2016年沈阳市第一次模拟考试理科数学

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辽宁省沈阳市高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案

高三第一次模拟考试（理科）试题使用时间:9月9日命题人:高三数学备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,1,0,1{-=A ，}032{2<-+=x x x B ，则=B A A ．}1{- B ．}0,1{- C ．}1,0,1{- D ．}0,1,2{--2.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x A ．2 B ．5 C ．3 D ．103.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S = A ．60 B ．75 C.90 D ．1054．在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y ,则事件“sin y x ≤”发生的概率为 A.1π B.2π C.21π D.22π5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A.83 B.43C.248+D.246+ 6.下列判断错误．．的是 A ．“22bm am<”是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若q p ,均为假命题,则q p Λ为假命题D ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则12≠x7.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03,02,0y x y x x 表示的平面区域上，则22)1(y x z +-=的最小值为A ．1B ．55 C. 2 D ．552 8.若将函数x x f 2cos 21)(=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为22俯视图侧视图A ．)0,12(πB ．)0,6(πC ．)0,3(πD ．)0,2(π9. 见右侧程序框图，若输入110011a =，则输出结果是 A.51 B.49 C.47 D.4510.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为A. 48B. 96C. 132D.14411.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B 、，交其准线于点C ，若||3||BF BC =，且4||=AF ，则p 为 A ．34B ．2C ． 38D ．316 12.已知函数()21sin 21x x f x x x -=+++，若正实数b a ,满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为A.1B.29C.9D.18 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.在8)21(xx -的展开式中，2x 项的系数为 . 14.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是 .15.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，B A ,是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足︒︒=∠=∠45,30MBA MAB ，设椭圆C 的离心率为e ，则=2e ______.16.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则)2(PC PB PA +⋅的最小值为 .三.解答题：共70分。

辽宁省沈阳市铁西区2016届中考数学一模试卷(解析版)

辽宁省沈阳市铁西区2016届中考数学一模试卷(解析版)2016年辽宁省沈阳市铁西区中考数学一模试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．﹣2016的绝对值是（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣ D．2．据报道，截至2015年12月底，我区户籍人口突破90万，是沈阳户籍人口最多的区，数据“90万”用科学记数法可表示为（）A．90×104 B．9×104C．9×105D．0.9×105 3．如图所示几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．如图，AB∥CD，BD=CD，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°5．通过统计甲、乙、丙、丁四名同学某学期的四次数学测试成绩，得到甲、乙、丙、丁三明同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲2=17，S乙2=36，S丙2=14，丁同学四次数学测试成绩（单位：分）如下表：第一次第二次第三次第四次丁同学80 80 90 90则这四名同学四次数学测试成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA7．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们的材质、大小和背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽取一张，以其正面的数学作为b的值，则满足a2+b2=5的概率为（）A．B．C．D．8．已知a，b满足方程组，若a+b+m=0，则m 的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．29．如图，直线y=x﹣b与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A （3，1），连接OA，则△AOB的面积为（）A．1 B．C．2 D．310．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8二、填空题11．计算a•a6的结果等于．12．小明根据去年4﹣10月本班同学去电影院看电影的人数，绘制了如图所示的折线统计图，图中统计数据的中位数是人．13．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围是．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC等于．15．和睦社区一次歌唱比赛共500名选手参加，比赛分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表中的信息，可得比赛分数在80～90分数段的选手有名．分数段60～70 70～80 80～90 90～100频率0.2 0.25 0.2516．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，连接PA、PB，当S△PAB=8时，点P的坐标为．三、解答题（17题6分，18题、19题各8分，共22分）17．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．18．如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB=90°，求证：四边形BFDE为菱形．19．某市开发区的工业企业2013年完成工业总产值120亿元，在2015完成工业总产值达到了202.8亿元，如果2016年的总产值增长率与前两年的平均增长率相同，那么该开发区内的工业企业能否在2016年完成工业总产值260亿元的目标？说明理由．四、（20、21题各8分，共16分）20．如图，一个数学兴趣小组在活动课上测得学校旗杆的高度，已知小明站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为32°小红蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．求旗杆EF 的高度．（结果精确度0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）21．如图，AB是⊙O的直径，点C、G是⊙O上两点，且=，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA 的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）当OF=FD时，①求∠E的度数；②如果DG=6，请直接写出图中、线段AE和CE 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）五、（本题10分）22．学校决定在5月8日“世界红十字日”开展相关知识海洋系列宣传活动，活动有A（唱歌）、B（舞蹈）、C（绘画）、D（演讲）四项宣传方式．学校以“你最喜欢的宣传方式是什么？”为题目，在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表：选项方式百分比A 唱歌35%B 舞蹈aC 绘画25%D 演讲10%请结合统计图表，回答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）如果该校学生有1200人，那么可以估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有人？（3）学校采用抽签方式让每班在A、B、C、D四项宣传方式中随机抽取两项进行展示，请用树状图或列表法求某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率．六、（本题10分）23．甲、乙、丙三地在一条直线上，乙地在甲地和丙地之间，一列高速列车从甲地开往乙地，一列快速列车从丙地经乙地开往甲地，两列列车同时出发，匀速行驶，且到达各自目的地后停止运行，从两列列车出发开始，至快速列车到达丙地为止，两列列车的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象如图所示（1）甲、丙两地之间的距离是千米；（2）求两列列车的速度；（3）请直接写出s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．七、（本题12分）24．如图，将边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得到正方形AMNP，当点P第一次落在AC 上时，正方形停止旋转，在旋转过程中，MN交直线AB于点E，PN交AC于点F．（1）连接DP，BM，CN，如果DP=m，则BM=，CN=；（用含m 的代数式表示）；（2）连接MP，EF，当EF∥MP时，求正方形ABCD 旋转的角度；（3）在正方形ABCD旋转过程中，且点P在△ACD 内部时，△NEF的周长是否发生变化？如果不变，求出△NEF的周长；如果变化，说明变化情况及理由．八、（本题12分）25．如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为点A，顶点为点B．抛物线的对称轴与x轴交于点C，点M在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．（1）当m=2时，①点A的坐标为，点B的坐标为B，点M的坐标为；②过点M作MN∥AB，交x轴于点N，求△MCN 的面积；（2）当BC=2BM时，请直接写出m的值；（3）若m=，点P、Q分别从点O和点A同时出发，以相同的速度向点C运动，点P、Q到达点c时，停止运动，连接BP、BQ、MP、MQ，当∠PMQ=3∠PBQ时，请直接写出△PBQ的面积的值．2016年辽宁省沈阳市铁西区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．﹣2016的绝对值是（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣ D．【考点】绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质求出答案．【解答】解：﹣2016的绝对值是：2016．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2．据报道，截至2015年12月底，我区户籍人口突破90万，是沈阳户籍人口最多的区，数据“90万”用科学记数法可表示为（）A．90×104 B．9×104C．9×105D．