高三数学第一学期期末试卷答案(理)
河南省高三数学上学期期末考试试题(理)(有答案)
河南省高三数学上学期期末考试试题 理第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{|42830,|A x x x B x y =-+≤==，则A B = A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦ C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2. 已知复数()2112ai z a R i +=+∈-，则实数a 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.我国古代名著《九章算术》中中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是A.该金锤中间一尺重3斤B.中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的3倍C.该金锤的重量为15斤D.该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤4.运行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为A. 134B. -19C. 132D. 215.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 916π+B. 918π+C. 1218π+D. 1818π+A. B. C. D.6.若圆Ω过点()()0,10,5-，且被直线0x y -=截得的弦长为Ω的方程为A. ()2229x y +-=或()()224225x y ++-= B. ()2229x y +-=或()()221210x y -+-= C. ()()224225x y ++-=或()()224217x y ++-=D. ()()224225x y ++-=或()()224116x y -++=7. 规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.现采用随机模拟试验的方法估计某选手的投掷飞镖的情况：先由计算机根据该选手以往的投掷情况产生随机数0或1，用0表示该次投掷未在8环以上，用1表示该次投掷在8环以上；再以每三个随机数为一组，代表一轮的结果，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 011 101 010 100 100 011 111 110000 011 010 001 111 011 100 000 101 101据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为A. 47125B. 117125C. 81125D.358.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象如图所示，其中点315,0,,044A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为了得到函数()2sin 3g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则应当把函数()y f x =的图象 A. 向左平移134π个单位 B.向右平移134π个单位 C.向左平移1312π个单位 D. 向右平移1312π个单位 9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，直线l 过不同的两点()2,0,,22a b ab b a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率为或43B. 210. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，18,4,DC CC CB AM MB +===,点N 是平面1111A B C D 上的点，且满足1C N =1111ABCD A B C D -的体积最大时，线段MN 的最小值是A. 8D.11.已知函数()31632,122,11,222x x f x f x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩则函数()24y xf x =-在[]1,32上的零点之和为 A. 932 B. 47 C. 952D.4812.已知关于x 的不等式322ln ax x x x x++≤+在()0,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是 A. (),0-∞ B. (],2-∞- C. (),1-∞- D.(],1-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足30644x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为 . 14.7312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为 . 15.如图，在ABC ∆中，3,5,60,,AB AC BAC D E ==∠=分别,AB AC 是的中点，连接,CD BE 交于点F ，连接AF ，取CF 的中点G ，连接，则AF BG ⋅= .16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1115,22n n a a a n -==≥，若对任意的n N *∈，()143n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知四边形MNPQ如图所示，2,MN NP PQ MQ ====其中（1cos M P -的值；（2）记MNQ ∆与NPQ ∆的面积分别是1S 与2S ，求2212S S +与的最大值.18.（本题满分12分）如图1，在ABC ∆中，MA 是BC 边上的高.如图（ 2），将MBC ∆沿MA 进行翻折，使得二面角B MA C --为90，在过点B 作//BD AC ，连接,,AD CD MD，且30.AD CAD =∠=（1）求证：CD ⊥平面MAD ；（2）在MD 上取一点E ，使13ME MD =，求直线AE 与平面MBD 所成角的正弦值.19.（本题满分12分）2016年天猫双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过3000元的群众张抽取了500人作调查，所得概率分布直方图如图所示：记年龄在[)[)[]55,65,65,75,75,85对应的小矩形的面积分别是123,,S S S ，且12324S S S ==.（1）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过3000元的有30000人，试估计该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[)45,65的人数；（2）计算在双十一活动中消费超过3000元的消费者的平均年龄；（3）若按照分层抽样，从年龄在[)[)15,25,65,75的人群中共抽取8人，再从这8人中随机抽取4人作深入调查，记被调查者的年龄在[)25,35的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(),1⎛- ⎝⎭，过点()1,0-且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若x 轴上存在一点M ，使得2531MA MB t k ⋅+=+，其中t 是与k 无关的常数，求点M 的坐标和t 的值.21.（本题满分12分）已知函数()ln .f x x =（1）若函数()()21g x mf x x=+，求函数()g x 的单调区间和极值；（2）若函数()()h x a x =，求通过计算说明函数()h x 零点的个数.22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是sin cos θρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求MN 的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数() 4.f x x a x b =+-++（1）若2,0a b =-=，在下列网格中作出函数()f x 在[]5,5-上的图象；（2）若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a b -的取值范围.。
四川省泸县第四中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
四川省泸县四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。
考试结束后，只将答题卡交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,32．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．-1或13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.54．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．1-B ．4C ．5D ．145．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为A ．14B ．18C ．116D ．1326．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bt y ae -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min7．已知α满足sin()4πα+2tan tan 1αα=+A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-= 相切，则实数=a A ．2或3-B ．2-或3C ．2D ．39．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是A ．25B ．12C ．35D ．31010．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞11．已知双曲线1C ：x y e =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意1x ，2x 都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为A ．1e -B C ．1D ．1e +12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为A ．1B CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．15．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦．其中所有正确结论的编号为________．三、解答题：共70分。
高三上学期期末数学(理)试题答案
第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCCABCDA二、填空题：9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12．2±(只写一个答案给3分)；13．3； 14．5,16 12n m+ (第一个空2分，第二个空3分) 三．解答题15．（本题共13分）函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ．（Ⅰ）求集合A ，B ； （Ⅱ）若集合A ，B 满足AB B =,求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或，..………………………..……3分 B={|2,2}{|4}xy y a x y a y a =-≤=-<≤-． ………………………..…..7分 （Ⅱ）∵A B B =，∴B A ⊆， ..……………………………………………. 9分∴41a -<-或3a -≥， …………………………………………………………...11分 ∴3a ≤-或5a >，即a 的取值范围是(,3](5,)-∞-+∞．…………………….13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值. xyBAO解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得， 3cos 5α=， 12sin 13β=． ………………………………………………………2分 ∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………………3分∵β的终边在第二象限，∴ 5cos 13β=-．………………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．……………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB |=|OB OA -|, ……………………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅，…………………11分 ∴9224OA OB -⋅=， ∴18OA OB ⋅=-．…………………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-， …………………10分 ∴OA OB ⋅=1||||cos 8OA OB AOB ∠=- ． ………………………………… 13分 17．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3BC =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点． （Ⅰ）求证：DE//平面PBC; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ； （Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小． 解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE//BC ．DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴DE //平面PBC ．…………………………4分 （Ⅱ）连结PD ， PA=PB ，∴ PD ⊥ AB ． …………………………….5分 //DE BC ，BC ⊥ AB ，∴ DE ⊥ AB ． .... .......................................................................................................6分EDB CAP_E_ D_ _ A_ P又 PD DE D = ，∴AB ⊥平面PDE ．......................................................................................................8分 PE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PE ． ..........................................................................................................9分 （Ⅲ） 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD ⊥ AB ，∴ PD ⊥平面ABC ．................................................................................................10分 如图,以D 为原点建立空间直角坐标系∴B (1,0,0)，P (0,0,3)，E(0,32,0) , ∴PB =(1,0,3- )，PE =(0, 32, 3-）． 设平面PBE 的法向量1(,,)n x y z =，∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z = 得1(3,2,3)n =． ............................11分 DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为2(0,1,0)n =．………………….......................................12分 设二面角的A PB E --大小为θ， 由图知，121212||1cos cos ,2n n n n n n θ⋅=<>==⋅，所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为60︒． ..........................................14分18．（本题共14分）已知函数2()(0)xax bx cf x a e ++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为3e -，求()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值.解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()x x x xax b e ax bx c e ax a b x b cf x e e+-++-+-+-'==．.......2分 _E_ D_ B_C_ A _ Pz y x令2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-，因为0xe >，所以'()yf x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-的零点，且()f x '与()g x 符号相同.又因为0a >，所以30x -<<时，g(x)>0,即()0f x '>， ………………………4分 当3,0x x <->时,g(x)<0 ,即()0f x '<， …………………………………………6分所以()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =-3是()f x 的极小值点，所以有3393,0,93(2)0,a b c e eb c a a b b c --+⎧=-⎪⎪-=⎨⎪---+-=⎪⎩解得1,5,5a b c ===， …………………………………………………………11分所以255()xx x f x e ++=.()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）， ∴(0)5f =为函数()f x 的极大值, …………………………………………………12分∴()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值取(5)f -和(0)f 中的最大者. …………….13分而555(5)5f e e--==>5，所以函数f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值是55e ．.…14分 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=3 54AC =时，求椭圆12,C C 的方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围．解：（Ⅰ）设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b +=,其中1,01a b ><<．..2分C 1 ,C 2的离心率相同，所以22211a b a-=-,所以1ab =，……………………….…3分 ∴C 2的方程为2221a x y +=．当m=32时，A 3(,)22a -,C 13(,)22a ． .………………………………………….5分 又 54AC =,所以，15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ………….…………..6分 ∴C 1 ,C 2的方程分别为2214x y +=，2241x y +=．………………………………….7分 （Ⅱ）A(-21a m -,m), B(-211m a-,m) ． …………………………………………9分 OB ∥AN,∴OB AN k k =,∴22111m a m m a=----,∴211m a =- ． …………………………………….11分 2221a e a -=，∴2211a e =-，∴221e m e -=． ………………………………………12分01m <<，∴22101e e-<<，∴212e <<．........................................................13分 20.（本题共13分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求1A ，1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令21,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，写出N 的最小值并证明;若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形，∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y x y x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得112x y ==，即点A 1的坐标为（2，2），进而得1(4,0)B ．…..3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可得11n n nn n n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*） …………………………..5分n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==，∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴*12()n n y y n N +-=∈， ………………………………………………………..7分 ∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，∴其通项公式为2n y n =(*n N ∈)． ……………………………………………....8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222nn y x n ==， ∴2(1)n n n a x y n n =+=+， ……………………………………………………9分∴12(1)i b i i =+，12122iy i i c -+==． ∴11112(12)2(23)2(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111111(1)22231n n -+-++-+ =11(1)21n -+．….……………..…………10分 231111(1)1111142(1)12222212nn in ni c+=-=+++==--∑． ……………………….11分 （方法一）1ni i b =∑-1ni i c =∑=1111111112(1)-(1)()21222212(1)nn n n n n n n ++---=-=+++．当n=1时11b c =不符合题意， 当n=2时22b c <，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有11n niii i b c ==<∑∑．（*） 观察知，欲证（*）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边； (2)假设n=k （k≥2）时，(k+1)<2k ,当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k +1<2k +2k =2k+1=右边,∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即1n i i b =∑<1ni i c =∑成立．综上，满足题意的n 的最小值为2. ……………………………………………..13分 （方法二）欲证11n niii i b c ==<∑∑成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n．()012323211...1...nn n nn n n n n n n nC C C C C n C C C =+=+++++=+++++， 并且23...0nn n n C C C ++>，∴当2n ≥时，21nn ≥+.。
