考研数学之高等数学讲义第一章(考点知识点+概念定理总结)

高等数学讲义

目录

第一章函数、极限、连续 (1)

第二章一元函数微分学 (24)

第三章一元函数积分学 (49)

第四章常微分方程 (70)

第五章向量代数与空间解析几何 (82)

第六章多元函数微分学 (92)

第七章多元函数积分学 (107)

第八章无穷级数（数一和数三） (129)

第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

(甲) 内容要点

一、函数的概念

1．函数的定义 2．分段函数

3．反函数 4．隐函数

二、基本初等函数的概念、性质和图象

三、复合函数与初等函数

四、考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数

(1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y x

t →= 2．用变上、下限积分表示的函数

(1) ⎰=

x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ⎰=

)()(21)(x x dt t f y ϕϕ 其中)(),(21x x ϕϕ可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dx

ϕϕϕϕ''=- 五、函数的几种性质

1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。

2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。

若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。

3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f <

)]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增]

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）

4． 周期性：设)(x f 在X 上有定义，如果存在常数0≠T ，使得任意X x ∈，X T x ∈+，都有

)()(x f T x f =+，则称)(x f 是周期函数，称T 为)(x f 的周期。

由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。

§1.2 极限

(甲) 内容要点

一、极限的概念与基本性质

1．极限的概念

(1) 数列的极限A x n n =∞

→lim (2) 函数的极限lim ()x f x A →+∞=；lim ()x f x A →-∞=；lim ()x f x A →∞

= A x f x x =→)(lim 0；A x f x x =+→)(lim 0；A x f x x =-→)(lim 0

2．极限的基本性质

定理1 （极限的唯一性 ） 设A x f =)(lim ，B x f =)(lim ，则A=B

定理2 （极限的不等式性质） 设A x f =)(lim ，B x g =)(lim

若x 变化一定以后，总有)()(x g x f ≥，则B A ≥

反之，B A >，则x 变化一定以后，有)()(x g x f >（注：当0)(≡x g ，0=B 情形也称为极限的保号性）

定理3 （极限的局部有界性）设A x f =)(lim

则当x 变化一定以后，)(x f 是有界的。

定理4 设A x f =)(lim ，B x g =)(lim

则（1）B A x g x f +=+)]()([lim

（2）B A x g x f -=-)]()([lim

（3）B A x g x f ⋅=⋅)]()([lim

（4）)0()()(lim ≠=B B

A x g x f （5）

B x g A x f =)()]([lim )0(>A

二、无穷小

1．无穷小定义：若0)(lim =x f ，则称)(x f 为无穷小（注：无穷小与x 的变化过程有关，

01lim =∞→x x ，当∞→x 时x 1为无穷小，而0x x →或其它时，x

1不是无穷小） 2．无穷大定义：任给M>0，当x 变化一定以后，总有M x f >)(，则称)(x f 为无穷大，记以∞=)(lim x f 。

3．无穷小与无穷大的关系：在x 的同一个变化过程中，

若)(x f 为无穷大，则)

(1x f 为无穷小， 若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则

)(1x f 为无穷大。 4．无穷小与极限的关系：

lim ()()()f x A f x A x α=⇔=+，其中lim ()0x α=

5．两个无穷小的比较

设0)(lim =x f ，0)(lim =x g ，且l x g x f =)

()(lim （1）0=l ，称)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小，记以()[()]f x o g x =

称)(x g 是比)(x f 低阶的无穷小

（2）0≠l ，称)(x f 与)(x g 是同阶无穷小。

（3）1=l ，称)(x f 与)(x g 是等阶无穷小，记以)(~)(x g x f

6．常见的等价无穷小，当0→x 时

x x ~sin ，x x ~tan ，x x arc ~sin ，x x arc ~tan ，22

1~

cos 1x x -，x e x ~1-，