0.9×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将90万用科学记数法表示为9×105．故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图所示几何体的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】计算题．【分析】从正面看几何体即可确定出主视图．【解答】解：几何体的主视图为．故选C【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．如图，AB∥CD，BD=CD，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°【考点】平行线的性质．【分析】由平行线的性质得出∠ABC=∠C=40°，由等腰三角形的性质得出∠DBC=∠C=40°，得出∠ABD=∠ABC+∠DBC=80°即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=40°，∵BD=CD，∴∠DBC=∠C=40°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=80°，故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质；熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．5．通过统计甲、乙、丙、丁四名同学某学期的四次数学测试成绩，得到甲、乙、丙、丁三明同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲2=17，S乙2=36，S丙2=14，丁同学四次数学测试成绩（单位：分）如下表：第一次第二次第三次第四次丁同学80 80 90 90则这四名同学四次数学测试成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】求得丁同学的方差后与前三个同学的方差比较，方差最小的成绩最稳定．【解答】解：丁同学的平均成绩为：×（80+80+90+90）=85；方差为S丁2=[2×（80﹣85）2+2×（90﹣85）2]=25，所以四个人中丙的方差最小，成绩最稳定，故选C．【点评】本题考查了方差的意义及方差的计算公式，解题的关键是牢记方差的公式，难度不大．6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA【考点】全等三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案．【解答】解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．7．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们的材质、大小和背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽取一张，以其正面的数学作为b的值，则满足a2+b2=5的概率为（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】画出树状图，然后确定出a2+b2=5的个数，再根据概率公式列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意，画出树状图如下：一共有6种情况，满足a2+b2=5的有：a=1，b=2；a=﹣1，b=2；a=2，b=1；a=2，b=﹣1；共4个，所以，P==．故选：D．【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．已知a，b满足方程组，若a+b+m=0，则m 的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考点】解二元一次方程组．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程组两方程相加表示出a+b，代入已知等式求出m的值即可．【解答】解：，①+②得：4（a+b）=16，即a+b=4，代入a+b+m=0中得：m=﹣4，故选A【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．如图，直线y=x﹣b与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A （3，1），连接OA，则△AOB的面积为（）A．1 B．C．2 D．3【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由点A（3，1）在直线AB上，可得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出直线AB的解析式，令y=0即可得出B点的坐标，套用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵直线y=x﹣b过点A（3，1），∴有1=3﹣b，解得b=2，∴直线的AB的解析式为y=x﹣2．令y=0，则有x﹣2=0，解得x=2，即点B的坐标为（2，0）．△AOB的面积S=×2×1=1．故选A．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是求出点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，在解决该题中，要注意到那些信息有用，那些信息无用，此题中反比例的函数解析式用不到，只要找出点B的坐标套用三角形的面积公式即可得出结论．10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED 的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．二、填空题11．计算a•a6的结果等于a7．【考点】同底数幂的乘法．【专题】计算题．【分析】利用同底数幂的法则计算即可得到结果．【解答】解：a•a6=a7．故答案为：a7【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．小明根据去年4﹣10月本班同学去电影院看电影的人数，绘制了如图所示的折线统计图，图中统计数据的中位数是32人．【考点】中位数；折线统计图．【分析】将这7个数按大小顺序排列，找到最中间的数即为中位数．【解答】解：这组数据从大到小为：27，32，32，32，42，42，46，故这组数据的中位数32．故答案为：32．【点评】此题考查了折线统计图及中位数的知识，关键是掌握寻找中位数的方法，一定不要忘记将所有数据从小到大依此排列再计算，难度一般．13．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围是m≥3．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解第一个不等式，然后根据不等式组的解集即可确定m的范围．【解答】解：，解①得x＜3，∵不等式组的解集是x＜3，∴m≥3．故答案是：m≥3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC等于10．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和已知求出==，代入求出即可．【解答】解：∵=，∴=，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∵DE=4，∴BC=10，故答案为：10．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能求出两三角形相似是解此题的关键．15．和睦社区一次歌唱比赛共500名选手参加，比赛分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表中的信息，可得比赛分数在80～90分数段的选手有150名．分数段60～70 70～80 80～90 90～100频率0.2 0.25 0.25【考点】频数（率）分布表．【分析】利用总数500乘以对应的频率即可求解．【解答】解：测试分数在80～90分数段的选手是：500×（1﹣0.25﹣0.25﹣0.2）=150（名）．故答案是：150．【点评】本题用到的知识点是：频数分布表，理解频率=频数÷总数是解决本题的关键．16．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，连接PA、PB，当S △PAB=8时，点P的坐标为（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据待定系数法求出b，c的值，得出函数解析式，根据P点在抛物线上设出P点坐标，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0）∴OA=1，OB=3，，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；设点P的坐标为（x，y），∵AB=3+1=4，∴S△PAB=×4×|y|=8，∴|y|=4，∴y=±4，当y=4时，x2﹣2x﹣3=4，∴x 1=1+2，x2=1﹣2，当y=﹣4时，x2﹣2x﹣3=﹣4，∴x=1，∴当P点的坐标分别为（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，S△PAB=8；故答案为：（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）．【点评】本题考查用待定系数法求函数的解析式，抛物线与x轴的交点，函数图象点的坐标；熟练掌握用待定系数法求函数的解析式，把三角形面积公式同函数联系起来，是一种比较常见的题型．三、解答题（17题6分，18题、19题各8分，共22分）17．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•=，当x==2时，原式==﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18．如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB=90°，求证：四边形BFDE为菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC，AB=CD，又点E、F是AB、CD中点，所以AE=CF，然后利用边角边即可证明两三角形全等；（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=EB=AB，从而可得四边形BFDE为菱形．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴AE=AB，CF=DC，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵AB=CD，AE=CF，∴BE=DF，又AB∥CD，∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵∠ADB=90°，∴点E为边AB的中点，∴DE=EB=AB，∴四边形BFDE为菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．19．某市开发区的工业企业2013年完成工业总产值120亿元，在2015完成工业总产值达到了202.8亿元，如果2016年的总产值增长率与前两年的平均增长率相同，那么该开发区内的工业企业能否在2016年完成工业总产值260亿元的目标？说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设2013年到2015年的工业总产值年平均增长率是x，那么2014年的工业总产值是120（1+x），2015年的工业总产值是120（1+x）2，然后根据205年达到202.8亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率，再根据年平均增长率就可以计算出2016年工业总产值，最后和已知数据比较即可作出判断．【解答】解：设2013年到2015年的工业总产值年平均增长率是x，依题意得120（1+x）2=202.8，∴1+x≈1.3（负值舍去），∴x≈30%．∴2016年工业总产值为：202.8×（1+30%）=263.64亿元＞260亿元，∴该目标可以完成．答：该开发区内的工业企业能在2016年完成工业总产值260亿元的目标．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．四、（20、21题各8分，共16分）20．如图，一个数学兴趣小组在活动课上测得学校旗杆的高度，已知小明站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为32°小红蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．