完全平方公式典型例题
完全平方公式变形的应用练习题_2
完全平方公式变形的应用练习题_2(共11页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c cb b a -+-+-的值是⑵1=+y x ，则222121y xy x ++=⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式组合例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=⑶若()()x y x y a-=++22，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求))((2222d c b a ++（三）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。
例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求ba ba -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=xb ，20082005+=xc ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ． （五）分类配方例题：已知03410622=++-+n m n m ，求n m +的值。
完全平方公式经典例题
《完全平方公式》典型例题例1利用完全平方公式计算：（1）2)32(x -；（2）2)42(a ab +；（3）2)221(b am -．例2计算：（1）2)13(-a ；（2）2)32(y x +-；（3）2)3(y x --．例3用完全平方公式计算：（1）2)323(x y +-；（2）2)(b a --；（3）2)543(c b a -+．例4运用乘法公式计算：（1）))()((22a x a x a x -+-；（2）))((c b a c b a ---+；（3）2222)1()1()1(+-+x x x ．例5计算：（1）2241)321(x x --；（2）212)(212(+---b a b a ；（3）22)()(y x y x --+．例6利用完全平方公式进行计算：（1）2201；（2）299；（3）2)3130(．例7已知12,3-==+ab b a ，求下列各式的值．（1）22b a +；（2）22b ab a +-；（3）2)(b a -．例8若2222)()(3c b a c b a ++=++，求证：c b a ==．参考答案例1分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．解：（1）22229124)3(3222)32(x x x x x +-=+⨯⨯-=-；（2）222222216164)4(422)2()42(a b a b a a a ab ab a ab ++=+⨯⨯+=+；（3）22224241)221(b amb m a b am +-=-．说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现223124)32(x x x +-=-的错误．例2分析：（2）题可看成2]3)2[(y x +-，也可看成2)23(x y -；（3）题可看成2)]3([y x +-，也可以看成2])3[(y x --，变形后都符合完全平方公式．解：（1）2221132)3()13(+⋅⋅-=-a a a 1692+-=a a （2）原式22)3(3)2(2)2(y y x x +⋅-⋅+-=229124y xy x +-=或原式2)23(x y -22)2(232)3(x x y y +⋅⋅-=224129x xy y +-=（3）原式2)]3([y x +-=2)3(y x +=2232)3(y y x x +⋅⋅+=2269y xy x ++=或原式22)3(2)3(y y x x +⋅-⋅--=2269y xy x ++=说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．例3分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式x 32为公式中a ，y 3为公式中b ，利用差的平方计算；第（2）小题应把2)(b a --化为2)(b a +再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a ，如把)43(b a +作为公式中的a ，c 5作为公式中的b ，再两次运用完全平方公式计算．解：（1）2)323(x y +-=2229494)332(y xy x y x +-=-（2）2)(b a --=2222)(b ab a b a ++=+（3）22225)43(10)43()543(c b a c b a c b a ++-+=++=abb c bc ac a 24162540309222+++-+说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：222)(b a b a +=+，222)(b a b a -=-．例4分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项c a -，和互为相反数的项b ，所以先利用平方差公式计算])[(b c a +-与])[(b c a --的积，再利用完全平方公式计算2)(c a -；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为22)]1)(1(10[(+-+x x x ，再利用乘法公式计算．解：（1）原式=422422222222)())((a x a x a x a x a x +-=-=--（2）原式=22)(])][()[(b c a b c a b c a --=--+-=2222b c ac a -+-（3）原式=22222)]1)(1[()]1)(1)(1[(+-=+-+x x x x x =12)1(4824+-=-x x x ．说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的．例5分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．解：（1）x x x x x x 3941934141)321(2222-=-+-=--；（2）]21)221)2[()212212(+---=+---b a b a b a b a 414441)2(222-+-=--=b ab a b a ；（3）)2(2)()(222222y xy x y xy x y x y x +--++=--+xy y xy x y xy x 4222222=-+-++=．说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．例6分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差．解：（1）4040112002200)1200(201222=+⨯+=+=；（2）980111002100)1100(99222=+⨯-=-=．（3）2)3130(＝22231(3130230)3130(+⨯⨯+=+.219209120900=++=说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．例7分析：（1）由完全平方公式2222)(b ab a b a +==+，可知=+22b a 2)(b a +ab 2-，可求得3322=+b a ；（2）45)12(332222=--=-+=+-ab b a b ab a ；（3）57)12(2332)(222=-⋅-=+-=-b ab a b a ．解：（1）33249)12(232)(2222=+=-⨯-=-+=+ab b a b a （2）451233)12(33)(2222=+=--=-+=+-ab b a b ab a（3）abb a b ab a b a 2)(2)(22222-+=+-=-572433)12(233=+=-⨯-=说明：该题是2222)(b ab a b a ++=+是灵活运用，变形为ab b a b a 2)(222-+=+，再进行代换．例8分析：由已知条件展开，若能得出,0)()()(222=-+-+-a c c b b a 就可得到,0,0,0=-=-=-a c c b b a 进而,,c b a a cc b b a ==⇒===同时此题还用到公式bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．证明：由,)()(32222c b a c b a ++=++得acbc ab c b a c b a 222333222222+++++=++.022*******=---++bc ac ab c b a 则0)2()2()2(222222=+-++-++-a ac c c bc b b ab a .0)()()(222=-+-+-a c c b b a ∵.0)(,0)(,0)(222≥-≥-≥-a c c b b a ∴.0,0,0=-=-=-a c c b b a 即,,,a c c b b a ===得c b a ==．。
