容斥原理及应用

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例:1到600中不能被6整除的整数的个数是多少？ [分析] 1到600共有600个数，能被6整除的
有： 600/6=100个。 因此，不能被6整除的数有600-100=500个
一般来说，对于集合S中的元素定义一种性质P，
x S ，若x具有性质P，则P(x)为真。于是，
所有具有性质P的元素的集合:
它在S中而不在其他子集Ai中。
考虑恰好具有n (n≥1)个性质Pi (i=1,2, …. n)的物
体
y,
y
这一个物体在S中仅占数量是
1


n 0

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由于 y 恰好具有n个性质，它刚好是子集:
A1, A2, A3,…. Am中恰好n个的成员，它对
我们可A以i提以供n2数 种值方为式：为n y选1n 择恰好具有一对性
P2的两性质的物体的个数，按下列步骤： 先求出S中所有物体的个数，然后去掉具有性
质P1的物体个数，再去掉具有性质P2的物体个数， 如果一些物体同时具有P1和P2两种性质，它们就 会被去掉两次，那么我们需要再加回这些物体的 个数，用符号表示如下：
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令A1={xx S ∧ P1(x) } , A2={xx S ∧ P2(x) }
A1 S A1, A2 S A2 ; 集合 A1 A2
表示那些即不具有P1也不具有P2性质的物体。 我们有 A1 A2 S A1 A2 A1 A2
A1 A2 A1 A2
S=
A1
A1 ∩ A2
A2
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由于上式左边表示那些既无性质P1也无性质P2的 物体的个数，因此可以通过对等式右边增

m 0



m 1



m 2


.......


m m


2m
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公式的左边是对 S的不具有性质Pi (i=1,2, ….m)
的物体的计数，对右边增加1个性质Pi都不具 有的物体x。公式右边的净增加数为：
1 – 0 + 0 – 0 + 0 +……+ (-1)0m = 1
( A1 A2 A1 A3 A1 A4 A2 A3 A2 A4 A3 A4 ) ( A1 A2 A3 A1 A2 A4 A1 A3 A4 A2 A3 A4 ) A1 A2 A3 A4 m为一般的情况下，公式右边的展开如下：
A1 A2 ...... Am S Ai 1im

Ai Aj
Ai Aj Ak
1i jm
1i jk m
....... (1)m A1 A2...... Am
其中，第一个和对{1,2,……m}的所有1-组合{i}
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进行，第二个和对{1,2,……m}的所有2-组合{i, j} 进行，第三个和对{1,2,……m}的所有3-组
A1 A2 An A1 A3 An ........ An2 An1 An ....... (1)n A1 A2 .... An
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n1
n1
Ai An
Ai Aj An .....
i 1
i1 j io
有170、130、120人；同时修数学、物理两门 课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同 时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问 这学校共有多少学生？ 解：令：M为修数学的学生集合；
P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；那么：
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M=170，P=130，C=120，M∩P=45 M∩C=22，P∩C =20，M∩P∩C=3
加1个性质P1 、P2都不具有的物体，而加其他 物体等于给等式右边增加0个,由此来证明等式 的合理性；
如果x是性质P1 、P2都不具有的一个物体， 那么它算作S的一个物体但不算作A1和A2的， 并且它也不能算作A1∩A2的，因此，它的加入
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为等式的右边净增加：1 – 0 – 0 + 0 = 1 物体。 如果x只具有性质P1 ，那么它为等式的右边
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m
m
A1 A2 ...... Am S Ai
Ai Aj
i 1
i1 j i
m
Ai Aj Ak ........ i1 j i k j
(1)m1 A1 A2 ...... Am
公式右边的项数有如下情况：
n 1
n 1
A1 A2 ......An1
Ai
Ai Aj
i 1
i 1 j i
n 1
Ai Aj Ak ........ i 1 j i k j
(1)n A1 A2 ...... An1
所以在取n时就有：
质Pi 和Pj ,那么y恰好是形式为Ai∩Aj , 那些集合
中的 为：
n2个 成员，因此y给 Ai∩Aj 提供数值
,对 n2 Ai∩Aj ∩Ak提供数值为：
n3
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等等。因此y对于公式右边提供数值增加为：