求旗杆EF 的高度．（结果精确度0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N．设CN=x，分别表示出EM、AM 的长度，然后在Rt△AEM中，根据tan∠EAM=0.62，代入求解即可，于是可得EF=DF+CD，代入求解．【解答】解：过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N，设CN=x，在Rt△ECN中，∵∠ECN=45°，∴EN=CN=x，∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1，∵BD=5，∴AM=BF=5+x，在Rt△AEM中，∵∠EAM=32°∴=0.62，∴x﹣1=0.62（x+5），解得：x≈10.8，∴EF=x+0.7≈11.5．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、G是⊙O上两点，且=，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA 的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）当OF=FD时，①求∠E的度数；②如果DG=6，请直接写出图中、线段AE和CE 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；（2）①由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，根据相似三角形的性质得到==，=，根据直角三角形的性质即可得到结论；②由①的结论得到△OAC是等边三角形，得到∠OAC=60°，根据圆内接四边形的性质得到∠DGC=60°，求得CG=2DG=12，得到AC=CG=12，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OC，AC，CG，∵=，∴∠ABC=∠CBG，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：①∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴==，∴=，∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=OE，∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；②∵∠E=30°，∴∠COE=60°，∵OC=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∴∠DGC=60°，∵∠CDG=90°，DG=6，∴CG=2DG=12，∴AC=CG=12，∴OC=12，CE=12，∴S 阴影=S△OCE﹣S扇形AOC=×12×12﹣=72﹣24π．【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．五、（本题10分）22．学校决定在5月8日“世界红十字日”开展相关知识海洋系列宣传活动，活动有A（唱歌）、B（舞蹈）、C（绘画）、D（演讲）四项宣传方式．学校以“你最喜欢的宣传方式是什么？”为题目，在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表：选项方式百分比A 唱歌35%B 舞蹈aC 绘画25%D 演讲10%请结合统计图表，回答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）如果该校学生有1200人，那么可以估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有420人？（3）学校采用抽签方式让每班在A、B、C、D四项宣传方式中随机抽取两项进行展示，请用树状图或列表法求某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．【分析】（1）用D类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值，然后用a乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图；（2）估计样本估计总体，用1200乘以A类的百分比即可；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出含A和B的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）本次抽查的学生数=30÷10%=300（人），a=1﹣35%﹣25%﹣10%=30%；300×30%=90，即D类学生人数为90人，如图，（2）1200×35%=420（人），所以可估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有420人；故答案为：420；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中含A和B的结果数为2，所以某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了样本估计总体和条形统计图．六、（本题10分）23．甲、乙、丙三地在一条直线上，乙地在甲地和丙地之间，一列高速列车从甲地开往乙地，一列快速列车从丙地经乙地开往甲地，两列列车同时出发，匀速行驶，且到达各自目的地后停止运行，从两列列车出发开始，至快速列车到达丙地为止，两列列车的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象如图所示（1）甲、丙两地之间的距离是1000千米；（2）求两列列车的速度；（3）请直接写出s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）当t=0时，s=1000，由此可知甲、丙两地之间的距离；（2）设高速列车的速度为x千米/时，快速列出的速度为y千米/时，根据路程=速度×时间，可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（3）结合（2）中的速度，根据时间=路程÷速度可寻找出图象各拐点的坐标，设s关于t的函数关系式为y=kt+b，分段利用待定系数法即可寻找函数关系式．【解答】解：（1）当t=0时，s=1000，∴甲、丙两地之间的距离是1000千米．故答案为：1000．（2）设高速列车的速度为x千米/时，快速列出的速度为y千米/时，由题意知：，解得：．答：高速列车的速度为300千米/时，快速列车的速度为200千米/时．（3）设s关于t的函数关系式为y=kt+b，①当0≤t＜2时，有，解得．此时s=﹣500t+1000；②当t=3时，两车之间的距离为（300+200）×（3﹣2）=500（千米），当2≤t＜3时，有，解得：．此时s=500t﹣1000；③快速列车到达甲地的时间为1000÷200=5（小时），当3≤t≤5时，有，解得：．此时s=200t﹣100．综上可知：s与t之间的函数关系式为s=．【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及待定系数法求函数关系式，解题的关键是：（1）令t=0找出s=1000；（2）利用数量关系列出关于x、y的二元一次方程组；（3）找出各拐点的坐标利用待定系数法求函数关系式．本题属于中档题，（1）没有难度；（2）需结合图形分析出何时高铁到达乙地；（3）由数量关系寻找各拐点坐标，深刻体现了数形结合的好处．七、（本题12分）24．如图，将边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得到正方形AMNP，当点P第一次落在AC 上时，正方形停止旋转，在旋转过程中，MN交直线AB于点E，PN交AC于点F．（1）连接DP，BM，CN，如果DP=m，则BM=m，CN=m；（用含m的代数式表示）；（2）连接MP，EF，当EF∥MP时，求正方形ABCD 旋转的角度；（3）在正方形ABCD旋转过程中，且点P在△ACD 内部时，△NEF的周长是否发生变化？如果不变，求出△NEF的周长；如果变化，说明变化情况及理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由正方形的性质和旋转的特点，判断出△DAP≌△BAM和△DAP∽△CAN，利用勾股定理，计算即可；（2）由正方形的性质和旋转角不变，得到∠PAF=∠FAN=∠NAE=∠MAE，而这四个角的和为90°得到旋转角为22.5°；（3）由正方形的性质和旋转的特点，判断出△DAG≌△MAE，△CKF≌△NKI，△ADH≌△ABI，△AHG≌△AIG得到线段的转化．【解答】解：（1）如图1，由旋转有，∠DAP=∠BAM，AD=AP，AB=AM，∵正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得到正方形AMNP，。

沈阳市高考数学一诊试卷(理科)(I)卷

沈阳市高考数学一诊试卷（理科）（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）若集合 A={参加 2016 年里约奥运会的运动员}，集合 B={参加 2016 年里约奥运会的男运动员}，集合 C={参加 2016 年里约奥运会的女运动员}，则下列关系正确的是（）A . A⊆ BB . B⊆ C C . A∩B=CD . B∪C=A2. （2 分） (2017 高二上·孝感期末) 代数式的展开式中，常数项是（）A . ﹣7B . ﹣3C.3D.73. （2 分） (2016 高二上·红桥期中) 命题“∀ x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A . ∀ x∈R，x2+1＜1B . ∃ x∈R，x2+1≤1C . ∃ x∈R，x2+1＜1D . ∃ x∈R，x2+1≥14. （2 分） (2017·合肥模拟) 某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成 5 块区域，如图，社区准备从 4 种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域随机用一种颜色的花卉，且相邻区域（用公第 1 页共 14 页共边的）所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有（）A . 96 B . 114 C . 168 D . 240 5. （2 分） (2018·河北模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.6. （2 分）在满足不等式组么事件 A 发生的概率是（）A. B.的平面点集中随机取一点 M（x0 ， y0），设事件 A=“y0＜2x0”，那第 2 页共 14 页C. D. 7. （2 分）直线 x= 的倾斜角为（） A. B. C. D.8. （2 分）双曲线的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则 r=（）A.B.C. D.9. （2 分） (2018·中原模拟) 已知三棱锥中角形，则三棱锥的外接球半径为（），是边长为的正三A. B.C.第 3 页共 14 页D. 10. （2 分）三个数 0.60.7 ， 0.70.6 ， log0.76 的大小顺序是（） A. ＜＜B. ＜＜C.＜＜D.＜＜11. （2 分）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数么在，若牛奶在的冰箱中，保鲜时间约为的冰箱中，保鲜时间约为（），在的冰箱中，保鲜时间约为，那A.B.C.D.12. （2 分） (2017·天津) 设函数 f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中 ω＞0，|φ|＜π．若 f（） =2， f（） =0，且 f（x）的最小正周期大于 2π，则（）A . ω= ，φ=B . ω= ，φ=﹣C . ω= ，φ=﹣D . ω= ，φ=第 4 页共 14 页二、填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2015 高三上·石景山期末) 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________种．（用数字作答）14. （2 分）网上购鞋常常看到这样一张脚的长度与鞋号的对照表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．