概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分

EI
d2w dx2

M (x)
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
EI
dw dx

EI
(x)


M
(
x)dx

C
EIw(x) M (x)dx dx Cx D
式中C、D为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。
2.边界条件和连续性条件
边界条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的。
L1
L2
P
A
C
B
wB w1 w2
=
L1 A 刚化AC段C
L2
P 等价
B
+
L1
L2
P 等价
A
C
B
A
刚化BC段
L2
P
C
B
w1
L1
P L2
C
MB
w2
§6-5 梁的刚度校核 一、梁的刚度条件
w [w] max
[ ] max
或指定截面的挠度、转角不超过某一规定数值。
三类刚度计算问题：
、校核刚度： w [w] max
补充方程
A
+
B
qL4 RBL3 RBL1
RB
8EI 3EI EA
q
RB

8
3AqL4 AL3 3L1I
A
B
例7 悬臂梁AB用与其同材料、同截面的一根短梁AC加固，
试求C处的约束反力。
A
C
P 解：属一次超静定问题
B 建立静定基和相当系统
a
a
几何方程： wC wC
P
物理方程：
A
C
wC
B
wC

Pa2 6EI
(6a
a)
RC a3 3EI
a
RC a
wC


RC a3 3EI
RC C
补充方程
a
wC
5Pa3 RCa3 RC a3
6EI 3EI 3EI
RC

5 4
P
EIw P x2 PLx C 2
EIw P x3 PL x2 Cx D 62
确定积分常数
当 x 0 时，
A wA 0， wA 0
求得：
C 0; D 0
y
P L
B
x
B wB
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
Px2
w(x)
(x 3L)
第六章 弯曲变形
§6–1 概述 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 用积分法求梁的挠度与转角 §6–4 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–5 梁的刚度校核 §6–6 简单超静定梁的求解方法
§6－１ 概 述
齿轮传动轴的弯曲变形 轧钢机（或压延机）的弯曲变形
本章的主要内容：
介绍梁的弯曲变形，寻求确定梁弯曲变形 的基本方法；
、设计截面尺寸； 、确定许可载荷。
[ ] max
例5一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆材料
的E=210GPa，工程规定C点的[w]=0.0001L,B点的]=0.001弧
度,试对C截面的转角和挠度进行刚度校核。。
=+ =+
L=400mm a=0.2mP
A
D
B
该杆满足刚度要求。
y
A EI
L
静定基 A
L 相当系统 A
L
q §6-6 简单超静定梁的求解方法 Bx
处理方法：变形协调方程、物理方 程与平衡方程相结合，求出全部未 知力。
B 解：建立静定基和相当系统 判断超静定次数，解除
多余约束并在该处加上相应的 q 多余约束力，得到原超静定结 B 构的相当系统。

0
P(a

x1)
(0 x1 a) (a x2 L)
EIw

P 2
x12

Pax1

C1
C2
EIw

P

6
x13

Pa 2
x12

C1x1

D1
C2 x2 D2
确定积分常数 边界条件
EI 0 x1 0
EI w 0 x1 0
C1 0 D1 0
(
dx2 dw ) 2
]3
/
2
小变形

1
( x)


d 2w dx2
dx
y
M<0

d2w dx2


M (x) EI
d2w dx2

0
x
o
d2w dx2

M (x)(2) EI
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d2w dx2

M (x) EI

Pa2 4EI
wPC


Pa3 6EI
C
a
a

qA

qa3 3EI
wqC


5qa4 24EI
P
叠加
=
A PA qA
A
B
a2 (3P 4qa)
12EI
+
q
wC wPC wqC
A
B
( 5qa4 Pa3 )
24EI 6EI
例4 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。
④优点：使用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程； 缺点：计算较繁。
§6–3 用积分法求梁的挠度与转角
例1 求下列各等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。
题一、解：
x
y
L
P
建立坐标系并写出弯矩方程
A
B
M (x) P(L x)
x
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写出挠曲线微分方程并积分
EIw M (x) P(L x)
6EI
最大转角及最大挠度（绝对值最大）
max
B

PL2 2EI
（）
wmax
wB

PL3 3EI
（
）
题二、解： 建立坐标系并写出弯矩方程
M
(
x)

0
P(a

x1
)
(0 x1 a) (a x2 L)
写出挠曲线微分方程并积分
y
a
P
A x1
C
x2
L
x B
EIw


qL2 8
（
）
q
A EI L
q A
L
C EA L1
B
B RB
例6 结构如图，求拉杆的内力。 解：建立静定基
几何方程 ——变形协调方程：
wB LBC
C 物理方程——变形与力的关系
EA LBC q
wBq


qL4 8EI
; wBRB
RBL3 3EI
A L
=
B RB
LBC

RB L1 EA
角度，用 表示。规定： （＋）， (－）。
三、转角与挠度的关系：
tg dw
小变形

dw (1)
dx
dx
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
y
M>0
1M
EI
1 M (x)
(x) EI
d2w
o
d2w dx2

0
x
1
(x)