(639)完全平方公式专项练习60题(有答案)ok
完全平方公式专项练习60题（有答案）1．（1）（x+y﹣z）（x+y+z）；（2）（x+y）2﹣（x﹣y）2．2．已知a﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b）2 （2）a2﹣6ab+b2的值．3．已知（a+b）2=6，（a﹣b）2=2，试比较a2+b2与ab的大小．4．已知（x+y）2=7，（x﹣y）2=3．求：（1）x2+y2的值；（2）x4+y4的值；（3）x6+y6的值．5．已知a2+b2=13，ab=6，求a+b的值．6．已知x+y=3，x2+y2﹣3xy=4．求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．7．阅读理解：求代数式y2+4y+8的最小值．解：∵y2+4y+8=（y2+4y+4）+4=（y+2）2+4≥4∴当y=﹣2时，代数式y2+4y+8的最小值是4．仿照应用（1）：求代数式m2+2m+3的最小值．仿照应用（2）：求代数式﹣m2+3m+的最大值．8．已知a2+b2=1，a﹣b=，求a2b2与（a+b）4的值．9．已知实数a，b满足a（a+2）﹣（a2+b）=6，求4a2﹣4ab+b2﹣8a+4b﹣15的值．10．99.82．11．用乘法公式计算：．12．利用公式求2×20092﹣20102﹣20082的值．13．已知：x2+3x+1=0，求的值．14．已知，试求的值．15．已知a2+3a+1=0，求：①，②，③．16．已知x﹣y=6，xy=﹣8，（1）求x2+y2的值；（2）求代数式的值．17．已知（2012﹣a）•（2010﹣a）=2011，求（2012﹣a）2+（2010﹣a）2的值．18．已知x+y=1，求x2+xy+y2的值．19．如果a+b+c=0，，求（a+1）2+（b+2）2+（c+3）2的值．20．已知a+b=3，ab=﹣10，求下列各式的值．（1）a2+b2（2）a2﹣ab+b2（3）（a﹣b）2．21．若（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，试求x+z与y的关系．22．证明：（a+b+c）2+a2+b2+c2=（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2．23．已知a+b+c=1，a2+b2+c2=2，求ab+bc+ca的值．24．运用完全平方公式计算（1）（x+y）2 （2）（2a+3b）2 （3）（4）（5）（a﹣1）2 （6）．25．运用完全平方公式计算（1）100.22 （2）98×98 （3）372（4）（5）20082 （6）．26．已知（a+b）2=3，（a﹣b）2=23，求代数式a2+b2﹣3ab的值．27．已知a+b+c=1，a2+b2+c2=2，a3+b3+c3=3，求（1）abc的值：（2）a4+b4+c4的值．28．已知m=4x2﹣12xy+10y2+4y+9，当x、y各取何值时，m的值最小？29．计算：5062+1012×505+5052﹣10102．30．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．31．如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值．32．已知多项式4x2+1，添上一项，使它成为一个完全平方式，你有哪几种方法？33．如果x2+2（m﹣2）x+9是完全平方式，那么m的值等于_________ ．34．已知a2﹣4a+4+9b2+6b+1=0，求a、b的值．35．试说明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一个完全平方式．36．已知a=2002，b=2003，c=2004，求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．37．代数式（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）+1是一个完全平方式吗？请说明你的理由．38．已知（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）+m是一个完全平方式，求常数m的值．39．x，y都是自然数，求证：x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方．40．试求出所有整数n，使得代数式2n2+n﹣29的值是某两个连续自然数的平方和．41．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．42．已知二次三项式9x2﹣（m+6）x+m﹣2是一个完全平方式，试求m的值．43．观察下列等式：1×32×5+4=72=（12+4×1+2）22×42×6+4=142=（22+4×2+2）23×52×7+4=232=（32+4×3+2）24×62×8+4=342=（42+4×4+2）2…（1）根据你发现的规律，12×142×16+4是哪一个正整数的平方；（2）请把n（n+2）2（n+4）+4写成一个整数的平方的形式．44．（1）当a=﹣2，b=1时，求两个代数式（a+b）2与a2+2ab+b2的值；（2）当a=﹣2，b=﹣3时，再求以上两个代数式的值；（3）你能从上面的计算结果中，发现上面有什么结论．结论是：_________ ；（4）利用你发现的结论，求：19652+1965×70+352的值．45．当a=﹣3，b=1，时，分别求代数式（a﹣b）2与a2﹣2ab+b2的值，并比较计算结果；你有什么发现？利用你发现的结果计算：20122﹣2×2012×2011+20112．46．一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数．如64=82，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932．求证：a是一个完全平方数．47．用图说明公式：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．48．观察如图图形由左到右的变化，计算阴影部分的面积，并用面积的不同表达形式写出相应的代数恒等式．49．如图所示：（1）指出图中有多少个边长为a的正方形？有多少个边长为b的正方形？有多少个两边长分别为a和b的矩形？（2）请在图中指出面积为（a+2b）2的图形，利用乘法公式计算结果，并利用图形的关系验证相应的结果．50．计算：（1）（x3n+1）（x3n﹣1）﹣（x3n﹣1）2；（2）（2x n+1）2（﹣2x n+1）2﹣16（x n+1）2（x n﹣1）2．51．阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式，例如由图（a）可以得到a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）．请解答下列问题：（1）写出图（b）中所表示的数学等式_________ ；（2）试画出一个长方形，使得计算它的面积能得到2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．52．如图是用四个长、宽分别为a、b（a＞b）的相同长方形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案．（1）用含有a、b的代数式表示小正方形的面积．（用两种不同的形式来表示）（2）如果已知大正方形图案的面积为28，小正方形的面积是6，求a2+b2+ab的值．53．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．（1）你认为图1的长方形面积等于_________ ；（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：_________ ；方法2：_________ ；（3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系_________ ；（4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）．54．