A C A C +--=，所以cos sin sin sin 0A C A C -=，因为sin 0C ≠，所以cos sin 0A A -=，所以tan 1A =，因为(0,π)A ∈，所以π4A =，在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以222π224b b =+- ，所以2440b b -+=，解得2b =.故选：C.8．C【分析】设AD t AC =，得到AB t AC DB CB -=≥ 恒成立，得出AC BC ⊥，根据题意，结合勾股定理，得到BC =.【详解】设AD t AC =，如图所示，因为对任意的实数t ，都有AB t AC AB AC -≥-恒成立，由AB t AC AB AD DB CB -=-=≥恒成立，则AC BC ⊥，因为()()2,5,cos ,sin AB m m AC αα=+= ，所以AB = ，≥=当且仅当1m =-时，等号成立．故选：C ．【点睛】关键点点睛：设AD t AC =，得到AB t AC DB CB -=≥ 恒成立，得出AC BC ⊥，是解决本题的关键.9．BD【分析】对于A ：计算cos A 的正负即可；对于B ：直接用面积公式计算即可；对于C ：利用余弦定理求出B ，利用正弦定理求出外接圆半径，再直接利用向量的定义计算OA OC ⋅即可；对于D ：先表示出1233BG BC BA =+，然后两边同时平方计算.【详解】对于A：222cos 02b c a A bc +-===<，A 为ABC 中的角，故A 为钝角，ABC 为钝角三角形，A 错误；对于B：sin A ===，则11sin 122ABC S bc A ==´´，B 正确；对于C ：2229171cos 262a cb B ac +-+-===，B 为ABC 中的角，则π3B =，所以2π3AOC ∠=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理2sin aR A =得2sin a R A ===所以17cos 26OA OC OA OC AOC ⎛⎫⋅=⋅∠=-=- ⎪⎝⎭，C错误；对于D ：因为3AG AC =，则()11123333BG BA AG BA AC BA BC BA BC BA =+=+=+-=+ ，所以22221214433999BG BC BA BC BA BC BA⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭144119913199929=⨯+⨯+⨯⨯⨯=，所以BG =D 正确.故选：BD.10．ABD【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A ，直接解三角形可判定B ，利用角的范围结合正弦定理可判定C ，利用正弦定理将边化角，再由面积公式、三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出ABC S 的范围，即可判断D.【详解】对于A，因为AB AC ⋅=，所以1cos sin 2bc A bc A =，则tan A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =，故A 正确；对于B ，因为2b a ==，则π6B A ==，2π3C =，故ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若ABC 为锐角三角形，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π02ππ0π62B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，则ππ32B <<，即sin B ⎫∈⎪⎪⎭，由正弦定理可知()sin 4sin 4sin a Bb B A==∈，故C 错误；对于D ，由正弦定理可知24πsin sin sin sin 6a b c A B A ====，所以4sin b B =，4sin c C =，所以111sin 4sin 4sin 4sin sin 222ABC S bc A B C B C==⨯⨯⨯= π4sin sin 6B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ4sin sin cos cos sin 66B B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14sin cos2B B B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos B B B =+)sin 21cos 2B B =-sin 22B B =+π2sin 23B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为ππ32B <<，所以ππ2π2333B <-<，即πsin 23B ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦，所以(2ABC S ∈+ ，故D 正确.故选：ABD.11．BD【分析】本题重点是研究线段AB 的n 等分点，A 选项是两向量与同一条向量的数量积，易联想到这两向量31,n n OP OP -- 在同一条向量2n OP -上的投影向量的大小，结合图形，易判断A是错误的，再利用中线向量的性质可判断2312n n n OP OP OP ---=+是正确的， C 选项中通过向量的加法运算和共线运算，发现共线向量的比例明显有错误， 而D 选项，依次利用同一条向量在两个三角形中的加法法则可得，11OP OA AP =+ ，111n OP OB BP OB AP -=+=-，相加得1112n OP OA OB AP AP -=++-，再利用累加法可计算得到结果是正确.【详解】选项A ：323232cos n n n n n n OP OP OP OP P OP ------⋅=⋅∠，212121cos n n n n n n OP OP OP OP P OP ------⋅=⋅∠，由图易知，两向量31,n n OP OP -- 在2n OP -上的投影向量的大小是332121cos cos n n n n n n OP P OP OP P OP ------∠≠∠，所以A 是错误的.选项B ：由于2n P -是13n n P P --的中点，所以有2312n n n OP OP OP ---=+，即B 是正确的．选项C ：()111111n n n n n OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB n n n n-----=+=+=+-=+ ，所以C 是错误的.选项D ：因为11OP OA AP =+ ，111n OP OB BP OB AP -=+=- ，所以1112n OP OA OB AP AP -=++-，22OP OA AP =+ ，222n OP OB BP OB AP -=+=- ，所以2222n OP OA OB AP AP -=++- ，⋅⋅⋅，11n n OP OA AP --=+ ，111n n OP OB BP OB AP --=+=-，所以1112n n OP OA OB AP AP --=++- ，即由上面n 1-个等式相加得：()()1212(1)n OP OP OP n OA OB -++⋯+=-+，所以1212(1)n OP OP OP n OA OB -++⋯+=-+，所以D 是正确的.故选：BD 12．ABD【分析】根据向量新定义利用数量积的运算律求解模长即可判断A ，根据向量运算得2AB BC =- 即可判断B ，根据数量积运算律求得11502OP OP ⋅=-≠ 判断C ，先通过向量模的运算求得四边形OACB 的边长，再结合余弦定理和勾股定理利用三角形面积公式求解即可判断D.【详解】对于A ，由题意得122OP e e =+，故()222222121122112224444cos 60OP e e e e e e e e e e =+=+⋅+=+⋅︒+ 14411172=+⨯⨯⨯+=，故||OP =正确；对于B ，由题意得121212,2AB e e BC e e =+=-- ，所以2AB BC =-，所以A ，B ，C 三点共线.正确；对于C ，由题意得11211232,23OP e e OP e e =+=-，所以()()22111212112215322365665116022OP OP e e e e e e e e ⋅=+-=-⋅-=-⨯⨯⨯-=-≠ ，故1OP 与2OP 不垂直，错误；对于D ，因为(2,0),(0,3),(4,1)OA OB OC ===，所以(2,1),(4,2)AC BC ==- 12OA e = ，所以2,3OA OB ==== ，AC OP == ，BC ==== ，OC ==== ，所以222OB BC OC +=，即OB BC ⊥，所以132OBC S =⨯⨯= OAC 中，由余弦定理知，222cos 2OA AC OC OAC OA AC +-∠===⋅sin OAC ∠===11sin 222OAC S OA AC OAC =⨯⨯⨯∠=⨯=所以四边形OACB 的面积为OBC OAC S S +==正确.故选：ABD13．2+【分析】首先利用三角函数商的关系以及三角恒等变换得2sin sin (sin cos )C B A A =-，再利用正弦定理得24(sin cos )c A A =-，从而得到π(,π)4A ∈，再利用三角形面积公式结合降幂公式得π24S A =-+，最后根据三角函数的图象与性质即可得到最值．【详解】由题意，设ABC 中角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，则有4b =，由321tan tan A B+=，可得3cos 2cos 1sin sin A BA B +=，整理得3cos sin 2sin cos sin sin As B A B A B +=，所以cos sin 2sin()sin sin A B A B A B ++=，因为πA B C ++=，所以cos sin 2sin sin sin A B C A B +=，所以2sin sin (sin cos )C B A A =-.由正弦定理可得2(sin cos )4(sin cos )c b A A A A =-=-，所以2(sin cos )0c A A =->，则sin cos A A >．若π,π2A ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则sin 0cos 0A A >≤,，显然sin cos A A >成立，若π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0A >，则πtan 1tan 4A >=，则有ππ,42A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，综上，π,π4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积21sin 4(sin cos )sin 4sin 4cos sin 2S bc A A A A A A A ==-=-，所以1cos2π42sin22)24A S A A -=⨯-=-+，因为π,π4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π9π2(,444A +∈，当π3π242A +=，即5π8A =时，ABC 的面积S取得最大值2+，故答案为：2+14．