美式期权定价的加权最小二乘拟蒙特卡罗方法法法法

uu v Cs = C3s − 2 ( s ≥ 4) 。Faure 序列 {xn } 的第 i (1 ≤ i ≤ s ) 个坐标是： v i xn = mod(Ci ⋅ a, b) =: (α1 , α 2 ,L , α m )
其中 mod(Ci ⋅ a, b) 是矩阵 Ci ⋅ a 的模 b 运算。化为十进制小数为
r =0 r
m −1
， ar ∈ Z b ，其
v a = ( a0 , a1 ,L , am −1 ) '
设 C1 , C2 ,L , Cs 是 m × m 阶的矩阵，其中 C1 是 m 阶单位矩阵，
(1)
0 1 m − 1 L 0 0 L 0 1 0 0 0 0 0 L 1 0 1 m − 1 0 L ， C2 = L L L L L ， C3 = 1 1 L 0 1 L 0 0 L L L 1 0 L 0 0 m − 1 0 L 0 m − 1
s
列 {xn }n =1 。设 Z b = {0,1,L , b − 1} ，对于 n = 0,1, 2,L ，设 n =
uu v
∞
∑a b
r =0 r
∞
r
，是 n 的以 b 为底的
r
数字展开式。对于一个确定的 n ，上述级数实际上是有限和，即 n = 中 m 称为 n 的步长(与 n 有关)。记
∑a b
美式
雷杨，杨海军
(北京航空航天大学 经济管理学院,100083，北京)
1
Email: navy@ 摘要：美式期权定价具有后向迭代搜索特征，在 Longstaff 和 Schwartz 提出的最小二乘蒙特 摘要 卡罗模拟（LSM）方法的基础上，本文通过随机 Faure 序列，以及对偶变数法增加抽样数目， 达到减小方差的目的，用其计算标的资产的价格，然后用加权最小二乘法进行回归，得到了 加权最小二乘拟蒙特卡罗方法（WLSQM） 。从期权价值、标准差、运行时间几个方面比较几 种方法的优劣，得出 WLSQM 能产生比使用随机数和普通最小二乘方法的 LSM 估计效果更 优的结果，并且得到的结果符合美式期权定价的基本性质，证明 WLSQM 是一种有效的美式 期权定价方法。 关键词：美式期权；随机 Faure 序列； 加权最小二乘拟蒙特卡罗方法；对偶变数法
[0, T ] ，在此区域内定义一个概率空间 (Ω, F , P ) 和一个等价鞅测度 Q 。这个概率空间是三重
的， 分别为：Ω ， 所有可能取样路径 (ω ) 的集合；F ， 在时刻 T 的事件的 sigma-algebra；P ， 根据 F 的元素定义的概率测度。令 C (ω , s : t , T ) ， ω ∈ Ω ， s ∈ (t , T ) 表示期权现金流的路 径，前提是（1）期权在时刻 t 之后执行和（2）期权持有者在时刻 t 之后的任何时刻都遵循最 优停止策略。对具有百慕达特征的美式期权，假定有有限个执行日期
[19，20]
把分层抽样技术和控制变量技术引
给出了美式期权偏最小二乘仿真定价方法，
2．加权最小二乘拟 Monte Carlo 方法
在 Monte Carlo 估价中，模拟未来的股票价格，然后使用这些模拟的价格去计算期权的 贴现期望回收，即使用实际的分布来替代将产生的一个复杂的贴现问题。Monte Carlo 估价使 用风险中性分布来进行，假设资产平均来说赚取无风险利率，并且使用无风险利率来贴现期 望回收。 2. 1 拟蒙特卡罗方法
1
[4]
Z 2 =[Z 1 − Z 1 ] 。
2.4 Faure 序列随机化 当 1.2 中的 s 和 n 确定时，具有该条件的 Faure 序列是一定的，因此需要使其随机化。 为此，使用 Cranley-Fatterson 变换
[23]
。用 matlab 中的命令 randn 产生随机正态分布数 ε ij ，令
[18] [16，17] [8]
建立
了最优动态套期保值策略的随机微分对策数学模型,给出了基于鲁棒控制的均方复制误差最 小的自融资动态套期保值策略。马俊海，张维，刘凤琴 入重要性抽样模拟估计的分析框架。韩立岩 并进行了实证研究。 其中 Longstaff 和 Schwartz 的工作给了我们一些启示，某些情况下使用普通最小二乘法 之外的技术会更有效，例如加权最小二乘、广义最小二乘、甚至 GMM；如果将 LSM 和 quasi-Monte Carlo 结合在一起，或许可以在计算速度和效率方面得到显著的改进。 本文主要工作如下： 1）针对最小二乘蒙特卡罗模拟，结合使用两种可降低方差的方法——低差异序列、对 偶变数法，并随机化低差异序列，以更好的改善蒙特卡罗模拟的效果； 2）用加权最小二乘方法代替普通最小二乘方法，期望得到更好的回归结果，从而更准 确的估计期权持有者的收益。这样就得到了加权最小二乘拟蒙特卡罗方法（WLSQM） 。 3)以美式期权价值的性质为依据，验证了 WLSQM 能够很好的估计期权的价值。 本文结构如下：第一节提出加权最小二乘拟蒙特卡罗方法，分为拟蒙特卡罗方法、拟随 机序列——Faure 序列、对偶变数法、Faure 序列随机化、加权最小二乘拟蒙特卡罗方法和最 小二乘蒙特卡罗方法的区别。第二节用实验结果证明加权最小二乘拟蒙特卡罗方法确实能够 得到改善的效果，且符合期权价值的基本性质。最后是结论，分析了加权最小二乘拟蒙特卡 罗方法的优点和缺点。