脚的长度与鞋号对照表中国鞋码实际标 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 注（同国标码）mm中国鞋码习惯叫 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 法（同欧码）从上述表格中可以推算出 30 号的童鞋对应的脚的长度为________；若一个篮球运动员的脚长为 282mm，则他该穿________号的鞋．15. （1 分） (2014·江苏理) 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=8，AD=5， =3 ， • =2，则 • 的值是________．16. （1 分）已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么 a 的取值范围为________三、解答题 (共 7 题；共 65 分)17. （10 分） (2016 高三上·平阳期中) 设函数 f（x）= • ，其中向量 =（2cosx，1）， =（cosx， sin2x），x∈R．（1）求 f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知 f（A）=2，b=1，△ABC 的面积为，求第 5 页共 14 页的值．18. （10 分） (2017 高二上·南宁月考) 在，，且.（1）求角的大小；中，角的对边分别为，已知向量（2）若点为上一点，且满足，求的面积.19. （5 分） (2017·新课标Ⅱ卷文) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（Ⅰ）记 A 表示时间“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A 的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：旧养殖法新养殖法箱产量＜50kg箱产量≥50kg（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K） K0.050 3.8410.010 6.6350.001 10.828第 6 页共 14 页K2=．20. （5 分） (2017·南海模拟) 已知 PC⊥平面 ABC，AC=2 上靠近 B 的四等分点，PE∥CB，PC∥EB．，PC=BC，AB=4，∠BAC=30°．点 D 是线段 AB（Ⅰ）证明：直线 AB⊥平面 PCD；（Ⅱ）若 F 为线段 AC 上靠近 C 的四等分点，求平面 PDF 与平面 CBD 所成锐二面角的正切值．21. （15 分） (2017·邯郸模拟) 设函数 f（x）=ex﹣lnx．（参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）．（1）求证：函数 f（x）有且只有一个极值点 x0；（2）求函数 f（x）的极值点 x0 的近似值 x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；（3）求证：f（x）＞2.3 对 x∈（0，+∞）恒成立．22. （10 分） (2017·赣州模拟) 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线 l：（1）求曲线 C 的参数方程；（t 为参数，0≤α＜π）．（2）若直线 l 与曲线 C 相切，求直线 l 的倾斜角及切点坐标．23. （10 分） (2016 高三上·沙市模拟) 解答（1）设函数 f（x）=|x﹣ 大值；|+|x﹣a|，x∈R，若关于 x 的不等式 f（x）≥a 在 R 上恒成立，求实数 a 的最第 7 页共 14 页（2）已知正数 x，y，z 满足 x+2y+3z=1，求 + + 的最小值．第 8 页共 14 页一、选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、参考答案14-1、第 9 页共 14 页15-1、 16-1、三、解答题 (共 7 题；共 65 分)17-1、17-2、 18-1、 18-2、第 10 页共 14 页19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

(完整版)东北三省三校2016届高三第一次高考模拟考试数学(理)试卷

哈尔滨师大附中 2016年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷东北师大附中辽宁省实验中学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．若集合[2,3]A =，2{|56}B x x x =-+，则A B =IA ．{2,3}B ．∅C ．2D ．[2,3] 2．若复数z 满足zi = 1 + i ，则z 的共轭复数是A ．-1 - iB ．1 + iC ．-1 + iD ．1 - i3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是A ．1100B ．100C ．10D ．14．已知向量a ，b 满足(1,3)+=-a b ，(3,7)-=a b ，⋅=a bA ．-12B ．-20C ．12D ．205．若函数22,0()24,0x x x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则((1))f f 的值为A ．-10B ．10C ．-2D ．26．设,a b R ∈，若:p a b <，11:0q b a<<，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45-B ．45C ．35-D ．358．数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为A ．33341296433C C C A A B ．333412963C C CC ．33331296444C C C A D ．333312964C C C9x165160175155 170 y 58 52 624360A ．-96.8B ．96.8C ．-104.4D ．104.410．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．73B ．172C ．13D ．173102+11．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．2C ．5D ．612．已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象为一条连续不断的曲线，(1)(1)f x f x +=-，(1)f a =，且当0 < x < 1时，()f x 的导函数()f x '满足：()()f x f x '<，则()f x 在[2015,2016]上的最大值为 A ．aB ．0C ．-aD ．2016第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

辽宁省沈阳市高考理科数学一模试卷

辽宁省沈阳市高考理科数学一模试卷辽宁省沈阳市高考理科数学一模试卷选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)(商丘一模)设复数z满足(1﹣i)z=2i，则z的共轭复数()A. ﹣1+iB. ﹣1﹣iC. 1+iD. 1﹣i【考点】：复数代数形式的乘除运算.【专题】：数系的扩充和复数.【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则其共轭复数可求.【解析】：解：由(1﹣i)z=2i，得= ，∴.故选：B.【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.2.(5分)(汕头一模)若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于()A. M&cup；NB. M&cap；NC. (&#8705；UM)&cup；(&#8705；UN)D. (&#8705；UM)&cap；(&#8705；UN) 【考点】：交、并、补集的混合运算.【专题】：集合.【分析】：由题意可得5&isin；&#8705；UM，且5&isin；&#8705；UN；6&isin；&#8705；UM，且6&isin；&#8705；UN，从而得出结论.【解析】：解：∵5&notin；M，5&notin；N，故5&isin；&#8705；UM，且5&isin；&#8705；UN.同理可得，6&isin；&#8705；UM，且6&isin；&#8705；UN，∴{5，6}=(&#8705；UM)&cap；(&#8705；UN)，故选：D.【点评】：本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题.3.(5分)(2019·安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【考点】：充要条件.【专题】：计算题；简易逻辑.【分析】：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解析】：解：∵x<0，∴x+1<1，当x+1>0时，ln(x+1)<0；∵ln(x+1)<0，∴0∴“x<0”是ln(x+1)<0的必要不充分条件.故选：B.【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础.4.(5分)(沈阳一模)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A. (0，a)B. (a，0)C. (0，)D. ( ，0)【考点】：抛物线的简单性质.【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】：先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标.【解析】：解：由题意知，y=4ax2(a≠0)，则x2= ，所以抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是(0，)，故选：C.【点评】：本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题.5.(5分)(沈阳一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2﹣Sn=36，则n=()A. 5B. 6C. 7D. 8【考点】：等差数列的性质.【专题】：等差数列与等比数列.【分析】：由Sn+2﹣Sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差数列的通项公式求解n.【解析】：解：由Sn+2﹣Sn=36，得：an+1+an+2=36，即a1+nd+a1+(n+1)d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2(n+1)=36.解得：n=8.故选：D.【点评】：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题.6.(5分)(沈阳一模)已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A. B. C. 2cm3 D. 4cm3【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】：空间位置关系与距离.【分析】：由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解.【解析】：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B.【点评】：本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题.7.(5分)(沈阳一模)已知x，y满足约束条件，则z=2x+y 的最大值为()A. 3B. ﹣3C. 1D.【考点】：简单线性规划.【专题】：计算题.【分析】：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.【解析】：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A(2，﹣1)时，z最大是3，故选A.【点评】：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.8.(5分)(沈阳一模)若执行如图的程序框图，则输出的k 值是()A. 4B. 5C. 6D. 7【考点】：程序框图.【专题】：图表型；算法和程序框图.【分析】：执行程序框图，写出每次循环得到的n，k 的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k 的值为4.