4π/45︒【分析】依题意可得AB AC ⊥，设角A 的平分线交BC 于D ，即可得到AD BC ⊥，从而得到ABC 为等腰直角三角形，即可得解.【详解】设角A 的平分线交BC 于D ，因为0AB AC ⋅= ，故AB AC ⊥，即π2CAB ∠=，又AB AB表示与AB同向的单位向量，AC AC表示与AC 同向的单位向量，设AB AE AB=，AC AF AC=（如图所示），AE AF AG +=，因为1AE AF == ，故四边形AEGF 为正方形，所以AG 为角A 的平分线，故G 在AD 上.因为0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，故AD BC ⊥，故AB AC =.综上，ABC 为等腰直角三角形且π2CAB ∠=，所以π4B =.故答案为：π415．12/0.5【分析】由向量的数量积定义和条件易得APC BPC ∠=∠，利用三角形的角平分线定理可得2PA PB =,设PB x =，求出x 的取值范围，借助于余弦定理得到cos PAB ∠的解析式，由基本不等式求得∠PAB 的范围，由正弦函数的图象即得sin PAB ∠的最大值.【详解】如图，由PA PC PB PCPA PB⋅⋅= 和向量的数量积定义可得，||cos ,||cos ,PC PA PC PC PB PC 〈〉=〈〉 ，即得APC BPC ∠=∠，从而2PA ACPB BC==，设PB x =，则2PA x =，由PA PB AB +>，PA PB AB -<可得13x <<由余弦定理，22943cos 22344x x x PAB x x +-∠==+≥=⨯⨯当且仅当344x x =时，即x =时，等号成立，因0πPAB <∠<，则π06PAB <∠≤，故10sin 2PAB <∠≤.故答案为：12.【点睛】思路点睛：本题主要考查向量的数量积定义和余弦定理、基本不等式的综合应用,属于难题.解题的思路在于对向量等式的理解和转化，以及三角形中角平分线定理的运用，通过余弦定理将所求角∠PAB 与三角形的三边联系起来，借助于基本不等式求得cos PAB ∠的范围.16．90【分析】根据向量等式可知BC 为圆O 的直径，由直径所对圆心角为90 可得结论.【详解】由1+2AO AB AC = （）可得,AO AB AC AO -=- 即,BO OC =故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，即BC 是圆O 的直径，从而90BAC ∠= ，即AB与AC 的夹角为90 .故答案为：90 .17．(1)12(2)（i ）证明见解析；（ii 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；（2）（i ）在ABD △和BCD △中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii ）利用（i ）的结论以及基本不等式即可求得答案.【详解】（1）因为24cos cos a bc A ac B =+，由正弦定理可得24sin sin sin cos sin sin cos A B C A A C B =+，2sin (sin cos cos sin )sin sin()sin C B A B A C A B C =+=+=，且,(0,π)A C ∈，则sin ,sin 0A C >，所以sin 1sin 2A C =.（2）（i ）在ABC 中，由正弦定理可得si n si n AD ABABD ADB=∠∠①，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠②，.在BCD △中，由正弦定理可得sin sin CD BC CBD CDB=∠∠③，由余弦定理可得2222cos BC CD BD CD BD CDB =+∠-⋅⋅ ④.因为BD 是ABC ∠的平分线，则ABD CBD ∠=∠，所以sin sin ABD CBD ∠=∠.因为πADB CDB ∠+∠=，所以sin sin ADB CDB ∠=∠，cos ADB cos DB 0∠+∠=C ，①÷③，得AD ABCD BC=⑤，所以AD AB AC BC AB =+，CD BC AC BC AB =+，CD ⨯②＋AD ⨯④，得222()()CD AB AD BC CD AD AD CD CD AD BD ⋅⋅⋅⋅++⋅+=+2CD AD AC AC BD =⋅⋅+⋅所以22222CD AB AD BC BC AB AB BC BD CD AD CD ADAC AB AC++=-=+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅BA BC DA DC =⋅-⋅，得证．（ii ）由（1）可得sin 1sin 2A C =，则22c a ==，即1,2BC AB ==，由⑤式（或由角平分线定理）知，2AD ABCD BC==，所以23AD AC =，13DC AC =，所以由（i ）知22229BD AC =-，所以22229BD AC +=，因为2229BD AC AC +≥⋅2AC ⋅≤，解得BD AC ⋅≤当且仅当1,BD AC ==时，取得等号，所以BD AC ⋅18．(1)||OP =(2)32m =(3)充要条件为1212122111022x x y y x y x y +++=【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求||OP；（2）设OP OQ λ=，可得121223()e e e me λ+=+ ，可求实数m 的值；（3）由OA OB ⊥，可得11122122()()0x e y e x e y e +⋅+= ，运算可知不正确.【详解】（1）因为1223OP e e =+ ，所以两边平方得22221212121()(23)49121312192OP e e e e e e =+=++⋅=+⨯= ，故||OP =u u u r（2）因OP OQ∥，由共线定理，存在唯一的实数λ，有OP OQλ=则121223()e e e me λ+=+ ，故23m λλ=⎧⎨=⎩，所以32m =；（3）不正确证明：因为OA OB ⊥ ，所以0OA OB ⋅=，即11122122()()0x e y e x e y e +⋅+= ，则有22121122121221121212122111022x x e y y e x y e e x y e e x x y y x y x y ++⋅+⋅=+++= ，所以“OA OB ⊥ ”的充要条件是“1212122111022x x y y x y x y +++=”,所以“OA OB ⊥”的充要条件是“12120x x y y +=”是不正确的.19．(1)14-(2)14-(3)254【分析】（1）利用平面向量数量积公式及运算律计算夹角即可；（2）根据同角三角函数的平方关系结合（1）的结论、三角形面积公式得4,2OA OB ==，由平面向量数量积得2OA OB ⋅=- ，再在等式0OA OB OC ++=两边同乘以OA 计算即可；（3）利用（1）（2）的结论及数量积运算律可得AB BC == 由条件可判定O 为ABC的重心，根据面积关系得PE PF += ，利用投影的意义及基本不等式计算最值即可.【详解】（1）由0OA OB OC ++=得OC OA OB -=+ ，两边平方可得:2222OC OA OA OB OB =+⋅+ ，又2OA OB OC == ，所以2222OA OA OA OB OB =+⋅+ ，即22OA OB OB ⋅=-，即222cos 4cos OA OB AOB OB AOB OB ⋅∠=∠=- ，所以1cos 4AOB ∠=-；（2）因为()0,πAOB ∠∈，所以sin AOB ∠==，又1sin 2OAB S OA OB AOB =⋅⋅⋅∠=所以4,2OA OB == ，则cos 2OA OB OA OB AOB ⋅=∠=-，在等式0OA OB OC ++=两边同乘以OA ，有()22420OA OB OA OC OA OC OA +⋅+⋅=+-+⋅=，所以14OA OC ⋅=-；（3）因为()2222224AB OB OAOB OA OB OA =-=-⋅+=，同理得224BC =，即有AB BC == 由0OA OB OC ++=得点O 是ABC 的重心，所以3ABC OAB S S ==又12ABC PAB PBC S S S =+=⨯即有PE PF += 所以222()4524PE PF PB PE PB PF PE PF +⋅+⋅=+≥=，(当且仅当PE PF == )，所以PB PE PB PF ⋅+⋅ 的最小值为254.【点睛】思路点睛：第一问利用等量关系同时平方消去OC，利用数量积公式计算即可；第二问利用三角形面积公式先计算OA OB ⋅ ，再在等式0OA OB OC ++=两边同乘以OA 计算即可；第三问利用重心的性质结合面积公式推出PE PF += ，再根据投影的意义及基本不等式计算即可.20．(2)((3)2⎫+⎪⎪⎭【分析】（1）选①，结合正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形内角和和诱导公式可求角B ；选②，首先“切化弦”，结合两角和与差的三角函数公式，可求角B ；选③，根据余弦定理，可求角B ；再根据余弦定理和三角形的面积公式，求三角形的面积.（2）先用余弦定理，得到a c +和ac 的关系，再利用基本（均值）不等式，求a c +的取值范围，最后得a b c ++的范围.（3）结合正弦定理，先把b ca+表示成角A 的三角函数，根据三角形是锐角三角形，确定角A 的取值范围，利用三角函数的单调性，求b ca+的取值范围.【详解】（1）选①，由正弦定理得cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--，整理得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，即2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A =+=+=，因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又0πB <<，故π3B =.选②，因为11cos cos cos sin cos sin tan tan sin sin sin sin A B A B B A A B A B A B++=+=sin()sin sin sin sin sin A B CA B A B +==，所以sin sin sin C A B =又sin 0C ≠，故tan B =0πB <<，故π3B =.选③，因为2223()3b a c +-=，即222()sin 3B a c b =+-，22232a c b B ac+-=⋅，3cos B B =，所以tan B =0πB <<，故π3B =.由余弦定理得22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，即21124222ac ac =--⨯，解得43ac =，所以ABC 的面积114sin sin 2233S ac B π==⨯⨯=（2）由余弦定理得22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，即22112()22()32a c ac ac a c ac =+--⨯=+-所以243()a c ac +=-.因为20(2a c ac a c +⎛⎫<≤== ⎪⎝⎭当且仅当时取“”）.所以220432()a c a c +⎛⎫<-≤⎝+ ⎪⎭所以a c <+≤.所以ABC 周长a b c ++的范围为(.（3）由（1）知π3B =，23+=A C π，由正弦定理得：sin sin sin b c B C a A ++==1cos 111sin 22tan 2A A A +=++，在锐角ABC 中，π02A <<，π02C <<，即2π0π32A <-<，所以ππ62A <<，即ππ1224A <<，又ππtantanπππ34tan tan()2ππ12341tan tan 34-=-===+⋅所以2tan12A<<，所以b ca +的取值范围是2⎫⎪⎪⎭.21．(2).【分析】（1）利用数量积性质，将所求转化为向量数量积计算即可；（2）根据投影向量公式直接求解可得.【详解】（1）因为向量a 与b的夹角为30,2a ︒= ，所以2cos303a b ⋅=⨯︒=，所以a b +=== （2）由投影向量公式可得：答案第17页，共17页33224a b b b c b b b ⋅=⋅=⨯== .。