2 j = 1, 2,L 2 s , zij ∈Z2
3 2 zij = zij + ε ij , i = 1, 2,L n ，
（5）
然后取 zij 的小数部分得到 zij , zij 和 zij 的正负符号一致。这样就得到了随机 Faure 序列
3
3
Z = {zij } 。
2. 5 加权最小二乘拟蒙特卡罗方法 加权最小二乘拟蒙特卡罗方法 Longstaff 和 Schwartz 的工作是本文工作的基础之一。该方法假定一个有限的时间区域
1．引言
美式期权是一种重要的金融衍生工具， 其定价研究一直是金融研究的核心问题。 格点法、 有限差分法和蒙特卡罗模拟是主要的数值方法。在金融衍生产品定价中，与格点法和有限差 分法等数值分析方法相比, 蒙特卡罗模拟具有四个优势:一是模拟估计的标准误差及收敛速 度与问题的维数具有较强的独立性, 从而能够更好地用于多时间阶段、多标的变量的高维衍 生证券的定价问题；二是比较灵活, 易于实现和改进；三是模拟可使状态变量服从通常的随 机过程，而不必限定在正态分布这一条件下；四是模拟可被用于路径依赖和有美式执行特征 的衍生产品的定价问题。 所以自从它首先被 Bolye 引入到期权定价中以来， 在许多期权定价 问题上得到了广泛的应用。Corwin Joy，Phelim P. Boyle，Ken Seng Tan 指出传统的 Monte Carlo 模拟的缺点，提出 quasi-Monte Carlo 方法，用确定性序列代替随机序列，这样可以改进 收敛性和有确定的误差界限。Phelim Boyle，Mark Broadie，Paul Glasserman 讨论了 Monte Carlo 模拟在证券定价问题中的一些最新应用， 并着重强调其在效率方面的改进。 Giray Ökten 及 Warren Eastman 指出 quasi-Monte Carlo 方法没有一个实用的方法估计的误差，于是针对 近十年的关于 Randomized quasi-Monte Carlo 方法的文章，对此改进进行了较全面的描述。 Giray Ökten， Emmanuel Salta 和 Ahmet Göncü 使用条件期望和重要性抽样方差减少技术， 得 出离散的障碍期权价格的估计式， 最后还引入了 Randomized quasi-Monte Carlo 方法来进一步 提高估计式的准确性。 蒙特卡罗模拟由于其具有前向模拟的特点, 不能很好的确定具有后向迭代搜索特征的 美式期权价值, 因而长期以来一直被认为只适用于欧式期权定价, 而不适于美式期权定价. Longstaff 和 Schwartz 提出的最小二乘蒙特卡罗模拟方法为解决这一问题提供了一种可能， 该方法在存储量和计算量上都有较大突破, 因而受到广泛关注。Suneal K. 和 Chaudhary 在 Least-squares Monte Carlo 方法的基础上，提出使用伪随机序列来产生服从几何布朗运动的资
[21]
一个加速多维积分的技术是使用确定序列而不是随机序列。之所以 Monte Carlo 方法的 效率不高，是因为它所取的点的分布是不均匀的，因此考虑其他的序列。拟蒙特卡罗法 (Quasi-Monte Carlo methods) 或称为低偏差序列法(Low-discrepancy sequence methods)或数 论方法。因为它非常类似于蒙特卡罗方法，却是基于确定性的点列而不是蒙特卡罗方法中的 随机点列，故称“拟蒙特卡罗” 。用它来近似积分的准确性主要取决于偏差(discrepancy) (用 来度量确定的点列在积分域上均匀分布的程度)，点列分布得越均匀，偏差就越小，准确性就 越高。 拟蒙特卡罗方法主要有网格(Lattice Points)法则和(t, s) - 序列两类，后者包括 Sobol 序
列、Faure 序列、拓广的 Faure 序列和 Niederreiter 序列等。其中 Faure 序列是较为常见、用处 较广的一种序列，它首先由法国数学家 H. Faure 提出。本文将采用 2.2 的方法来构造 Faure 序列
[22]
。
[22]
2. 2 Faure 序列
现在描述如何产生 s -维 Faure 序列。 设 b(≥ 2) 是一个素数， s 是一个自然数。用下列原理构造了出 [0,1) 中的 s -维 Faure 序
i xn =
(2)
v
v
α1 α 2
b + b
2