2023届江西省临川第一中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2023届江西省临川第一中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合2{|230}A x Z x x =∈--≤，{0,1}B =，则A C B = A ．{3,2,1}--- B ．{1,2,3}-C ．{1,0,1,2,3}-D ．{0,1}【答案】B【详解】由题可知{}1,0,1,2,3A =-，则{}1,2,3A B =-．故本题选B ．2．在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是(1,2)OA =-，(3,1)=-OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】利用复数的几何意义写出复数1z ，2z ，再结合共轭复数、复数的乘法运算求解作答.【详解】因复数1z ，2z 对应的向量分别是(1,2)OA =-，(3,1)=-OB ，则2112i,3i z z =-=-+，23i z =--， 于是得12(12i)(3i)55i z z =---=-+， 所以复数12z z 对应的点(5,5)-位于第二象限. 故选：B3．对于实数x ，条件p ：152x x +≠，条件q ：2x ≠且12x ≠，那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解分式不等式，得到解集，从而作出判断. 【详解】152x x +≠，解得：2x ≠且12x ≠且0x ≠，故p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A4．设0a >，0b >，且21a b +=，则12a a a b++（ ）A ．有最小值为4B ．有最小值为1C ．有最小值为143D ．无最小值【答案】B【分析】0a >，0b >，且21a b +=，可得12b a =-．代入12a a a b++，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．【详解】0a >，0b >，且21a b +=， 120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)()2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a ---+=+=+-=+-+-=++-+---- 122111a aa a-+=-，当且仅当1a =，3b =-∴12aa a b++有最小值1． 故选：B ．【点睛】本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力． 5．设537535714a ,,log 755b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则,,a b c 的大小顺序是 A ．b a c << B ．c<a<b C ．b<c<a D ．c b a <<【答案】D【分析】先利用指数函数的性质比较得a>b>1,再分析得c<1，从而得到a,b,c 的大小关系.【详解】553775577()()()755a b -==>=，30577()()1,55b =>=因为314log 5c =3log 31<=，所以c b a <<. 故答案为D【点睛】(1)本题主要考查指数对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较大小，一般先把所有的数分成正负两个集合，再把正数和1比，负数和-1比.6．已知(0,)4πα∈，4cos25α=，则2sin ()4πα+=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】D【解析】首先由角(0,)4πα∈知sin20α>，再利用同角三角函数平方关系求sin 2α，二倍角余弦公式以及诱导公式求2sin ()4πα+即可.【详解】(0,)4πα∈，∴2(0,)2πα∈，又4cos25α=，∴3sin 25α=.2311cos(2)1sin 2452sin ()42225παπαα+-++∴+====. 故选：D.7．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()222cos cos a b c a B b A abc +-⋅+=，则角C =（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【分析】根据余弦定理和正弦定理将条件转化为1cos 2C =，由此可得60C =︒． 【详解】由条件及余弦定理得：()2cos cos cos ab C a B b A abc ⋅+= ∴()2cos cos cos C a B b A c ⋅+=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， ∴2cos sin()sin C A B C +=，即2cos sin sin C C C = ∵sin 0C ≠，∴1cos 2C =， 又0180C ︒<<︒，∴60C =︒． 故选：C ．8．已知函数()()2log 3a f x x ax =-+在[]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()1,4C ．()()0,11,4⋃D ．[)2,4【答案】D【分析】根据给定的函数，结合对数函数、二次函数单调性，分类讨论求解作答.【详解】函数()()2log 3a f x x ax =-+在[]0,1上是减函数，当01a <<时，22223()330244a a a x ax x -+=-+-≥->恒成立， 而函数23u x ax =-+在区间[]0,1上不单调，因此01a <<，不符合题意，当1a >时，函数log a y u =在(0,)+∞上单调递增，于是得函数23u x ax =-+在区间[]0,1上单调递减， 因此12a≥，并且21130a -⋅+>，解得24a ≤<， 所以实数a 的取值范围是[)2,4. 故选：D9．已知圆C ：()()22344x y -+-=和两点(),0A，)(),00Bm >.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值为（ ）ABC ．2 D【答案】D【分析】根据点P为半径的圆上和在圆C 上，由两圆有交点求解. 【详解】解：由题意得：点P为半径的圆上， 又因为点P 在圆C 上， 所以只要两圆有交点即可，252-≤≤+，m ≤≤， 所以m故选：D10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 的坐标为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点P 是双曲线在第二象限的部分上一点，且1212∠=∠F PF F PA ，112PF F F ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2C ．32D【答案】B【分析】由角平分线的性质可得1122||||||||PF AF PF AF =及双曲线的定义，化简方程即可求双曲线的离心率. 【详解】如图，因为112PF F F ⊥，所以=-P x c ，由2222(1)ya c b-=-可得21||||b PF y a ==，由双曲线定义可知22||2b PF a a=+，由1212∠=∠F PF F PA 知：PA 平分12F PF ∠，所以1122||||||||PF AF PF AF =，即22222b ac aa b c a a-=++，整理得：222222b c a a b c a -=++， 由222b c a =-，c e a =，可化简为22121121e e e e --=++，即22211121e e -=-++，可得2121e e +=+，解得2e =或1e =（舍去）， 故选：B11．在ABC 中，4AB =，3BC =，5CA =，点P 在该三角形的内切圆上运动，若BP mBC nBA =+（m ，n 为实数），则m n +的最小值为（ ） A ．12B ．13C ．16D ．17【答案】C【分析】设该三角形的内切圆的半径为r ，CA 边上的高为 h ，由BP mBC nBA =+，得到BPm n m nBC BA m n m n+=+++，再利用平行线等比关系求解. 【详解】解：在ABC 中，4AB =，3BC =，5CA =， 设该三角形的内切圆的半径为r ， 则()113453422r ⨯++⨯=⨯⨯，解得 1r =， 设CA 边上的高为 h ，则1153422h ⨯⨯=⨯⨯，解得 125h =，因为 BP mBC nBA =+，所以()m n BP m n BC BA m n m n ⎛⎫=++⎪++⎝⎭， 因为点P 在该三角形的内切圆上运动，所以BPm n m nBC BA m n m n+=+++， 设m n BE BC BA m n m n+=++，则 ()BP m n BE =+， 因为1m n m n m n+=++， 则BP m n BE+=，且,,B P E 三点共线，E 在AC 上，由平行线等比关系得：要使m n +，即BP 与BE 之间的比例最小，则点P 内切圆的最高点，如图所示：由222BA BC AC +=，知2B π=，所以()111222ABCS BA BC h AC r BA BC AC =⋅=⋅=⋅++， 由12,5h =所以1r = 所以m n +的最小值为216h r h -=， 故选：C12．若函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +偶函数，()31f x -关于点()1,3成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ） ①()f x 的一个周期为2； ②()()222f x f x =-；③()f x 的一个对称中心为()6,3；④()19157i f i ==∑.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由()()2121f x f x +=-+得到()()222f x f x =-+，故②正确；由()31f x -关于点()1,3成中心对称，得到()f x 关于()2,3中心对称，推理出()()4f x f x +=，从而得到周期为4，①错误；由函数的周期及()f x 关于()2,3中心对称，得到一个对称中心为()6,3，③正确；利用函数的周期性及对称性求出函数值的和.【详解】由题意得：()()2121f x f x +=-+，将x 替换为12x -得：11212122f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()222f x f x =-+，②正确；()()2121f x f x +=-+中将x 替换为12x 得：()()11f x f x +=-+，因为()31f x -向左平移13个单位得到()3f x ，而()31f x -关于点()1,3成中心对称，所以()3f x 关于2,33⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故()f x 关于()2,3中心对称，所以()()226f x f x ++-+=，故()()()()()2626116116f x f x f x f x f x +=--+=---=-+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以()()()()()46266f x f x f x f x +=-+=--=， 所以()f x 的一个周期为4，①错误；()f x 关于()2,3中心对称，又()f x 的一个周期为4，故()f x 的一个对称中心为()6,3，③正确；()()226f x f x ++-+=中，令1x =得：()()316f f +=，()()226f x f x ++-+=中，令0x =得：()()226f f +=，故()23f =， ()()226f x f x ++-+=中，令2x =得：()()406f f +=，又因为()()04f f =，故()246f =，所以()43f =， 所以()()246f f +=，其中()()()1717441f f f =-⨯=，()()()18181623f f f =-==，()()()1919163f f f =-=，故()()()()()()()()19141234171819i f i f f f f f f f ==++++++⎡⎤⎣⎦∑()()()()466123483657f f f =⨯++++=++=，④正确.故选：C【点睛】若()()f x a f x b c ++-+=，则函数()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， 若()()f x a f x b +=-+，则函数()f x 关于2a bx +=对称.二、填空题13．已知P 是椭圆22110036x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，则12PF F △的面积为________.【答案】【分析】借助韦达定理得1248PF PF ⋅=，再套用面积公式即可. 【详解】易得1212220,216PF PF a F F c +====， 则222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠()21212121222cos PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠，即22121211620222PF PF PF PF =-⋅-⋅⨯，故1248PF PF ⋅=121211sin 604822PF F SPF PF =⋅︒=⨯=,故答案为：14．若(13)n x -展开式中第6项的二项式系数与系数分别为p q ､，则pq=__________. 【答案】1243-【分析】根据二项式定理中二项式系数与项系数的求解即可得. 【详解】有题意可知5C n p =，55C (3)n q =-，所以555C 1C (3)243n n p q ==--．故答案为：1243-.15．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为26，则模型中九个球的表面积和为__________.【答案】9π【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解.【详解】如图所示正四面体A BCD -，记棱长为a ，高为h ，O 为正四面体A BCD -内切球的球心，延长AO 交底面BCD 于E ，E 是等边三角形BCD △的中心，过A 作AF CD ⊥交CD 于F ，连接BF ，则OE 为正四面体A BCD -内切球的半径， 因为3AF BF ==，233BE BF ==，133EF BF ==， 所以226h AE AF EF ==-， 所以()2222OE BO BE AE OE BE =---614r OE h ===， 由图可知最大球内切于高6264h ==大的正四面体中，最大球半径114r h ==大，中等球内切于高22h h r =-=中大大的正四面体中，中等球半径1142r h ==中中， 最小求内切于高21h h r =-=小中中的正四面体中，最小球半径1144r h ==小小， 所以九个球的表面积之和222114π1449π24V ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故答案为：9π16．若函数()3e 3ln x f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的极小值点只有一个，则a 的取值范围是_________.【答案】32e e ,49【分析】对()f x 求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合2e xy x=的图像性质即可求得a 的取值范围.【详解】因为()3e 3()ln 0x f x a x x x x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以()()4222333e e xx x x x f x a a x x x x -⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭'，设2(e )xg x x=（0x >），因为32(e )x x g x x -'=，所以当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>， 则2(e )xg x x =在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，①若2e 0x a x -≥恒成立，即2e xa x≤在(0,)+∞上恒成立，因为2222e e e ()24x g x x =≥=，所以22min e e 4x a x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，此时令()0f x '<，解得03x <<；令0fx，解得3x >；所以()f x 在()0,3单调递减，在(3,)+∞单调递增，有唯一极小值点，满足题意； ②方程2e 0xa x-=有两个不同的根1x ，2x ，且12x x <，当10x x <<和2x x >时，2e 0x a x ->；当12x x x <<时，2e 0xa x-<，因为()f x 只有一个极小值点，所以3是2e 0x a x -=即2e xa x =的一个根，且存在另一个根02m <<，此时3e 9a =；当3e 9a =时，()()3223e e 9x x f x x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭'， 令()0f x '<，解得0x m <<；令0fx，解得x >m ；所以()f x 在()0,m 单调递减，在(,)m +∞单调递增，满足题意， 综上：2e 4a ≤或3e 9a =，即32e e 9,4a. 故答案为：32e e ,49. 【点睛】()()223e x x f x ax x-⎛⎫=- ⎝'⎪⎭，因为函数()f x 只有一个极小值点，需对2ex y a x =-的符号进行分类讨论.三、解答题17．已知数列{}n a 满足数列{}1n n a a +-为等比数列，11a =，22a =，且对任意的n *∈N ，2132n n n a a a ++=-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和S n .【答案】(1)12n n a -=(2)()121nn -+【分析】(1)利用等比数列的定义以及累加法求通项； (2)利用错位相减法求和.【详解】（1）设{}1n n a a +-的公比为q ，2132n n n a a a ++=-，()2112n n n n a a a a +++-=-又211a a -=，112n n n a a -+∴-=，()()()1211213211211221212n n n n n n a a a a a a a a -----∴=+-+-++-=++++=+=-，又11a =符合上式，所以{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）()1122n n n n b n a n n --=⋅=⋅=⋅，{}n b 的前n 项和为01211222322n n -⋅+⋅+⋅++⋅记01211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 则12321222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，作差可得01211222222212nn nn n S n n ---++++-⋅=-⋅-＝，()121n n S n ∴=-+，因此，数列{}n b 的前n 项和为()121nn -+.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G 分别为线段111,B C B B 及AC 的中点，P 为线段1A B 上的点，1,8,62BG AC AB BC ===，三棱柱111ABC A B C -的体积为240．(1)求点F 到平面1A AE 的距离；(2)试确定动点P 的位置，使直线FP 与平面11A ACC 所成角的正弦值最大． 【答案】2473(2)P 为1BA 中点【分析】（1）由题意，建立空间直线坐标系，求解平面法向量，根据点面距向量计算公式，可得答案；（2）由（1）的空间直角坐标系，求解平面法向量以及直线方向向量，根据线面角与向量夹角的关系，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）在ABC 中，12BG AC =，G 为AC 的中点，=90ABC ∴∠，即AB BC ⊥， 由直三棱柱111ABC A B C -的体积111==2ABC V BB SBB AB BC ⋅⋅⋅⋅，则11×8?6=2402BB ⋅，解得110BB =， 以B 为原点，并分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()8,0,0A ，()18,0,10A ，()10,0,10B ，()10,6,10C ，()0,0,0B ， 由E 为11B C 的中点，则()0,3,10E ，由F 为1BB 的中点，则()0,0,5F ，在平面1AA E 中，取()10,0,10AA =，()=8,3,10AE -，设该平面的法向量为(),,n x y z =， 则1=0=0n AA n AE ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即10=08+3+10=0z x y z ⎧⎨-⎩，令=3x ，则8,0y z ==，故平面1AA E 的一个法向量为()3,8,0n =，取()=8,0,5AF -，由点面距公式，可得F 到平面1AA E 的距离242473==9+64AF n d n⋅-（2）由（1）可知：()8,0,0A ，()18,0,10A ，()0,6,0C ，()10,6,10C ，()0,0,5F ， 由1P A B ∈，1A B ⊂平面11AA B B ，则设(),0,P a b ，08,010a b ≤≤≤≤， 设1==(4,0,5)2kBP BA k k ，即()4,0,5P k k ，02k ≤≤，在平面11AA B B 内，取()10,0,10AA =，()=8,6,0AC -，设其法向量(),,m x y z '''=， 则1=0=0m AA m AC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即10=08+6=0z x y ''-'⎧⎨⎩，令=3x '，则=4,=0y z ''，故平面11AA B B 的一个法向量()3,4,0m =，取()=4,0,55FP k k -，设直线FP 与平面11A ACC 所成角为θ，则sin =|cos ,|m FP θ， 则212sin ==53m FP m FP⋅θ⋅⋅ 当=0k 时，P 与B 重合，sin 0θ= 当0k ≠时，12sin =5θ⋅令11=[,)2x k +∞∈，1212sin =55=θ⋅当=1x 时，即=1k ，P 为1BA 中点时，()max 123sin 55θ== 19．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张. （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X （元）的分布列. 【答案】（1）23；（2）分布列见解析.【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合组合数即可求解；（2）求得X 所有可能的取值为（单位：元）：0，10，20，50，60，求出对应的概率，即可列出分布列.【详解】（1）记顾客中奖为事件A ，11204646210302()453C C C C P A C ⋅+⋅===，即该顾客中奖的概率为23； （2）X 所有可能的取值为（单位：元）：0，10，20，50，60，且02462101(0)3C C P X C ⋅===，11362102(10)5C C P X C ⋅===， 232101(20)15C P X C ===，11162102(50)15C C P X C ⋅===，11132101(60)15C C P X C ⋅===， 故X 的分布列为：20．已知抛物线C ：22y px =，抛物线上两动点()11,A x y ，()22,B x y ，12x x ≠且126x x +=(1)若线段AB 过抛物线焦点，且10AB =，求抛物线C 的方程.(2)若2:8C y x =,线段AB 的中垂线与x 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值. 【答案】(1)28y x =【分析】(1)假设,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，利用12AF BF x x p +=++辨析即可；(2)先计算AB 方程：()0043y y x y -=-，联立抛物线方程，结合韦达定理得AB ，再计算出d =，进而计算三角形面积.【详解】（1）(1)取抛物线焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，12p AF x =+，22p BF x =+，126AF BF x x p p +=+=++因为AF BF AB +≥，AB 最大值为10， 所以610p +=，4p =，抛物线方程为28y x =.（2）令()11,A x y ，()22,B x y ，设M 为AB 中点，()00,M x y , 又因为126x x +=，所以03x =，()03,,M y 212112084AB y y k x x y y y -===-+， 所以AB 中垂线方程为：()0034y y y x -=--，令()07,0y C =⇒ 所以AB 方程为：()0043y y x y -=- 与抛物线方程联立()022000243222408y y x y y y y y y x ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，显然，()22000442240y y y ∆=-->⇒-<<.1202y y y +=，2120224y y y ⋅=-AB，.()C 7,0到AB 的距离为d ，12ABC S AB d =⋅==△≤所以ABC S21．已知()2e x f x x x =+-，()2g x x ax b =--，,a b ∈R(1)若()f x 与()g x 在1x =处的切线重合，分别求a ，b 的值. (2)若b ∀∈R ，()()()()f b f a g b g a -≥-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)1a e =-，0b = (2)0a =【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()()11f g =且()()11f g ''=，即可得到方程组，解得即可；（2）依题意可得()()e e 10b ab a a -+--≥对b ∀∈R 恒成立，令()()()e e 1b a H b b a a =-+--，求出函数的导函数，由()0H a =可得()0H a '=，从而求出a 的值，再验证即可.【详解】（1）解：因为()2e x f x x x =+-，()2g x x ax b =--，所以.()e 21xf x x '=+-，()2g x x a '=-，因为()()11f g =且()()11f g ''=， 即e 212a +-=-且22e 1111a b +-=-⨯-， 解得1a e =-，0b =.（2）解：因为()()()()f b f a g b g a -≥-对b ∀∈R 恒成立，.()()()22222e e b a b b a a b ab b a a b ∴+--+-≥-----对b ∀∈R 恒成立，即()()e e 10b ab a a -+--≥对b ∀∈R 恒成立，令()()()e e 1b a H b b a a =-+--，()e 1bH b a '=+-因为()0H a =，所以a 是()H b 的最小值点，且a 是()H b 的极值点，即()e 10aH a a '=+-=，因为()a H '在R 上单调递增，且()00H '=，所以0a =，下面检验：当0a =时，()e 10bH b b =--≥对b ∀∈R 恒成立，因为()e 1bH b '=-，所以当0x <时()0H b '<，当0x >时()0H b '>，所以()H b 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增. 所以()()00H b H ≥=，符合题意， 所以0a =.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线1:12x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与圆23cos :3sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)相交于,A B 两点.(1)求直线l 及圆C 的普通方程； (2)已知()1,0F ，求FA FB +的值. 【答案】(1) ()2229x y -+=(2)【分析】（1）利用代入消元法可得直线l 普通方程；利用平方关系可得圆C 的普通方程； （2）将直线参数方程代入圆的标准方程得280t -=，再利用参数的几何意义求解.【详解】解：(1)由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去t，得10x -=，即直线l的普通方程为10x -=，由23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，得3cos 23sin x y θθ=-⎧⎨=⎩，两式平方相加得()2229x y -+=， 即圆C 的普通方程为()2229x y -+=.(2)将1:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()2229x y -+=，得280t -=.设方程的两根为12,t t ，则12t t +=128t t =-.所以1212FA FB t t t t +=+=-=23．已知0a >，0b >.（1）求证：3322a b a b ab +≥+； （2）若3a b +=，求14a b+的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）根据条件得33220a b a b ab -+-≥，从而证明不等式成立；（2）根据条件得()141143a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式，即可求14a b +的最小值，注意等号成立的条件.【详解】（1）证明：∵0a >，0b >.∴()()332222a b a b ab a a b b b a +--=-+-()()()()2220a b a b a b a b =--=-+≥，∴3322a b a b ab +≥+.（2）∵0a >，0b >，3a b +=，∴()1411414455333b a a a b a b a b a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即1a =，2b =时取等号，∴14a b+的最小值为3.。
高三上学期期末考试(数学理)(附答案)
上海市崇明县高三上学期期末考试试卷 高三数学（理科）（满分150分，答题时间120分钟 编辑：刘彦利）注意：在本试卷纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 一、填空题（每小题4分，共56分）1、设}5,4,3,2,1{=U ，{}1)43(log 22=+-=x x x M ，那么=M C U .2、若函数)(x f y =是函数x y a log =（1,0≠>a a ）的反函数， 且2)1(=-f ，则=)(x f .3、一个三阶行列式按某一列展开等于22113311332232 ba b a ba b a ba ba ++，那么这个三阶行列式可能是 .（答案不唯一） 4、已知6π-=x 是方程3)tan(3=+αx 的一个解，)0(，πα-∈，则=α ．5、右图是一个算法的流程图，最后输出的 =W ．6、若圆锥的侧面积为π20，且母线与底面所成的角的余弦值为54，则该圆锥的体积为.7、已知二项展开式5522105)1(x a x a x a a ax +⋯+++=-中，803=a ，则5210a a a a +⋯+++等于 .8、复数2)2321(i z -=是实系数方程012=++bx ax 的根，则=⨯b a .9、已知nS 是数列{}n a 前n 项和，2,111+==+n n a a a （*N n ∈）,则limnn n na S →∞=。