【解析】：解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4.故选：A.【点评】：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查.9.(5分)(沈阳一模)由曲线y=x2，y= 围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D. 1【考点】：定积分在求面积中的应用.【专题】：计算题；导数的概念及应用.【分析】：联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2，y= 围成的封闭图形的面积.【解析】：解：由曲线y=x2，y= ，联立，因为x&ge；0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与y= 所围成的图形的面积S=&int；01( ﹣x2)dx= ﹣x3|01=故选：B.【点评】：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，属于基础题.10.(5分)(沈阳一模)在△ABC中，若| + |=| ﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则· =()A. B. C. D.【考点】：平面向量数量积的运算.【专题】：计算题；平面向量及应用.【分析】：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求.【解析】：解：若| + |=| ﹣|，则= ，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=( + )·( + )=( )·( )=( + )·( + )= + + = ×(1+4)+0= .故选B.【点评】：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题.11.(5分)(沈阳一模)函数y=﹣的图象按向量=(1，0)平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx(﹣2&le；x&le；4)的图象所有交点的橫坐标之和等于()A. 2B. 4C. 6D. 8【考点】：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】：压轴题；数形结合.【分析】：y1= 的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点(1，0)中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点(1，0)，故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2.由此不难得到正确答案.【解析】：解：函数y=﹣的图象按向量=(1，0)平移之后得到函数y1= ，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1，0)，作出两个函数的图象如图：当1而函数y2在(1，4)上出现1.5个周期的图象，在(1，)和( ，)上是减函数；在( ，)和( ，4)上是增函数.∴函数y1在(1，4)上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在(﹣2，1)上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8，故选：D.【点评】：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间(1，4)上的交点个数是本题的难点所在.12.(5分)(沈阳一模)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f&prime；(x)>1，f(0)=4，则不等式f(x)> +1(e为自然对数的底数)的解集为()A. (0，+&infin；)B. (﹣&infin；，0)&cup；(3，+&infin；)C. (﹣&infin；，0)&cup；(0，+&infin；)D. (3，+&infin；)【考点】：利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法.【专题】：计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用.【分析】：不等式f(x)> +1可化为exf(x)﹣ex﹣3>0；令F(x)=exf(x)﹣ex﹣3，从而利用导数确定函数的单调性，再由单调性求解.【解析】：解：不等式f(x)> +1可化为exf(x)﹣ex﹣3>0；令F(x)=exf(x)﹣ex﹣3，则F&prime；(x)=exf(x)+exf&prime；(x)﹣ex=ex(f(x)+f&prime；(x)﹣1)；∵f(x)+f&prime；(x)>1，∴ex(f(x)+f&prime；(x)﹣1)>0；故F(x)=exf(x)﹣ex﹣3在R上是增函数，又∵F(0)=1×4﹣1﹣3=0；故当x>0时，F(x)>F(0)=0；故exf(x)﹣ex﹣3>0的解集为(0，+&infin；)；即不等式f(x)> +1(e为自然对数的底数)的解集为(0，+&infin；)；故选A.【点评】：本题考查了不等式的解法及构造函数的能力，同时考查了导数的综合应用，属于中档题.辽宁省沈阳市高考理科数学一模试卷填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.)13.(5分)(沈阳一模)若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y= x.【考点】：双曲线的简单性质.【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y= x，即可得到所求方程.【解析】：解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y= x，即为y= x.故答案为：y= x.【点评】：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题.14.(5分)(沈阳一模)已知{an}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+anan+1=.【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式.【专题】：计算题.【分析】：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案.【解析】：解：由，解得.数列{anan+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为.【点评】：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用.应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息.15.(5分)(沈阳一模)若直线l：(a>0，b>0)经过点(1，2)则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2 .【考点】：直线的截距式方程.【专题】：直线与圆.【分析】：把点(1，1)代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=(a+b)( )，展开后利用基本不等式求最值.【解析】：解：∵直线l：(a>0，b>0)经过点(1，2)∴=1，∴a+b=(a+b)( )=3+ &ge；3+2 ，当且仅当b= a时上式等号成立.∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2 .故答案为：3+2 .【点评】：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题.16.(5分)(沈阳一模)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC&perp；AC，&ang；A= ，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC.则异面直线PQ与AC所成角的正弦值.【考点】：异面直线及其所成的角.【专题】：空间角.【分析】：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值.【解析】：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A(0，4，0)，C(0，0，0)，B(4 ，0，0)，M(0，4，2)，A1(0，4，4)，P(2 ，2，1)，= = (0，4，4)=(0，1，1)，∴Q(0，1，1)，=(0，﹣4，0)，=(﹣2 ，﹣1，0)，设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=|cos< >|=| |= ，∴sinθ= = .故答案为：.【点评】：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.。

辽宁省沈阳市2016届高三数学上学期教学质量监测试题(一)理(扫描版)

辽宁省沈阳市2016届高三数学上学期教学质量监测试题（一）理（扫描版）2016年沈阳市高三教学质量监测（一）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一．选择题1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.C8.B9.B 10.A 11.B 12.D题1A21i-1i =+，其对应的点为(1,1)，故选A. 题2D 化简集合A {}|0x x =>，从而A 、C 错，{}|0R C A x x =≤，故选D.题3C A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或'2ln 22ln 20x x y -=+>），故选C .题4B 由题2a ab =⋅，而>=<,cos 22122aa b a ba⋅==⋅，故选B. 题5B题6A 解出{}n a 的公差37242d -==--，于是{}n a 的通项为)3(25--=n a n 112+-=n ，可见{}n a 是减数列，且650a a >>，065=+a a ，于是092259>⋅=a S ， 01026510=⋅+=a a S ，01122611<⋅=aS ，从而该题选A. 题7C 不妨令该函数解析式为)sin(ϕω+=x A y ，由图知1=A ，3434ππ-=T 125π=，于是352πωπ=，即56=ω，3π是函数减时经过的零点，于是ππϕπ+=+⋅k 2356，k ∈Z ，所以ϕ可以是53π，选C.题8B 由框图知输出的结果32016sin 32sin 3sin πππ+++= s ，因为函数x y 3sin π=的周期是6，所以)36sin 32sin3(sin 336πππ+++= s 00336=⨯=，故选B. 题9B 依题画出可行域如图，可见ABC ∆令x y m -=，则m 为直线:l m x y +=在y由图知在点)6,2(A 处m 取最大值是4，在(2,0)C 处最小值是-2，所以[2,4]m ∈-，所以z 的最大值是4,故选B.题10A 令点),(00y x P ，因该双曲线的渐近线分别是03=-y x ，03=+y x ，所以=PA 1313+-y x ，=PB 1313++y x ，又AOB APB ∠-=∠cos cos AOx ∠-=2cos 3cosπ-=21-=，所以PA PB⋅APB ∠⋅=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=21433432020y x 83-=，选A.此题可以用特殊位置法解决：令P 为实轴右顶点，此时323,,,38PA PB PA PB PA PB π==<>=∴⋅=-，选A. 题11B 由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：14C ；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一情况下有13C 种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集），在第二情况下有1种分法（剩下三名同学各分到一本小说），在第三情况下有13C 种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说），这样第二步骤共有情况数是++113C 713=C ，故本题的答案是28714=C ，选B.