已知x1，x2，x3，…，x n中每一个数值只能取﹣2，0，1中的一个，且满足x1+x2+…+x n=﹣17，x12+x22+…+x n2=37，求x13+x23+…+x n3的值．55．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有_________ 项，系数分别为_________ ；（2）（a+b）n展开式共有_________ 项，系数和为_________ ．56．阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2=（a+b）2﹣2ab或a2+b2=（a﹣b）2+2ab．从而使某些问题得到解决．例：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值．解：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=52﹣2×3=19．问题：（1）已知a+=6，则a2+= _________ ；（2）已知a﹣b=2，ab=3，求a4+b4的值．57．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．58．1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书《详解九章算术》．书中记载了一个用数字排成的三角形我们叫作杨辉三角形（a+b）0=1 (1)（a+b）1=a+b…1 1（a+b）2=a2+2ab+b2…1 2 1（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3…1 3 3 1（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…••1 4 6 4 1（1）请写出第五行的数字_________ ；（2）第n行杨辉三角形数字与（a+b）n的展开结果关系如上图所示，请写出（a+b）5的展开结果；（3）已知（a﹣b）1=a﹣b，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3（a﹣b）4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．请写出（a﹣b）5的展开结果．59．先阅读下面一段文字，然后猜想，解答问题：由32=9=4+5，发现有32+42=52成立；又52=25=12+13，仍然有52+122=132；而72=49=24+25，还是有72+242=252…（1）猜想92=81=x+y（x、y均为正整数，且x＜y），并且92+x2=y2，则x= _________ ，y= _________ ．（2）是否大于1的奇数都有上面这样的规律？证明你的猜想．60．操作与探究（1）比较下列两个算式结果的大小（在横线上填“＞”“=”“＜”（每空1分）①32+42_________ 2×3×4；②（）2+（）2_________ 2××；③（﹣2）2+（﹣3）2_________ 2×（﹣2）×（﹣3）；④（﹣）2+（﹣）2_________ 2×（﹣）×（﹣）⑤（﹣4）2+（﹣4）2_________ 2×（﹣4）×（﹣4）…（2）观察并归纳（1）中的规律，用含a，b的一个关系式把你的发现表示出来．（3）若已知mn=8，且m，n都是正数，试求2m2+2n2的最小值．完全平方公式60题参考答案：1．解：（1）原式=（x+y）2﹣z2=x2+2xy+y2﹣z2；（2）原式=（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）=4xy．2．解：（1）将a﹣b=3两边平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=9，把ab=2代入得：a2+b2=13，则（a+b）2=a2+b2+2ab=13+4=17；（2）a2﹣6ab+b2=a2+b2﹣6ab=13﹣12=13．解：∵（a+b）2=a2+b2+2ab=6①，（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=2②，∴①+②得：2（a2+b2）=8，即a2+b2=4；①﹣②得：4ab=4，即ab=14．解：（1）∵（x+y）2=7，（x﹣y）2=3，x2+2xy+y2=7，x2﹣2xy+y2=3，∴x2+y2=5，xy=1；（2）x4+y4=（x2+y2）2﹣2x2y2=25﹣2=23；（3）x6+y6=（x2+y2）（x4﹣x2y2+y4）=5×（23﹣1）=1105．解：∵a2+b2=13，ab=6，（a+b）2=a2+2ab+b2=a2+b2+2ab=13+2×6=25，∴a+b==±5．6．解：（1）∵x+y=3，∴（x+y）2=9，∴x2+y2+2xy=9，∴x2+y2=9﹣2xy，代入x2+y2﹣3xy=4，∴9﹣2xy﹣3xy=4，解得：xy=1．（2）∵x2+y2﹣3xy=4，xy=1，∴x2+y2=7，又∵x3y+xy3=xy（x2+y2），∴x3y+xy3=1×7=77．解：应用（1）m2+2m+3=（m2+2m+1）+2=（m+1）2+2≥2，∴当m=﹣1时，m2+2m+3的最小值是2，应用（2）﹣m2+3m+=﹣（m2﹣3m+）++=﹣（m﹣）2+3≤3，∴当m=时，﹣m2+3m+的最大值是38．解：a2+b2=1，a﹣b=，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab，∴ab=﹣[（a﹣b）2﹣（a2+b2）]=﹣×（﹣1）=，∴a2b2=（ab）2=（）2=；∵（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=+4×=，∴（a+b）4=[（a+b）2]2=9．解：∵a（a+2）﹣（a2+b）=6，∴a2+2a﹣a2﹣b=6，∴2a﹣b=6，原式=（2a﹣b）2﹣4（2a﹣b）﹣15，当2a﹣b=6时，原式=62﹣4×6﹣15=﹣3 10．解：99.82=（100﹣0.2）2，=1002﹣2×100×0.2+0.22，=10000﹣40+0.04，=9960.0411．解：===164012．解：设a=2009，原式=2a2﹣（a+1）2﹣（a﹣1）2=2a2﹣a2﹣2a﹣1﹣a2+2a﹣1=﹣213．解：∵x≠0，∴已知方程变形得：x+3+=0，即x+=﹣3，则x2+=（x+）2﹣2=9﹣2=714．解：对式子两边平方得，a2+﹣2=，∴a2+=，∴（）2=a2++2，=+2，=，∴=±15．解：①∵a2+3a+1=0，∴a≠0，∴在等式的两边同时除以a，得a+3+=0，∴a+=﹣3；②由①知，a+=﹣3，则（a+）2=+2=9，解得，=7；③由②知，=7，则（）2=+2=49，解得，=4716．解：（1）∵x﹣y=6，xy=﹣8，∴（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy，∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy=36﹣16=20；（2）∵（x+y+z）2+（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣z（x+y），=（x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz）+[（x﹣y）2﹣z2]﹣xz﹣yz，=x2+y2+z2+xy+xz+yz+x2+y2﹣xy﹣z2﹣xz﹣yz，=x2+y2，又∵x2+y2=20，∴原式=2017．解：∵（2012﹣a）•（2010﹣a）=2011，∴（2012﹣a）2+（2010﹣a）2=[（2012﹣a）﹣（2010﹣a）]2+2（2012﹣a）（2010﹣a）=4+2×2011=402618．解：x2+xy+y2=（x+y）2=×1=．19．解：由，去分母，得（b+2）（c+3）+（a+1）（c+3）+（a+1）（b+2）=0，而（a+1）2+（b+2）2+（c+3）2=[（a+1）+（b+2）+（c+3）]2﹣2[（b+2）（c+3）+（a+1）（c+3）+（a+1）（b+2）] =（a+b+c+6）2=（0+6）2=3620．解：（1）a2+b2=（a+b）2﹣2ab=9+20=29；（2）a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=9+30=39；（3）原式=（a+b）2﹣4ab=9+49=5821．解：∵x﹣z=x﹣y+y﹣z，∴原式可化为[（x﹣y）+（y﹣z）]2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，（x﹣y）2﹣2（x﹣y）（y﹣z）+（y﹣z）2=0，（x﹣y﹣y+z）2=0，∴x+z=2y22．