10、定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧---=+)1()()4(log )1(2x f x f x x f 0,0,>≤x x ，计算)2010(f 的值等于 .11、如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，︒=∠90ABC ，BC BA =，球心O 到平面ABC 的距离是223，则B 、C 两点的球面距离是 .12、若命题p ：34-x ≤1；命题q :)2)((---m x m x ≤0，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 .13、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为︒120.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x + 的取值范围是 . 14、已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为 .二、选择题（每小题4分，共16分）15、公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若31-=a 且4a 是3a 与7a 的等比中项， 则10S 等于 …………………………………………………………………………………（ ） （A ）18（B ）24（C ）60（D ）9016、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 12sin 2ππx x y 的最大值、最小值分别为 …………………………（ ） （A ）2，2-（B ）21,23-（C ）21,23（D ）23,21- 17、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数))((mi n ni m -+为实数的概率为 …………………………………………………………………………………………（ ）（（A ）31（B ）41（C ）61（D ）12118、定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的]0,(,21-∞∈x x )(21x x ≠，有0))()()((1212>--x f x f x x 恒成立. 则当*N n ∈时，有……………………………（ ）（A ）)1()()1(-<-<+n f n f n f （B ）)1()()1(+<-<-n f n f n f （C ）)1()1()(+<-<-n f n f n f（D ）)()1()1(n f n f n f -<-<+三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须写出必要的步骤） 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设函数xx x f 2sin )32cos()(++=π.（1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（2）设C B A ,,为∆ABC 的三个内角，41)2(-=C f ，且C 为锐角，35=∆ABC S ，4=a ， 求c 边的长．20、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在直四棱柱D C B A ABCD ''''-中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，4=AB ， 2==CD BC ，21=AA ，E 、F 、G 分别是棱11B A 、AB 、11D A 的中点.（1）证明：直线GE ⊥平面1FCC ； （2）求二面角C FC B --1的大小.ABF CDEGA1D1 C1B121、（本题满分16分，第1小题3分，第2小题5分，第3小题8分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动。
高三数学上学期期末考试试卷 理含解析 试题
实验2021-2021学年度上学期期末考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日高三理科数学试题第一卷选择题〔一共60分〕一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项是符合题目要求的〕1.集合A=，B=，那么A B中元素的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意，集合A表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，根据直线与圆的位置关系，即可求解集合中元素的个数，得到答案。
【详解】由题意，集合A表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又由圆与直线相交于两点，那么中有两个元素，应选C.【点睛】求集合的根本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或者其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2.，是虚数单位，假设，，那么〔〕A. 1或者B. 或者C.D.【答案】A【解析】由得，所以，应选A.【名师点睛】复数的一共轭复数是，据此结合条件，求得的方程即可.3.某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】由三视图复原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，那么AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．应选：．4.函数的最小正周期为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正弦函数的周期公式直接求解即可.详解：由题函数的最小正周期应选C.点睛：此题考察正弦函数的周期，属根底题.5.展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】C【解析】因为，那么展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项一共有几项，进展相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的详细情况，尤其是两个二项展开式中的不同.6.椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的方程求得，得到，再利用离心率的定义，即可求解。
高三上学期期末考试数学(理)试卷含答案
第一学期期末考试试卷高三年级数学(理科) 座位号_____第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上.）1. 已知M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3}，则M∩N等于 ( )A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝2，则|a－b|的值为( ) A．1 B.3 C．13 D.213.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4 B．6 C．8 D．124．如图所示,在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)5．若(x－1)8＝1＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a5＝( )A．56 B．－56 C．35 D．－356．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9 7．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)8.要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移23π个单位D ．向右平移23π个单位9.已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°10. 已知空间两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nD ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n 11．在等差数列中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．60012．若定义在R 上的二次函数bax a x f x +-=4)(2[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0),则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4]B [0,2]C ．(－∞，0]D ．(－∞，0] [)∞+，4Y第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．） 13. 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．14如果直线x ＋y ＋2a ＝0和圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且弦长|AB |＝2，则实数a ＝________．15.函数223(0)()2ln,(0)x x xf xx x⎧++≤=⎨-+>⎩的零点个数是_____________16.设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（10分）已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3＋a4＝12.(1)求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)设b n＝10－a n，数列{b n}的前n项和为S n，若b1≠b2，则n为何值时，S n最大？S n最大值是多少？18.（12分如图所示，正四棱锥S－ABCD中，高SO＝4，E是BC边的中点，AB＝6，求正四棱锥S－ABCD的斜高、侧面积、体积．19．（12分）已知函数()22sin 23sin cos cos f x x x x x =+-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 的最大值及取最大值时x 的集合.20.（12分）已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．21．（12分）已知函数f(x)＝x＋ax＋b(x≠0)，其中a，b∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性.22.（12分）已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长2为时，求实数m的值．永昌四中2018—2019学年第一学期期末试卷答案高三年级 数学（理科）一、选择题二、填空题13. 45- ； 14. 2626-或 .15. 1 ; 16. (x ＋1)2＋(y 2＝1.三、解答题：17. 解：(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝2a 1.-------- ----------------2 当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；-----------------4 当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.-------------------5 (2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0， 由(1)知a n ＝2n －1，-----------------7∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25.---------9 ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.------------------10 18. 解：在Rt △SOE 中OE ＝3，SO ＝4，所以斜高为：SE ＝＝＝5.----------------------2 侧面积为：0.5×6×5×4＝60.-----------------6体积为：(1/3)×62×4＝48. --------------------------1219.解：由已知，()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=- (4)（１）由222262k x k πππππ-≤-≤+,k Z ∈，得增区间为[,]()63k k k Z ππππ-+∈.………8（２）当2262x k πππ-=+，k Z ∈，即sin(2)16x π-=时，()f x 取最大值2， (10)此时x 的集合为{|,}3x x k k Z ππ=+∈ (12)20．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p/2.因为|AF |＝3，即2＋p/2＝3，解得p ＝2，------------------------2 所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .------------------------------------4 (2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,2)．由A (2,2)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝2(x －1)．-------------6 由得2x 2－5x ＋2＝0，---------------------------8 解得x ＝2或x ＝，从而B . 又G (－1,0)，所以k GA ＝＝，------------------------------------------10k GB ＝＝－，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．-------------------------1221.解：(1)f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：a)上是减函数．22.解：(1)∵圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为(3,0)．--------------------------------------------------------4 ∵直线x－my＋3＝0与圆相切，r＝2，解得m＝±2.------------------------------------------------------6(2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d由r＝2得， 3＋3m2＝36，------------------------------------10解得m2＝11，故m＝±11.-------------------------------------12。
2022-2023学年内蒙古自治区包头市高三年级上册学期期末数学理试题【含答案】
2022-2023学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）{}2560A x x x =-->{}10B x x =->A B = A.B.C.D.()6,+∞()1,1-(),1-∞-()1,62. 设，则在复平面内对应的点位于（）32i z =-1z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知，，，则（）31log 4a =322b -=2312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A B. C. D.a b c>>a c b>>b c a>>c b a>>4. 已知A ，B ，C 三人都去同一场所锻炼，其中A 每隔1天去一次，B 每隔2天去一次，C 每隔3天去一次.若3月11日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（）A. 3月22日 B. 3月23日C. 3月24日D. 3月25日5. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a ,b ,c ,则（）A. B. C. D. a b c <<b a c <<a c b<<b<c<a6. 若函数与都在区间上单调递增，则的最大值()2sin f x x =()cos2g x x=(),m n n m -为（）A. B. C. D. π4π3π2π7. 已知，（）()4,2AB =()()1,0AC t t =>AB BC ⋅=A B. C. 8 D. 168-16-8. 设为直线，为平面，则的必要不充分条件是（）a βa β⊥A. 直线与平面内的两条相交直线垂直a βB. 直线与平面内任意直线都垂直a βC. 直线在与平面垂直的一个平面内a βD. 直线与平面都垂直于同一平面a β9. 记为等差数列的前项和.已知，，则（）n S {}n a n 55S =610a =AB.312n a n =+520n a n =-C.D.2314n S n n=-231322n S n n=-10. 已知，，则（）π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin2cos21cos ααα=++tan2α=A. B. C. 2 D. 3131211. 已知抛物线，斜率为的直线与的交点为E ，F ，与轴的交点为.2:3C y x =32l C x H 若，（）()1EH k HF k =>EF =k =A. 5B. 4C. 3D. 212. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，E ，F 分-P ABC O 4PA =2PB PC ==别是PA ，AB 的中点，，，，则球的体积为（）90CEF ∠=︒PB AC ⊥PC PA ⊥OA. B. C. D. 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线在点处的切线方程为______.()()224e xf x x x =++()()0,0f 14. 已知数列和满足，，，.{}n a {}n b 11a =12b =134n n n a a b +=-+134n n n b b a +=--则数列的通项______.{}n n a b +n n a b +=15. 甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是3:1______.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为()2222:10x y C b a a b -=>>1F 2F 1F 的直线与的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若，则的离心率为______.4πC 2//BF OA C 三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC .()22sin sin sin 3sin sin A C B A C+=+（1）求；B （2）若，求.623a b c =+sin A 18. 9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据x y 该图提供的信息解决下列问题.（1）在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分X X 布列和数学期望；()E X （2）由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆˆy bx a =+截距的最小二乘法估计分别为：，.()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑ ˆa y bx =-19. 如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，1111ABCD A B C D -14AA =2AB BC ==，，，分别是，，的中点.60BAD ∠=︒E FH 1A D 1BB BC （1）证明：平面；EF ⊥11BCC B （2）求平面与平面所成二面角的正弦值.1DC H DEF 20. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，()0,3M -()0,3N (),P x y PM PN 3-记的轨迹为曲线.P C （1）求的方程，并说明是什么曲线；C C （2）过坐标原点的直线交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，轴，垂足为，连AD y ⊥D接并延长交于点.BD C H （i ）证明：直线与的斜率之积为定值；AB AH （ii ）求面积的最大值.ABD △21. 已知函数.()()ln 11f x x a x =--+（1）若存在极值，求的取值范围；()f x a （2）当时，讨论函数的零点情况.2a =()()sin g x f x x=+（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（s 为参数），直线的参数xOyC 2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩l 方程为（为参数）.1cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩t （1）求和的直角坐标方程；C l （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的面积.C l AB ()1,2-OAB [选修4-5：不等式选讲]23. 已知()()4f x x m x x x m =-+--（1）当时，求不等式的解集；2m =()0f x ≥（2）若时，，求的取值范围.(),2x ∈-∞()0f x <m2022-2023学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）{}2560A x x x =-->{}10B x x =->A B = A.B.C.D.()6,+∞()1,1-(),1-∞-()1,6【答案】A 【解析】【分析】求出集合中元素范围，再求即可.,A B A B ⋂【详解】或，{}{2560|1A x x x x x =-->=<-}6x >，{}{}101B x x x x =->=>()6,A B ∴=+∞ 故选：A.2. 设，则在复平面内对应的点位于（）32i z =-1z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】求出的代数形式，进而可得其对应的点所在象限.1z 【详解】，()()32i 32i 32i 1i 321321313i z ==--++-=其对应的点为，位于第四象限.32,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：D.3. 已知，，，则（）31log 4a =322b -=2312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B. C. D.a b c>>a c b>>b c a>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先确定与中间量0的大小关系，再利用指数函数的单调性来比较大小.【详解】,331log log 104a =<=，332232211220c b -⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎭=⎝<⎭⎝故c b a >>故选：D.4. 已知A ，B ，C 三人都去同一场所锻炼，其中A 每隔1天去一次，B 每隔2天去一次，C 每隔3天去一次.若3月11日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（）A. 3月22日 B. 3月23日C. 3月24日D. 3月25日【答案】B【解析】【分析】三人各自去锻炼的日期实际上是等差数列，利用等差数列知识进行求解.【详解】由题意，三人各自去锻炼的日期分别是等差数列，公差分别为2,3,4，最小公倍数为12，所以下一次三人都去锻炼的日期是3月23日.故选：B.5. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a ,b ,c ,则（）A. B. C. D. a b c <<b a c<<a c b<<b<c<a【答案】B 【解析】【分析】根据众数,平均数,中位数的概念和公式,带入数字,求出后比较大小即可.【详解】解:由频率分布直方图可知众数为65,即,65b =由表可知,组距为10,所以平均数为:,450.15550.2650.25750.2850.1950.167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故,记中位数为,67c =x 则有:,()100.015100.02600.0250.5x ⨯+⨯+-⨯=解得:,即,66x =66a =所以.b a c <<故选：B.6. 若函数与都在区间上单调递增，则的最大值()2sin f x x=()cos2g x x=(),m n n m -为（）A. B. C. D. π4π3π2π【答案】C 【解析】【分析】分析在一个较大区间内的单调性，找出它们的公共增区间，分(),()f xg x (),m n 析出的最大值.n m -【详解】的周期为，的周期为，分析在内两个()2sin f x x=2π()cos2g x x=π5π[0,2函数的单调性，函数在上单调递增，()2sin f x x =π3π5π0,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数在上单调递增，()cos2g x x =π3π,π,,2π22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数与都在区间上单调递增，()2sin f x x =()cos2g x x =3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭且为的最大公共增区间3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭(),()f x g x 所以则，，所以的最大值为.max 2πn =min 3π2m =n m -3ππ2π22-=故选：C.7. 已知，（）()4,2AB =()()1,0AC t t =>AB BC ⋅=A. B. C. 8D. 168-16-【答案】A 【解析】，再利用数量积的坐标运算求即可.t AB BC ⋅【详解】由已知()()()1,4,23,2BC AC AB t t =-=-=--=或（舍去，）4t ∴=0=t 0t >()()84,3,21242AB BC ∴=⋅=⋅--+=-故选：A.8. 设为直线，为平面，则的必要不充分条件是（）a βa β⊥A. 直线与平面内的两条相交直线垂直a βB. 直线与平面内任意直线都垂直a βC. 直线在与平面垂直的一个平面内a βD. 直线与平面都垂直于同一平面a β【答案】C 【解析】【分析】根据题意知找一个由能推出的但反之不成立的一个结论.a β⊥【详解】根据题意知找一个由能推出的但反之不成立的一个结论.a β⊥对A ：根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则；a βa β⊥若，则直线与平面内的两条相交直线垂直，故A 错误；a β⊥a β对B ：根据线面垂直的定义，直线与平面内任意直线都垂直是的充要条件，故a βa β⊥B 错误；对C ：若，设，由面面垂直的判定知，故直线在与平面垂直的一a β⊥a α⊂αβ⊥a β个平面内；若直线在与平面垂直的一个平面内，不妨设平面，若取，则a βγβ⊥a γβ=⋂不成立，故C 正确；a β⊥对D ：若，又，则，不可能有平面与平面垂直，故D 错误.a β⊥a α⊥//βαβα故选：C 9. 记为等差数列的前项和.已知，，则（）n S {}n a n 55S =610a =A.B.312n a n =+520n a n =-C.D.2314n S n n=-231322n S n n=-【答案】D 【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式和求和公式列方程求出，进而可得等差数列的通1,a d 项公式及求和公式，对照选项可得答案.【详解】设等差数列的公差为，{}n a d，解得51615105510S a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩135d a =⎧⎨=-⎩，()()1153138n a a n d n n ∴=+-=-+-=-，()()2153132221132n S n n n n n n na d n -+=-=+=-⨯-故选：D.10. 已知，，则（）π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin2cos21cos ααα=++tan2α=A. B. C. 2 D. 31312【答案】A 【解析】【分析】先利用倍角变形求得，再利用二倍角的正切公式求即可.tan αtan2α【详解】22sin2cos21cosααα=++ 222224sin cos cos sin cos sin cos ααααααα∴=-+++即，24sin cos 3cosααα=，，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ cos 0α∴≠，即4sin 3cos αα∴=3tan 4α=，又22tan3241tan 2αα∴=-tan 0α>解得1tan 23α=故选：A.11. 