工程数值方法读书报告

工程数值方法读书报告

Steven C.Chapra和Raymond P.Canale教授编写以及于艳华等翻译的这本《工程数值方法》是一本很优秀的教材，更是一本经典著作。之所以这样说，是因为本书并没有像其他专业类书籍一样刻板的介绍专业知识，而是采用一种引导的方式进行介绍，这是一种极富创意的方式，引导读者轻松掌握数值方法的相关知识。书中内容并不是晦涩难懂，许多例子都是中学时代接触过的问题，比如伞兵降落问题、牛顿力学问题等。对于学生来说，作者的这种问题引导方法，可以激发我们的兴趣。

本书内容涉及数值方法和计算机知识，对于解决现实问题具有重要意义。全书共8部分，分别介绍了建模、计算机与误差分析问题；方程求根；线性代数方程组；最优化；曲线拟合；数值微分和数值积分；常微分方程；偏微分方程。每一个部分又分别详细介绍了不同的数学问题求解方法。这8个部分基本上涵盖了各个工程中的基本数值问题的解决方法。通过阅读本书可以知道数值方法与计算机的结合提高了解决问题的能力，尤其是随着现代计算机性能的提高，之前的很多问题现在可以轻易的解决。使用计算机解决数值问题实际上就是通过对计算过程进行编程，实现了快速运算，代替了人工手算的枯燥和巨大计算量。本书使用的两个编程工具是Excel和MATLAB。Excel电子表格是一个特殊类型的数学软件，它准许用户在数据行和列中输入数据，并执行计算，其内建的数值计算功能比如方程求根、曲线拟合和最优化，正是我们所需要的。并且Excel还包含了VBA 宏语言开发功能，是数值分析的一个很有用的帮手。MATLAB不同于Excel，它的主要对象是矩阵，可以在一个易用的交互式环境中方便地实现矩阵的数学处理。MATLAB所具有的各种函数和操作符，能够很方便的实现书中的许多数值方法，同样也可以按照用户的需要进行编程。MATLAB与Excel一起使用，优势互补，真正打开工程问题求解的大门。

数值方法是将数学问题进行公式化的表示，以便用算术运算对其进行求解的技术。将实际问题量化，并运用数学方法求解是解决问题的有效途径，也是科学

可靠的。自从人类文明产生以来，人们就开始运用数学方法去解决问题，在这个进程中诞生了无数伟大的科学家，他（她）们在解决问题时勇于探索，善于思考，致力于将复杂的问题简单化，公式化，他（她）们希望找到一种基本定律，一个简单的公式，来表示自然规律。在计算机时代到来之前，人们的精力主要集中在求解技术上，这就要花费大量时间和人力。计算时代中，计算问题得到了解决，计算速度大幅提高使得人们将主要精力放在深入分析问题与基本定律的关系上以及对问题的整体思考上。而对问题的解决方法设计--数学建模就是用数学语言来表达物理系统或者过程的本质特征的公式或方程。

降落的伞兵问题

本书第一个问题--降落的伞兵问题也就是牛顿第二运动定律。先是通过解析法进行计算得出解析解（精确解）过程如下：

由F=ma a=F/m dv/dt=F/m F=F

D+F U F D=mg F U=-cv dv/dt=g-cv/m

得到v(t)=gm(1-e-(c/m)t) /c

带入数值m=68.1kg ；g=9.8m/s2；c=12.5kg/s

可得v(t)=53.39(1-e-0.18355t)

根据这个结果我们可以得到降落伞在任何时刻的速度。

然而，大多数数学模型并没有精确解，只能用数值解来近似表示精确解。这里就提到了欧拉法（E uler’s method）即新值=旧值+斜率*步长

在降落伞问题中牛顿第二运动规律可以近似表示为dv

dt ≅∆v

∆t

=v(t i+1)−v(tⅈ)

t i+1−tⅈ

这就是微分中dv

dt =lim

∆t→0

∆v

∆t

的逆过程。这样再带入参数，就可以得到降落伞

问题的数值解，数值解的精度可以通过改变步长的大小来控制。至于步长采用多少为合适，这就引出了下一个问题权衡，可用性、精度、成本、速度之间的权衡。

由于时间原因，这里只对截断误差和泰勒级数谈一下自己的收获。截断误差是由于用近似过程代替准确过程而产生的误差。这种误差可以用泰勒级数这种数值方法进行解释。泰勒定理指出，任何光滑函数都可以用多项式来逼近。例如，

级数的第一项为f(x

i+1)=f(x i)称之为0阶近似；1阶近似为f(x i+1)=f(x i)+f’(x i)(x i+1-x i)。以此类推可以得到n阶近似表达。

泰勒定理：在包含a和x的区间上，如果一个函数f及其前n+1阶导数都是连续的，那么该函数在x处的值可以表示为如下形式：

f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+ f’’(a)

2!(x-a)2+…+f(n)(a)

n!

(x-a)n+R n

其中余项Rn的定义为：Rn=f (n+1)(ξ)

(n+1)!

(x-a)n+1

这样我们就可以利用泰勒级数展开式去逼近一个任意阶可导的函数。逼近效果就可以得到控制。

数值分析方法有两种发展趋势：一是有限元法的发展，从平面有限元到三维有限元，从弹性有限元到弹塑性有限元；二是大量新型数值计算方法的应用，如边界元法、离散元法、拉格朗日元法等。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模型。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是有所有单元上得近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、巨量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。

随着电子计算机的迅速发展、普及以及新型数值软件的不断发展，数值分析的理论和方法无论是在高科技领域还是在传统学科领域，其作用和影响都越来越