证明：（a+b+c）2+a2+b2+c2=[（a+b）+c]2+a2+b2+c2，=（a+b）2+2（a+b）c+c2+a2+b2+c2，=（a+b）2+2ac+2bc+c2+a2+b2+c2，=（a+b）2+（a2+2ac+c2）+（b2+2bc+c2），=（a+b）2+（a+c）2+（b+c）223．解：∵a+b+c=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，∵a2+b2+c2=2，∴2+2ab+2bc+2ac=1，解得ab+bc+ac=﹣24．解：（1）原式=x2+2xy+y2；（2）原式=4a2+12ab+9b2；（3）原式=m2+4m+16；（4）原式=x2+x+；（5）原式=a2﹣2a+1；（6）原式=﹣2ab+9b225．（1）原式=（100+0.2）2=10000+40+0.04=10040.04；（2）原式=（100﹣2）2=10000﹣400+4=9604；（3）原式=（40﹣3）2=1600﹣240+9=1351；（4）原式=（20+）2=400+20+=420；（5）原式=（2000+8）2=4000000+32000+64=4032064；（6）原式=（14+）2=196++=217．26．解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2=3①，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=23②，∴①+②得：2（a2+b2）=26，即a2+b2=13，①﹣②得：4ab=﹣20，即ab=﹣5，则原式=13+15=2827．解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），即1=2+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac=﹣，a3+b3+c3﹣3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc），即3﹣3abc=2+，∴abc=；（2）（a+b+c）（a3+b3+c3）=a4+b4+c4+7（ab+bc+ac）﹣abc（a+b+c），即：3=a4+b4+c4+7×（﹣）﹣×1，a4+b4+c4=28．解：m=4x2﹣12xy+10y2+4y+9=（2x﹣3y）2+（y+2）2+5，由于m等于两个非负数的和加上5，所以最小值是0+5=5，即m=5，即2x﹣3y=0，y+2=0，∴x=﹣3，y=﹣2．故m=5，x=﹣3，y=﹣229．解：原式=5062+2×506×505+5052﹣10102=（506+505）2﹣10102=10112﹣10102=（1011+1010）（1011﹣1010）=202130．解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4=x2﹣2xy+y2+y2+4y+4=（x﹣y）2+（y+2）2=0，∴x﹣y=0，y+2=0，解得x=﹣2，y=﹣2，∴x y=（﹣2）﹣2=；（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，a﹣5=0，b﹣4=0，解得a=5，b=4，∵c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜931．解：∵36x2+（m+1）xy+25y2=（6x）2+（m+1）xy+（5y）2，∴（m+1）xy=±2•6x•5y，∴m+1=±60，∴m=59或﹣6132．解：4x，﹣4x，4x4设所求的一项是y，则①当y是中间项时，∵4x2+1±y是完全平方式，∴4x2+y+1=（2x+1）2，∴4x2±y+1=4x2+4x+1，∴y=±4x；②当y是尾项时，1=2×2x•，则y=．不合题意，舍去33．解：∵x2+2（m﹣2）x+9是一个完全平方式，∴这两个数是x和3，∴2（m﹣2）=±6，解得m=5或﹣1，故答案为m1=5，m2=﹣134．解：∵a2﹣4a+4+9b2+6b+1=（a﹣2）2+（3b+1）2=0，而（a﹣2）2≥0，（3b+1）2≥0，∴a﹣2=0，3b+1=0，解得a=2，b=﹣35．证明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1，=（a2+3a）2+2（a2+3a）+1，=（a2+3a+1）2，∴（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一个完全平方式36．解：∵2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc），=a2+b2﹣2ab+a2+c2﹣2ac+b2+c2﹣2bc，=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=（2002﹣2003）2+（2002﹣2004）2+（2003﹣2004）2=1+4+1，=6，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=337．解：原式=（a+1）（a+4）（a+2）（a+3）+1=（a2+5a+4）（a2+5a+6）+1=（a2+5a）2+10（a2+5a）+25=（a2+5a+5）2．则代数式是完全平方式38．解：（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）+m，=（a+1）（a+4）（a+2）（a+3）+m，=（a2+5a+4）（a2+5a+6）+m，=（a2+5a）2+10（a2+5a）+24+m，∵多项式是一个完全平方式，∴24+m=25，∴m=139．解：设x2+y+1和y2+4x+3的值能同时是完全平方，那么有x2+y+1=（x+1）2，y2+4x+3=（y+）2，∴y=2x，4x=2y，即y=2x，x=y，又∵x、y是自然数，∴y必是无理数，∴与已知矛盾，故x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方40．解：设两个连续自然数是x、x+1，则根据题意知2n2+n﹣29=x2+（x+1）2，化简为2x2+2x+30﹣2n2﹣n=0 ①∴x==②因为x是自然数，所以4n2+2n﹣59必为某个整数的平方（完全平方数），因此设4n2+2n﹣59=k2③∴n==④因为n是整数，所以4k2+237必为某个整数的平方（完全平方数），设4k2+237=a2⑤则有a2﹣4k2=237，即（a+2k）（a﹣2k）=237，所以有或，解之得或由⑤式得4k2+237=1192或412，代入④式得n1=10，n2=﹣30，∴符合条件的整数n是10或﹣3041．解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）=±2×5•（x+y），解得a=±1042．解：∵9x2﹣（m+6）x+m﹣2=（3x）2﹣（m+6）x+（）2，∴±（m+6）=2•3•，两边平方并整理得，m2﹣24m+108=0，解得m1=6，m2=18，所以m的值为6或1843．解：（1）由题意，可得12×142×16+4=（122+4×12+2）2=1942；（2）n（n+2）2（n+4）+4=（n2+4n+2）244．解：（1）当a=﹣2，b=1时，（a+b）2=1，a2+2ab+b2=1（2）当a=﹣2，b=﹣3时，（a+b）2=25，a2+2ab+b2=25（3）（a+b）2=a2+2ab+b2（4）原式=19652+2×1965×35+352=（1965+35）2=400000045．解：当a=﹣3，b=1时，（a﹣b）2=（﹣3﹣1）2=16，a2﹣2ab+b2=（﹣3）2﹣2×（﹣3）×1+12=9+6+1=16，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；根据结果，20122﹣2×2012×2011+20112=（2012﹣2011）2=1 46．证明：令2992=m，则2993=m+1，于是a=m2+m2•（m+1）2+（m+1）2，=m4+2m3+3m2+2m+1，=m4+2m3+2m2+m2+2m+1，=（m2）2+2•m2•（m+1）+（m+1）2，=（m2+m+1）2，所以是a一个完全平方数47．解：依题意，画一个边长是a+b+c+d的正方形，则（a+b+c+d）2=a2+ab+ac+ad+ab+b2+bc+bd+ac+bc+c2+cd+ad+bd+cd+d2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd48．解：左边图形的阴影部分面积为：（a+b）2﹣（a﹣b）2，右边图形的阴影部分面积为：a×4b=4ab，根据两图形的阴影部分面积相等可得，（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab49．