n 0



..... (1)n A1 A2 .... An
由假设n-1时成立n-1个集合并的元素计数公式
将n-1时成立展开式、以及上面的推导结果代
入，原等式的左边为：
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左边 A1 A2 ......An1 An
本题的目的是要求出： M P C 的数字， 由容斥原理的公式：
M∪P∪C=M+P+C－M∩P－ M∩C－P∩C +M∩P∩C =170+130+120－45－22－20+3 =336人
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定理：设Ai
(i=1,2,…n)是有限集合，则： n
A1 A2 ......An
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A={xx S ∧ P(x) } 而不具性质P的元素集合是：
A = S －A={xx S ∧ x A} = {xx S ∧ ┐P(x) }
显然 A=S－A 这就是容斥原理最简单的例子。将这个例子给 予推广：令S是一些物体的集合，并令P1和P2
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是S的每个物体可能具有或者不具有的两个性质 我们目的是为了求出S中即不具有P1也不具有
1
但答案不该是10+6=16 个，因为6，12，18在两 类中重复计数，应减去。故答案是： 16－3 = 13
容斥原理仅仅研究有限集合的交或并的计数。 例：对于{1,2,…,n}的排列i1, i2, …, in，其中
i1≠ 1的排列有多少个？ [分析] 第一种方法：集合{1,2,…, k-1, k+1, …, n}的
左边 A1 A2 ......An1 An
( A1 A2 ......An1) An
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A1 A2 ...... An1 An ( A1 A2 ...... An1) An
由交、并运算的分配律，上式中最后一项有：
( A1 A2 ......An1) An ( A1 An ) ( A2 An ) ...... ( An1 An )
第六章 容斥原理及应用
6.1容斥原理 容斥原理是讨论包容和排斥的计数问题 例:{ 1,2,3,…. 20}中2或3的倍数的个数 解: 2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，
16，18，20。 共10个 3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。共 6个 注意：蓝色的数同时出现在两个序列中。
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中有多少个元素, 容斥原理就是指出如何通
过对确实具有这些性质的物体的计数来计 算上述同时不具有性质Pi集合中物体的个数。 因此，在这种意义下，容斥原理“颠倒”了计 数过程。
下面的定理是将容斥原理推广到m个子集合 上的情况，也就是将性质推广m个：
P1, P2, … , Pm ；
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定理6.1.1 集合S的不具备性质P1, P2, … , Pm的物 体的个数由下式给出:
所以：( A1 A2 ......An1) An ( A1 An ) ( A2 An ) ...... ( An1 An )
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由假设n-1时成立n-1个集合并的元素计数公式将 这n-1个两个集合交构成的并展开：
( A1 A2 ......An1) An ( A1 An ) ( A2 An ) ...... ( An1 An ) A1 An A2 An .......An1 An
净增加：1 – 1 – 0 + 0 = 0 物体。 如果x只具有性质P2 ，那么它为等式的右边
净增加：1 – 0 – 1 + 0 = 0 物体。 最后，如果x具有性质P1 、P2 ，那么它为等式的
右边净增加：1 – 1 – 1 + 1 = 0 物体。 因此等式右边的变化只与那些S中性质P1 、P2
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Ai
Ai Aj
i 1
j i
n
Ai Aj Ak ........ i 1 j i k j
(1)n1 A1 A2 ...... An
证明：用数学归纳法证明。
已知 n=2时有：
A1 A2 A1 A2 A1 A2
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设 n-1时成立，即有：
具有性质 Pi1 Pi2 Pi3 ..... Pir 的元素的集合是：
Ai1 Ai2 ..... Air {xx S Pi1 (x) Pi2 (x)..... Pir (x)}
一般情况下，这一集合可能非空，此时， 我们希望计算同时不具有性质P1, P2, … , Pm的
集合： A1 A2 ... Am
都不具有的物体个数有关。这就与等式的左边
A1 A2 达到一致。
更进一步，设S是集合，它上面定义了m个性质 Pi（i＝1, 2, …, m）,于是，具有性质Pi的元素的 集合是：
Ai = {xx S ∧ Pi(x) }, i＝1, 2, …, m
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对于{1, 2, …, m}的任一r-组合{i1, i2, …, ir}，同时
么它对公式右边的净增数值就是0。
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实际上在集合的运算中，我们已经接触过容斥
原理，例如：三个集合的元素关系有：
Fra Baidu bibliotek
A∪B∪C=
A+B+C－
A
A∩B－A∩C
AB B
－B∩C + A∩B∩C
AC
BC
A B C
C
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例：一个学校中的某班只开三门课程：数学、 物理、化学。已知修这三门课的学生分别
(n-1) -排列共有(n-1)!。现在将k置于这些
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(n-1) -排列的首位之前，就得到所有以k开始的
n-排列，依然有 (n-1)!个。由于k不能等于1， 所以共有(n-1)(n-1)!个首位不为1的n-排列。
第二种思路： {1,2,…,n}的排列数是n!， {2,3,…,n} 的(n-1)-排列数是(n-1)!，每个(n-1)-排 列的首位前置一个1，就得到所有首位为1的(n1)!个n-排列。于是，首位不为1的n-排列的个数 是： n! – (n-1)! = (n-1)(n-1)！。
n 1



n 2


...
.
.
..
(1)m

n m

它等于
n 0



n 1



n 2


.
..
.
..
.
(1)
n

n n

因为n≤m，若k＞n，则

n k


0根据P82恒等式5-4
上式为0，因此，如果y至少具有一个性质Pi ，那
合{i, j, k} 进行等等。 m = 2 时我们已经讨论过了，当 m=3 时上式变成
A1 A2 A3 S ( A1 A2 A3 ) ( A1 A2 A1 A3 A2 A3 ) A1 A2 A3
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当 m=4 时上式又变成： A1 A2 A3 A4 S ( A1 A2 A3 A4 )