[1
梁的刚度计算；
求解简单超静定梁。
一、挠曲线：弯曲变形后，梁轴线变为xy平面内的光滑曲线，该
曲线称为挠曲线， w =f (x) —— 挠曲线方程。
二、梁变形的两个基本位移量
yx
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线
P x
方向的线位移，用w表示。规定：
w
w （＋）， w (－）。
2.转角：横截面绕其中性轴转动的
BC段 (0 x2 a)
M 2 P(a x2 )
写出挠曲线微分方程并积分
AB段 EIw1 M1 Px1
EIw1

EI1


P 2
x12
C1
EIw


P 6
x13

C1 x1

D1
BC段
2EIw2 Px2 Pa
2EIw2

2 EI 2


P 2

P1L2 16EI
wC1

B1

a

P1L2 16EI

a
B2 0
wC 2

P2a3 3EI
B3

ML 3EI

(P2a)L 3EI
wB3
B3
a

( P2 a ) L 3EI
a
L=400mm a=0.1mP 叠加求C截面的转角和挠度
A
D
B
200mm P1=1kN
C P2=2kN
C
A
D
B
200mm P1=1kN
C P2=2kN
A
D
B
C
P1=1kN
P2
a
B
C
P2
P2 M
A
D
B
C
A
D
B
C
P2=2kN
L=400mm a=0.1mP
A
D
B
200mm P1=1kN
C P2=2kN
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
图3
解：查表求简单载荷变形。
B1
图3
B

P1L2 16EI

P2La 3EI

0.11103 (弧度)
wC

P1L2a 16EI

P2a3 3EI

P2a2L 3EI

3.53 103 cm
校核刚度
wC 3.53103cm w 0.0001L 4103cm
C 0.11103 0.001
连续性条件
当 x1 x2 a 时，
1 2
C2


Pa 2 2
w1 w2
D2

Pa3 6
y
a
P
A x1
C
x2
L
x B
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
w( x1 )


Px12 6EI
(3a

x1)
w( x2
)


Pa 2 6EI
(3x2

a)
最大挠度及最大转角
max
C
边界条件： wA 0, wB 0
连续性条件： wC左 wC右 , C 左 C 右
挠曲线近似微分方程
d2w dx2

M (x) EI
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的边界条件、连续性条件确定。

5 4
Pa2 , D1


3 2
Pa 3
写出AB段的转角方程和挠曲线方程
EI1


P 2
x12

5 4
Pa 2
EIw1


P 6
x13

5 4
Pa2 x1

3 2
Pa 3
自由端的转角、挠度为
A
1
x1 0

5 4EI
Pa 2
wA

w1
x1 0

3 2EI
Pa 3
（） （）
§6-4 按叠加原理求梁的挠度与转角
变形等）
对上述超静定梁选择其它形式的静定基
MA
q
A L
q
A L
MA
A L
+
=
几何方程——变形协调方程：
B
A 0
A Aq AMA 0
物理方程：
Aq
qL3 24EI
, AMA
MAL 3EI
B
补充方程
qL3 M A L 0 24EI 3EI
B
求得
MA
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
P
q 例3 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
解、载荷分解如图
由梁的简单载荷变形表(表 P
6.1)查简单载荷引起的变形。
=
A
B
+

PA

Pa2 4EI
wPC


Pa3 6EI
A
q B

qA

qa3 3EI
wqC


5qa4 24EI
A
P
q B

PA
CB

Pa2 2EI
wmax

wB

Pa2 6EI
(3L a)
(x2 )

dw(x2 ) dx2


Pa 2 2EI
y
a
P
C
Bx
C wB
L
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
P
EI
2EI
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
A x1
B x2 C
a
a
AB段 (0 x1 a)
M 1 Px1
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
B

P1L2 16EI

P2aL 3EI
wC

P1L2a 16EI

P2a3 3EI

P2 a 2 L 3EI
I (D4d 4 )
64 3.14 (80 440 4 )10 12
64 18810 8 m4
RB
A L
A A
+
=
q
几何方程——变形协调方程
B
wB 0
RB
wB wBq wBRB 0
物理方程——变形与力的关系
B
qL4 wBq 8EI ; wBRB

RB L3 3EI
RB
补充方程
qL4 RBL3 0
q 8EI 3EI
RB

3qL 8

B
求解其它问题（反力、应力、
x2 2

Pax2
C2
2EIw2


P 6
x23

Pa 2
x22
C2 x2

D2
确定积分常数
边界条件：当 x2 a 时， 2＝0，w2 0
求得
C2

3 2
Pa
2
,
D2

5 Pa3 6
连续性条件：在 x1 a, x2 0 处， 1 2 , w1 w2
求得
C1
P
P
A
C
B
D
例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；
悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零。
讨论题：指出下列梁的边界条件。
q
q
A
A
B
a
l
a
B L
连续性条件: 挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。 若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图a)和不光滑(图b)。
A
C
B
A
C
B
（图a）
（图b）
对上述梁：
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
(P1P2 Pn ) 1(P1 ) 2(P2 ) n (Pn ) w(P1P2 Pn ) w(P1) w(P2 ) w(Pn )