解：（1）图中有1个边长为a的正方形；有4个边长为b的正方形；有4个两边长分别为a和b的矩形；（2）图形中最大正方形的面积为（a+2b）2=a2+4ab+4b2；最大正方形的边长为a+2b，故面积为（a+2b）2；最大正方形的面积S=a2+4ab+4b2，故（a+2b）2=a2+4ab+4b250．解：（1）原式=x6n﹣1﹣x6n+2x3n﹣1=2x3n﹣2．（2）原式=[（1+2x n）（1﹣2x n）]2﹣16[（x n+1）（x n﹣1）]2=（1﹣4x2n）2﹣16（x2n﹣1）2=1﹣8x2n+16x4n﹣16x4n+32x2n﹣16=24x2n﹣1551．解：（1）由图形可知：2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）；（2）52．解：（1）∵如图是用四个长、宽分别为a、b（a＞b）的相同长方形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，∴小正方形的面积为：（a﹣b）2或（a+b）2﹣4ab；（2）∵大正方形图案的面积为28，小正方形的面积是6，∴（a+b）2﹣4ab=6，∴28﹣4ab=6，∴ab=，∴a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=28﹣=22.553．解：（1）长方形面积=2a•2b=4ab；（2）方法1：S阴影部分=（a+b）2﹣4ab；方法2：S阴影部分=（a﹣b）2；（3）根阴影部分的面相等得到（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；（4）两块阴影部分的周长和=2a+2（n﹣2b）+2×2b+2（n﹣a）=4n．故答案为4ab；（a+b）2﹣4ab；S阴影部分=（a﹣b）254．解：设有p个x取1，q个x取﹣2，有，（5分）解得，（5分）所以原式=1×13+9×（﹣2）3=﹣71．55．解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：1、4、6、4、1；（2）当a=b=1时，（a+b）n=2n．故答案为：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2n56．解：（1）∵=a2+2∴a2+=﹣2=34；（2）∵a﹣b=2，ab=3，∴a2+b2=（a﹣b）2+2ab，=4+2×3，=10，a2b2=9，∴a4+b4=（a2+b2）2﹣2a2b2，=100﹣2×9，=8257．解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=458．解：（1）根据题意可推出第五行的数字为：1、5、10、10、5、1，（2）（a+b）5=（a+b）3（a+b）2=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，（3）（a﹣b）5=（a﹣b）3（a﹣b）2=（a3﹣3a2b+3ab2﹣b3）（a2﹣2ab+b2）=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5．故答案为1、5、10、10、5、159．解：（1）92=81=40+41，且92+402=412，故答案为：40，41．（2）（2n﹣1）2+（2n2﹣2n）2=（2n2﹣2n+1）2，证明：（2n﹣1）2+（2n2﹣2n）2=4n2﹣4n+1+4n4﹣8n3+8n2﹣4n+1，（2n2﹣2n+1）2=4n4﹣8n3+8n2﹣4n+1，即（2n﹣1）2+（2n2﹣2n）2=（2n2﹣2n+1）2，故答案为：40，4160．解：（1）32+42＞2×3×4；②（）2+（）2＞2××；③（﹣2）2+（﹣3）2＞2×（﹣2）×（﹣3）；④（﹣）2+（﹣）2＞2×（﹣）×（﹣）⑤（﹣4）2+（﹣4）2=2×（﹣4）×（﹣4）…故答案为＞、＞、＞、＞、=；（2）a2+b2≥2ab；（3）∵m2+n2≥2mn，而mn=8，∴m2+n2≥16，∴2m2+2n2的最小值为32。
平方差和完全平方公式及经典例题
平方差和完全平方公式及经典例题专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。
①位置变化$(7x+3y)(3y-7x)$②符号变化$(-2m-7n)(2m-7n)$③数字变化$98\times102$④系数变化$(4m+n)(2m-n)-24$⑤项数变化$(x+3y+2z)(x-3y+2z)$⑥公式变化$(m+2)(m-2)(m^2+4)$变式拓展训练：变式1】$(-y-x)(-x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$变式2】$(2a-\frac{b}{3})^2-\frac{(b-4a)^2}{33}$变式3】$1002-992+982-972+\cdots+22-12$专题二：平方差公式的应用例2：计算$2004-2004^2\times2005\times2003$的值为多少？变式拓展训练：变式1】$(x-y+z)^2-(x+y-z)^2$变式2】$301\times(302+1)\times(302^2+1)$变式3】$(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)$变式4】已知$a$、$b$为自然数，且$a+b=40$。
1）求$a^2+b^2$的最大值；（2）求$ab$的最大值。
专题三：完全平方公式例3：计算下列各整式乘法。
①位置变化：$(-x-\frac{y}{2})(\frac{y}{2}+x)$②符号变化：$(-3a-2b)^2$③数字变化：$197^2$④方向变化：$(-3+2a)^2$⑤项数变化：$(x+y-1)^2$⑥公式变化$(2x-3y)^2+(4x-6y)(2x+3y)+(2x+3y)^2$变式拓展训练：变式1】$a+b=4$，则$a^2+2ab+b^2$的值为（）A.8B.16C.2D.4变式2】已知$(a-b)^2=4$，$ab=12$，则$(a+b)^2$=_____变式3】已知$x+y=-5$，$xy=6$，则$x^2+y^2$的值为（）A.1B.13C.17D.25变式4】已知$x(x-1)-(x^2-y)=-3$，求$x^2+y^2-2xy$的值专题四：完全平方公式的运用例4：已知：$x+y=4$，$xy=2$。
完全平方公式知识点例题变式
完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。
一、完全平方公式知识点。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。
- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。
二、例题。
1. 计算(3x + 2y)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。
- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。
2. 计算(2m - 5n)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。
- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。
三、变式。
1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。
- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。
2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。
- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。
- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。
- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。
利用完全平方求最值的例题
利用完全平方求最值的例题
摘要：
1.完全平方公式的应用背景
2.完全平方公式的形式
3.利用完全平方求最值的例题解析
4.结论
正文：
一、完全平方公式的应用背景
完全平方公式，是数学中的一种重要公式，它可以用来求解一些最值问题。
在最值问题中，如果能够将问题转化为完全平方的形式，就可以通过求导或者直接求解得到最值。
因此，掌握完全平方公式，对于解决最值问题有着重要的作用。
二、完全平方公式的形式
完全平方公式的形式为：(a+b)=a+2ab+b。
这个公式表明，任何一个二次方程，只要形式符合完全平方公式，就可以通过完全平方公式进行求解。
三、利用完全平方求最值的例题解析
例如，有一个函数f(x)=x-6x+9，我们需要求解这个函数的最小值。