第六章 平面向量及其应用(基础卷)高一数学单元提升卷(人教A版2019必修第二册)
第六章平面向量及其应用（基础卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间1200分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理2.已知平面向量，满足|2+|＝3，•（+）＝1，则||＝（）A．5B．C．3D．【答案】B【分析】先将|2+|＝3两边平方，化简后，再代入•（+）＝1，即可得解．【解答】解：∵|2+|＝3，•（+）＝1，∴|2+|2＝4+4•+＝4（+）+＝4+＝9，∴＝．故选：B．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算3.已知向量＝（2，2），＝（x，4），若（3+4）∥（5﹣），则x＝（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】由平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出x的值．【解答】解：由向量＝（2，2），＝（x，4），所以3+4＝（6+4x，22），5﹣＝（5x﹣2，18）；又（3+4）∥（5﹣），所以18（6+4x）﹣22（5x﹣2）＝0，解得x＝4．故选：C．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．3【答案】A【分析】设＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，列方程组，能求出λ的值．【解答】解：设＝（x，y），∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，∴，解得λ＝．故选：A．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平面向量数量积的含义与物理意义5.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．＝B．+＝C．+＝D．+＝【答案】C【分析】根据向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质解答即可．【解答】解：由平行四边形的性质，可得，选项A正确；由向量加法的平行四边形法则，可得，选项B正确；∵，∴选项D正确；∵，∴选项C错误．故选：C．【知识点】向量加减混合运算6.设向量，不共线，向量与2共线，则实数k＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算和共线定理，利用向量相等列方程求出k的值．【解答】解：向量，不共线，向量与2共线，则2﹣k＝λ（+），（2﹣λ）﹣（k+λ）＝，，解得λ＝2，k＝﹣2．故选：A．【知识点】平行向量（共线）7.在△ABC所在的平面上有一点P，满足++＝，设＝，＝，则＝（）A．+B．﹣C．+D．﹣【答案】C【分析】由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义，可得P为线段AC的一个三等分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案．【解答】解：∵++＝，∴＝﹣+﹣＝++＝2；即＝2；故点P是CA边上的第二个三等分点；＝+＝+＝（﹣）＝+＝+；故选：C．【知识点】向量数乘和线性运算8.设，，为非零不共线向量，若|﹣t+（1﹣t）|≥|﹣|（t∈R），则（）A．（+）⊥（﹣）B．（+）⊥（+）C．（+）⊥（+）D．（﹣）⊥（+）【答案】D【分析】因为对任意的实数t∈R，不等式|﹣t+（1﹣t）|≥|﹣|（t∈R）恒成立，所以把不等式整理成关于t一元二次不等式．【解答】解：设，，为非零不共线向量，若|﹣t+（1﹣t）|≥|﹣|（t∈R），则≥|﹣|，∴|（）+（1﹣t）（）|2≥||2，化简得，（1﹣t）2（）2+2（1﹣t）（）•（）≥0，即（）2t2﹣2[（）2+（）（）]t+（）2+2（）（）≥0，∴△＝4[（）（）]2≤0，∴（）（）＝0，∴（）⊥（）．故选：D．【知识点】两向量的和或差的模的最值9.如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．【解答】解：∵＝，∴＝又∵＝+，∴＝+，又∵＝﹣＝﹣∴＝+＝+（﹣）＝+，∴λ＝，μ＝，则λ+μ＝+＝，故选：A．【知识点】平面向量的基本定理10.点P是△ABC内一点且满足，则△PBC，△P AC，△P AB的面积比为（）A．4：3：2B．2：3：4C．1：1：1D．3：4：6【答案】A【分析】如图所示，过点C作CD∥P A交BP的延长线于点D，AC与PD交于点E．由于，可得．得到，．利用相似三角形的性质可得，同理．即可得出．【解答】解：如图所示，过点C作CD∥P A交BP的延长线于点D，AC与PD交于点E．∵，∴．∴，．∴，同理．∴S△PBC：S△P AC：S△P AB＝4：3：2．故选：A．【知识点】向量数乘和线性运算11.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则•的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，6）【答案】A【分析】画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．【解答】解：画出图形如图，•＝，它的几何意义是AB的长度与在向量的投影的乘积，显然，P在C处时，取得最大值，，可得•＝＝2×3＝6，最大值为6，在F处取得最小值，•＝＝﹣2×＝﹣2，最小值为﹣2，P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，所以•的取值范围是（﹣2，6）．故选：A．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算12.，若对任意实数t，恒成立，则实数k的范围为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据条件由进行数量积的运算即可求出，然后根据可得出对任意实数t，9t2﹣3kt+4k2﹣1＞0恒成立，然后根据△＝9k2﹣36•（4k2﹣1）＜0解出k的范围即可．【解答】解：∵，∴，，∴，∵对任意实数t，，∴对任意的实数t，，∴对任意实数t，9t2﹣3kt+4k2﹣1＞0恒成立，∴△＝9k2﹣36•（4k2﹣1）＜0，解得或，∴实数k的范围为：．故选：B．【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．【答案】2或3【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得（m﹣4）m﹣（m﹣6）＝0，变形解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则有（m﹣4）m﹣（m﹣6）＝0，变形可得：m2﹣5m+6＝0，解可得m＝2或3，故答案为：2或3．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示14.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算15.设，是两个不共线的向量，＝2﹣，＝4+k，A，B，C三点共线，则k＝．【答案】-2【分析】由A，B，C三点共线，得，由此能求出k的值．【解答】解：∵，是两个不共线的向量，＝2﹣，＝4+k，A，B，C三点共线，∴，∴，解得k＝﹣2．故答案为：﹣2．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示16.如图所示，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，，AB＝AD＝1，BC＝2，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为．【答案】-2【分析】如图所示，建立直角坐标系．设P（0，m），m∈[0，1]．设＝k，可得＝+k＝（2﹣k，k），k∈[0，1]．根据P、M、Q三点共线，可以设＝λ+（1﹣λ）＝（2λ﹣λk，λk+m﹣λm）＝（，），利用向量相等消去λ可得：k＝．代入＝[﹣（m+1）]﹣2．令f （m）＝[﹣（m+1）]﹣2．m∈[0，1]．利用其单调性即可得出最大值．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C（2，0），A（0，1），D（1，1），M（，）.设P（0，m），m∈[0，1]．设＝k，则＝+k＝（2，0）+k（﹣1，1）＝（2﹣k，k），k∈[0，1]．∵P、M、Q三点共线，∴可以设＝λ+（1﹣λ）＝（2λ﹣λk，λk+m﹣λm）＝（，），∴2λ﹣λk＝，λk+m﹣λm＝．消去λ可得：k＝．则＝（2﹣k，k﹣1）•（﹣2，m）＝﹣4+2k+mk﹣m＝﹣4+（2+m）×﹣m＝[﹣（m+1）]﹣2．令f（m）＝[﹣（m+1）]﹣2．m∈[0，1]．则f（m）在m∈[0，1]上单调递减，因此m＝0时，f（m）取得最大值f（0）＝﹣2．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．