已知抛物线，斜率为的直线与的交点为E ，F ，与轴的交点为.2:3C y x =32l C x H 若，（）()1EH k HF k =>EF =k =A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【分析】直线方程，由值，求得E ，F 的纵坐标，再由l 32y x b=+EF =b 求得值.EH k HF =k 【详解】设直线方程，，l 3:(0)2l y x b b =+<()()1122,,,E x y F x y ，，2,03H b ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭112222,,,33EH b x y HF x b y ⎛⎫⎛⎫=---=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，112222,,,33EH k HF b x y k x b y ⎛⎫⎛⎫=∴---=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，12y ky ∴-=由得，，2323y x b y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2220y y b -+=2(2)420b ∆=--⨯>，12122,2y y yy b ∴+==，||EF ∴===，=，123,32b y y ∴=-∴=-由解得或，12122,3y y y y +==-1213y y =-⎧⎨=⎩1231y y =⎧⎨=-⎩或(舍)，3k ∴=13k =故选:C12. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，E ，F 分-P ABC O 4PA =2PB PC ==别是PA ，AB 的中点，，，，则球的体积为（）90CEF ∠=︒PBAC ⊥PC PA ⊥O A.B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理证得面，再推到两两垂直，PB ⊥PAC ,,PB PA PC 进而将三棱锥补形成长方体，从而求得球的半径，由此得解.-P ABC O 【详解】因为E ，F 分别是PA ，AB 的中点，所以，//EF PB 又，即，所以，90CEF ∠=︒EF EC ⊥PB EC ⊥因为，面，所以面，PB AC ⊥,,AC EC C AC EC =⊂ PAC PB ⊥PAC 因为面，所以，,PA PC ⊂PAC ,PB PA PB PC ⊥⊥又，所以两两垂直，PC PA ⊥,,PB PA PC 故将三棱锥补形成长方体，如图，-P ABC -ADHG PCTB 则长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，-ADHG PCTB -P ABC O设球的半径为，则，即，O R 2R ===R =所以球的体积为.O 34π3V R ==故选：B..【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线在点处的切线方程为______.()()224e xf x x x =++()()0,0f 【答案】540x y -+=【解析】【分析】先求导，然后求出和，再利用点斜式求直线方程即可.()0f '()0f 【详解】由已知，()()()()2241e 24e 255e x x xf x x x x x x '+=+++++=，又，()05f '∴=()04f =所以曲线在点处的切线方程为，()()224e xf x x x =++()()0,0f 45y x -=即540x y -+=故答案为：540x y -+=14. 已知数列和满足，，，.{}n a {}n b 11a =12b =134n n n a a b +=-+134n n n b b a +=--则数列的通项______.{}n n a b +n n a b +=【答案】132n -⨯【解析】【分析】将条件中两式相加可得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式求解{}n n a b +即可.【详解】，，134n n n a a b +=-+ 134n n n b b a +=--()1134342n n n n n n n n a b a b b a a b ++∴=-++-=++-又，113a b +=所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列{}n n a b +132n n n a b -∴+=⨯故答案为：132n -⨯15. 甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是3:1______.【答案】0.21【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．【详解】甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是：3:1．0.60.50.40.50.60.50.60.50.40.50.60.50.21P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=故答案为：0.21．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为()2222:10x y C b a a b -=>>1F 2F 1F的直线与的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若，则的离心率为______.4πC 2//BF OA C【解析】【分析】首先根据题意，设出直线的方程，之后与双曲线的渐近线联立，分别求出A ，B 两点的坐标，之后根据题中条件，得出A 是的中点，根据中点坐标公式，得2//BF OA 1F B 出其坐标间的关系，借助双曲线中的关系，求得该双曲线的离心率.,,a b c 【详解】设直线的方程为，两条渐近线的方程分别为和，l y x c =+b y x a =-by x a =分别联立方程组，求得，(,),(,ac bc ac bcA B a b a b b a b a -++--由，为的中点得A 是的中点，2//BF OA O 12F F 1F B 所以有，整理得，2ac acc b a a b -+=--+3b a =结合双曲线中的关系，可以的到，,,a bc c e a ===.三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC .()22sin sin sin 3sin sin A C B A C+=+（1）求；B （2）若，求.623a b c =+sin A 【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）将条件展开后利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理求角；（2）利用正弦定理边化角，然后转化为关于角B 等式，整理得到，再求π1sin 63A ⎛⎫-=⎪⎝⎭出，利用展开求解即可.πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ππsin sin 66A A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【小问1详解】()22sin sin sin 3sin sin A C B A C+=+ 222sin 2sin sin sin sin 3sin sin A A C C B A C∴++=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=由正弦定理得，222a cb ac +-=，又2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴===()0,πB ∈；π3B ∴=【小问2详解】623a b c=+ 所以由正弦定理边化角得，6sin 2sin 3sin A B C =+，有，ππ6sin 2sin3sin 33A A ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭9sin A A -=化简得，又，π1sin 63A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,333A ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，πcos 6A ⎛⎫∴-==⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin666666A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132==18. 9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据x y 该图提供的信息解决下列问题.（1）在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分X X 布列和数学期望；()E X （2）由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆˆy bx a =+截距的最小二乘法估计分别为：，.()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑ ˆa y bx =-【答案】（1）分布列见解析，数学期望()34E X =（2）该地区第11年的第三产业生产总值约为134.6【解析】【分析】（1）求出平均值，得出不低于平均值的有3个，因此服从超几何分布，由此可X 计算出各概率得分布列，由期望公式可计算出期望；（2）由后面的四个数据求出线性回归直线方程，将代入回归方程即可得出预测值.11x =【小问1详解】依题知，9个生产总值的平均数为：，141620263342607898439++++++++=由此可知，不低于平均值的有3个，所以服从超几何分布，X ，()()23629C C ,0,1,2C k kP X k k -===所以，()0203629C C 11550C 3612P X -⨯====，()1213629C C 3611C 362P X -⨯====，()2223629C C 3112C 3612P X -⨯====分布列为：X 012P51212112所以；()5113013122124E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由后面四个数据得：，，67897.54x +++==4260789869.54y +++==，416427608789982178i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222216789230ii x==+++=∑所以，，217847.569.518.623047.57.5b -⨯⨯==-⨯⨯ 69.518.67.570a =-⨯=-所以线性回归方程为，18.670=-y x 当时，，11x =18.61170134.6=⨯-=y 所以该地区第11年的第三产业生产总值约为134.619. 如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，1111ABCD A B C D -14AA =2AB BC ==，，，分别是，，的中点.60BAD ∠=︒E F H 1A D 1BB BC （1）证明：平面；EF ⊥11BCC B （2）求平面与平面所成二面角的正弦值.1DC H DEF 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取的中点，连接、、，即可得到，再证明AD G BG EG BD //EF BG ，由直棱柱的性质证明，即可得到平面，从而得证；BG BC ⊥1BB BG ⊥BG ⊥11BCC B （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】取的中点，连接、、，AD G BG EG BD 又因为，分别是，的中点，E F 1A D 1BB 所以且，且，1//EG AA 112EG AA =1//BF AA 112BF AA =所以且，//EG BF EG BF =所以四边形为平行四边形，所以，BGEF //EF BG 又在直四棱柱的底面是平行四边形，，，1111ABCD A B C D -2AB BC ==60BAD ∠=︒所以为等边三角形，所以，又，所以，ABD △BG AD ⊥//AD BC BG BC ⊥又平面，平面，所以，1BB ⊥ABCD BG ⊂ABCD 1BB BG ⊥，平面，1BC BB B = 1,BC BB ⊂11BCC B 所以平面，BG ⊥11BCC B 所以平面.EF ⊥11BCC B 【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，()D ()1,0,0H ()12,0,4C ()0,0,2F，()2E所以，，，，()11,4DC =()0,DH =()1,0,2DE =-()1,2DF =-设平面的法向量为，则，令，则1DC H (),,n x y z =1400n DC x z n DH ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩1z =，，所以，4x =-0y =()4,0,1n =-设平面的法向量为，则，令，则DEF (),,m a b c =2020n DE a c n DF a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1c =，，所以，2a =0b =()2,0,1m =设平面与平面所成二面角为，则，1DC H DEFθcos m n m nθ⋅===⋅ 所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为sin θ==1DC H DEF.20. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，()0,3M -()0,3N (),P x y PM PN 3-记的轨迹为曲线.P C （1）求的方程，并说明是什么曲线；C C （2）过坐标原点的直线交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，轴，垂足为，连AD y ⊥D 接并延长交于点.BD C H（i ）证明：直线与的斜率之积为定值；AB AH （ii ）求面积的最大值.ABD △【答案】（1）的方程为：，是一个长轴长为6，短轴长为C 22193y x +=()0x ≠C 的椭圆0x ≠（2）（i ）证明见解析（ii 【解析】【分析】（1）直接利用斜率公式即可求解；（2）（i ）设，根据坐标之间的联系，设直线的方程为()11,A x y ()110,0x y >>BD ，与联立消，运用韦达定理求出的坐标，再利用斜率1y kx y =+22193y x +=y ()22,H x y 公式求出，，然后代入化简即可证明；AH k ABk AB AH k k ⋅（ii ）将点代入，利用基本不等式即可求解.()11,A x y ()110,0x y >>22193y x +=()0x ≠【小问1详解】依题知，，，，()0,3M -()0,3N (),P x y 所以，33,PM PN y y k k x x +-==又直线与的斜率之积为，PM PN 3-即，整理得：，333y y x x +-⨯=-22193y x +=()0x ≠因此是一个长轴长为6，短轴长为且的椭圆.C 0x ≠【小问2详解】（i ）如图所示：设，，()11,A x y ()110,0x y >>()22,H x y 因为两点关于原点中心对称，所以，,A B ()11,B x y --因为轴，垂足为，所以，AD y ⊥D ()10,D y 所以直线的斜率，AB 11AB k y x =设直线的斜率为，则直线的方程为：，BD k BD 1y kx y =+由消整理得：，122193y kx y y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222113290k x ky x y +++-=因为点，是直线与的交点，()11,B x y --()22,H x y BD 22193y x +=所以，整理得：，2211193y x +=221193y x -=-由韦达定理得：，221111212222293,333ky y x x x x x k k k ---+=--==+++解得：，代入，12233x x k =+1y kx y =+解得：，即，221y kx y =+121233kx y y k -=+所以直线的斜率AH 1221112112333223AHkx y y x k k ky x x y k-+===---+所以，11113322AB AHy x k k x y ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭所以直线与的斜率之积为定值，其值为：.AB AH 32-（ii ）由（i ）知，1111122ABD S x y x y =⨯⨯=△因为在上，()11,A x y ()110,0x y >>22193y x +=()0x ≠所以，整理得：22111193x y y =+≥11x y ≤=当且仅当时，等号成立，11y =所以.ABD △【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．（3）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知函数.()()ln 11f x x a x =--+（1）若存在极值，求的取值范围；()f x a （2）当时，讨论函数的零点情况.2a =()()sin g x f x x=+【答案】（1）()1,+∞（2）共有两个零点.()g x 【解析】【分析】（1）先对求导，再分别讨论和两种情况，判断的正负，()f x 1a ≤1a >()f x '可得的单调性，从而得解.()f x （2）构造函数，利用导数判断得的单调性，再结合零()()11cos 0h x x x x =-+>()g x '点存在定理得到在和上各有一个零点；再构造函数，利用导数讨论()g x 21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,π在和的零点情况，从而得解.()g x (]π,2π()2π,+∞【小问1详解】因为，所以，()()ln 11f x x a x =--+()()11(0)f x a x x '=-->当，即时，，则为单调递增函数，不可能有极值，舍去；10a -≤1a ≤()0f x ¢>()f x 当，即时，令，解得，10a ->1a >()0f x '=11x a =-当时，；当时，；101x a <<-()0f x ¢>11x a >-()0f x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,1a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭所以在取得极大值，符合题意；()f x 11x a =-综上：，故实数的取值范围为.1a >a ()1,+∞【小问2详解】当时，，则，2a =()ln 1sin (0)g x x x x x =-++>()11cos g x x x '=-+令，则，()()11cos 0h x x x x =-+>()21sin h x x x '=--（i ）当时，，则单调递减，即单调递减，(]0,πx ∈()0h x '<()h x ()g x '注意到，，()cos101g '=>()120ππg '=-<所以存在唯一的使，()01,πx ∈()00g x '=且当时，，单调递增，00x x <<()0g x '>()g x 当时，，单调递减，0πx x <≤()0g x '<()g x 注意到，，，则22211121sin 0e e e g ⎛⎫=--++< ⎪⎝⎭()1sin10g =>2ln πln e 2π1<=<-，()πln ππ10g =-+<所以在和上各有一个零点；()g x 21,1e⎛⎫⎪⎝⎭()1,π（ii ）当时，，故，(]π,2πx ∈sin 0x ≤()ln 1g x x x ≤-+令，则，()()ln 1π2πx x x x ϕ=-+<≤()110x x ϕ'=-<所以在上单调递减，故，()x ϕ(]π,2π()()πln ππ10x ϕϕ<=-+<所以，故在上无零点；()()0g x x ϕ≤<()g x (]π,2π（iii ）当时，，则，()2π,x ∈+∞sin 1x ≤()ln 2g x x x ≤-+令，则，所以在上单调递()()ln 22πm x x x x =-+>()110m x x =-<'()m x ()2π,+∞减，又，故，3ln 2πln e 32π2<=<-()()2πln 2π2π20m x m <=-+<所以，故在上无零点；()()0g x m x ≤<()g x ()2π,+∞综上：在和上各有一个零点，共有两个零点.()g x 21,1e⎛⎫⎪⎝⎭()1,π【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（s 为参数），直线的参数xOyC 2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩l 方程为（为参数）.1cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩t （1）求和的直角坐标方程；C l （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的面积.C l AB ()1,2-OAB 【答案】（1）;22148x y +=()2x ≠-当时，直线的直角坐标方程为，cos 0α≠l tan 2tan y x αα=++当时，直线的参数方程为.cos 0α=l =1x -（2【解析】【分析】(1)将中的参数s 消去得曲线的直角坐标方程;2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩C 根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与l cos 0α≠两种情况.cos 0α=(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关l C sin ,cos αα系，得的方程，设与轴的交点为，以为底为高求的面积.l l x M OMA By y -OAB 【小问1详解】由得，而，2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩()()()()2222222221214811s s x ys s -+=+=++24221x s =->-+即曲线的直角坐标方程为，C ()221248x y x +=≠-由为参数），1cos (2sin x t t y t αα=-+⎧⎨=+⎩当时，消去参数，可得直线的直角坐标方程为，cos 0α≠t l tan 2tan y x αα=++当时，可得直线的参数方程为.cos 0α=l =1x -【小问2详解】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，l C 整理可得：．①22(1cos )4(sin cos )20t t ααα++--=曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，则方程①有两解，设为，，C l (1,2)-1t 2t 则，故，解得．的倾斜角1224cos 4sin 01cos t t ααα-+==+cos sin 0αα-=tan 1α=l ∴为．45所以直线方程，直线与轴的交点为，，3y x =+x ()3,0M -12221cos t t α-=+，21AB t t ==-==，13sin 4522AOB S OM AB =⋅== 故.OAB [选修4-5：不等式选讲]23. 已知()()4f x x m x x x m =-+--（1）当时，求不等式的解集；2m =()0f x ≥（2）若时，，求的取值范围.(),2x ∈-∞()0f x <m 【答案】（1）[)2,+∞（2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论2m =()|2||4|20x x x x -+--≥，，三种情况，即可求出结果；2x <24x ≤<4x ≥（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.2m ≥2m <【小问1详解】解：当时，，2m =()()242f x x x x x =-+--原不等式可化为；()|2||4|20x x x x -+--≥当时，原不等式可化为，即，解得，2x <(2)(4)(2)0x x x x -+--≥22(2)0x -≤2x =此时解集为；∅当时，原不等式可化为，解得，此时解集为24x ≤<(2)(4)(2)0x x x x -+--≥2x ≥；[)2,4当时，原不等式可化为，即，显然成立；此4x ≥(2)(4)(2)0x x x x -+--≥22(2)0x -≥时解集为；[)4,+∞综上，原不等式的解集为；[)2,+∞【小问2详解】解：当时，因为，所以由可得，2m ≥(,2)x ∞∈-()0f x <()(4)()0m x x x x m -+--<即，显然恒成立，所以满足题意；2()(2)0x m x -->2m ≥当时，，2m <4(),2()2()(2),x m m x f x x m x x m -≤<⎧=⎨--<⎩因为时，显然不能成立，所以不满足题意；2m x ≤<()0f x <2m <综上，的取值范围是.m [)2,+∞。
高三数学上学期期末考试试题理(含答案)
高三数学上学期期末考试试题 理第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若全集U=R ，集合{}124xA x =<<，{}10B x x =-≥，则)(B C A U ＝ （ ）A ．{}12x x << B ．{}01x x <≤ C ．{}01x x << D ．{}12x x ≤< 2.欧拉公式cos sin ixex i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．如图是根据x 错误！未找到引用源。
，y 错误！未找到引用源。
的观测数据()i i y x ,（i=1，2，…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x 错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
