2015年考研数学真题及答案解析(数二)

1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f (r cos θ , r sin θ )dr （D） ∫ dθ ∫
1
π 3 π 4
f ( r cos θ , r sin θ ) dr
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
1 1 1 1 (7)．设矩阵 A= 1 2 a ，b= d ,若集合 Ω= {1, 2} ，则线性方程组 Ax = b 有无穷多个解的 1 4 a 2 d2
（1）式对 x 求导得， 解得
∂f ∂f = 0， ∂u u =1 ∂v
v =1
u =1 v =1
=−
1 2
（6）选 B 由 y = x 得， θ = 由y=
π 4
3 x 得， θ =
2
π 3
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
由 2 xy = 1 得， 2r cos θ sin θ = 1, r =
D
（A）
∫ ∫
π 2 π 4
dθ ∫ sin12θ f (r cos θ , r sin θ )dr （B） ∫π2 dθ ∫
2 sin 2θ 4
1
π
1 sin 2θ 1 2sin 2θ 1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f ( r cos θ , r sin θ ) dr
（C）
π 3 π 4
dθ ∫
(0) =
∫
x2
0
xf (t ) dt , 若 ϕ (1) = 1 ， ϕ ' (1) = 5 ，则 f (1) =
（12）设函数 y = y ( x ) 是微分方程 y '' + y ' − 2 y = 0 的解，且在 x = 0 处 y ( x) 取值 3，则 y ( x) = （13）若函数 z = z ( x, y ) 由方程 e
23、（本 题满分 11 分）
0 2 −3 1 −2 0 设矩阵 A = −1 3 −3 ，相似于矩阵 B = 0 b 0 ， 1 −2 a 0 3 1
（1）求 a,b 的值（2）求可逆矩阵 P，使 P AP 为对角矩阵。
−1
0 0 0 0
a 1 0 3 设 矩 阵 A = 1 a −1 , 且 A = 0 ，（ 1 ） 求 a 的 值 ；（ 2 ） 若 矩 阵 X 满 足 0 1 a X − XA2 − AX + AXA2 = Z , 其中 Z 为 3 阶单位矩阵，求 X。
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2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
（C） （2）选 B
x sin t x sin t xt sin t sin 当 x ≠ 0 时， f ( x)= lim(1 + ) = lim(1 + ) t x t = ex t →0 t →0 x x
2 2
（3）选 A
f ′(0)= lim
x →0
f ( x) − f (0) 1 = lim xα −1 cos β 存在 x→0 x x
2 2 故在正交变换x = Qy下的标准型为： 2 y12 -y2 +y3 ，故选（A）。
（9）答案： 48 .
dy dy dt 3 + 3t 2 解： = = = 3(1 + t 2 )2 ， 1 dx dx dt 1+ t2 d dy 2 d y dt dx = 12t (1 + t ) = 12t (1 + t 2 )2 ， = 1 dx 2 dx dt 1+ t2
所以 α − 1 > 0 ，且 f ′(0)=0
f ′( x)=α xα −1 cos
x→ 0
1 1 + β xα − β −1 sin β β x x
由 lim f ′( x) = f ′(0) = 0 ，得 α − β − 1 > 0 ， α − β > 1 （4）选 C 由图易知，拐点为原点和与 x 正半 轴的交点，所以拐点数为 2 （5）选 D
Q = (e1 , −e3 , e2 ) ，则 f ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换 x = Py 下的标准形为（ ）
2 2 (A): 2 y12 − y2 + y3 2 2 (B) 2 y12 + y2 − y3 2 2 (C) 2 y12 − y2 − y3 2 2 (D) 2 y12 + y2 + y3
′′ ( x, y ) = 2( y + 1)e ， f x′( x, 0) = ( x + 1)e x ， f (0, y) = +2 y, 求 f ( x, y) 的 已知函数 f ( x, y ) 满足 f xy
x
极值。 18、（本 题满分 10 分） 计算二重积分
D
∫∫ x( x + y )dxdy ，其中 D = {( x, y ) x
1 x2
2
+ y 2 ≤ 2, y ≥ x 2 。
}
19、（本 题满分 10 分） 已知函数 f ( x) =
∫
x
1 + t 2 dt + ∫
1
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1 + tdt ，求 f ( x) 零点的个数。
20、（本 题满分 11 分） 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温 差成正比，现将一初始温度为 120 C 的物体在 20 C 恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30 C ，若要使物体的温度继续降至 21 C ，还需冷却多长时间？ 21、（本 题满分 11 分） 已知函数 f ( x) 在区间 [ a, +∞ ) 上具有 2 阶导数， f (a ) = 0, f ′( x) > 0, 设 b > a, 曲线 y = f ( x) 在 点 (b, f (b)) 处的切线与 X 轴的交点是 ( x0 , 0) ，证明： a < x0 < b 。 22、（本 题满分 11 分）
（8）
设二次型对应的矩阵为A, P = ( e1 , e2 , e3 ) , 二次型在正交变换x = Py下的标准型为 2 , 若Q = e , −e , e , 则 2 2 2 −1 2 y1 + y2 − y3 , 则P AP = 1 ( 1 3 2) −1 2 −1 Q AQ = −1 , 1
y x u uv 所以 x = ,y= v +1 v +1
法一： u = x + y, v =
u2 u 2v2 u 2 (1 − v ) − = 所以 f (u , v) = (v + 1) 2 (v + 1) 2 v +1