【分析】（1）设＝λ＝（2λ，0），由||＝1可得2λ＝1，解可得λ的值，即可得答案，（2）根据题意，由数量积的计算公式可得•＝﹣1，设＝（x，y），由数量积的坐标计算公式可得•＝2x＝﹣1，即可得x的值，由向量模的计算公式可得y的值，即可得的坐标，由向量的坐标计算公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，与同向，且，设＝λ＝（2λ，0），又由||＝1，则有2λ＝1，即λ＝，则＝（1，0）；（2），则||＝2，若与的夹角为120°，则•＝||||cos120°＝2×1×cos120°＝﹣1，设＝（x，y），则•＝2x＝﹣1，则x＝﹣，又由||＝1，则x2+y2＝1，解可得y＝±，故＝（，±），则+＝（，±）．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算、数量积表示两个向量的夹角18.已知向量，．（1）求向量与的夹角；（2）若（m∈R），且，求m的值【分析】（1）根据题意，由、的坐标求出•和||、||的值，由向量夹角公式计算可得答案；（2）根据题意，求出﹣2的坐标，由向量垂直的判断方法可得，代入向量的坐标可得（﹣4）×3+3m＝0，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，，，则，，，设向量与的夹角为θ，则，又由θ∈[0，π]，，即向量与的夹角为（2）根据题意，，，则，若，则，又由，则有（﹣4）×3+3m＝0，解可得m＝4．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算、数量积判断两个平面向量的垂直关系19.如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【分析】（Ⅰ）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底{，}，表示；（Ⅱ）考虑三点共线时，＝+（1﹣λ），经检验═+，∵，∴E，G，F三点共线．【解答】解：（Ⅰ）由题，＝+＝+＝+＝，＝+＝+＝﹣＝﹣．（Ⅱ）＝+＝+＝+，＝（）+（+）＝+，∵，∴E，G，F三点共线．【知识点】平面向量的基本定理20.在△ABC中，AB＝6，AC＝3，D为BC中点，＝2，＝．（1）若∠A＝，求•的值；（2）若•＝0，求•的值．【分析】（1）分别用，表示，，再利用数量积的定义，即可算出答案．（2）分别用，表示，，结合条件•＝0，即可得到答案．【解答】解：（1）＝（）•（）＝（+）•（﹣）＝（+﹣）•（）＝（）•（）＝﹣+﹣＝﹣+﹣×6×3×cos＝﹣12．（2）＝（）•（）＝（﹣﹣）•（﹣）＝（﹣+﹣）•（﹣﹣）＝（﹣+）•（﹣﹣）＝+﹣＝+﹣×62＝0，所以．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算21.在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（2，1）．（1）若O为坐标原点，是否存在常数t使得成立？（2）设梯形ABCD，且AB∥DC，AB＝2CD，求点D坐标；（3）若点E满足：＝1，且＝1，求点E坐标．【分析】（1）先假设存在，根据条件解出t的值，由此即可得出结论；（2）设D（x，y），由已知条件建立关于x，y的方程组，解出即可；（3）设E（a，b），由已知条件建立关于a，b的方程组，解出即可．【解答】解：（1）假设存在常数t使得成立，则（﹣1，2）+t（3，4）＝（3t﹣1，4t+2）＝（2，1），则，解得，故假设不成立，即不存在常数t使得成立；（2）设D（x，y），则，由AB∥DC可知，4（y﹣1）﹣2（x﹣2）＝0，即x＝2y①，由AB＝2CD可得，②，由①②可得，或，即D（6，3）或D（﹣2，﹣1）；（3）设E（a，b），则，依题意，，解得或，故点E的坐标为或．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算22.如图，平行四边形ABCD中，＝，N为线段CD的中点，E为线段MN上的点且＝2．（1）若＝+，求λμ的值；（2）延长MN、AD交于点P，F在线段NP上（包含端点），若＝t+（1﹣t），求t的取值范围．【分析】（1）利用向量的加法及平面向量的基本定理即可求得λ，μ，从而得解；（2）利用共线向量定理可设＝λ＝λ（0≤λ≤1），由向量的加法法则可得＝﹣λ+（1+λ），由平面向量的基本定理可得t＝﹣λ，即可求得t的取值范围．【解答】解：根据题意可得＝++＝++＝++（+）＝++（﹣）＝+，又＝+，由平面向量的基本定理可得λ＝，μ＝，所以λμ＝．（2）由题意可得＝，因为F在线段NP上（包含端点），所以设＝λ＝λ（0≤λ≤1），所以＝+＝+（1+λ）＝+（1+λ）（﹣）＝﹣λ+（1+λ），又＝t+（1﹣t），所以t＝﹣λ∈[﹣1，0]．【知识点】平面向量的基本定理23.某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC（AC＞5米）的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE．如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度∠CAB＝30°．某人在扶梯上点P处（异于点C）观察广告牌的视角∠DPE＝θ．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为．（1）求扶梯AC的长；（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP的长．【分析】（1）设|BC|＝a．由∠CAB＝30°，则|AB|＝a．可得tan∠EAB＝，tan∠DAB＝．利用tan∠DAE＝＝tan（∠DAB﹣∠EAB），代入即可得出．（2）设＝k，A（﹣5，0），C（0，5）．则P（5k﹣5，5k）．（0≤k≤1）．作PF⊥BC，垂足为F点，则F（0，5k）．tan∠DPF＝＝，tan∠EPF＝＝．可得tanθ＝tan（∠DPF﹣∠EPF）＝＝＝f（k），利用导数已经其单调性即可得出．【解答】解：（1）设|BC|＝a．∵∠CAB＝30°，则|AB|＝a．tan∠EAB＝，tan∠DAB＝．∴tan∠DAE＝＝tan（∠DAB﹣∠EAB）＝．化为：2b2﹣15b+25＝0，解得b＝5或．∵AC＞5．∴b＝5．∴AC＝10．（2）设＝k，A（﹣5，0），C（0，5）．则P（5k﹣5，5k）．（0≤k≤1）．作PF⊥BC，垂足为F点，则F（0，5k）．∴tan∠DPF＝＝，tan∠EPF＝＝．tanθ＝tan（∠DPF﹣∠EPF）＝＝＝f（k），f′（k）＝，k＝时，f（k）取得最大值，CP＝＝10（1﹣k）＝5．【知识点】解三角形、三角形中的几何计算。
人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (53)
高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1. 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，则 △ABC 必定是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形2. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ．3√323. 已知 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 cosA =78．I 为 △ABC 内部的一点，且 aIA ⃗⃗⃗⃗ +bIB ⃗⃗⃗⃗ +cIC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若 AI ⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 x +y 的最大值为 ( ) A ． 54B ． 12C ． 56D ． 454. 已知矩形 ABCD 中，∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=6，∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4，若点 M ，N 满足 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A ． 20 B ． 15 C ． 9 D ． 65. 已知非零向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=2∣b ⃗ ∣，且 (a −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则 a 与 b ⃗ 的夹角为 ( ) A ． π6B ． π3C ．2π3D ．5π66. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，如果 a 2b 2=tanA tanB，则 △ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．直角三角形7. 在 △ABC 中，M 是 BC 的中点，AM =1，点 P 在 AM 上且满足学 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 等于 ( )A ． −49B ． −43C ． 43D ． 498. 已知平面上三点 A ，B ，C 满足 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=3，∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于 ( ) A ． −7 B ． 7 C ． 25 D ． −259. 平面向量 a =(1,2)，b ⃗ =(4,2)，c =ma +b ⃗ (m ∈R )，且 c 与 a 的夹角与 c 与 b ⃗ 的夹角互补，则 m = ( ) A ． −2 B ． −1 C ． 1 D ． 210. 在 Rt △ABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 则 ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 等于 ( ) A ． 2B ． 1C ． 12D ． 4二、填空题（共6题）11. 中华人民共和国国歌有 84 个字，37 小节，奏唱需要 46 秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 15∘ 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60∘ 和 30∘，第一排和最后一排的距离为 10√2 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 米/秒．12. 正方形 ABCD 的边长为 4，O 是正方形 ABCD 的中心，过中心 O 的直线 l 与边 AB 交于点M ，与边 CD 交于点 N ，P 为平面上一点，满足 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ．13. 已知向量 a ，b ⃗ 满足 a ⊥b ⃗ ，∣a ∣=1，∣∣2a +b ⃗ ∣∣=2√2，则 ∣∣b ⃗ ∣∣= ．14. 