《数列求和》复习课教学设计

《数列求和》复习课教学设计

江西省铜鼓县铜鼓中学漆赣湘

教学目标：会用分组求和、裂项相消法、错位相减法等方法求一些特殊数列的和。 教学重点：分组求和、裂项相消法、错位相减法

教学难点：用裂项相消法、错位相减法求和

教学过程：

一、复习引入

等差数列、等比数列的前n 项和公式是怎样的，应用时应注意哪些问题？对于一些特殊的数列在不能直接利用公式求和的情况，该如何求和呢，今天就给同学们讲解这方面的问题。

二、例题选讲

1、分组求和

例1（2011山东）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．

分析：(1)中要构成等比数列，要求每项与前一项的比是同一个不为０的常数，只需找到答要求的三个数即可；(2)中先求出n b ，再根据其特征拆分成特殊数列分组求和即可． 解：（1）当13a =或110a =时，不合题意；当13a =时，当且仅当26a =，318a =时，

符合题意，所以公比为3q =。所以123n n a -=⋅．

（2）n b ＝(1)ln n n n a a +-

＝1123

(1)ln(23)n n n --⋅+-⋅ ＝123(1)[ln 2(1)ln 3]n n n -⋅+-+-

＝1

23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3n n n n -⋅+--+-．

所以2n S ＝122n b b b +++＝2212(1333)n -++++＋2[111(1)](ln 2n -+-++-－ln 3)＋[123-+-++2(1)n -2]ln 3n ＝2132ln 313

n

n -⨯+-＝23ln 31n n +-． 点评：利用解析式的变形，将一个数列分成若干个可以直接求和的数列，即为分组求和法，这当中体现了转化的数学思想．分组求和时一定要注意分组的合理性及计算的准确性．

2、裂项相消

例2（2011课标全国卷）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1{}n

b 的前n 项和． 分析：（1）只需通过已知条件求出1a ，q ；（2）可先求出1{

}n b 的通项，再将其转化为两项的差，利用裂项相消的方式求和．

解：（1）设公比为(0)q q >．由23269a a a =得，22349a a =，即22431()9

a q a ==，所以13q =

．由12231a a +=得，11231a a q +=，所以113

a =．故数列{}n a 的通项公式为13n n a =． （2）因为33log log 3n n a n -==-，所以n

b =31323log log log n a a a +++=(1- 2+

+)n +=(1)2

n n +-．故12112()(1)1n b n n n n =-=--++． 所以12111n b b b +++=111112[(1)()()]2231n n --+-++-+=21

n n -+，即数列1{}n b 的前n 项和为21

n n -+． 点评：把数列的通项拆成两项的差，使正负项相消，则数列的和即为剩余的项的和，此为裂项相消法．使用此方法要注意消去了哪些项，保留了哪些项．由于每一项均可拆分为一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，剩余的正数项与负数项必是一样多的，切不可漏写未被消去的项．通常

11(

)k n n k n

n k =-+

+=． 3、错位相减

例3(2011·湖北重点中学二联)已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12

log n n n b a a =，

12n n S b b b =+++，求使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．

点拨：（1）求通项公式可考虑设出公比，将已知条件转化为方程组来解决，根据其单调递增，进行取舍；（2）先求出数列{}n b 的通项公式，再采用错位相减法求出n S ，解不等式即可．

解：（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q 。依题意，3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=得38a =，所以2420a a +=，所以有

2

1311820a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解之得122q a =⎧⎨=⎩ 或11232q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 因为数列{}n a 单调递增，所以2q =，12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =．

（2）因为12

2log 22n n n n b n ==-，所以23(1222322)n n S n =-⨯+⨯+⨯++⨯ ①，

23412[122232(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯+⨯+

+-+⨯ ②，

①－②，得 23122222n n n S n +=++++-⋅12(12)212

n n n +-=-⋅-11222n n n ++=--⋅． 所以1250n n S n ++⋅>即12250n +->，即1252n +>．

因为当n ≤4时，12n +≤5252<；当n ≥5时，12n +≥6252>．故使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5．

点评：错位相减法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的新数列的求和，当一个数列通项为n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列{}n c 为等比数列时，可先列出数列{}n a 的前n 项n S ，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即n qS ，然后利用错位相减将其转化为能直接求和的数列求和．应用错位相减法时最容易出现计算错误，应引起重视．

三、练习巩固

1．（2011重庆）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，．（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设{}n b 的首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．