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−2 ∂f 2u (1 − v ) ∂f = u2 = ， ∂u v +1 ∂v (v + 1)2
y x
∂f ∂f 与 依次是（） ∂u u =1 ∂v u =1
v =1 v =1
（A）
1 ,0 2
(B)0，
1 1 （C）- ,0 2 2
(D)0 ,-
1 2 3 x 围成的平面区域，函数
(6). 设 D 是第一象限中曲线 2 xy = 1, 4 xy = 1 与直线 y = x, y =
f ( x, y ) 在 D 上连续，则 ∫∫ f ( x, y )dxdy =（）
∂f ∂f = 0， ∂u u =1 ∂v
v =1
u =1 v =1
=−
1 2
2 2 法二： f ( x + y, ) = x − y （1）
x y
∂f y ∂f − 2 = 2 x （2） ∂u x ∂v ∂f 1 ∂f （1）式对 y 求导得， + = −2 y （3） ∂u x ∂v 1 由 u = 1, v = 1 ，得 x = y = ，代入（2） （3） 2
1 1 1 d → 0 1 d2 0 0
1 a −1 ( a − 1)( a − 2 )
1 d −1 ( d − 1)( d − 2 )
Ax = b有无穷多解 ↔ R(A)=R(A,b)<3 ↔ a = 1或a = 2且d = 1或d = 2，故选（D）
2
求 a, b, k 的值。
16、（本 题满分 10 分）
2
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设A>0， D 是由曲线段 y = A sin x(0 ≤ x ≤
π π ) 及直线 y = o, x = 所形成的平面区域， V1 ， V2 2 2
分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若 V1 = V2 ，求 A 的值。 17、（本 题满分 10 分）
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2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 选择题:1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． (1)下列反常积分中收敛的是（）
+∞
（A）
x + 2 y +3 z
+ xyz = 1 确定，则 dz (0,0) =
2
（14） 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2， -2,1， B = A − A+ E ， 其中 E 为 3 阶单位矩阵， 则行列式 B = 三、 解答题：15～ 23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、 证 ．．． 明过程或演算步骤. 15、（本 题满分 10 分） 设函数 f ( x ) = x + α ln(1 + x) + bx sin x ， g ( x ) = kx ，若 f ( x) 与 g ( x ) 在 x → 0 是等价无穷小，
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2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
2015 年考研数学二真题答案（完整版 ）
（1）选 D （A）
∫ ∫
∫
+∞
2
+∞ 1 dx = 2 x = +∞ ，发散 2 x +∞
（B）
+∞
2
+∞
ln x 1 dx = (ln x )2 = +∞ ，发散 x 2 2
1 +∞ dx = ln ln x 2 = +∞ ，发散 2 x ln x +∞ 1 +∞ x x 1 （D）当 x 足够大时， x < 2 ， ∫ dx 收敛， ∫ dx 收敛 2 2 2 ex e x x
∫
2
1 dx x
+∞
（B）
∫
2
ln x dx x
+∞
(C)
∫
2
+∞ 1 x dx (D) ∫ x dx x ln x e 2
sin t xt (2)函数 f ( x ) = lim(1 + ) 在 (−∞, +∞) 内（） t →0 x
（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
由 4 xy = 1 得， 4r cos θ sin θ = 1, r =
2
所以
∫∫
D
f ( x, y )dxdy = ∫π3 dθ ∫
4
π
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f (r cos θ , r sin θ )rdr
（7）解析：
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1 1 1 [ A, b ] = 1 2 a 2 1 4 a
充分必要条件为（） （A） a ∉ Ω, d ∉ Ω (B) a ∉ Ω, d ∈ Ω (C) a ∈ Ω, d ∉ Ω (D) a ∈ Ω, d ∈ Ω
2 2 (8)设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换 x = Py 下的标准形为 2 y12 + y2 − y3 , 其中 P=(e1 ,e 2 ,e3 ) ，若
2
1 α x cos β , x > 0 (3)设函数 f ( x) = (α > 0, β > 0) ，若 f ( x) 在 x = 0 处连续，则（） x 0, x ≤ 0
（A） α − β > 1 (B) 0 < α − β ≤ 1 (C) α − β > 2 (D) 0 < α − β ≤ 2 (4) 设函数 f ( x) 在 (−∞, +∞) 连续， 其二阶导函数 f ′′( x) 的图形如右图所示， 则曲线 y = f ( x) 的 拐点个数为（） （A）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数 f (u，v) 满足 f ( x + y, ) = x 2 − y 2 ，则
二、 填空题：9～ 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． (9) 设
x = arctan t y = 3t + t
3
,则
2 x
d2y = dx 2 t =1
(n)
（10）函数 f ( x) = x 2 在 x = 0 处的 n 阶导数 f （11）设函数 f ( x) 连续， ϕ ( x ) =