具有相关关系的图是 （ ）① ② ③ ④ A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递减的函数是（ ）A ．32y x =B ．1y x =+C ．24y x =-+D ．2xy = 5．下列说法正确的个数是 （ ）①命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>； ②“b ,,a b c 成等比数列”的充要条件；③“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线32=0x my ++垂直”的充要条件： A ．0 B ．1 C ．2D ．36．,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） A ．若βα//,//m m ,则 βα// B ．若βαα⊥⊥,m ,则 β//mC ．若,m m αβ⊂⊥,则 αβ⊥D ．若,m ααβ⊂⊥,则 m⊥7．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是 ( ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（0，1）D ．（1，2） 8．执行右图的程序框图，如果输入的x 在[1,3]-内取值， 则输出的y 的取值区间为（ ）A.[0,2]B.[1,2]C.[0,1]D.[1,5]-9．已知直线:10l x y --=是圆22:210C x y mx y ++-+=的对称轴，过点(,1)A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ） A ． 2 B ． C. 6 D ． 10．设02x π<<，记sin lnsin ,sin ,xa xb xc e===, 则,,a b c 的大小关系为（ ）A ． a b c<< B ． b a c << C ． c b a << D ． b c a <<11．已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图，则四棱锥P －ABCD 的全面积为（ ） A ．3＋ 5B ．2＋ 5C ．5D ．412．下列命题中正确的是（ ）A ．函数y sin x =，[]0,2x π∈是奇函数B ．函数y sin26x π=-（））在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 第4题图C ．函数y 2sin(2)cos 2()36x x x R ππ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是6x π= D ．函数y sin cos x x ππ=的最小正周期为2，且它的最大值为1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量=()3,2-，=()5,1--，则21等于 .14.若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =__________．15. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .16．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点（1，﹣3）处的切线方程是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）（1）已知椭圆C :22221x y ab+=（0a b >>）的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴120+=相切．求椭圆C 的方程；（2）已知⊙A 1：（x ＋2）2＋y 2＝12和点A 2（2，0），求过点A 2且与⊙A 1相切的动圆圆心P 的轨迹方程.18.（本题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n s ,且1a =2，n +1n a =2(n+1)n a（1）记=nn a b n，求数列{n b }的通项公式； （2）求通项n a 及前n 项和n s .19. 本小题满分12分）已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝)21,cos 3(-x ， 函数()().2f x a b a =+- (1)求函数()f x 的最小正周期T ；(2)已知,,a b c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，其中A 为锐角，a ＝32，c ＝4，且f （A ）＝1，求△ABC 的面积S.20.（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设,,A B C 三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对,,A B C 三项重点工程竞标成功的概率分别为a ，b ，14()a b >，已知三项工程都竞标成功的概率为124，至少有一项工程竞标成功的概率为34． （1）求a 与b 的值；（2）公司准备对该公司参加,,A B C 三个项目的竞标团队进行奖励，A 项目竞标成功奖励2万元，B 项目竞标成功奖励4万元，C 项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =． （1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ； （2）若二面角M BQ C --大小的为60 ，求QM 的长．22．（本题满分12分）已知函数2+55()xx x f x e+= . （1）求函数()f x 的极大值；（2）求()f x 在区间（-∞，0]上的最小值； （3）若2+550x x x ae +-≥，求a 的取值范围 .2016—2017学年度上学孝感市七校教学联盟期末联合考试高三数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.13. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭14. -2 15.3516. 2x+y+1=0 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解：（1）由题意得22212c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎪=+⎪⎩，解得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ …………（3分） 故椭圆C 的A 1方程为2211612x y +=． ……………（5分） （2）||PA 1|-|PA 2||=12A A < ………7分故P 点的轨迹为以A 1，A 2 为焦点的双曲线 ………8分22,1a c a b ===解得 ……9分圆心P 的轨迹方程为 2213x y -= …… 10分 18解：（1）因为n=2(n+1)所以 即…………………………2分所以{}是以为首项，公比q=2的等比数列………………4分所以数列{}的通项…………………………5分（2） 由（1）得……………………6分所以……………7分…………8分所以 ………10分所以 …………………………12分19.解：(1)f(x)＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝1－cos 2x 2＋32sin 2x －12 （2分）＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin )62(π-x , ……………………………4分 因为ω＝2，所以T ＝2π2＝π. ……………………………（6分）(2)f (A )＝sin )62(π-A ＝1.因为A ∈)2,0(π，2A －π6∈(-)65,6ππ，所以2A －π6＝π2，A ＝π3 ……………………………（8分）又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以12＝b 2＋16－2×4b ×12，即b 2－4b ＋4＝0，则b ＝2. …… （10分）从而S ＝12bc sin A ＝12×2×4×sin π3＝23. …… （12分）20.解：（1）由题意得11424131(1)(1)(1)44ab a b ⎧=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，因为a b >，解得1213a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．…4分（Ⅱ）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量X ，则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…………………………………5分 而41433221)0(=⨯⨯==X P ；1231(2)2344P X ==⨯⨯=；1131(4)2348P X ==⨯⨯=； 1211135(6)23423424P X ==⨯⨯+⨯⨯=；1211(8)23412P X ==⨯⨯=； 1111(10)23424P X ==⨯⨯=；1111(12)23424P X ==⨯⨯=．…………………9分所以X 的分布列为：于是11()02468101244824122424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=236……12分 21．解：（1）∵AD // BC，BC=12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD // BQ …………… (2分) ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． 又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴BQ⊥平面PAD ．∵BQ ⊂平面MQB ，∴平面MQB⊥平面PAD …………… (5分) （2）∵PA=PD，Q 为AD 的中点， ∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ， ∴PQ⊥平面ABCD ．…… (6分) 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则(0,0,0)Q ，(1,0,0)A ，P ，B ，(C -由 (PM PC λλ==-，且01λ≤≤，得()M λ-所以())QM λλ=-- 又QB =， ∴ 平面MBQ 法向量为1(3,0,)m λλ-=……………(8分)由题意知平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =……………(9分)∵二面角M-BQ-C 为60° ∴1cos 60||2n mn m︒⋅==，∴12λ=……………(10分)∴||QM =(12分) 22．解：（1）…………………………1分当x<-3时，, 当-3<x<0时，,当x>0时，……3分所以函数f(x)在（-∞，-3）上为单调递减函数,在（－3，0）上为单调递增函数在（0，+∞）上为单调递减函数…………………………4分因此函数f(x)在x=0处有极大值f(0)=5 …………………………5分（2）由（1）得函数f(x)在（-∞，-3）上为单调递减函数，在（－3，0）上为单调递增函数所以函数f(x)在x=-3处有最小值f(-3)=………………………7分。
山东省济南市高三数学上学期期末考试理含解析新人教B版
最新年1月高三教学质量调研考试理科数学本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页考试时间120分钟。
满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项：1答题前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上2 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上3 第Ⅱ卷必须用毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设全集U R =，集合2{|230}M x x x =+-≤，{|14}N x x =-≤≤，则M N 等于A ．{|14}x x ≤≤B ．}31|{≤≤-x xC ．{|34}x x -≤≤D ．{|11}x x -≤≤【答案】D【解析】2{|230}{31}M x x x x x =+-≤=-≤≤,所以{11}MN x x =-≤≤，选D2复数12ii+-表示复平面内的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【解析】1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i ii i i ++++===+--+,对应点的坐标为13()55，，所以位于第一象限，选A3设0.30.33,log 3,log a b c e π===则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b << 【答案】B 【解析】0.30.331,0log 31,log 0a c e π=><<=<,所以c b a <<，选B4 将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移个单位后，所得的图象对应的解析式为 A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】将函数 ()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移个单位得到()sin[2()]sin(2)666f x x x πππ=-+=-，选D5已知函数1()()2x x f x e e -=-，则()f x 的图象A 关于原点对称B ．关于轴对称C ．关于轴对称D 关于直线y x =对称【答案】A【解析】因为，所以函数为奇函数，所以关于原点对称，选A6一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 【答案】C【解析】若俯视图为C ，则俯视图的宽和左视图的宽长度不同，所以俯视图不可能是C7已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为【答案】C【解析】椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中1,2a c ==，所以双曲线的离心率为221c e a ===，选C 6πsin 2x cos2x 2sin(2)3x π+sin(2)6x π-6π11()()()()22x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-8设实数,x y 满足不等式组1103300x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A13 B19 C24 D29 【答案】A【解析】由2z x y =+，得2y x z =-+。
高三上册理科数学期末试卷及答案
2019高三上册理科数学期末试卷及答案【】大家把理论知识复习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的不足，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的高三上册数学期末试卷及答案，希望对大家有帮助。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设全集，集合 ,则 ( )A.{2,4}B.{2,4，6}C.{0，2,4}D.{0，2,4，6}2.若复数是纯虚数，则实数 ( )A.1B.C.0D.13.已知为等比数列，若，则 ( )A.10B.20C.60D.1004.设点是线段BC的中点，点A在直线BC外， ,,则 ( )A.2B.4C.6D.85.右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是( )A.0B.2C.4D.66.给出命题p：直线互相平行的充要条件是 ;命题q：若平面内不共线的三点到平面的距离相等，则页 1 第∥。
对以上两个命题，下列结论中正确的是( )A.命题p且q为真B.命题p或q为假C.命题p且┓q为假D.命题p且┓q为真7.若关于的不等式组表示的区域为三角形，则实数的取值范围是( )A.(-，1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(1，+)8.把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法有( )A.36种B.45种C.54种D.84种9.设偶函数的部分图像如图所示，为等腰直角三角形，=90，| |=1，则的值为( )A. B. C. D.10.已知点 ,动圆C与直线切于点B，过与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )A. B.C. D.11.函数有且只有两个不同的零点，则b的值为( )A. B. C. D.不确定12.已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球的页 2 第一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为( )A.5B.10C.20D.30第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
内蒙古自治区呼和浩特市2023-2024学年高三上学期期末学业质量监测试题 数学(理)含答案
呼和浩特市2023—2024学年第一学期高三年级学业质量监测理科数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时长120分钟.2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z 的共轭复数是z ，满足()1i i z +=-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，(){}2lg 2B x y x x ==-，则A B = （）A.()1,2B.()0,3C.()(),12,-∞+∞ D.()(),03,-∞+∞ 3.已知向量()4,m a = ，()2,4n = ，若()()m n m n +⊥-，则a =（）A.2B.4C.2±D.4±4.已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则该三棱柱的体积为（）A. B.12C. D.165.俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为1331，下雨的概率为1131，既刮风又下雨的概率为731.记事件A 为“8月份某天刮风”，事件B 为“8月份某天下雨”，则()P B A =（）A.711 B.713C.731D.11316.在斜三角形ABC 中，若45C ∠=︒，则()()1tan 1tan A B --=（）A.1B.1- D.27.直线310kx y k --+=（k ∈R ）截圆22280x y x +--=所得弦长的最小值是（）A.2C.4D.68.已知函数()332x xf x --=，若()()210f a f a -+<，则实数a 的取值范围为（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.在ABC △中，AD 为A ∠的角平分线，D 在线段BC 上，若2AB =，1AD AC ==，则BD =（）A.2C.2D.210.小明将Rt ABD △与等边BCD △摆成如图所示的四面体，其中4AB =，2BC =，若AB ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A.163B.163π C.643π D.2711.过抛物线24y x =的焦点F 作一条直线l 交抛物线于A 、B 两点，且4AF BF=，若抛物线的准线与x 轴交于点P ，则P 点到直线l 的距离为（）A.65B.85 C.125D.16512.若向量()11,a x y = ，()22,b x y =，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积S 可以用a 、b 的外积a b ⨯ 表示出来，即1221S a b x y x y =⨯=-.已知在平面直角坐标系中，(cos A α、()sin 2,2cos B αα，0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则OAB △面积的最大值为（）A.1C.2D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.521x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.14.将函数()()sin 2f x x ϕ=+（02πϕ<<）的图象向右平移3π个单位后，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ=______.15.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点分別为1F 、2F ，过2F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点（A 在第一象限，B 在第四象限），若221::3:1:3AF BF BF =，则该双曲线的离心率为______.16.已知函数()()3221xf x e x x a x =+-+-，当()0,x ∈+∞时，()0f x >恒成立.则实数a 的取值范围是______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个学生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）2023年秋末冬初，某市发生了一次流感聅病，某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生活习惯（良好、不够良好）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100人（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：良好不够良好病例组2575对照组4555（1）分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率；（2）能否有99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.（12分）已知正方体ABCD A B C D '-'''的棱长为2，M 为BB '的中点，N 为DC 的中点.（1）求证：//BN 平面DMC '；（2）求平面DMC '与平面A B C D ''''夹角的余弦值.19.（12分）已知正项数列{}n a 满足：22333122n n n a a a ⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.（12分）已知椭圆C 的方程为22221x y a b +=（0a b >>），离心率为32，点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上.其左右顶点分别为1A 、2A ，左右焦点分别为1F 、2F .（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过x 轴上的定点E （E 点不与1A 、2A 重合），且交椭圆C 于P 、Q 两点（0p y >，0Q y <），当满足1257A P A Qk k =时，求E 点的坐标.21.（12分）已知函数()2ln 1f x x x x=++.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()()g x xf x =，且()()()12124g x g x x x +=<，求证：122x x +>.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（02θπ≤<），曲线2C 的参数方程为cos306sin 30x t y t =-︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的普通方程；（2）若()0,1A ，)B，在曲线2C 上任取一点C ，求ABC △的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()22f x x x =+-.（1）求不等式()3f x x ≤的解集；（2）将函数()f x 的图象与直线4y =围成图形的面积记为t ，若正数a 、b 、c 满足2a b c t ++=，求证：4≥.2024高三理科数学参考答案一、选择题123456789101112BDCABDCCBCBA二、填空题13.8014.6π15.216.(),e -∞三、解答题17.（1）由调查数据，病例组为生活习惯为良好的频率250.25100=，因此病例组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.25；对照组为生活习惯为良好的频率450.45100=因此对照组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.45.（2）()22200255575458008.7911001007013091K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯由于8.791 6.635>，故有99%的把我说患有该疾病与生活习惯有关.18.（1）证明：取DC '中点E ，连接NE 、ME 、BN ∵E 、N 为中点，∴////EN CC BM'又∵1EN BM ==，∴四边形NEMB 为平行四边形∴//BN EM又∵BN ⊄平面DMC '，EM ⊂平面DMC '∴//BN 平面DMC '（2）解：以D 点为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD '为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,2C '，()2,2,1M 设m ⊥ 平面A B C D ''''，则()0,0,1m =设n ⊥ 平面DMC '，(),,n x y z =()1,2,2n DC n n DM⎧⊥⎪⇒=-⎨⊥⎪⎩'，2cos ,3m n m n m n ⋅==⋅∴平面DMC '与平面A B C D ''''夹角的余弦值为2319.解：（1）当1n =时，2311112a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴11a =当1n >时，()()2222331122n n n n n a n ⎡⎤-+-⎛⎫+=-=⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴n a n =1n =时，符合上式，∴n a n=（2）133nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭()123111111123133333n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()23111111111221333333n nn n S n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1231121111113333333n nn n S n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3134342n n n S ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭20.解：（1）由题知222::4:1:3a b c =，又223141a b +=，所以24a =，21b =，故椭圆的标准方程为2214x y +=（2）设直线l 的方程为x ty m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()12,0A -，()22,0A ，(),0E m 联立2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224240t y tmy m +++-=，0∆≥由韦达定理，得12224tmy y t +=-+，212244m y y t -=+由题得，12122572y x x y -=⋅+（*）∵221114x y +=，∴()()2211114422x y x x -==-+，2222242x y y x --=+∴()()()1212121244*2222y y y y x x ty m ty m --=⋅=++⎤⎡⎤++++⎣⎦⎦()()()1222121242222y y mmt y y t m y y m --==++++++，解得13m =故直线l 的方程为13x ty =+，经过x 轴上的定点1,03E ⎛⎫⎪⎝⎭.21.（1）解：()0,x ∈+∞，()2222ln 1f x x x x-=++'，()13f '=，()12f =故()f x 在1x =处的切线方程为31y x =-（2）证明：()22ln g x x x x =++（0x >）()12g =，()2210g x x x=++>'∵()()()12124g x g x x x +=<∴1201x x <<<，121x ->()()122121222x x x x g x g x +>⇔>>-⇔-()()()()111142240g x g x g x g x ->-⇔+--<()()240g x g x +--<⇔（01x <<）下证：()()240g x g x +--<（01x <<）令()()()24h x g x g x =+--()()()()()()()322412ln 2ln 2222x h x x x x x x x x x '-'⎡⎤=+++-+-+-=⎣⎦-∵01x <<，∴()0h x '>又()()()11140h g g =+-=，∴()0h x <，即()()()12240012g x g x x x x +--<<<⇔+>.22.解：（1）1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（02a π≤<），可得1C 的普通方程为2213x y +=（2）2C的普通方程为0x -=，直线AB的斜率为3=-，直线AB的方程为：13y x =-+，即0x +=.则2C 上任意一点C 到直线AB 的距离2d =，易得2AB =，所以，11535322222ABC S AB d =⋅=⨯⨯=△.23.解：（1）由223x x x +-≤可得2x x -≤，即()222x x -≤，解得1x ≥.所以不等式的解集为[)1,+∞.（2）()32,02,0232,2x x f x x x x x -+≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩，由图可知：12822233t ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，则()()823a b c a b b c ++==+++≥+23a bc ===时，等号成立）即43≥+4≥.。
贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学(理)试题含答案
铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,222.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.173.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC 满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.86.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]- B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是348.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5B.6C.7D.89.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.91611.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A .2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃- D.(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．14.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μx （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,22【答案】C 【解析】【分析】由集合相等元素对应相同解方程组.【详解】由集合相等的定义，有296x x y =⎧⎨+=⎩，解得9232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不合题意舍去，或269x x y =⎧⎨+=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，满足题意．故选：C ．2.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.17【答案】C 【解析】【分析】根据复数的模的性质、模长公式和共轭复数的模的性质可求出结果.【详解】因为|||(512i)(cos isin )||512i ||cos isin |z θθθθ=-+=-⋅+=13=，所以||||13z z ==．故选：C ．3.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥ ，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件推出0AC AB ⋅>，得CAB ∠为锐角．同理可得,ABC BCA ∠∠也为锐角．由此可得答案.【详解】因为,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，所以0,0,0OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅==，()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅- 22||0OB OC OA OB OC OA OA OA =⋅-⋅-⋅+=> ，所以cos 0||||AB ACCAB AB AC ⋅∠=>⋅，即知CAB ∠为锐角．同理可知,ABC BCA ∠∠也为锐角．故ABC 是锐角三角形．故选：A ．4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤【答案】A 【解析】【详解】由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重326⨯=斤.5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】解：由题知24p =，即2p =，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A B ，中点的横坐标为3，所以126x x +=，所以，由抛物线焦半径公式得12||||628AF BF x x p +=++=+=故选：D ．6.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]-B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式取等号的条件，将|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥转化为11x -≤≤且22y -≤≤，再根据不等式的性质可求出结果.【详解】因为|1||1||(1)(1)|2x x x x ++-≥+--=，当且仅当(1)(1)0x x +-≤，即11x -≤≤时，等号成立，|2||2||(2)(2)|4y y y y ++-≥+--=，当且仅当(2)(2)0y y +-≤，即22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥，当且仅当11x -≤≤且22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=等价于11x -≤≤且22y -≤≤，所以222x -≤≤，所以424x y -≤+≤.故选：C7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是34【答案】D 【解析】【分析】对于A,连接11A C ，利用线面垂直的判定定理可得11B D ⊥平面11A CC ，即可判断；对于B ，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C ，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D ，1ACD △为等边三角形，利用面积公式即可【详解】对于A ，连接11A C ，由正方体可得1CC ⊥平面111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，在正方形1111B A 中，1111AC B D ⊥，因为1111CC A C C ⋂=，111,A C C C ⊂平面11A CC ，所以11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111A C B D ⊥，故A 正确；对于B ，因为11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BDD B 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11EB D ，11B D ⊂平面11EB D ，所以//BD 平面11EB D ，故B 正确；对于C,正方体1111ABCD A B C D -，所以外接球的表面积为234π3π2⎛⨯= ⎝⎭，故正确，对于D ，因为1ACD △是正三角形，其边长为，所以它的面积为213sin 6022⨯⨯︒=，即D 错误．故选：D ．8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5 B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，根据{}n a 为递增数列，推出1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，再推出11T <，21T <，31T <，41T <，51T <，61T <，71T =，81T >可得结果.【详解】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，因为1n n n a a q a +=>，所以{}n a 为递增数列，所以1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，所以111T a =<，2121T a a =<，31231T a a a =<，412343431T a a a a T a T ==⋅=<，512345T a a a a a =121a a =<，6123456T a a a a a a =21261411a a a a a a ===<，71234567T a a a a a a a =717263544()()()1a a a a a a a a ===，8123456787881T a a a a a a a a T a a ==⋅=>，所以n 的最小为8.故选：D ．9.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.【答案】D 【解析】【分析】根据特设求出外接球的半径，再根据圆心到平面距离最大时，截面面积最小即可求解.【详解】由题意知，ABD △和BCD 为等边三角形，如图所示，取BD 中点为E ，连接,AE CE ，则AE BD ⊥，由平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，故⊥AE 平面CBD ，AE ===，球心O 在平面BCD 的投影为BCD △的外心1O ，过O 作OH AE ⊥于H ，易得11,OH O E OO HE ∥∥，则在Rt OHA △中，OH AH ==，所以外接球半径R ==OM ，因为2,,2AH HE OH CE AM MC ==∥，所以H ，O ，M 三点共线，所以23MH CE OM MH OH ===-=，当M 为截面圆圆心时，截面圆的周长最小，此时，截面圆半径r ==，所以截面圆周长的最小值为2C r π==，故选:D ．10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.916【答案】D 【解析】【分析】求出方程的解集，得出p ，q 的所有取值，再得到所求事件所需条件的p ，q 取值，即可得到所求事件的概率.【详解】因为方程()()2254560t t t t -+-+=的根的集合为{1,2,3,4}，所以有{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈．记事件A 为“函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数”．对函数32()1g x px qx x =++-求导，得2()321g x px qx +'=+．由题意，知2()3210g x px qx '=++≥在(,)-∞+∞上恒成立，有0p >，且()2221(2)434303q p q p p q ∆=-⨯=-≤⇒≥．当1q =时，有13p ≥，所以p 可以取到1，2，3，4这4个值；当2q =时，有43p ≥，所以p 可以取到2，3，4这3个值；当3q =时，有3p ≥，所以p 可以取到3，4这2个值；当4q =时，有163p ≥，所以p 的值不存在．综合以上，事件A 包含的基本事件共有4329++=种．因为{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈，所以所有的基本事件共有4416⨯=种．则所求事件的概率为9()16P A =．故选：D ．11.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A.2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =【答案】B 【解析】【分析】由已知条件和双曲线的定义可得12AF a =，24AF a =，12F F =，2BF AB =，由122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，化简可得2AB AF =【详解】由双曲线定义和题设条件，得212AF AF a -=，c =，12F F =．如图所示，因为12AF a =，所以24AF a =．又由双曲线定义，得122BF BF a -=,因为112BF AF AB a AB =+=+，所以212BF BF a AB =-=．在12AF F △和2ABF △中，122πF AF BAF ∠+∠=，有122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，得222222121222122022AF AF F F AB AF BF AF AF AB AF +-+-+=，得222222224162802242AB AF AB a a a a a AB AF +-+-+=⋅⋅，化简得2122AF AB =，所以2AB AF =．故选：B ．12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃-D.(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】构函数函数()()f x F x x=，根据()f x 为奇函数，得()F x 为偶函数.求导并利用已知得到()F x 在(0,)+∞上单调递增，再根据()F x 为偶函数得到()F x 在(,0)-∞上单调递减，利用()F x 的单调性可求出结果.【详解】设()()f x F x x=，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()f x f x F x F x x x---===--，所以()F x 为偶函数，对()F x 求导得2()()()xf x f x F x x''-=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以()0F x '>，则()F x 在(0,)+∞上单调递增，又因为()F x 为偶函数，则()F x 在(,0)-∞上单调递减，因为(1)(1)(1)(1)011f f F F ---====，所以当0x >时，()()00()0(1)1f x f x F x F x x>⇒>⇒>=⇒>，当0x <时，()()00f x f x x>⇒<()0(1)F x F ⇒<=-10⇒-<<x ，所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是(1,0)(1,)-⋃+∞.故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．【答案】18【解析】【分析】求出男女运动员的比例，从而求出答案.【详解】女运动员的人数为985642-=，故男女运动员的人数比例为56:424:3=，所以女生应抽取3421843⨯=+人．故答案为：1814.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．【答案】1【解析】【分析】转化为PM l ⊥可求出结果.【详解】劣弧所对的圆心角最小时，劣弧所对的弦长最短，此时，PM l ⊥，因为(2,0)M ，所以1111012PMk k =-=-=--．故答案为：1.15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．【答案】711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）【解析】【分析】由割补法求出所围区域的面积得到ω，函数解析式化简后利用整体代入法求单调递减区间.【详解】如图所示，区域1S 与2S ，区域3S 与4S 组成的图形是中心对称图形，面积分别对应相等，故函数cos (0y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积等于矩形OABC 的面积，由2πOA =，1OC =，矩形OABC 的面积为2π，所以2πω=．于是πcos sin cos 2πsin 2π2π4y x x x x x ωω⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭．由()π2π2π2ππZ 4k x k k ≤+≤+∈，解得()13Z 88k x k k -≤≤+∈．函数cos sin y x x ωω=-的单调递减区间是()13,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦令1k =，其中一个单调递减区间是711,88⎡⎤⎢⎣⎦.故答案为：711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．【答案】(2,3]【解析】【分析】当01a <<时，不符合题意；当1a >时，根据方程()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，结合图象可知函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点，即可求解.【详解】由题意知，()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，即为函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点.当01a <<时，显然不成立；当1a >时，如图所示，只需log 21log 31a a<⎧⎨≥⎩，解得23a <≤.故答案为：(]2,3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．【答案】（1）2π3C =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理和余弦定理得到1cos 2C =，再根据C 的范围可求出结果；（2）利用三角形的面积公式可得3ab =，再根据余弦定理以及不等式知识可证不等式成立.【小问1详解】因为2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+，所以()22212sin 12sin 21sin 2sin sin A B C A B -+-=-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +=-，由正弦定理得222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，又因为0πC <<，所以2π3C =．【小问2详解】因为12πsin 323ab ab ==，由余弦定理，得2222π2cos3c a b ab =+-22a b ab =++23ab ab ab ≥+=，当且仅当a b =时等号成立，所以2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接1A E ，根据题意得1A E AC ⊥，根据面面垂直的性质定理得1A E ⊥平面ABC ，1A E BC ⊥，根据线面垂直的判定定理得到BC ⊥平面1A EF ，再得到EF BC ⊥；（2）以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】连接1A E ，∵E 是AC 的中点，11A A A C AC ==，∴1A E AC ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ⊂平面11A ACC ，∴1A E ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，∴1A E BC ⊥，又1,A F AB AB BC ⊥//，∴1BC A F ⊥，因为1A E ⊂平面1A EF ，1A F ⊂平面1A EF ，111A E A F A ⋂=，∴BC ⊥平面1A EF ，因为EF ⊂平面1A EF ，∴EF BC ⊥．【小问2详解】以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，1(0,2,0),(0,2,0)A B A C -，∴1((BA BC =-=，易知平面11ACC A 的法向量为(1,0,0)m =，设平面1A CB 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BA y n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令x =，∴3,y z ==，∴n =，5cos ,5||m n m n m n ⋅<>==⋅∣，所以25sin ,5m n <>== .∴二面角11C A C B --的正弦值为255.19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .【答案】()116.372；()2①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.【解析】【分析】()1根据数据算出1050x =，由Z服从正态分布()21050,660N ，算出概率，即()20,0.8186X B ，进而算出X 的数学期望；()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，即棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+.即112(1)2n n n n P P P P ----=--，进而求证当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【详解】解：()12500.27500.3512500.2517500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯22500.05+⨯+27500.051050⨯=，因为Z 服从正态分布()21050,660N ，所以()()0.95450.6827390237020.95450.81862P Z P Z μσμσ-<≤=-<≤+=-.所以()20,0.8186X B ，所以X 的数学期望为()200.818616.372E X =⨯=.()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -，所以211122n n n P P P --=+，即112(1)2n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=-，所以当159n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项1012P P -=-，公比为12-的等比数列.②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，以上各式相加，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以闯关成功的概率为6060592121113232P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，闯关失败的概率为5959605811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.60595859602111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.【答案】（1）22134x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1）设(),P x y ,根据题意列出方程整理即得；（2）直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立消去y 整理得：()2243690k xkx ++-=,检验判别式并利用弦长公式求得()2212143k MN k+=+，利用韦达定理和中点坐标公式及直线垂直时的斜率关系得到中垂线的方程，进而求得H 的坐标，得到()223143k FH k +=+,从而证得结论.【小问1详解】设(),P x y142y =-,整理得：22134x y +=,此即为曲线C 的方程；【小问2详解】经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立得：221134y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得：()2243690k x kx ++-=,()()22236494314410k k k ∆=+⨯⨯+=+>恒成立,设()()1122,,,M x y N x y,则()212221214343k MN x k k+=-==++,122643kx x k +=-+，设线段MN 的中点为()00,T x y ,则12023243x x k x k +==-+，0024143y kx k =+=+，线段MN 的中垂线的斜率为1k-，方程为224134343ky x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭,令0x =,解得2143y k =+，即为点H 的纵坐标，∴()22231114343k FH k k+=-=++,∴()()222231143412143k FHk MN k k ++==++（为定值）21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．【答案】（1）单调性及极值见解析，原方程有唯一实根（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调性，求解极值，结合单调性的结论判断方程的实根个数；（2）不等式变形为4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>，换元后即证e 1≥+t t ，构造函数利用导数求解函数最值即可得证.【小问1详解】()ln (R)f x x a x a =-∈，函数定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，有极小值()(1ln )f a a a =-．方程e 2ln 0x x x ---=可变形为e ln x x x x --=+，即e ln e ln x x x x --+=+，当1a =-时，()ln f x x x =+，有()e()xf f x -=，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则有e xx -=，函数e x y -=和y x =的图像只有一个交点，且交点位于第一象限，所以e x x -=在()0,∞+上有唯一实根，故原方程有唯一实根．【小问2详解】证明：由0x >知，所要证的不等式等价于44e ln 1(0)xx x x x+≥+>，等价于4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>．（*）令4ln t x x =-，则不等式（*）等价于e 1≥+t t （**）．构造函数()e 1()t f t t t =--∈R ，求导，得()e 1t f t =-'．当0t <时，()0f t '<，函数()f t 是减函数；当0t >时，()0f t '>，函数()f t 是增函数．所以min ()()(0)0f t f t f ≥==．即（**）成立．故原不等式成立．【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．【答案】（1）230x y --=，221x y -=；（2.【解析】【分析】（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答.（2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.【小问1详解】因为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则22cos sin cos 322θθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2cos sin 3ρθρθ-=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得，230x y --=，所以直线l 的直角坐标方程是230x y --=；由112112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩变形得，22222211241124x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，则有221x y -=，所以曲线C 的直角坐标方程是221x y -=．【小问2详解】把直线l 的方程23y x =-，代入曲线C 的方程：221x y -=，得22(23)1x x --=，即2312100x x -+=，2Δ12120240=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212104,3x x x x +==，于是AB ===所以直线l 被曲线C 截得弦AB.[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）|2||2|a b ab -<-，理由见解析【解析】【分析】（1）分11112222、、≤--<<≥x x x 讨论去绝对值求出集合M ，再利用绝对值三。
高三上学期期末考试数学(理)试卷及答案解析
高三级上学期·期末考理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。