设 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 为单位向量，非零向量 b ⃗ =xe 1⃗⃗⃗ +ye 2⃗⃗⃗ ，x,y ∈R ，若 e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 的夹角为 π6，则 ∣x∣∣∣b ⃗ ∣∣ 的最大值等于 ．15. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 a =√7，b =2，A =60∘，则sinB = ，c = ．16. 已知向量 a ，b ⃗ 的夹角为 30∘，且 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=√3，则 ∣∣2a −b ⃗ ∣∣= ．三、解答题（共6题）17. 已知 a +b ⃗ +c =0⃗ ，且 ∣a ∣=3，∣∣b ⃗ ∣∣=6，∣c ∣=5，求 a ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c +c ⋅a 的值．18. 三个大小相同的力 a ，b ⃗ ，c 作用在同一物体 P 上，使物体 P 沿 a 方向做匀速运动，设 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，判断 △ABC 的形状，19. 设椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2，离心率 e =√22，右准线为 l ，M 、 N 是 l 上的两个动点，F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1) 若 ∣∣F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√5，求 a 、 b 的值；(2) 证明：当 ∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 取最小值时，F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．20. 已知向量 a =(√3sinx,cosx)，b ⃗ =(cosx,−cosx )，且 f (x )=a ⋅b⃗ ． (1) 求 f (x ) 的最小正周期和单调递增区间； (2) 若 x ∈(7π12,5π6)，a ⋅b ⃗ =−54，求 cos2x 的值．21. 在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知 a =13，c =15．(1) sinC =12 能否成立？请说明理由；(2) 若 A =π3，求 b ．22. 如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I 和正四棱台形玻璃容器 II 的高均为 32 cm ，容器I的底面对角线AC的长为10√7cm，容器II的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm 和62cm．分别在容器I和容器II中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）(1) 将l放在容器I中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；(2) 将l放在容器II中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】判断三角形的形状、平面向量的数量积与垂直2. 【答案】D【解析】在 AC 上取点 E ，使 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 连接 DE ，过 D 作 DF ∥AC ，交 AB 于 F ， 因为 λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），所以 ED ∥AB ，所以四边形 AFDE 为平行四边形， 又 AD 平分 ∠BAC ， 所以四边形 AFDE 为菱形． 因为 AD =2√3，∠BAC =60∘，所以 AE =2，则 AC =6． 设 FB =x ， 因为 DF ∥AC ， 所以DF AC=FB AB，即 26=x2+x，解得 x =1， 即 FB =1， 所以 AB =3．所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅cos30∘=3√32．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】D【解析】 aIA ⃗⃗⃗⃗ +bIB ⃗⃗⃗⃗ +cIC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ⇒aIA ⃗⃗⃗⃗ +b(IA ⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+c(IA ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， 则：AI ⃗⃗⃗⃗ =b a+b+c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c a+b+c AC ，x +y =b a+b+c +c a+b+c =b+c a+b+c =1ab+c+1(∗)；下面求 a b+c 最小值，由 a 2=b 2+c 2−74bc 得： (ab+c )2=b 2+c 2−74bc(b+c )2=(b+c )2−154bc(b+c )2=1−154bc (b+c )2≥1−154bc 4bc=116，即 a b+c 最小值为 14，则 (∗)≤114+1=45．【知识点】余弦定理、均值不等式的应用4. 【答案】C【解析】因为 ABCD 为矩形，建系如图． A (0,0)，M (6,3)，N (4,4)． 则 AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3)，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)， AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6×2−3×1=9．【知识点】平面向量数量积的坐标运算5. 【答案】B【解析】因为 (a −b ⃗ )⊥b ⃗ ，所以 (a −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=0，所以 a ⋅b ⃗ =b ⃗ 2， 所以 cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ ∣a ⃗ ∣⋅∣b ⃗ ∣−∣b⃗ ∣22∣b ⃗ ∣2=12，所以 a 与 b ⃗ 的夹角为 π3． 【知识点】平面向量的数量积与垂直6. 【答案】C【解析】利用正弦定理得 sin 2Asin 2B =sinAcosA sinB cosB，化简得 sinAcosA =sinBcosB ，即 12sin2A =12sin2B ，则 2A =2B 或 2A +2B =π，解得 A =B 或 A +B =π2． 故 △ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 【知识点】正弦定理7. 【答案】A【解析】 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒P 是 AM 的一个三等分点，延长 PM 到 H ，使得 MH =MP ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅23AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−49⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−49.【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】D【解析】由题意知 ∠ABC =90∘， 所以原式=0+4×5cos (180∘−C )+5×3cos (180∘−A )=−20cosC −15cosA=−20×45−15×35=−16−9=−25.【知识点】平面向量的数量积与垂直9. 【答案】A【知识点】平面向量数量积的坐标运算10. 【答案】B【解析】因为 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以 OP⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以 AP 为 Rt △ABC 斜边 BC 的中线，所以 ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1． 【知识点】平面向量的数量积与垂直二、填空题（共6题） 11. 【答案】5√323【知识点】解三角形的实际应用问题12. 【答案】 −7【知识点】平面向量的数量积与垂直13. 【答案】 2【解析】因为 a ⊥b ⃗ ，所以 a ⋅b ⃗ =0， 因为 ∣a ∣=1，∣∣2a +b ⃗ ∣∣=2√2，所以 ∣∣2a +b ⃗ ∣∣2=4∣a ∣2+∣∣b ⃗ ∣∣2+4a ⋅b ⃗ =4+∣∣b ⃗ ∣∣2=8，解得 ∣∣b ⃗ ∣∣2=4，即 ∣∣b ⃗ ∣∣=2． 【知识点】平面向量的数量积与垂直14. 【答案】2【解析】如图，记 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =xe 1⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ye 2⃗⃗⃗ ，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， 在 △OAC 中，由正弦定理得 ∣x∣∣∣b ⃗ ∣∣=sinθsinπ6=2sinθ．其中 θ=∠OCA ．所以 ∣x∣∣∣b ⃗ ∣∣≤2，且等号可取到，如图中虚线所示，此时 xy =√3．其他方法：为了便于计算可先求 (∣x∣∣∣b ⃗ ∣∣)2的范围，再求 ∣x∣∣∣b⃗ ∣∣ 的最值．根据题意，得(∣x∣∣∣b ⃗ ∣∣)2=x 2(xe 1⃗⃗⃗⃗ +ye 2⃗⃗⃗⃗ )2=x 2(xe 1⃗⃗⃗⃗ )2+(ye 2⃗⃗⃗⃗ )2+2xye 1⃗⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗⃗ =1+(y x )2+√3yx=(y x +√32)2+14因为(yx +√32)2+14≥14，所以 0<(∣x∣∣∣b ⃗ ∣∣)2≤4，所以0<∣x∣∣∣b ⃗ ∣∣≤2.故 ∣x∣∣∣b ⃗ ∣∣ 的最大值为 2．【知识点】平面向量的数量积与垂直15. 【答案】√217； 3【解析】由正弦定理得 ab =sinAsinB ，所以 sinB =√7×sin π3=√217， 由余弦定理得 a 2=b 2+c 2−2bccosA ，所以 7=4+c 2−2c ，所以 c =3（负值舍去）．【知识点】余弦定理、正弦定理16. 【答案】1【解析】因为(2a−b⃗)2=4a2−4a⋅b⃗+b⃗2=4−4×1×√3cos30∘+3=1，所以∣∣2a−b⃗∣∣=1．