首先，我们可以通过将函数转化为完全平方的形式，即f(x)=(x-3)，可以看出，当x=3 时，函数取得最小值0。
再例如，有一个函数g(x)=2x-8x+16，我们需要求解这个函数的最大值。
同样，我们可以通过将函数转化为完全平方的形式，即g(x)=2(x-2)+8，可以
看出，当x=2 时，函数取得最大值8。
四、结论
通过以上的例题，我们可以看出，利用完全平方公式求最值，是一种非常直接且有效的方法。
只要能够将问题转化为完全平方的形式，就可以通过完全平方公式求解。
完全平方公式20题
完全平方公式20题完全平方公式又称二次方程式，是一类非常重要的数学公式，在各大学生的考试中也占有很大的比重。
以下是完全平方公式20题，我们可以用它来提高我们的数学水平。
1.算：x - 2x - 15 = 0解：首先，我们将方程式化为完全平方公式：x - 2x + 1 - 16 = 0令一元二次方程式的左边a、b、c的值如下：a = 1b = -2c = -16根据完全平方公式，我们可以带入结果：x = (frac{2 sqrt{4 + 64}}{2})= (frac{2 8}{2})= 1 4因此，x = 1 x = -5。
2.算：2x - 25 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果：x = (frac{5 sqrt{25 - 0}}{2})= (frac{5 5}{2})= 2.5 2.5因此，x = 2.5 x = -2.5。
3.算：3x + 4x - 9 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-4 sqrt{16 + 108}}{6})= (frac{-4 10}{6})= -2 5因此，x = -7 x = 3。
4.算：x - 2x - 6 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{2 sqrt{4 + 24}}{2})= (frac{2 8}{2})= 1 4因此，x = 1 x = -5。
5.算：2x + 4x - 9 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-4 sqrt{16 - 36}}{4})= (frac{-4 4}{4})= -2 2因此，x = -1 x = 3。
6.算：5x + 7x + 3 = 0解：根据完全平方公式，我们可以带入结果： x = (frac{-7 sqrt{49 - 60}}{10})= (frac{-7 sqrt{-11}}{10})因为有负数在平方根内，因此没有实数根。
完全平方公式的经典例题
完全平方公式的经典例题
完全平方公式是一种有着悠久历史的经典数学概念。
形式上，它是一个单变量多项式，可
以用来求解多项式中等式的根。
它可以被写成这样一个形式：ax2+bx+c=0。
这里，x是单
独变量，而a、b、c是三个定值。
完全平方公式的使用场景覆盖了几乎所有的学科，从初等数学到物理，甚至到最新的量子
物理学也都用它来解决一些问题。
在各种学科中，它都被用来解决一些多项式方程。
它也
可以用来求解广义上的椭圆方程。
简单实例：我们来分析一下这个问题： 2x2 + 7x - 5 = 0。
根据完全平方公式，我们可以得到：2x2+7x-5 = (2x+5)(x-1)=0。
因此，当 x= -5/2 或 x=1 时，方程有解。
从上述例子可以看出，完全平方公式可以被用来解决各类多项式方程，是十分有用的定理。
以前，它的应用一直都是限于求解多项式方程，但随着量子物理学的发展，它也可以被用
于许多其它的研究领域，如量子力学的模拟等。
完全平方公式是一种有着悠久历史的非常有用的数学概念，它可以用来解决多项式方程，
也可以用来解决一些特定类型的方程，如椭圆方程等。
它也被广泛用于各种学科，从数学
到物理，乃至于量子物理学也在利用它来解决一些问题。
当它被用于求解多项式方程、椭圆方程等等，它能为解决各种具体问题提供有力的帮助。
完全平方公式及各种典型问题ok
拓展应用
四.公式的变形(板书示范)
a2+b2= (a+b)2 − 2ab
a2+b2= (a − b)2 +2ab
(a+b)2 −(a−b)2 =4ab
x2
1 x2
x
1
2
x
2
x2
1 x2
x
1
2
x
2
做做一一做做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老
三个数和的完全平方等于这三个数 的平方和，再加上每两数乘积的2倍。
3.已知有理数x，y，z满足x=6 − y，z2=xy −9，试 说明x=y。
拓展应用之挑战极限
七.挑战思维极限
1. 已知x2 3 x 1 0 , 求x3 5 x2 5 x 1 8 的值
2 .（跟进训练）已知x2 2 x 3 0 , 求x3 5 x2 9 x 3 的值
随随堂堂练练习习
1、利用公式计算：
(1) 962 ； (2) (a−b−3)(a−b+3)。
◣巩固◢ 巩固练 习
1、用完全平方公式计算: 1012，982；
？？
2、⑴ x2−(x−3) 2 ; ⑵ (a+b+3)(a−b+3)
拓展应用与方法总结
一.公式的比较与拓展
1.计算
大完全平方与大平方差（笑）
（1）(a+b+c)2
（2） (2a-b+3c)2
（3）(a+b)3
（4）(a-b)3
变式训练（注意比较异同） (1)(a+b+3) (a+b−3); (2) (a+b-3) (a+b−3); (3) (a-b+3) (a+b−3); (4)(a-b-3) (-a+b−3);
完全平方式例题
完全平方式例题一、完全平方式的概念1. 完全平方式的形式- 对于(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2和(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，像a^2+2ab + b^2和a^2 - 2ab+b^2这样的式子就叫做完全平方式。
2. 完全平方式的特点- 三项式；- 有两项是平方项（且符号相同），另一项是这两个数乘积的2倍（符号可正可负）。
1. 例题1：判断下列式子是否为完全平方式- （1）x^2+6x + 9- 解析：在式子x^2+6x + 9中，x^2是x的平方，9 = 3^2，6x=2× x×3，满足完全平方式a^2+2ab + b^2（这里a = x，b = 3）的形式，所以x^2+6x + 9是完全平方式。
- （2）x^2+5x+16- 解析：在式子x^2+5x + 16中，x^2是x的平方，16=4^2，而5x≠2× x×4，不满足完全平方式的形式，所以x^2+5x + 16不是完全平方式。
2. 例题2：将x^2+8x配成完全平方式- 解析：- 对于完全平方式a^2+2ab + b^2，在x^2+8x中，a=x，2ab = 8x，因为a=x，所以2b = 8，解得b = 4。
- 那么要配成完全平方式需要加上b^2=4^2=16，即x^2+8x+16=(x + 4)^2。
3. 例题3：已知x^2-10x + k是完全平方式，求k的值。
- 解析：- 对于完全平方式a^2-2ab + b^2，在x^2-10x + k中，a = x，-2ab=-10x，因为a=x，所以-2b=-10，解得b = 5。
- 又因为k=b^2，所以k = 25。
4. 例题4：化简(3x - 2y)^2- 解析：- 根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 3x，b = 2y。
- 则(3x - 2y)^2=(3x)^2-2×(3x)×(2y)+(2y)^2=9x^2-12xy + 4y^2。
因式分解完全平方公式例题
因式分解完全平方公式例题因式分解是数学中一个重要的概念，完全平方公式是因式分解中的一个常用方法。
在这篇文章中，我们将介绍完全平方公式的基本原理，并用例题加以说明。
完全平方公式是指一个二次三项式的平方能够被因式分解为两个平方的和或差。
这个公式的应用范围广泛，不仅在代数中有用，还在实际问题中有很多应用。
完全平方公式的一般形式是(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，其中a 和b是任意实数。
这个公式可以简单地证明，我们可以用分配律展开(a + b)^2，得到a^2 + ab + ab + b^2，然后合并相同项，即得到a^2 + 2ab + b^2。
使用完全平方公式的基本步骤是，首先将待因式分解的二次三项式写成完全平方的形式，然后根据公式进行因式分解。
下面我们通过一些例题来说明完全平方公式的应用。
例题1：将x^2 + 6x + 9进行因式分解。
解：我们看到这个三项式的第一项是x的平方，第二项是2倍x的系数，第三项是3的平方，符合完全平方公式的形式。
所以我们可以将这个三项式写成(x + 3)^2的形式。