2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卷的整洁。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应位置．）1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}2．复数i（3﹣i）的共轭复数是（）A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i3．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣C．D．24．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y= B．y=x2C．y=x3D．y=sinx6．要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平行移动个单位B．向左平行移动个单位C．向右平行移动个单位D．向右平行移动个单位7．不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A． B．C． D．8．执行如图所示的程序框图，则输出s的值等于（）A．1 B． C．0 D．﹣9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B． C． D．10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱 C．钱D．钱11．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C． D．12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应题中的横线上． 13．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3a 9=2a 52，则q= ．14．已知函数f （x ）=lnx ﹣ax 2，且函数f （x ）在点（2，f （2））处的切线的斜率是，则a= ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则点F 到双曲线x 2﹣=1的渐近线的距离为 ．16．下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；②等差数列{a n }中，a 1=2，a 1，a 3，a 4成等比数列，则公差为﹣； ③已知a ＞0，b ＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2；④在△ABC 中，若sin 2A ＜sin 2B+sin 2C ，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上） 三.解答题（共6题，共70分） 17.（本题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n ﹣2n =（b ﹣1）S n （Ⅰ）证明：当b=2时，{a n ﹣n •2n ﹣1}是等比数列； （Ⅱ）求{a n }的通项公式．18.（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1=A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证： （1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F ∥平面ADE ．19.（本题满分12分）某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．20.（本题满分12分）如图，已知椭圆+y2=1的四个顶点分别为A1，A2，B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，若圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）上有且只有一个点P满足=．（1）求圆C的半径r；（2）若点Q为圆C上的一个动点，直线QB1交椭圆于点D，交直线A2B2于点E，求的最大值．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围【选做题】请考生从22、23题中任选一题作答，共10分22.（选修4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．23.（选修4-5.不等式选讲）已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证： +≥．普宁市华侨中学2017届高三级上学期·期末考理科数学参考答案1．B． 2．B． 3．D． 4．B . 5．C． 6．B． 7．C． 8．A． 9．C． 10．B． 11．B． 12．D．13．． 14． 15．． 16．①③．17.解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，且ba n﹣2n=（b﹣1）S nba n+1﹣2n+1=（b﹣1）S n+1两式相减得b（a n+1﹣a n）﹣2n=（b﹣1）a n+1即a n+1=ba n+2n①（3分）当b=2时，由①知a n+1=2a n+2n于是a n+1﹣（n+1）•2n=2a n+2n﹣（n+1）•2n=2（a n﹣n•2n﹣1）又a1﹣1•20=1≠0，所以{a n﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．（6分）（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知a n﹣n•2n﹣1=2n﹣1，即a n=（n+1）2n﹣1当b≠2时，由①得==因此=即（10分）所以．（12分）18.（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（6分）（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．（12分）19.（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：0.06×50=3（人）．（3分）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：800×0.38=304（人）．（6分）（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m==7，（10分）∴所求概率为p=．（12分）20.（1）由椭圆+y2=1可得F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y），∵=，∴=，化为：x2﹣3x+y2+1=0，即=．又（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3），∵圆C上有且只有一个点P满足=．∴上述两个圆外切，∴=r+，解得r=．（4分）（2）直线A2B2方程为：，化为=．设直线B1Q：y=kx﹣1，由圆心到直线的距离≤，可得：k∈．联立，解得E．（6分）联立，化为：（1+2k2）x2﹣4kx=0，解得D．（7分）∴|DB1|==．|EB1|==，∴===|1+|，（9分）令f（k）=，f′（k）=≤0，因此函数f（k）在k∈上单调递减．（10分）∴k=时， =|1+|=取得最大值．（12分）21.（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，∴f′（x）=﹣x2+2x+3，故k=f′（3）=0，又∵f（3）=9，∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9，（3分）（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，即存在某个子区间（a，b）⊂（， +∞）使得f′（x）＞0，∴只需f′（）＞0即可，f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞，由于m＞0，∴m＞．（6分）（Ⅲ）由题设可得，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3，且解得：（舍去）或，（8分）∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴，若 x1≤1＜x2，则，而f（x1）=0，不合题意．若1＜x1＜x2，对任意的x∈，有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，于是对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是，解得；（10分）综上，m的取值范围是．（12分）22.（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直线l的普通方程为=0，∵，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为：．（5分）（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．∵点P在直线l： =0上，设P（3+t，），则|PC|==，∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．（5分）23.（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．∵m∈N*，∴m=1．（5分）（II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，∴α+β=2．∴+==≥=，当且仅当α=2β=时取等号．（10分）。
2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学(理)试题(解析版)
2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{}22|120,Z |450A x x x B x x x =--<=∈+-<，则A B =（ ）A ．{}|31x x -<<B ．{}|13x x -<<C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】C【分析】由题知{}|34A x x =-<<，{}4,3,2,1,0B =----，再求交集即可.【详解】解：{}()(){}{}2|120|430|34A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，{}()(){}{}2Z |450Z |5104,3,2,1,0B x x x x x x =∈+-<=∈+-<=----， 所以，{2,1,0}A B =-- 故选：C2．已知a ，b 为实数，复数2i z a =+，若2i z ba z+=，则||a b -=（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出||,||a b 即可得答案. 【详解】因为2i z a =+，所以2i z a =-， 则2i2i 2i z b a b a a z+++==-，即22i 2i(2i)42i a b a a a a ++=-=+，从而2422a a ba =+⎧⎨=⎩，即231b a a =⎧⎨=⎩，解得||1,||3==a b ，故|||| 2.a b -=-故选：A.3．已知函数()22123x f x x +=--，则()3f =（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【分析】整体代换，令213x +=求得x 后代入已知式可求值． 【详解】令213x +=，得1x =，则(3)f 2132=--=- 故选：B ．4．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油毡纸（ ）A ．0.99π2mB ．0.9π2mC ．0.66π2mD ．0.81π2m【答案】D【分析】根据题意可知：该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体.要求该几何体的表面积（除去底面面积），利用圆锥和圆柱的侧面积公式即可求解.【详解】由题三视图可知该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体. 其中圆锥的母线长为220.3(1.5 1.1)0.5m l +-， 则圆锥的侧面积2110.52π0.3=0.15πm 2S =⨯⨯⨯，圆柱的侧面积22 1.12π0.3=0.66πm S =⨯⨯，故总面积为2120.15π0.66π0.81πm S S S =+=+=，所以至少要买油毡纸20.81πm ， 故选：D .5．在正项等比数列{n a }中，若3a ，7a 是关于x 的方程240x mx -+=的两实根，则21222329log log log log a a a a ++++=（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B【分析】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得912392a a a a =，由对数运算性质可得答案.【详解】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得254a =，则52a =，由等比数列性质可知31922874654a a a a a a a a a =====，则912392a a a a =，故212223292192392log log log log log ()log 92a a a a a a a a ++++===.故选：B.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面 PAD ．6AB =，60BAD ∠=︒，224PC AD PD BC ====，则异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．155B ．105C ．255D ．55【答案】D【分析】根据线面垂直以及面面垂直可建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角即可求解. 【详解】由CD ⊥平面PAD ，,PD AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，CD PD ⊥,又平面PCD ⊥平面ABCD ，其交线为CD , AD ⊂平面ABCD ，因此AD ⊥平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,故AD PD ⊥,故DA DC DP 、，两两垂直，则以D 为原点，.DA DC DP ⋅的方向分别为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，400002A P ，，,，，13300230B ,,,C ,,,则(4,0,2),(1,3,0).PA BC =-=--.设异面直线PA 与BC 所成的角为θ，则||45cos |cos ,|.5||||252PA BC PA BC PA BC θ⋅=<>===⨯故选：D7．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某班举行了一次环保知识有奖竞答活动，有20名学生参加活动.已知这20名学生得分的平均数为m ，方差为n .若将m 当成一个学生的分数与原来的20名学生的分数一起，算出这21个分数的平均数为m '，方差为n '，则（ ） A ．2021m m '=，2120n n '= B ．m m '=，2021n n '= C ．2021m m '=，2021n n '= D ．m m '=，2120n n '=【答案】B【分析】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，利用平均数和方差公式可得合适的选项. 【详解】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，则122020m x x x =+++，12202121m x x x m m =++++='，故m m '=，因为()()()()22221232020n x m x m x m x m =-+-+-++-，()()()()()222221232021n x m x m x m x m m m ''=-+-+-++-+-，因为m m '=，故2021n n '=. 故选：B.8．在三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，在该三棱柱的外接球内随机取一点P ，则点P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率为（ ） A ．2732B ．2732πC ．2764D ．2764π【答案】D【分析】利用几何概型，设三棱柱的外接球体积为V ，可知P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率111ABC A B CV P V-=.【详解】设等边三角形ABC 边长为2a ，124AA AB a ==，()222a ⋅=，则111234ABC A B C V a -=⋅=.如图，因ABC 是等边三角形，则三角形外心O ，也为三角形重心，由重心性质可得：13OD AD a ==.则三角形外接圆半径r OC a ====如图，又设三棱柱的外接球圆心为1O ，则1O 为2OO 中点，则外接球半径222224434233O O a R r a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.设外接球体积为V ，则3334443256333327πππV R a a ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.由几何概型，则P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率11133432764256327ππABC A B CV a P Va -===.故选：D.9．设0.7 1.2 1.42e e e 1a b c ===-，，，则（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据不等式的性质可得0.70.7 1.22e e e e >=，令()x f x e =可得曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为 1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.根据指数函数的图象可得： 1.4(0.4)(0)e e x x x -≥>，进而得到 1.2 1.4e 0.8e >，然后再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为0.70.7 1.22e e e e >=，所以a b >.令()x f x e =，则曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.易证 1.4 1.4 1.4(0.4)(0)e e ( 1.4)e e x x x x ≥-+=->，当且仅当 1.4x =时，等号成立，故 1.2 1.4e 0.8e >， 即 1.2 1.4 1.4e 1e 10.2e .+->-因为32e 5<，所以 1.5e 5<，所以 1.4e 5<，则 1.410.2e 0->，即 1.2 1.4e 1e 0+->， 从而b c >．故c b a <<. 故选：D .10．已知函数()sin 2cos2(0f x x a x ωωω=+>）在π12x =处取得最大值，且()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，若π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ω的取值可能是（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】C【分析】由两条相邻的对称轴之间的距离小于π2得1ω>，利用辅助角公式（引入辅助角ϕ）变形后，由最大值点得,ωϕ的关系，再由(π)6f =a ，从而得ϕ的表达式，代入可得ω的表达式，得正确选项．【详解】因为()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，所以12ππ222ω⨯<，所以1ω>.由辅助角公式可得())f x x ωϕ+，其中sin ϕ=cos ϕ=，因为()f x 在π12x =处取得最大值，所以Z πππ2,62k k ωϕ+=+∈，所以6312,Z πk k ϕω=-+∈， Z π4π,3k k ωϕϕπ+=-+∈，()1sin()4)6ππππ3f k a ωϕϕϕ=+=-+===所以sin ϕ=1cos 2ϕ=，则11Z π,π23k k ϕ=-∈，1226312312212125,Z πk k k k k ϕω=-+=-++=+∈，只有C 满足． 故选：C ．11．已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率之积为1-，则4||AF BF +|的最小值是（ ） A ．32 B ．36C ．42D ．46【答案】C【分析】设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，进而与抛物线联立方程，结合韦达定理得12121y y x x =-，再根据121212646418y y x x y y t ===--得8t =，1264x x =，最后根据基本不等式和焦半径公式求解即可.【详解】解：设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，联立28x my t y x=+⎧⎨=⎩整理得2880y my t --=，所以，264320m t ∆=+>，12128,8y y m y y t +==-. 因为直线,OA OB 的斜率之积为1-，所以12121y y x x =-， 因为2211228,8y x y x ==，所以()2121264y y x x =，所以121212646418y y x x y y t ===--，解得8t =，即()212126464y y x x ==， 所以，1264x x =. 因为1222AF x BF x =+=+，， 所以()12226442424101042AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当22644x x =时，等号成立.所以，4||AF BF +|的最小值是42. 故选：C12．已知函数()2,0()ln ,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()()1g x f f x af x =-+恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[){}0,21⋃ B ．()2,+∞ C ．()1,0- D ．(),1-∞-【答案】C【分析】设()t f x =，进而考虑()y f t =与1y at =-的交点，分02a ≤<，2a =，2a >，10a -<<，1a <-五种情况讨论求解即可.【详解】设()t f x =，则()()1y h t f t at ==-+，令()0h t =，得()1f t at =-， 我们先来考虑()y f t =与1y at =-的交点， 令224,1at t a -=∆=-，当02a ≤<时，1y at =-与()y f t =只有1个交点，交点横坐标()11,0t ∈-，此时()g x 有1个零点； 当2a =时，1y at =-与()y f t =只有2个交点，交点横坐标()121,0,1t t ∈-=，此时()g x 有3个零点.当2a >时，1y at =-与()y f t =只有3个交点，交点横坐标()()()1231,0,0,1,1,t t t ∞∈-∈∈+，此时()g x 有5个零点.若1y at =-与()()0y f t t =<相切时，设切点()()00,ln P t t -， 所以，切线斜率()000ln 11t a t t -+==，解得01,1t a =-=-， 故当1a <-时，1y at =-与()y f t =没有交点，()g x 没有零点.当10a -<<时，1y at =-与()y f t =有2个交点，交点横坐标()120,,t t ∈-∞，此时()g x 有2个零点. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元()t f x =，将问题转化为直线1y at =-与()y f t =的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.二、填空题13．已知非零向量,a b 满足||2||b a =，且()a a b ⊥+，则向量,a b 的夹角是_______． 【答案】23π【分析】由向量垂直得到()0a a b ⋅+=，即可得到2a b a ⋅=-，再根据cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=及||2||b a =计算可得；【详解】解：因为()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，所以2a b a ⋅=-． 因为||2||b a =，所以21cos ,2||||||||a b a a b a b a b ⋅-〈〉===-，因为[],0,a b π〈〉∈，所以2,3a b π〈〉=． 故答案为：23π14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，若22210B A F B ⋅=，则椭圆C 的离心率为________.【分析】写出点2221,,,B A F B 的坐标，根据22210B A F B ⋅=列出,,a b c 的关系，求解.【详解】因为()()22212221,,,,0B A a b F B c b B A F B =-=--⋅=，所以20ac b -+=，即220a c ac --=，则2e e 10+-=，解得e =e =因为0e 1<<，所以e =15．若()()()()()102910701291021111x x a a x a x a x a x +-=+-+-++-+-，则5a =_________.【答案】231-【分析】将()1072x x +-化为()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，后由二项式定理可得答案.【详解】()1072x x =+-()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，设()711x ⎡⎤-+⎣⎦展开式通项为()7171C rrr T x -+=-，令752r r -=⇒=，则()()552371211C T x x =-=-. 设()1011x ⎡⎤--⎣⎦展开式通项为()()1011011C rrrr T x -+=--，令1055r r -=⇒=，则()()()5555610112521C T x x =--=--.则521252231a =-=-. 故答案为：231-16．对于正整数n 的正整数设为n a ，如131,2a a ==，记n n b n a =+，从全体正整数中除去所有n b ，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列{}n c ，则数列{}n c 的前8项和为_________. 【答案】204【分析】对于正整数k ，就2214k n k k ≤<++、221214k k n k k ++≤<++分类讨论后可求n b ，从而可求{}n c ，故可求前8项和.【详解】对于正整数n ，必存在正整数k ，使得()221k n k ≤<+.如果2214k n k k ≤<++，则12k k ≤+，故n a k =，故n b n k =+，此时22k n k k ≤≤+，故222k k n k k k +≤+≤+故此时n b 取值为区间22,2k k k k ⎡⎤++⎣⎦中的所有正整数.如果221214k k n k k ++≤<++即22121k k n k k ++≤<++，则112k k +<+， 故1n a k =+，故1n b n k =++，此时2222132k k n k k k ++≤++<++，故此时n b 取值为区间())2211,32k k k ⎡++++⎣中的所有正整数. 所以当2221k n k k ≤<++时，n b 取值为区间())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣中所有的正整数，而()223211k k k k ++=+++，()221122k k k ++=++，故())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣表示())22,11k k k k ⎡++++⎣中除()21k +以外的所有正整数， 取1k =，则14n ≤<，n b 取值为区间[)2,6中除4以外的所有正整数. 取2k =，则49n ≤<，n b 取值为区间[)6,12中除9以外的所有正整数.依次取k m =，则()221m n m ≤<+，n b 取值为区间())22,11m m m m ⎡++++⎣中除()21m +以外的所有正整数. 故1234567891,4,9,16,25,36,49,64,81c c c c c c c c c =========， 故前8项和为：1491625364964204+++++++=， 故答案为：204.【点睛】思路点睛：对于数列的新定义问题，首先要弄清楚数列的形成过程，特别是与数论有关的新数列构建问题，要能根据整数的形式做合理的分类.三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin cos b A a B c +=. (1)求sin A 的值；(2)若点M 在边AC 上，且BCM 是边长为ABC 的面积.