解法2：将3本相同的小说记为a,a,a; 2本相同的诗集记为b,b,将问题分成3种情况，分别是1、aa,a,b,b,此种情况有2412A =种；2、bb,a,a,a, 此种情况有144C =种；3、Ab,a,a,b, 此种情况有2412A =种，总共有28种，故选B题12D 由题x x f 2)(='，200)(x x f =，所以l 的方程为2000)(2x x x x y +-=2002x x x -=，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为)ln ,(11x x ，xy 1='，所以l 的方程为y 1ln 111-+=x x x ，这样有⎪⎩⎪⎨⎧=-=20110ln 112x x x x ，所以2002ln 1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ，()1,x ∈+∞，所该函数的零点就是0x ，排除A 、B 选项，又因为x x x g 12)(-='xx 122-=，所以)(x g 在()1,+∞上单调增，又02ln )1(<-=g ，022ln 1)2(<-=g，20g =-0x << D.二.填空题13.2425 14. 43 15.66 16.115(0,)(2-+ 题13 依题2512sin 1)cos (sin 2=-=-ααα，所以25242sin =α，答案为2425.题14 令l 与y 轴交点为B ，在ABF Rt ∆中，030=∠AFB ，2=BF ，所以3AB =),(00y x p ，则03x =，代入24x y =中，则013y =，而0413PF PA y ==+=，故答案为43.几何法：如图所示，030AFO ∠=，30PAF ∴∠=︒又120PA PF APF APF =∴∆∠=︒为顶角的等腰三角形而24cos3033AF PF ==∴==︒，故答案为43.题15 依题)2(321≥+=-n S a n n ，与原式作差得， n n n a a a 21=-+，即n n a a 31=+，2≥n ，可见，数列{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列，52=a ，所以345(13)113S -=+-66=.故答案为66. 题16当1+=ax y 过点)2,2(B 时，则21=a ，满足方程有两个解；当1+=ax y 与12)(-=x x f 相切时，则251+-=a ，满足方程有两个解；所求范围115(0,),122⎛⎤-+ ⎥ ⎝⎦. 三.解答题17．解：（Ⅰ）由A B C π+=-，以及正弦定理得，2cosC b a =- ， …………………3分又43π=C ，所以b =，从而有222b a =.………………………………………6分（Ⅱ）由1sin 2ABCS ab C ∆=14ab ==，所以ab =，即：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩9分由余弦定理知， 2222cosC c a b ab =+-2410=++=，…………11分所以c =……………………………………………………………………………12分 18．解：几何解法（Ⅰ）连接1BC 交C B 1于M ，则直线ME 即为平面1ABD 与平面EC B 1的交线，如图所示；……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体1AC 中，所以M 为1BC 的中点，又E 为11C D 的中点所以在B C D 11∆中EM 是中位线，所以1//BD EM ，…………………………6分又⊂EM 平面EC B 1，⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1；……………………8分（Ⅲ）因为在长方体1AC 中，所以11//BC AD ，平面1ABD 即是平面11D ABC ，过平面EC B 1上点1B 作1BC 的垂线于F ，如平面图①，因为在长方体1AC 中，⊥AB 平面11BCC B ⊂F B 1平面11BCC B ，所以AB F B ⊥1， B AB BC =⋂1，所以⊥F B 1平面1ABD 于F .过点F 作直线EM 的垂线于N ，如平面图②，连接N B 1，由三垂线定理可知，EM N B ⊥1.由二面角的平面角定义可知，在FN B Rt 1∆中， NF B 1∠即是平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的平面角.因长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，在平面图①中，B 1平面图①1CBD A平面图②ACD A 1B 1C 1BD 1EM525211=⨯=F B ， (10)分1053=FM ， 251=M C ，11=E C ，在平面图②中，由1EMC ∆相似1F MN ∆可知EMFMEC FN ⋅=1225110531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=55=，所以NF B 1tan ∠NF F B 1=25552=⋅=，所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为2arctan .………………………12分空间向量解法：（Ⅰ）见上述. …………………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为在长方体1AC 中，所以1,,DD DC DA 两两垂直，于是以1,,DD DC DA 所在直线分别为z y x ,,轴，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为2==AB AD ,11=AA ，所以)0,0,0(D ，)1,0,0(1D ，)0,2,2(B ，)1,2,2(1B ，)0,2,0(C)1,1,0(E .所以)1,2,2(1--=BD ，,0,2(1=CB )1,1,0(-=，…………………………6分令平面EC B 1的一个法向量为),,(z y x = 所以m CB ⊥1，m CE ⊥，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001m CB ，即⎩⎨⎧==+z y z x 02，不妨令=x 得到平面EC B 1的一个法向量为)2,2,1(-=m ，而02421=+-=⋅BD ，所以BD ⊥1，又因为⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1.…………………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知)0,2,0(-=，)1,2,2(1--=BD ，令平面1ABD 的一个法向量为),,(z y x =,所以⊥，BD ⊥1，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01BD ，即⎩⎨⎧=+--=-02202z y x y ，不妨令1=x ，得到平面1ABD 的一个法向量为)2,0,1(=，………………………………………10分因为n m <,cos 555941=⋅+-=.………………………………………11分所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为55arccos .…………………12分19．解：（Ⅰ）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .…………………6分（Ⅱ）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. …………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ； 81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)4(=⨯⨯==X P ；241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P . 这样X 的分布列为：（………………………………每答对两个，加1分）于是，246245124243824140)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 12=. ……12分20．解：（Ⅰ）依题，令椭圆E 的方程为22221x y a b +=，(0)a b >>222c a b =-(0)c >，所以离心率12c e a ==，即2a c =.…………………………2分令点A 的坐标为00(,)x y ，所以2200221x y a b +=，焦点1(,0)F c -，即1AF ===0cx a a =+，（没有此步，不扣分）因为0[,]x a a ∈-，所以当0x a =-时，1min AF a c =-，……………………………3分由题1a c -=，结合上述可知2,1a c ==，所以23b =，于是椭圆E 的方程为22143x y +=.分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F -，如图，直线AB 不能平行于x 轴，所以令直线AB 为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程，22341201x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=，所以，122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.……………………………………………5分若ABCD 是菱形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，于是有12120x x y y ⋅+⋅=，……6分又1212(1)(1)x x my my ⋅=--21212()1m y y m y y =⋅-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +⋅-++=，………………………………………………7分得到22125034m m --=+ ，可见m 没有实数解，故ABCD 不能是菱形. ………………8分（Ⅲ）由题4ABCDAOB SS ∆=，而11212AOB S OF y y ∆=⋅-，又11OF = ，即1122ABCD SOF y y =⋅-=9分由（Ⅱ）知122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.所以，ABCDS==10分=因为函数1()9f t t t=+，[1,)t ∈+∞，在1t =时，min ()10f t =，………………11分即ABCD S的最大值为6，此时211m +=，也就是0m =时，这时直线AB x ⊥轴，可以判断ABCD 是矩形. …………………………………12分 21．解：(Ⅰ)依题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根.即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根.（解法一）转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，如图. 可见，若令过原点且切于函数ln y x =图像的直线斜率为k ，只须0a k <<. 令切点00A(,ln )x x ，所以001|x x k y x ='==，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =，解得，0x e =，于是1k e =，所以10a e<<.………………………………………6分（解法二）转化为，函数ln ()xg x x=与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点.又21ln ()xg x x-'=，即0x e <<时，()0g x '>，x e >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减.从而()()g x g e =极大1e=………3分又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()0g x →，所以()g x 的草图如下，可见，要想函数ln ()xg x x=与函数y a =图像在(0,)+∞上有两个不同交点，只须10a e<<.………………………………（解法三）令()ln g x x ax =-，从而转化为函数()g x 有两个不同零点，而11()ax g x ax x x-'=-=（0x >）若0a ≤，可见()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调增，此时()g x 不可能有两个不同零点. ………………………………………………3分若0a >，在10x a<<时，()0g x '>，在1x a >时，()0g x '<，所以()g x 在1(0,)a 上单调增，在1(,)a+∞上单调减，从而1()()g x g a =极大1ln1a=- 又因为在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()g x →-∞，于是只须：()0g x >极大，即1ln10a ->，所以10a e<<. 