三角函数中“1”的代换

三角函数中“1”的代换

义县高中 高一数学组 胡克让

三角函数是高中数学的重要内容，与数列、立体几何、平面向量、方程等都有密切的联系。这部分中基本计算公式特别的多，而且在解决三角函数问题时又是基础工具，能够熟练而又灵活的运用这些公式成了学习的难点。这部分公式大致分为三类，现和大家一起来研究下同角基本函数关系式中与“1”有关的问题，希望能给同学们带来帮助。

在三角函数的求值，化简，证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化。常见的代换有：

22222221sin cos 1(sin cos )2sin cos 1sec tan csc cot 1cos sec sin csc tan cot 1tan cot 44

αα

αααα

αααα

αααααα

π

π

=+=+-=-=-=⋅=⋅=⋅== 等等。

下面例析几道题，供同学们参考。

例1

已知sin cos αα-=tan cot αα+的值为 .

分析：本题解法有二，一种是将sin cos αα-=与22sin cos 1αα+=联立成方程组求出sin α与cos α，再运用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα

=求出所求值；一种是先利用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα

=对tan cot αα+化简变形，发现只需要求出sin cos αα的

值即可，而将sin cos αα-=sin cos αα的求解，进而问题得以解决。两种方法对比，显然后者简单，而且运算量很少。

解析：sin cos 2

αα-=- 222225(sin cos )sin cos 2sin cos 4

1sin cos 8

sin cos sin cos tan cot 8cos sin sin cos αααααααααααααααααα

∴=-=+-∴=-+∴+=+==-

例2 已知1tan 3

α=-，求下列各式的值： （1）2232sin sin cos 5cos 2

αααα-+ （2）11sin cos αα

- 分析：这道题很多同学可能会去求解sin α与cos α的值，然后代入即解决了问题，这种思想简单直接，但运用起来却很繁琐，费力。解决这道题简便的方法是将所求直接转化为tan α的关系式，这就需要将原来代数式中的“1”用22

sin cos αα+来代换。 解析：（1）原式2232sin sin cos 5cos 21

αααα-+= 222232sin sin cos 5cos 2sin cos αααααα

-+=+（分子分母同时除以2cos α） 2232tan tan 51032tan 120

ααα-+==+ （2）原式2222sin cos sin cos sin cos αααααα

+=+-（分子分母同时除以2cos α） 22tan 110tan 1tan 13

ααα+==+- 例3 化简：1tan 1tan θθ

+- 分析：可能会有很多同学认为这已经是最简形式，其实它还有更简单的形式——利用两角和的正切公式变化，这就需要对原式中的相关“1”用tan 4π

代换。 解析：原式tan

tan 4tan()41tan tan 4

πθ

πθπθ+==+- 例4 证明：2222tan sin tan sin αααα-=

分析：本题可以由左证到右，或者由右证到左。无论哪种方式都需要利用“1”的代换，下面我们一起来看看这两种方式，自己来体会。

解析：方法一（由右到左）

右边22222

tan (1cos )tan tan cos ααααα=-=- 22

2222sin tan cos tan sin cos αααααα=-=-=左边

因此 2222

tan sin tan sin αααα-=

方法二（由左到右） 左边2222222sin 1sin sin (1)sin (sec 1)cos cos ααααααα

=-=-=- 22sin tan αα==右边

因此 2222tan sin tan sin αααα-=

“1”的这种代换应用在这部分是一个重要内容，利用它能使运算由繁变简，提高解题速度，但是这种题变换万千，要想能灵活解决还需要同学们积累解题经验，参透其中的奥秘。