【答案】(1)5sin 5A = (2)33182+【分析】（1）由正弦定理进行边角转换可得1tan 2A =，再结合22sin cos 1A A +=即可求解； （2）在ABC 中，由正弦定理可得35c =，然后利用πA C ABC ++∠=求出5215sin 10ABC +∠=，最后用面积公式求解即可【详解】（1）因为2sin cos b A a B c +=，所以结合正弦定理得2sin sin sin cos sin .B A A B C += 因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以2sin sin cos sin .B A A B =因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以2sin cos A A =，所以sin 1tan cos 2A A A ==. 因为22sin cos 1A A +=,且0πA <<，所以25cos 5A =，5sin 5A =. （2）因为BCM 是边长为23的等边三角形，所以π233BC C ==，. 在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a cA C =，则sin 35sin a C c A==. 因为πA C ABC ++∠=，所以()5215sin sin sin cos cos sin 10ABC A C A C A C +∠=+=+=， 则ABC 的面积为15215331835232102++⨯⨯⨯=. 18．某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按[)10,12，[)12,14，[)14,16，[)16,18，[]18,20分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在[)16,18和[]18,20内的该产品中抽取12件，再从这12件产品中随机抽取4件，记抽取到这一质量指数在[]18,20内的该产品的数量为X ，求X 的分布列与期望．【答案】(1)15； (2)分布列见解析，()43E X =.【分析】（1）利用中位数的求解方法列方程即可求解.（2）由题意分析出X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．分别求出对应的概率，得到分布列，求出数学期望.【详解】（1）因为()0.0250.12520.30.5+⨯=<，0.30.20020.70.5+⨯=>，所以该产品这一质量指数的中位数在[)14,16内．设该产品这一质量指数的中位数为m ，则()140.20.30.5m -⨯+=，解得15m =．（2）由题意可知抽取的12件产品中这一质量指数在[)16,18内的有8件，这一质量指数在[]18,20内的有4件．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．()48412C 70140C 49599P X ====，()3184412C C 2241C 495P X ===，()2284412C C 168562C 495165P X ====，()1384412C C 323C 495P X ===，()44412C 14C 495P X ===，X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1499 22449556165324951495()1422456321401234994951654954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ACEF 是矩形，22BC AB AF ==，60ABC ∠=︒，AF BC ⊥，H 是棱AD 的中点，P 是棱EF 上的动点.(1)证明：AB ⊥平面ACEF ；(2)求平面PBH 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)32【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而可得线线垂直即可证明， （2）根据空间向量的坐标运算可利用法向量的夹角与平面角的关系，即可求解. 【详解】（1）证明：因为四边形ACEF 是矩形，所以AF AC ⊥. 因为AF BC ⊥，且AC BC ⊂，平面ABCD ，AC BC C =，所以AF ⊥平面ABCD ．因为AB ⊂平面ABCD ，所以AF AB ⊥ ，因为2BC AB =，且60ABC ∠=，所以3AC AE =， 所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥. 因为AF AC ，⊂平面ACEF ，且AFAC A =，所以AB ⊥平面ACEF .（2）由（1）可知AB AC AF ，，两两垂直，则以A 为原点，分别以AB ，AC ，AF 的方向为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设1AB PF a ，，则10001B P ,a ，，,，，123H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故11BP ,a,, 33022BH,,, 设平面PBH 的法向量为(),,m x y z =,则03302m BP x ay z m BH x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1313m ,,a .因为ACCD ACCE ，，CD CE ，⊂平面CDE ，且CD CE C =，所以AC ⊥平面CDE ，则平面CDE 的一个法向量为()0,1,0n =.设平面PBH 与平面CDE 所成的锐角为θ， 则22333cos θcos 21313413m n m nm naa，，即平面PBH 与平面CDE 所成20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点()2,1P 在双曲线C 上，且12PF PF -=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，直线AP ，BP 分别与y 轴交于M ，N 两点，且OM ON =-，试问直线l 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2212x y -=(2)过定点，定点坐标为()0,1【分析】（1）由双曲线定义可知2a =()2,1P 在双曲线C 上，求出,a b ，得到双曲线的标准方程；（2）设直线l ：x my t =+，与双曲线的方程联立，由韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AP ，BP 的方程，求得M ，N 两点的坐标，结合OM ON =-，可求得,m t的关系式，从而得出定点坐标． 【详解】（1）由题意可得224112a b a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得1a b ==故双曲线C 的标准方程为2212x y -=.（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l ：x my t =+，1122(,),(,)A x y B x y 联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2222220m y mty t -++-= 则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=-- 直线AP 的方程为()111212y y x x -=-+-，令0x =，得11122x y y x -=-，则11120,2x y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭直线BP 的方程为()221212y y x x -=-+-，令0x =，得22222x y y x -=-，则22220,2x y N x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭因为OM ON =-，所以11221222022x y x y x x --+=--， 整理得1212122112()()2()0x x x x x y x y y y -+-+++= 又11x my t =+，22x my t =+，所以()()()2212122220m m y y mt m t y y t t -+--+++-=，则()()2222222222022t mt m m mt m t t t m m -⎛⎫-⋅+--+-+-= ⎪--⎝⎭即222220m t mt m t ++--=，即2()2()0m t m t +-+= 得()()20m t m t +-+=，解得20m t +-=或0m t += 当20m t +-=时，直线l 经过点P ，与题意不符； 当0m t +=时，直线l ：x my m =-，则直线l 过定点()0,1． 故直线l 过定点()0,1．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---.(1)求()f x 的单调区间； (2)若函数()()()2121ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间是()0,∞+，无递增区间 (2)51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出导函数()f x '，再利用导数确定()f x '的正负，从而得单调区间；（2）求出导函数()g x '，在()g x 定义域内分类讨论()0g x '=的根的情况，得函数单调性、极值，然后结合零点存在定理确定参数范围． 【详解】（1）由题意可得()ln f x x x '=-， 设()()ln h x f x x x '==-，则()111xh x x x-'=-=由()0h x '>，得01x <<，由()0h x '<，得1x >则()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即()f x '在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()(1)10f x f ''≤=-<，故()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无递增区间（2）由题意可得21(2)1(1)(1)()2a x a x a x a x g x x a x x x-+-+-+--'=+-+==， ()g x 的定义域是(0,)+∞，①当10a -<，即1a >时，1x >时()0g x '>，01x <<时()0g x '<， 则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 因为0x →时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--<，解得52a <，故152a <<；②当10a -=，即1a =时，由21()102g x x x =--=，解得x 1=±因为0x >，所以1x =+()g x 有且仅有1个零点，故1a =不符合题意； ③当011a <-<，即01a <<时，由()0g x '>，得01x a <<-或1x >， 由()0g x '<，得11a x -<<，则()g x 在(0,1)a -和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0,g x x <→+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--=或21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=，若(1)0g =，解得52a =，不符合题意， 若(1)0g a -=，设1(0,1)t a =-∈，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，01t <<时，ln 0t t <，221111(1)0222t t t ---=-+-<，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故01a <<不符合题意；④当11a -=，即0a =时，()0g x '≥恒成立，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，从而()g x 最多有1个零点，则0a =不符合题意；⑤当11a ->，即a<0时，由()0g x '>，得01x <<或1x a >-，由()0g x '<，得11x a <<-， 则()g x 在(0,1)和(1),a -+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0g x x <→+∞，时，()g x ∞→+ 所以()g x 要有两个零点，则(1)0g =或(1)0g a -=，若1(1)2102g a =+--=，解得52a =，不符合题意，若21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=．设1(1,)t a =-∈+∞，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，由（1）知21ln 12y t t t t =---在(1,)+∞上单调递减，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故a<0不符合题意． 综上，a 的取值范围是51,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】难点与易错点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，函数零点个数问题，难点在于函数定义域是(0,)+∞，因此()0g x '=的根需要根据定义域分类讨论，在定义域内有一个根，还是两个根，有两个根时还需要比较两根的大小，从而得出函数单调性、极值，由于含有参数还需结合函数变化趋势确定零点的存在性，从而得出结论．分类不清易出错．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 20ρθρθ-+=． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(0,1)P ，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)22144x y -=；220x y【分析】（1）消去参数可得C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程； （2）将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解. 【详解】（1）由1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），得224x y -=，故曲线C 的普通方程为22144x y -=． 由cos 2sin 20ρθρθ-+=，得220x y ， 故直线l 的直角坐标方程为220x y ．（2）由题意可知直线l的参数方程为,1x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得23250t --=， 设A ，B 对应的参数分别是12,t t ，则1212253t t t t +==-， 从而12t t -===故1212121211||||t t t t PA PB t t t t +-+===． 23．已知函数()233f x x x =-++. (1)求不等式()9f x ≤的解集；(2)若()||f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[]3,3- (2)(],3-∞【分析】(1)将函数表示为分段函数形式，分三类情况讨论求解； (2)将不等式等价转化为|23||3|33|2||1|||x x a x x x -++=-++≥，利用绝对值不等式可求33|2||1|x x-++的最小值，即可求解.【详解】（1）因为3,33()2336,3233,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以()9f x ≤等价于339x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或33269x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤⎩或3239x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩， 解得3x =-或332-<≤x 或332x <≤，即33x -≤≤，即不等式()9f x ≤的解集为[]3,3- （2）当0x =时，60≥恒成立，所以a ∈R ；当0x ≠时，|23||3|33|2||1|||x x a x x x-++=-++≥恒成立，因为3333|2||1||21|3x x x x-++≥-++=，当且仅当33(2)(1)0x x -+≤即-<3≤0x 或302x <≤时取得等号，所以3a ≤，综上，a 的取值范围是(],3-∞.。
浙江省宁波市高三第一学期期末考试(理科)数学试卷及答案
宁波市20xx 届高三第一学期期末考试数学（理）试题本试题分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+ Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 Sh V 31=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高k n k k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k Λ= 球的表面积公式棱台的体积公式 24R S π=)(312211S S S S h V ++= 球的体积公式 其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，343V R π= h 表示棱台的高其中R 表示球的半径 第I 卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|ln(1),},R A y y x x R C A ==+∈则=A ．∅B ．（—∞，0]C ．（—∞,0）D ．[0,+∞）2．已知a ，b 是实数，则“||a b a b -≥+”是“ab<0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数15,0(),51,0x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩则该函数为 A ．单调递增函数，奇函数 B ．单调递增函数，偶函数C ．单调递减函数，奇函数D ．单调递减函数，偶函数4．已知函数()32cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2]5．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与截面BB 1D 1D 所成的角是 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该四棱锥的体积是A 33B 343C 383D 33cm7．设实数列{}{}n n a b 和分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >8．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2， 则曲线C 的离心率等于A ．2332或B ．23或2C ．12或2 D ．1322或 9．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2,||3||,AB AC AO AB OA CA CB +==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则的值是A ．3B 3C 3D ．110．已知1,0(),()0[0,5)(1)1,0x e x f x f x x f x x ⎧-≤=-=⎨-+>⎩则方程在区间上所有实根和为A ．15B ．10C ．6D ．4第Ⅱ卷（非选择题部分 共1 00分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，11．已知a ，b 是实数，且2(4)40b i b ai ++++=（其中i 是虚数单位），则||a bi +的值是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浦东新区第一学期期末质量抽测试卷高三数学参考答案与评分标准(理科卷) 1月一、填空题1．1 2．]1,1(- 3．21a a ++ 4．12- 5．80 6．π 7．1148．)4,2( 9．π2735 10．]6,5[ 11．1±和1 12．)1,21()31,21( --二、选择题13．D 14．A 15．B 16．B三、解答题17．[解]（1）若2=a ，2)2(log 22>--x x ，则422>--x x ………………2分062>--x x ，0)2)(3(>+-x x ，得2-<x 或3>x ………………4分所以}3,2{>-<=x x x A 或 ………………5分（2）因为A ∈49，所以2]249)49[(log 2>--a ………………7分21613log >a ， 因为021613log >=a 所以 10<<a ………………9分且21613a < ………………11分 1413<<a ………………12分 18．[解]（1）因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π 所以 3π=∠PBA ………2分 因为2=AB ，所以32=PB …………4分2324433131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA S V ABC ABC P ………………6分 （2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN //所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角 ………………7分 计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ………………9分101515213151cos =-+=∠PMN ………………11分 异面直线PM 与AC 所成的角为1015arccos………………12分19．[解]（1）因为 60=B ，所以 120=+C A ， A C -= 120 ………………1分 因为c a )13(-=，由正弦定理可得：C A sin )13(sin -= ………………3分)sin 32cos cos 32)(sin 13()32sin()13(sin A A A A πππ--=--=)sin 21cos 23)(13(A A +-=，整理可得：1tan =A ………………5分 所以， 45=A （或4π） ………………6分（2）x a x x f sin sin 21)(2+-=，令x t sin =，因为]2,6[ππ∈x ，所以]1,21[∈t 7分18)4(212)()(222++--=++-==a a t at t t g x f ，]1,21[∈t ………………9分若214<a ，即2<a ，2121)21(max +==a g f ，32121=+a ，则5=a （舍去）…… 10分 若2114≤≤a，即42≤≤a ，18)4(2max +==a a g f ，3182=+a ，得4=a …… 11分 若14>a，即4>a ， a g f +-==21)1(max 1-=a ，31=-a ，得4=a （舍去）12分 故4=a ，326+=∆ABC S ………………14分 20．[解]（1）由)1()1(2-=f f ，可得：a a +=-2222，32=a …………4分 （2）任取210x x <≤)(1111)()(21222122212121x x a x x ax x ax x x f x f --+-+=++--+=-=)(112122212221x x a x x x x --+++-=)11)((22212121a x x x x x x -++++-……………6分因为10211+<≤x x ，10222+<<x x ，所以1110222121<++++<x x x x …8分若1≥a ，则0)()(21>-x f x f ，)(x f 在),0[+∞单调递减 (10)分若函数)(x f 在),0[+∞∈x 为单调函数，则要使得a x x x x -++++11222121对于一切满足条件的1x 、2x 恒为正或恒为负，又0>a ，所以必须恒为负，所以1≥a ………12分 综上所述，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在),0[+∞∈x 为单调减函数． （3）任取211x x <≤，=-)()(21x f x f )11)((22212121a x x x x x x -++++-，因为)(x f 单调递增，所以0)()(21<-x f x f ，又21x x -0<，那么a x x x x -++++112221210>恒成立 14分11122222121<++++<x x x x ， 所以220≤<a ………16分 21．[解]（1）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“．M ．类数列．．．”．， 对应的实常数分别为1,2． ……………………………2分 因为32nn b =⋅，则有12n n b b += *n N ∈故数列{}n b 是“．M ．类数列．．．”．， 对应的实常数分别为2,0． ……………………………4分 （2）证明：若数列{}n a 是“M 类数列”， 则存在实常数,p q ， 使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立， …………………………………………6分 因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 故数列{}1n n a a ++也是“．M ．类数列．．．”．． …………………………………………8分 对应的实常数分别为,2p q ． ……………………………………………………………9分（3）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有22332a a t +=⋅，44532a a t +=⋅，20062006200732a a t +=⋅， 20082008200932a a t +=⋅故数列{}n a 前2009项的和2009S =1a +()23a a ++()45a a +++()20062007a a ++()20082009a a +()24200620082010232323232224t t t t t =+⋅+⋅++⋅+⋅=+-………………11分若数列{}n a 是“．M ．类数列．．．”．， 则存在实常数,p q 使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立， 且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且*132()n n n a a t n N ++=⋅∈则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==，（1）当2,0p q ==时，12n n a a +=，2nn a =，1t =，经检验满足条件。
（2）当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件。
因此当且仅当1t =或0t =，时，数列{}n a 也是“．M ．类数列．．．”．。
对应的实常数分别为2,0, 或1,0-． ………………………………………………………………14分（4）命题一：若数列{}n a 是“．M ．类数列．．．”．，则数列{}1n n a a +-也是“．M ．类数列．．．”．． 逆命题：若数列{}1n n a a +-是“．M ．类数列．．．”．，则数列{}n a 也是“．M ．类数列．．．”．． 当且仅当数列{}1n n a a +-是常数列、等比数列时，逆命题是正确的．命题二：若数列{}n a 是等比数列，则数列{}1n n a a ++、{}1n n a a +-、{}1n n a a +⋅、1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是“．M ．类数列．．．”．逆命题：若数列{}1n n a a ++、{}1n n a a +-、{}1n n a a +⋅、1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是“．M ．类数列．．．”．则数列{}n a 是等比数列．逆命题是正确的．命题三：若数列{}n a 是“．M ．类数列．．．”．， 则有1nn n a a k A B ++=⋅+或1n n a a An B ++=+． 逆命题：若1nn n a a k A B ++=⋅+或1n n a a An B ++=+，则数列{}n a 是“．M ．类数列．．．”．()1 若1n n a a An B ++=+，当且仅当124A Ba +=时逆命题是正确的． ()2 若1n n a a An B ++=+，当且仅当11012kA BA a A +≠=++，且时逆命题是正确的．（命题给出2分，逆命题写出2分，说明逆命题真假2分）。