【知识点】平面向量的数量积与垂直三、解答题（共6题）17. 【答案】解法一：a+b⃗=−c⇒(a+b⃗)2=(−c)2⇒a2+b⃗2+2a⋅b⃗=c2⇒a⋅b⃗=−10.同理可得b⃗⋅c=−26，a⋅c=1，所以a⋅b⃗+b⃗⋅c+c⋅a=−35．解法二：a+b⃗+c=0⃗⇒(a+b⃗+c)2=0⇒a2+b⃗2+c2+2(a⋅b⃗+b⃗⋅c+c⋅a )=0⇒a⋅b⃗+b⃗⋅c+c⋅a=−35.【知识点】平面向量的数量积与垂直18. 【答案】由题意得∣a∣=∣b⃗∣=∣c∣，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0⃗ ，即a+b⃗+c=0⃗ ，所以a+c=−b⃗．如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．因为PD⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c=−b⃗，所以∠APC=120∘．同理∠APB=∠BPC=120∘．又因为∣a∣=∣b⃗∣=∣c∣，所以△ABC为等边三角形．【知识点】平面向量的实际应用问题19. 【答案】(1) 由已知，F1(−c,0)，F2(c,0)．由e=√22，得a2=2c2.结合a2=b2+c2，解得b2=c2,a2=2b2.所以右准线方程为x=2c,因此可设 M (2c,y 1)，N (2c,y 2)．延长 NF 2 交 MF 1 于 P ，记右准线 l 交 x 轴于 Q ．因为 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以F 1M ⊥F 2N,结合 ∣F 1M ∣=∣F 2N ∣ 及平面几何的知识得Rt △MQF 1≌Rt △F 2QN,从而∣QN∣∣=∣F 1Q∣∣=3c,∣QM∣∣=∣F 2Q∣∣=c,即∣y 1∣=c,∣y 2∣=3c.由 ∣∣F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√5, 得9c 2+c 2=20,解得c 2=2,故a =2,b =√2.(2) 因为F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,y 1)⋅(c,y 2)=0,所以y 1y 2=−3c 2<0,从而∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=∣y 1−y 2∣2=y 12+y 22−2y 1y 2≥−2y 1y 2−2y 1y 2=−4y 1y 2=12c 2.当且仅当 y 1=−y 2=√3c 或 y 2=−y 1=√3c 时，∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 取最小值 2√3c ，此时F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,±√3c)+(c,∓√3c)=(4c,0)=2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线． 另解：因为 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以y 1y 2=−3c 2.设 MF 1 、 NF 2 的斜率分别为 k 、−1k ．由 {y =k (x +c ),x =2c, 解得y 1=3kc,由 {y =−1k (x −c ),x =2c, 解得y 2=−c k ,于是∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣y 1−y 2∣=c ⋅∣∣3k +1k ∣∣≥2√3c.当且仅当 3k =1k ，即 k =±√33时，∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 最小．此时F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,3kc )+(c,−ck )=(3c,±√3c)+(c,∓√3c)=(4c,0)=2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线． 【知识点】平面向量的数量积与垂直、椭圆和双曲线的第二定义、平面向量的坐标运算、椭圆的基本量与方程20. 【答案】(1) 因为 f (x )=a ⋅b⃗ =√3sinxcosx −cos 2x =√32sin2x −cos2x+12=sin (2x −π6)−12， 所以 f (x ) 的最小正周期是 π． 令 2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z )，所以 kπ−π6≤x ≤kπ+π3(k ∈Z )， 所以 f (x ) 的单调递增区间为 [kπ−π6,kπ+π3](k ∈Z )．(2) 因为 a ⋅b ⃗ =sin (2x −π6)−12=−54， 所以 sin (2x −π6)=−34．因为 x ∈(7π12,5π6)， 所以 2x −π6∈(π,3π2)， 所以 cos (2x −π6)=−√74． 所以cos2x=cos [(2x −π6)+π6]=cos (2x −π6)cos π6−sin (2x −π6)sin π6=−√74×√32−(−34)×12=3−√218.【知识点】平面向量数量积的坐标运算、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】(1) sinC =12 不成立．因为 sinC =12，所以 C =π6，因为 a <c ，所以 A <C ，所以 B >π2，这与 △ABC 为锐角三角形矛盾． (2) A =π3．由余弦定理可得 a 2=b 2+c 2−2bccosA ，所以 169=b 2+225−2×15b ×12， 整理可得 b 2−15b +56=0，解得 b =8 或 b =7．当 b =7 时，cosC =a 2+b 2−c 22ab =132+72−1522×13×7<0，所以 C 为钝角，与题意不符合，所以 b =8．【知识点】余弦定理、正弦函数的性质22. 【答案】(1) 由正棱柱的定义，知CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处，因为AC=10√7，AM=40，所以CM=√402−(10√7)2=30，从而sin∠MAC=34．记AM与水面的交点为P1，过点P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=P1Q1sin∠MAC=16．答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm）(2) 如图，O，O1是正棱台的两底面中心，由正棱台的定义，知OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG，同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1，记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处，过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK=OO1=32．因为EG=14，E1G1=62，所以KG1=62−142=24，从而GG1=√KG12+GK2=√242+322=40．设∠EGG1=α，∠ENG=β，则sinα=sin(π2+∠KGG1)=cos∠KGG1=45．因为π2<α<π，所以cosα=−35．在ΔENG中，由正弦定理可得40sinα=14sinβ，解得sinβ=725．因为0<β<π2，所以cosβ=2425．于是sin∠NEG=sin(π−α−β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45×2425+(−35)×725=35．记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2=12，从而EP2=P2Q2sin∠NEG=20．答：玻璃棒没入水中部分的长度为20cm．（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm）【知识点】解三角形的实际应用问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
人教A 版（2019）必修第二册《第6章 平面向量及其应用》单元测试卷（3）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. BC⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−1,1)，若c ⃗ 满足(c ⃗ +a ⃗ )//b ⃗ ，c ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则c⃗ =( ) A. (−3,0) B. (1,0) C. (0,−3) D. (0,1)3. 在四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则四边形ABCD 是( )A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形4. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =( )A. −8B. −6C. 6D. 85. 已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦是方程2x 2+3x −2=0的根，则第三边长是( )A. √20B. √21C. √22D. √616. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，则角B 的值为 ( )A. π6B. π3或2π3C. π3D. π6或5π67. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c =2a ，bsinB −asinA =12asinC ，则cos B 等于( )A. 34B. 23C. 13D. 128. 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b =20acosA ，则sinA:sinB:sinC 为( )A. 4:3:2B. 5:6:7C. 5:4:3D. 6:5:49. 如图在△ABC 中，D 是AC 边上的点且AB =AD ，2AB =√3BD ，BC =2BD.则cos C 的值( )A. √66B. √36C. √306D. √6310. 如图，半圆的直径AB =4，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是( )A. 2B. 0C. −1D. −211. D 为△ABC 的边BC 的中点，E 为AD 中点，若AD =a ，则(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·EA⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −a22B. a 22C. −2a 2D. a 212. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ =λb ⃗ ，λ∈R ，则|a −−b ⃗ |等于( )A. 1B. 3C. 1或3D. |λ|二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√2，(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ =0，那么a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ=________． 14. 已知向量a ⃗ =(1,2)，a ⃗ ·b ⃗ =10，|a ⃗ +b ⃗ |=10，则|b ⃗ |= ______ ．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3bcosA =ccosA +acosC ，则tan A 的值是________．16. 如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC =120°，AB =AC =4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF ⏜上的一点，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(−3,2),b ⃗ =(2,1),c ⃗ =(3,−1),t ∈R(1)求|a ⃗ +t b ⃗ |的最小值及相应的t 值； (2)若a ⃗ −t b ⃗ 与c ⃗ 共线，求实数t ．18.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若sinBsinC−cosBcosC=12．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=2,b+c=2√3，求△ABC的面积．19.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足tanA=12tanB=13tanC．(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为15，求a的值．20..在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，设向量m⃗⃗⃗ =(a+b,c)，n⃗(b+c,a−b)，且m⃗⃗⃗ //n⃗．(1)求角A的大小；(2)若B=π6，a=3，求△ABC的面积．21.如图，某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D,E,F．(1)若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2)设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．22.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是同一平面内的三个向量，其中a⃗=(−1,2)．(1)若|c⃗|=√5，且a⃗//c⃗，求c⃗的坐标；(2)若|b⃗ |=√52，且(a⃗+2b⃗⃗⃗⃗ )⊥(2a⃗−b⃗ )，求|2a⃗+b⃗ |.-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了向量的加法运算，属于基础题． 利用向量的加法运算法则可得结果． 解：由四边形ABCD 是平行四边形可得：BC⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +0⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选C ．2.答案：A解析：考查向量坐标的加法和数量积运算，向量平行、向量垂直时的坐标关系，属中档题．可设c ⃗ =(x,y)，从而可得出c ⃗ +a ⃗ =(x +1,y +2)，且得到a ⃗ +b ⃗ =(0,3)，这样根据(c ⃗ +a ⃗ )//b ⃗ 即可得出x +y +3=0①，而根据c ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )即可求出y =0，带入①即可求出x ，从而得出c ⃗ 的坐标． 解：a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−1,1)， 设c⃗ =(x,y)， 则：c ⃗ +a ⃗ =(x +1,y +2)，且a ⃗ +b ⃗ =(0,3)， ∵(c ⃗ +a ⃗ )//b ⃗ ； ∴x +1+y +2=0； ∴x +y +3=0①； ∵c ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )； ∴3y =0；∴y =0，带入①得，x =−3； ∴c ⃗ =(−3,0)． 故选：A ．3.答案：C解析：解：在四边形ABCD 中， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AB ⊥BC ，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB−//DC ，∴四边形ABCD 是矩形． 故选：C ．由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得AB ⊥BC ，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB−//DC ，由此能判断四边形ABCD 的形状． 本题考查四边形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直和向量相等的性质的合理运用．4.答案：D解析：本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，属于基础题．求出向量a ⃗ +b ⃗ 的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m 的方程，求解即可． 解：∵向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，∴a ⃗ +b ⃗ =(4,m −2)， 又∵(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，∴(a ⃗ +b ⃗ )·b ⃗ =12−2(m −2)=0，解得m =8． 故选D ．5.答案：B解析：由已知中三角形的两边长分别为4和5，其夹角的余弦是方程2x 2+3x −2=0的根，求出两边夹角的余弦，利用余弦定理可得答案．本题考查的知识点是余弦定理的应用，其中解三角形求出两边夹角的余弦是解答的关键． 解：解方程2x 2+3x −2=0得 x =−2，或x =12∵三角形的两边夹角θ的余弦是方程2x 2+3x −2=0的根 故cosθ=12则第三边长√42+52−2⋅4⋅5⋅12=√21故选B ．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B 的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点.通过余弦定理及，求的sin B 的值，又因在三角形内，进而求出B. 解：由(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ∴(a 2+c 2−b 2)2ac=√32cosBsinB，即cosB =√32cosBsinB ∴sinB =√32，又在△中所以B 为π3或2π3故选B .7.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 由c =2a ，利用正弦定理化简已知等式可得：b 2−a 2=12ac =a 2，利用余弦定理即可求得cos B 的值．解：∵若c =2a ，bsinB −asinA =12asinC ，∴则由正弦定理可得：b 2−a 2=12ac =a 2，即：b 2=a 2+12ac =2a 2， ∴cosB =a 2+c 2−b 22ac=3a 24a 2=34．故选A ．8.答案：D解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理，属于中档题.由题意可得，可设设三边长分别为a ，a −1，a −2，由余弦定理求得cos A 的值，再根据3b =20acosA 求得a 的值，可得sin A ：sin B ：sinC =a ：b ：c 的值．解：△ABC 中，∵A >B >C ， 设三边长分别为a ，a −1，a −2， ∴cosA =(a−1)2+(a−2)2−a 22(a−1)(a−2)=a−52(a−2)， 又3b =20acosA ， 可得3b =3a −3=10a (a−5)a−2，解得a =6，再由正弦定理可得sin A ：sin B ：sinC =a ：b ：c =6：5：4． 故选D ．9.答案：C解析：解：不妨设BD =2√3，则BC =4√3，AB =AD =3． 在△ABD 中，由余弦定理可得：cosA =32+32−(2√3)22×3×3=13，∵B ∈(0,π)，∴sinA =√1−cos 2A =2√23． 在△ABC 中，由正弦定理可得：ABsinC =BCsinA ， 可得：sinC =3×2√234√3=√66，C 为锐角，∴cosC =√306． 故选：C ．不妨设BD =2√3，则BC =4√3，AB =AD =3.在△ABD 中，由余弦定理可得：cosA =13，可得sinA =√1−cos 2A.在△ABC 中，由正弦定理可得：ABsinC =BCsinA ，即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：D解析：本题考查了向量在几何中的应用，结合图形分析是解决问题的关键．根据图形知O 是线段AB 的中点，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．解：因为 O 为 AB 的中点，所以 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而 (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2为定值，所以当且仅当|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 即P 为OC 的中点时， (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是−2． 故选D ．11.答案：A解析：解：∵E 为AD 中点，AD =a ，∴EB⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(−12)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−12a 2， 故选：A ．