因此，x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。
例题2：将4x^2 - 12x + 9进行因式分解。
解：我们可以先将这个三项式除以4，得到x^2 - 3x + 9/4。
然后我们观察x^2和9/4，可以发现这两个项的平方能够得到x^2和9/4，而-3x这个项正好是2倍x乘以-3/2的结果。
所以我们可以将这个三项式写成(x - 3/2)^2的形式。
因此，4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2。
例题3：将x^2 - 4x + 4进行因式分解。
解：我们可以将这个三项式写成(x - 2)^2的形式。
因此，x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2。
通过以上例题，我们可以看到完全平方公式在因式分解中的应用。
当我们遇到二次三项式时，如果我们能够将其写成完全平方的形式，就可以直接使用完全平方公式进行因式分解。
平方差公式和完全平方公式(习题及答案)
平方差公式和完全平方公式（习题）例题示范例1：计算：23(1)(1)2(1)a a a -+---+．【操作步骤】（1）观察结构划部分：23(1)(1)2(1)a a a -+---+①②（2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第一部分：a -和a -符号相同，是公式里的“a ”，1和-1符号相反，是公式里的“b ”，可以用平方差公式；第二部分：可以用完全平方公式，利用口诀得出答案．（3）每步推进一点点．【过程书写】解：原式2223()12(21)a a a ⎡⎤=---++⎣⎦223(1)242a a a =----2233242a a a =----245a a =-- 巩固练习1.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()x y y x ---+B ．()()xy z xy z +-C ．(2)(2)a b a b --+D ．1122x y y x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2.下列各式一定成立的是（）A ．222(2)42x y x xy y -=-+B ．22()()a b b a -=-C ．2221124a b a ab b ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭D ．222(2)4x y x y +=+3.若2222(23)412x y x xy n y +=++，则n =__________．4.若222()44ax y x xy y -=++，则a =________．5.计算：①112233m n n m ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；②22()()()y x x y x y -++；③22(32)4x y y ---；④2()a b c +-；⑤296；⑥2112113111-⨯．6.运用乘法公式计算：①2(2)(2)(2)x y x y x y -+-+；②22(1)2(24)a a a +--+；③(231)(231)x y x y +--+；④3()a b -；⑤222233m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑥2210199-．思考小结1.在利用平方差公式计算时要找准公式里面的a 和b ，我们把完全相同的“项”看作公式里的“_____”，只有符号不同的“项”看作公式里的“_____”，比如()()+---，_______是公式里的“a”，_______是公式里的“b”；同样x y z x y z在利用完全平方公式的时候，如果底数首项前面有负号，要把底数转为它的______去处理，比如22a b--=()(_______)2.根据两大公式填空：【参考答案】巩固练习1.C2.B3.±3。
完全平方公式典型例题
《完全平方公式》典型例题例1 利用完全平方公式计算：1222)bam?2(．（（1）3；（2））；)4a(2(2?3x)ab?2例2 计算：222．3）（2）；（1）（；)yx?3y)(?3x??(2)?1(3a例3用完全平方公式计算：2222)3y?x(?．）；（；（1）（2）3)b?5c(3a?4)?(a?b3运用乘法公式计算：例422）；（1）；（2)?xxx(?a)(?a)(a)?c)(a?b?(a?bc2222）．3（)(x(x?1(x?1))?1计算：例511112222)?a?b2?(?(x3)?x2ab?)(）（1）．3；）（；2（)(xy(x??y)?2242 1222)30(99）；）（3利用完全平方公式进行计算：例6 （1）2012；（3例7已知，求下列各式的值．12??b?3,aba?22222b??aab?ba．（（1）3）；；（2）)ba(? 2222，求证：．若例8 c?b?a)c?b?a(?)c?b?a(3．参考答案例1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．2222；1）解：（xx?x)9?4??212?2?2?3x?(32(?3x)2222222；）（2a??16a164a?(4a)?4ab(2ab?4a))?(2abb?2?2ab?112222b42?aambm?(am?2b)?．3）（24说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现22的错误．x3??412x(2?3x)?22；（3（2）题可看成）题可看，也可看成例2 分析：)xy)?3y]?2(3[(?2x22，变形后都符合完全平方公式．，也可以看成成]y3x3x?y)])?[(?[?(222 1解：（）1?3a?(3a)1?2(3a?1)??21a??6?9a22）原式（2)(3yx)?3y??(?2x)2??(?222y?94xxy?12?2或原式)2x(3y?22)xx?(2)y?2?3?23?(y22x412xy?9y??2 3）原式（)]x?y?[?(32)?y?(3x22y?y?x)x?2?33?(22y??6xy?9x22或原式y?y?)x3?(?2?)x3?(?22y?6xy?9x?说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．2x为公式中a1）小题，直接运用完全平方公式，为公例3分析：第（y3322再利用和的化为b，利用差的平方计算；第（2）小题应把式中)b(a(??b)a?平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把作为公式中)4b3a?(的a，作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．c52242222y94xyy)3y???x?x)(x?3(? 1）=解：（3392222 = （2）b2)ab?a??(a?b)b?a?(222 3）（c?25a?4bba?4))?10c(3(a?4b?5c)3?(3222 =ab24??16b?30ac?40bc?259ac222，运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：说明：b?a?(a?b)222．b??(a?b)a例4 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完a?c，全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算与的积，]?b?c?b])[(a?[(ac)2；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为再利用完全平方公式计算)a?c(22，再利用乘法公式计算．)]?x?1)(x1[(x?10(22222224224 =（1）原式解：a2a?a)??x(x?ax)(xa??)?(x22 = （2）原式bc)??b]?(a?a[(a?c)?b][(?c)222bc?a?2ac?=22222）原式3= （)]?xx?1)(1??[(x1)(x1)(x?1)]?[(4284．= 1xx1(x?)??2?灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，计算本题时先观察题目特点，说明：以达到简化运算的目的．例5 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．11112222?9?39?x?xx?3x(x?3)??x；1）解：（24441111（2）])?2a?b2a?b)?][(?(2a?b?)(2ab?)?[(222211222??b?)4??4aab?