综上所述，10a e<<……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+. 由（Ⅰ）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+，因为0>λ，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+.………………………………………………………7分又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，1122ln ()xa x x x =-，即1212lnx x a x x =-.所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+，因为120x x <<，原式恒成立，即112212(1)()ln x x x x x x λλ+-<+恒成立. 令12x t x =，(0,1)t ∈，则不等式(1)(1)ln t t t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立. ………………………………8分令(1)(1)()ln t h t t t λλ+-=-+，又221(1)()()h t t t λλ+'=-+22(1)()()t t t t λλ--=+, 当21λ≥时,可见(0,1)t ∈时,()0h t '>,所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增,又(1)0h =，()0h t <在(0,1)t ∈恒成立,符合题意. ………………………………………10分当21λ<时, 可见2(0,)t λ∈时,()0h t '>, 2(,1)t λ∈时()0h t '<, 所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增,在2(,1)t λ∈时单调减, 又(1)0h =, 所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述, 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,只须21λ≥,又0λ>,所以1λ≥.…12分22．（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, ……………3分同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分（Ⅱ）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ，所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠，又由（Ⅰ）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠,所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TDDTM TMD=∠∠,在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BDTC AC =, 所以MD BDMC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅.…………………………………10分 23．（Ⅰ）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)x y +-又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为: 00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.24．（Ⅰ）因为“a b c ∀>>，11t a b b c a c+≥---”是真命题，所以a b c ∀>>，11t a b b c a c+≥---恒成立，又c b a >>，所以)11()(cb b ac a t -+-⋅-≤恒成立，所以，min )]11()[(c b b a c a t -+-⋅-≤.…………………………3分又因为)11()()11()(cb b ac b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅-42≥--+--+=cb ba b a c b ，“=”成立当且仅当b a c b -=-时. 因此，4≤t ，于是4=m . ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈），因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分。

辽宁省沈阳市沈河区2016届中考数学一模试卷含答案解析

2016年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．在2，﹣2，0，﹣3中，最大的数是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣32．方程x2=3x的根是（）A．3 B．﹣3或0 C．3或0 D．03．由几块大小相同的正方体搭成如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B． C． D．4．2015年春运期间，全国有23.2亿人次进行东西南北大流动，用科学记数法表示23.2亿是（）A．23.2×108B．2.32×109C．232×107D．2.32×1085．下列事件是必然事件的是（）A．打开电视机正在播放广告B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C．任意一个一元二次方程都有实数根D．在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°6．若点P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a＜07．一次数学测试后，随机抽取5名学生的成绩如下：78，116，98，91，116．这组数据的中位数是（）A．91 B．98 C．78 D．1168．下列计算中，正确的是（）A．a3•a2=a6B．=±3 C．（）﹣1=﹣2 D．（π﹣3.14）0=19．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）均在反比例函数y=的图象上，若x1＜0＜x2，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜010．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转120°至△A′B′C′的位置，则点A经过的路线的长度是（）A．B．4C．8 D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．分解因式（2x+3）2﹣x2=．12．等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为．13．在代数式x2____2x____1的空格“____”中，任意填上“+”或“﹣”，可组成若干个不同的代数式，其中能够构成完全平方式的概率为．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=．15．如图，在直角坐标系中，△OAB和△OCD是位似图形，O为位似中心，若A点的坐标为（1，1），B点的坐标为（2，1），C点的坐标为（3，3），那么点D的坐标是．16．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B=90°，∠ADC=∠ACB+45°，BC=AB+，若AC=CD，则边AD的长为．三、解答题（共9小题，满分82分）17．先化简，再求代数式的值，其中a=tan60°﹣6sin30°．18．如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．（1）求DF的长；（2）点H为CD的中点，连接AH交BF于点G，点G是BF的中点吗？请说明理由．19．某电视台为了解观众对“跑男”综艺节目的喜爱情况，随机抽取某社区部分观众，进行问卷调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求被调查的男观众中，表示“不喜欢”的男观众所占的百分比是多少？（2）求这次调查的女观众人数，并直接补全条形统计图．（3）在扇形统计图中，“一般”所对应的圆心角为度．（4）若该社区有女观众约1000人，估计该社区女观众喜欢看“跑男”综艺节目的有多少人？20．如图，某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角尺测得雕塑顶端点A的仰角为30°，底部点B的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角尺测得点A的俯角为60°．若CD为9.6m，则雕塑AB的高度为多少？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．21．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．22．（2015•巴中）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．23．某仓储系统有12条输入传送带，12条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图1，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图2，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图3．（1）每条输入传送带每小时进库的货物流量为吨，每条输出传送带每小时出库的货物流量为吨．（2）在0时至2时内，求出仓库内货物存量y（吨）与时间x（小时）之间的函数关系式：．（3）在4时至5时，有条输入传送带和条输出传送带在工作．24．（1）如图①，点E是正方形ABCD边BC上任意一点，过点C作直线CF⊥AE，垂足为点H，直线CF交直线AB于点F，过点E作EG∥AB，交直线AC于点G．则线段AD，EG，BF之间满足的数量关系是；（2）如图②，若点E在边CB的延长线上，其他条件不变，则线段AD，EG，BF之间满足的数量关系是，证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为4，tan∠F=，将一个45°角的顶点与点A重合，并绕点A旋转，这个角的两边分别交线段EG于M，N两点．当EN=2时，求线段GM 的长．25．已知该抛物线y=x2+bx+c，经过点B（﹣4，0）和点A（1，0）与y轴交于点C．（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；（2）如图1，经过点B的直线l交抛物线于点E，且满足∠EBO=∠ACB，求出所有满足条件的点E 的坐标，并说明理由；（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在左，点N在右），分别过点M，N作PM∥x轴，PN∥y轴，PM，PN交于点P．点M，N运动时，且始终保持MN=不变，当△MNP的面积最大时，请直接写出直线MN的表达式．2016年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．在2，﹣2，0，﹣3中，最大的数是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣3【考点】有理数大小比较．【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点即可得出结论．【解答】解：如图所示，，故最大的数是2．故选A．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．2．方程x2=3x的根是（）A．3 B．﹣3或0 C．3或0 D．0【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣3）=0，方程就可转化为两个一元一次方程x=0或x﹣3=0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：∵x2=3x，∴x2﹣3x=0，∴x（x﹣3）=0，∴x=0或x=3，故选C．