作出图形，依题意可得EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用平面向量的数量积即可得答案．本题考查平面向量的数量积的运算，求得EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：∵|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,a ⃗ =λb ⃗ ；∴a ⃗ 2=λ2b ⃗ 2；∴1=4λ2； ∴λ=±12； ∴a ⃗ =±12b ⃗ ；∴a ⃗ ⋅b ⃗ =±12b ⃗ 2=±2；∴(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=1−2a ⃗ ⋅b ⃗ +4； ∴(a ⃗ −b ⃗ )2=1或9；∴|a ⃗ −b ⃗ |=1或3．故选：C ．根据条件即可得出λ2=14，进而得出λ=±12，a ⃗ ⋅b ⃗ =±2，从而可得出(a ⃗ −b ⃗ )2=1或9，这样即可求出|a ⃗ −b ⃗ |．考查向量数量积的运算，向量长度的求法．13.答案：45°解析：本题主要考查平面向量的数量积运算，属基础题．本题考查向量的模长，垂直关系和夹角公式，属于基础题．根据已知垂直条件，经运算求出两向量的数量积，再由向量夹角的余弦公式求解．解：∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ =0，∴(a ⃗ −b ⃗ )·a ⃗ =0=0，∴|a ⃗ |2−a ⃗ ·b ⃗ =0，∴a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ |2=1，所以cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ·b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√2=√22，所以<a⃗ ,b ⃗ >=45°． 故答案为45°．14.答案：5√3解析：由模长公式可得|a ⃗ |，把|a ⃗ +b ⃗ |=10平方代入已知数据可得|b ⃗ |的方程，解方程可得．本题考查平面向量数量积的运算，涉及模长公式，属基础题．解：∵a ⃗ =(1,2)，∴|a ⃗ |=√5，∵a ⃗ ·b ⃗ =10，|a ⃗ +b ⃗ |=10，∴(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2=5+2×10+|b⃗ |2=100， 解得|b ⃗ |=5√3， 故答案为5√3． 15.答案：2√2解析：本题主要考查正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，基础题目．利用正弦定理化简已知条件可得cosA =13，由此可解．解：在△ABC 中，3bcosA =ccosA +acosC ，由正弦定理可得：3sinBcosA =sinCcosA +sinAcosC =sin(A +C)=sinB ，∵sinB ≠0，可得：cosA =13，∵A 为三角形内角．∴sinA =2√23 ， ∴tanA =2√2.故答案为2√2.16.答案：[−11,−9]解析：解：建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(−2√3,−2)，C(2√3,−2)；且点P 在单位圆A 的劣弧EF⏜上， 设P(cosθ,sinθ)，θ∈[7π6,11π6]，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3−cosθ)(2√3−cosθ) +(−2−sinθ)(−2−sinθ)=(cos 2θ−12)+(4+4sinθ+sin 2θ)=4sinθ−7；又θ∈[7π6,11π6]，∴−1≤sinθ≤−12，∴−11≤4sinθ−7≤−9，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−11,−9]． 故答案为：[−11,−9]．建立平面直角坐标系，利用坐标表示平面向量和单位圆，设出点P 的参数方程，计算PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的解析式，求出它的取值范围． 本题考查了平面向量的坐标表示与数量积的计算问题，是中档题．17.答案：【解答】解：(1)∵a ⃗ =(−3,2)，b ⃗ =(2,1)，c⃗ =(3,−1)， ∴a ⃗ +t b ⃗ =(−3,2)+t(2,1)=(−3+2t,2+t)，∴|a ⃗ +t b ⃗ |=√(−3+2t)2+(2+t)2=√5t 2−8t +13=√5(t −45)2+495≥√495=75√5(当且仅当t =45时等号成立)． (2)∵a ⃗ −t b ⃗ =(−3,2)−t(2,1)=(−3−2t,2−t)，又a ⃗ −t b ⃗ 与c⃗ 共线， ∴(−3−2t)×(−1)=3×(2−t)，解得t =35．解析：【分析】(1)利用求模公式表示出|a ⃗ +t b ⃗ |，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t 值；(2)利用向量共线定理可得关于t 的方程，解出即得t 值；本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题．18.答案：解：(Ⅰ)∵cosBcosC −sinBsinC =−12，∴cos(B +C)=cos(π−A)=−cosA =−12．即cosA =12，又A 为三角形内角．∴A =π3．(Ⅱ)cosA =cos π3=b 2+c 2−a 22bc =(b+c )2−2bc−a 22bc =12 ∴(2√3)2−2bc −22=bc ，解得bc =83．∴S △ABC =12bcsinA =12×83×√32=2√33．解析：(I)利用和差公式即可得出；(II)利用余弦定理可得bc ，再利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了和差公式、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)已知tanA =12tanB =13tanC ，∴tanB =2tanA ，tanC =3tanA ，在△ABC 中，tanA =−tan(B +C)=−tanB+tanC 1−tanBtanC =−2tanA+3tanA 1−6tan 2A ， 解得tan 2A =1，即tanA =−1，或tanA =1．若tanA =−1，可得tanB =−2，则A ，B 均为钝角，不合题意．故tanA =1，得A =π4；(2)由tanA =1，得tanB =2，tanC =3，可得sinB =2cosB ，sinC =3cosC ，结合sin 2B +cos 2B =1，sin 2C +cos 2C =1，可得sinB =√5，sinC =√10 (负值已舍)．在△ABC 中，由a sinA =b sinB ，得b =sinB sinAa =2√105a ， 于是S △ABC =12absinC =12a ⋅2√105a ⋅√10=35a 2， 由35a 2=15，解得a =5．解析：本题考查三角形的解法，考查正弦定理及两角和的正切值的应用，是中档题．(1)由已知结合tanA =−tan(B +C)可得tan A ，进一步得到角A 的大小；(2)结合(1)求出tanB =2，tanC =3，可得sinB =2cosB ，sinC =3cosC ，进一步得到sin B ，sin C 的值，把三角形ABC 的面积用含有a 的代数式表示，则答案可求．20.答案：解：(1)∵向量m⃗⃗⃗ =(a +b,c)，n ⃗ (b +c,a −b)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴(a+b)(a−b)=c(b+c)，即b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−12，则A=2π3；(2)∵B=π6，a=3，A=2π3，∴C=π6，由正弦定理asinA=bsinB得：b=asinBsinA=3×12√32=√3，则S△ABC=12absinC=3√34．解析：(1)由两向量的坐标及两向量平行满足的条件列出关系式，再利用余弦定理表示出cos A，将得出关系式代入求出cos A的值，即可确定出A的度数；(2)由a，sin B，sin A的值，利用正弦定理求出b的值，确定出C的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．21.答案：解：(1)依题意得BD=300，BE=100，在△ABC中，，∴B=π3，在△BDE中，由余弦定理得：∴DE=100√7.答：甲乙两人之间的距离为100√7m.(2)由题意得EF=2DE=2y，，在直角三角形CEF中，，在△BDE中，由正弦定理得，即，∴，0<θ<π2， 所以当θ=π6时，y 有最小值50√3.答：甲乙之间的最小距离为50√3 m.解析：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)由题意，BD =300，BE =100，△BDE 中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；(2)△BDE 中，由正弦定理可得200−2ysinθsinθ=y sin60∘，可将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．22.答案：解：(1)设c ⃗ =(x,y)，由a ⃗ //c ⃗ ，|c ⃗ |=√5，可得：{y =−2x x 2+y 2=5， ∴{x =1y =−2或{x =−1y =2， ∴c ⃗ =(1,−2)或c ⃗ =(−1,2)；(2)∵(a ⃗ +2b ⃗⃗⃗⃗ )⊥(2a ⃗ −b ⃗ )，∴(a ⃗ +2b ⃗⃗⃗⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=0，即2a ⃗ 2+3a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=0． ∴2|a ⃗ |2+3a ⃗ ⋅b ⃗ −2|b ⃗ |2=0．∴2×5+3a ⃗ ⋅b ⃗ −2×54=0，得a ⃗ ⋅b ⃗ =−52．∴|2a ⃗ +b ⃗ |=√4a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=3√52．解析：(1)设c ⃗ =(x,y)，由a ⃗ //c ⃗ ，|c ⃗ |=√5列关于x ，y 的方程组，求解方程组得c⃗ 的坐标； (2)由(a ⃗ +2b ⃗⃗⃗⃗ )⊥(2a ⃗ −b ⃗ )，得(a ⃗ +2b ⃗⃗⃗⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=0，展开后求得a ⃗ ⋅b ⃗ ，然后结合|2a ⃗ +b ⃗ |2=(2a ⃗ +b ⃗ )2求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是中档题．。