(2a?b；44222222（3）)xy??(xy?y)?x??2xy?y(x?y)2?(x2222．xy?4?2xxy?2xy ?y??xy?说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．例6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差．222）；解：（1?2?200200?1??(200?1)40401201?222．（2）98011?2?100?1)100?100?99??(11112222)?(2??)30?30??(30)(30＝）（3333311?900?20??920.92说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．222，可知完全平方公式例7分析：（1）由ba??2(a?b)ab?22222?33??aab?b；，可求得ab?2)b(a?2222；（2）45??12)bab??33a??ab?b?a(?222．3）（57)?2?(?)12?a?2ab?b??33a(?b2222解：（1）33??24??(?12)9ba?b?(a?)2?ab?3?22222（）245?12?33?)12?(?33?ab?)b?a(?b?ab?a22222）（3ab?b2?(aa?b))?a??2ab?b( 57?33?24?(?12)??33?2222是灵活运用，变形明说：该题是为b?2ab?b)??a(a222，再进行代换．ab?a?b)ab?2?(222就可由已知条件展开，若能得出例8分析：,0?c?a)?(b?c)?((a?b)得到进而同时此题还用到,?c?a?b?b,b?cc?a??b0,b?c?0,c?a?0,aa2222．公式bc22ac?c??2(a?b?c)ab?a??b2222得由证明：,c)?)?(3(aa?b??cb222222ac22bc??c?32?aab?b?a3??3bc222.0bc?2ac?b2?2c?2ab?2a?2222222则0)?a?(c??2?2ab?b?)(bc?2bc?ac)(a222 .0?c?(?a(a?b)(?b?c))222∵.)0?a?0,(c?)(a(?b)?0,b?c∴.0?c?a,??a?b0,bc?0即得．c?b?a,a?c,c?b,b?a。
完全平方公式20道例题
完全平方公式20道例题完全平方公式是一种数学公式，可以用来解决相关的一元多项式方程。
它是一种比较容易理解的数学概念，可以帮助学生更好地理解一元多项式的概念。
为了帮助学生更好地理解完全平方公式，我们将给出20个典型的实例题例。
1.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a2.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a3.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a4.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a5.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a6.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a7.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a8.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a9.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a10.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a11.：当a=2, b=3, c=1时，x1= -0.5，x2= -212.：当a=1, b=4, c=4时，x1= -2，x2= -213.：当a=2, b=-5, c=-3时，x1= 0.5，x2= -314.：当a=5, b=-14, c=21时，x1= 3，x2= -715.：当a=2, b=-2, c=12时，x1= 3，x2= -216.：当a=3, b=8, c=-15时，x1= -3，x2= 517.：当a=4, b=-22, c=24时，x1= 3，x2= -318.：当a=4, b=4, c=-4时，x1= -1，x2= 119.：当a=2, b=-4, c=2时，x1= 1，x2= -120.：当a=3, b=3, c=-6时，x1= -2，x2= 1以上就是本文涉及的20个例子，希望能够帮助同学们更好地理解完全平方公式，掌握此公式的应用。
完全平方公式经典例题
完全平方公式经典例题
摘要：
1.完全平方公式的概念
2.完全平方公式的结构
3.经典例题解析
4.完全平方公式的应用领域
正文：
一、完全平方公式的概念
完全平方公式，又称平方差公式或完全平方差公式，是指两个数的平方和与这两个数的乘积之间的关系。
完全平方公式的表达式为：(a+b)=a+2ab+b 和(a-b)=a-2ab+b。
二、完全平方公式的结构
完全平方公式包含两个公式，分别为：
1.(a+b)=a+2ab+b
2.(a-b)=a-2ab+b
这两个公式的结构相似，只是乘积项的符号不同。
在第一个公式中，乘积项为2ab，表示两个数的和与这两个数的乘积的2 倍；而在第二个公式中，乘积项为-2ab，表示两个数的差与这两个数的乘积的-2 倍。
三、经典例题解析
例题1：求解(3+2) 的值。
解答：根据完全平方公式，(3+2)=3+2×3×2+2=9+12+4=25，所以
(3+2) 的值为25。
例题2：求解(5-3) 的值。
解答：根据完全平方公式，(5-3)=5-2×5×3+3=25-30+9=4，所以(5-3) 的值为4。
四、完全平方公式的应用领域
完全平方公式在数学中有广泛的应用，例如在求解平方差、平方和等问题时，可以利用完全平方公式简化计算过程。
此外，完全平方公式在物理、化学等自然科学领域中也有重要应用，例如在求解运动速度、加速度等问题时，可以利用完全平方公式进行计算。
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典型例题
例1利用完全平方公式计算：
（1）；（2）；（3）．
分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．
解：（1）；
（2）；
（3）．
说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在
进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现的错误．
例2计算：
（1）；（2）；（3）．
分析：（2）题可看成，也可看成；（3）题可看成，也可以看成，变形后都符合完全平方公式．
解：（1）
（2）原式
或原式
（3）原式
或原式
说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．
例3用完全平方公式计算：
（1）；（2）；（3）．
分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式为公式中a，为公式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把化为再利用和的平方计算；第（3）小题，可
把任意两项看作公式中a，如把作为公式中的a，作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．
解：（1） =
（2） =
（3）
=
说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：，
．
例4运用乘法公式计算：
（1）；（2）；
（3）．
分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项，和互为相反数的项b，所以先利用平方
差公式计算与的积，再利用完全平方公式计算；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为，再利用乘法公式计算．解：（1）原式=
（2）原式=
=
（3）原式=
=．
说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的．
例5 计算：
（1）；（2）；（3）．
分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．
解：（1）；
（2）
；
（3）
．
说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．。