“中点四边形”教学设计

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“中点四边形”的教学设计

马鞍中心学校 万军

教学目标：

知识与技能：利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与数量关系；通过观察几何画板感受并猜想多边形与中点多边形面积

的关系；通过图形变换感受研究数学问题的方法 。 过程与方法：通过对问题的分析与解决，进一步培养解决问题的综合能力；能用动态的眼光看待问题，发现问题的本质；能从分析、解决问题的过程中总结方法，并能进行应用、解决同类问题。获得从“特殊到一般”解决问题的方法。

情感态度与价值观：在探索问题中获得成功的体验，增强学习数学的自信心，体会数学知识之间的联系，培养发散的思维能力

教学重点：1、决定中点四边形形状的因素研究；2、多边形与中点多边形面积研究。 教学难点：1、中点多边形面积的研究。2、“特殊到一般”的研究方法。 教学方法：自主合作式教学

教学手段：学案、电脑、几何画板课件 教学策略：教师引导、组内合作交流，解决疑难 教学过程

活动一：基础问题探究

（5分钟）

问题：怎样把一个三角形分成四个全等的三角形？

学生通过动手操作思考得到图形，并说出理论依据是“三角形中位线定理”。

如图把△ABC 的 AB 、BC 、CA 三边的中点D 、E 、F 顺次连结，由三角开中位线定理得到四边形CFED 、四边形AFED 、四边形BEFD 都是平行四边形，则图中的四个小三角形全等。则S △DEF ：S △ABC =

4

1

。

教师引导学生回忆：把四边形各边中点顺次连结得到的四边形，叫做原四边形的中点四边形。 如图，连结四边形ABCD 的各边的中点所构成的四边形EFGH ，叫做四边形ABCD 的中点四边形。 由三角形中位线定理很容易得到：任意四边形的中点四边形是平行四边形。

设计意图：通过学生动手操作，目的在于激发学生的学习兴趣，培养学生“操作观察、发现、

猜想、推理确认”的数学思想和能力。

活动二：探究影响中点四边形形状发生改变的原因（10分钟） 1、探究四边形的中点四边形的形状。

问：对照三角形中的结论思考，中点四边形和原四边形会有怎样的关系呢？中点四边形形状发生改变的原因是什么？

教师先通过几何画板动画功能演示“四边形形状变化，中点四边形形状也在变化”。学生仔细观察：四边形由“一般四边形变成平行四边形（矩形、菱形、正方形、等腰梯形）“，猜想并发现中点四边形形状并完成表格。

2、研究决定中点四边形形状的因素

（1）、在研究1

基础上提问：中点四边形的形状究竟由什么决定？是由原四边形形状决定？原四边形的边？角？对角线？……

若中点四边形EFGH 分别为矩形、菱形和正方形，则四边形ABCD 是否一定分别为菱形、矩形（等腰梯形）、正方形？（学生先思考、讨论、猜想，然后教师用几何画板的动画结全几何画板的度量功能演示，学生再观察，验证，最后总结。） （2）、概括规律（学生总结，教师板书）：决定中点四边形EFGH 的形状的主要因素是四边形ABCD 的对角线的长度和位置。

（1） 若对角线AC=BD ，则四边形EFGH

为菱形； （2） 若对角线AC ⊥BD ，则四边形EFGH 为矩形；

（3） 若对角线AC=BD ，AC ⊥BD ，则四边形EFGH 为正方形。

设计意图：通过电脑的动画演示，给学生创造一个发现问题、解决问题的情境。

培养学生“观察、发现、猜想、推理确认”的数学思想和方法，培养学生“从一般到特殊再到一般”的研究方法和概括能力。

活动三：研究中点多边形与原多边形面积关系。（20分钟） 研究1、中点四边形与原四边形面积关系

教师：任意一个三角形的面积是它的中点三角形（顺次连结三边中点所构成的三角形）面积的4倍。那么任意四边形的面积与其中点四边形面积之间又有怎样的关系呢？先来看正方形和其中点四边形的面积关系——教师用几何画板的度量功能演示——发现“正方形的面积是其中点正方形面积的2倍！

鼓励学生猜想：任意四边形面积是其中点四边形面积的2倍。

一般四边形与中点四边形

正方形与中点正方形

三角形与中点三角形

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学生证明猜想：先自行完成，然后分组讨论，最后汇报。（教师板书学生汇报过程。）

ABCD

ABCD ABCD

DAB CDA BCD BCA ABCD HAE GDH FCG BEF ABCD EFGH DAB HAE

CDA GDH BCD FCG BCA BEF S S S S S S S S S S S S S S S ，S

S ，S S S ，S S BA BE BCA BFE AC EF ABC EF BD AC 四边形四边形四边形四边形四边形四边形同理可得得的中位线

是。、证明：连结2

1

2141

4141414

1

4

1

41412

1?21AC ，C，∥=-=----=----==

===∴=∆∆∴=∴∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

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设计意图：再次体会“观察、发现、猜想、推理确认”及 “从特殊到一般”的研究数学问题的方法。

研究2：发散和创新

正五边形和中点正五边形，正六边形和中点正六边形面积之间是不是具有正四边形与中点正四边形类似的关系呢？学生思考、猜想，发表看法。然后教师用几何画板验证得到中点正五边形和原正五边形面积比值是0.65；中点正六边形面积和原正六边形面积比值是0.75。进一步让学生懂得“观察、猜想、验证，推理确认”，要最后落实“验证、推理确认”，大胆猜想时要有一定的理论依据，而不是凭空臆测！（时间允许的话教师引导学生给出解答中点正六边形与原正六边形面积比值的过程。引导①边长为2a 的正三角形面积为

2

2

3a ②边长为2a 的正六边形可以分成6个边长为a 的正三角形③图中△AGM 、△BHG 、△CJH 、△KDJ 、△LEK 、△MFL 是全等的④正六边形的每一个内角为120度，外角为60度。）

疑问：当n 的边数越来越大时，它与中点正n 边形的面积比会越来越接近哪个数值呢？ 近，所以面积比越来越接近1。

养学生严谨的学习态度。

活动四：简单应用（5分钟）

43362392

39436243664

323212360sin ,a 222

2

222

=

=∴=•-••=-==•==

︒=∴⊥=∆∆a a S S a

a a ）（S S S a a a a ，，S AM NM N

BA M a AM AGM AGM 六边形中点六边形六边形中点六边形于作过，则边形的边长为解：如图，设这个正六