【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．3．由几块大小相同的正方体搭成如图所示的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故选：D ．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．4．2015年春运期间，全国有23.2亿人次进行东西南北大流动，用科学记数法表示23.2亿是（） A ．23.2×108 B ．2.32×109 C ．232×107 D ．2.32×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将23.2亿用科学记数法表示为：2.32×109．故选：B ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5．下列事件是必然事件的是（）A ．打开电视机正在播放广告B ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C ．任意一个一元二次方程都有实数根D ．在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：打开电视机正在播放广告是随机事件，A 不正确；投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，B不正确；任意一个一元二次方程都有实数根是随机事件，C不正确；在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，D正确；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．若点P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a＜0【考点】点的坐标．【分析】根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a﹣2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．【解答】解：∵点P（a，a﹣2）在第四象限，∴a＞0，a﹣2＜0，0＜a＜2．故选B．【点评】此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．7．一次数学测试后，随机抽取5名学生的成绩如下：78，116，98，91，116．这组数据的中位数是（）A．91 B．98 C．78 D．116【考点】中位数．【分析】先把这些数从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案．【解答】解：把这些数从小到大排列为：78，91，98，116，116，最中间的数是98，则组数据的中位数是98；故选B．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．8．下列计算中，正确的是（）A．a3•a2=a6B．=±3 C．（）﹣1=﹣2 D．（π﹣3.14）0=1【考点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据同底数幂的乘法、算术平方根、零指数幂和负整数指数幂分别进行计算即可得出答案．【解答】解：A、a3•a2=a5，故本选项错误；B、=3，故本选项错误；C、（）﹣1=2，故本选项错误；D、（π﹣3.14）0=1，故本选项正确；故选D．【点评】此题考查了算术平方根、同底数幂的乘法、零指数幂和负整数指数幂，关键是熟练掌握运算法则是本题的关键．9．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）均在反比例函数y=的图象上，若x1＜0＜x2，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数y=的系数判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．【解答】解：∵反比例函数y=中，k=2＞0，∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1＜0＜x2，∴A（x1，y1）位于第三象限，B（x2，y2）位于第一象限，∴y1＜0＜y2．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转120°至△A′B′C′的位置，则点A经过的路线的长度是（）A．B．4C．8 D．【考点】弧长的计算；旋转的性质．【分析】首先根据直角三角形的性质求得AC的长，A经过的路线是一个半径是AC，圆心角是120°的弧，根据弧长公式即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，∴AC=2BC=4，∴点A经过的路线的长是：=．故选D．【点评】本题主要考查了旋转的性质，以及弧长的计算公式，正确确定经过的路线是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．分解因式（2x+3）2﹣x2=3（x+3）（x+1）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．【解答】解：（2x+3）2﹣x2=（2x+3﹣x）（2x+3+x）=3（x+3）（x+1）．故答案为：3（x+3）（x+1）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．12．等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为15．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，∵3+3=6，∴不能组成三角形，②3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长=3+6+6=15，综上所述，它的周长为15．故答案为：15．【点评】本题考查了三角形的性质，难点在于讨论并利用三角形的三边关系进行判定是否能组成三角形．13．在代数式x2____2x____1的空格“____”中，任意填上“+”或“﹣”，可组成若干个不同的代数式，其中能够构成完全平方式的概率为．【考点】列表法与树状图法；完全平方式．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够构成完全平方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，其中能够构成完全平方式的有2种情况，∴能够构成完全平方式的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=8．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】压轴题．【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB=∠CAE=30°，即可得出AE的长．【解答】解：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠CBA=30°，∴∠EAB=∠CAE=30°，∴CE=AE=4，∴AE=8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB=∠CAE=30°是解题关键．15．如图，在直角坐标系中，△OAB和△OCD是位似图形，O为位似中心，若A点的坐标为（1，1），B点的坐标为（2，1），C点的坐标为（3，3），那么点D的坐标是（6，3）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．【解答】解：∵A点的坐标为（1，1），C点的坐标为（3，3），∴位似比k=3，∵B点的坐标为（2，1），∴点D的坐标是：（2×3，1×3），即（6，3）．故答案为：（6，3）．【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．16．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B=90°，∠ADC=∠ACB+45°，BC=AB+，若AC=CD，则边AD的长为．【考点】正方形的判定与性质；勾股定理．【分析】作∠DCM=∠ACB，并过D作DH⊥CM于H，延长HD交BA延长线于K，由AAS证明△ABC≌△DHC，得出BC=HC，AB=DH，证出四边形BCKH是正方形，得出∠K=90°，BK=HK，由已知条件得出AK=DK=BC﹣AB=，△ADK是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：作∠DCM=∠ACB，并过D作DH⊥CM于H，延长HD交BA延长线于K，如图所示：设∠DCM=∠ACB=x，∵AC=AD，∴∠DAC=∠ADC=x+45°，∴∠ACD=180°﹣2（x+45°）=90°﹣2x，∴∠BCH=90°，在△ABC和△DHC中，，∴△ABC≌△DHC（AAS），∴BC=HC，AB=DH，∴四边形BCKH是正方形，∴∠K=90°，BK=HK，∴AK=DK=BC﹣AB=，∴△ADK是等腰直角三角形，∴AD==．故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．三、解答题（共9小题，满分82分）17．先化简，再求代数式的值，其中a=tan60°﹣6sin30°．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹣•=﹣=，∵a=tan60°﹣6sin30°=﹣6×=﹣3，∴原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18．如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．（1）求DF的长；（2）点H为CD的中点，连接AH交BF于点G，点G是BF的中点吗？请说明理由．【考点】平行四边形的性质．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线证出∠F=∠FBC，得出BC=CF=6，即可得出结果；（2）证出FH=AB，由AAS证明△ABG≌△HFG，得出对应边相等即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BC=AD=6，CD=AB=4，∴∠F=∠FBA，∵∠ABC平分线为AE，∴∠FBC=∠FBA，∴∠F=∠FBC，∴BC=CF=6，∴DF=CF﹣CD=6﹣4=2．（2）如图所示：点G是BF的中点；理由如下：∵点H为CD的中点，∴DH=CD=2，∴HF=DF+HF=4，∴HF=AB，在△ABG和△HFG中，，∴△ABG≌△HFG（AAS），∴BG=FG，∴点G是BF的中点．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．19．某电视台为了解观众对“跑男”综艺节目的喜爱情况，随机抽取某社区部分观众，进行问卷调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求被调查的男观众中，表示“不喜欢”的男观众所占的百分比是多少？（2）求这次调查的女观众人数，并直接补全条形统计图．（3）在扇形统计图中，“一般”所对应的圆心角为108度．（4）若该社区有女观众约1000人，估计该社区女观众喜欢看“跑男”综艺节目的有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据百分比的意义即可直接求解；（2）根据喜欢节目的女生人数是180人，所占的百分比是60%，据此即可求得调查的总数，从而求得不喜欢的人数，补全直方图；（3）利用360°乘以对应的百分比即可求得；（4）利用总人数乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）表示“不喜欢”的男观众所占的百分比是×100%=60%，答：表示“不喜欢”的男观众所占的百分比是60%；（2）女观众的人数是（90+180）÷（1﹣10%）=300（人），则不喜欢的女生人数是300﹣90﹣180=30（人）．，答：这次调查的女观众的人数是300人；（3）扇形统计图中，“一般”所对应的圆心角是：360×（1﹣60%﹣10%）=108°；（4）该社区女观众喜欢看“跑男”综艺节目的人数是1000×=600（人），答：喜欢看“跑男”综艺节目的女观众约有600人．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．20．如图，某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角尺测得雕塑顶端点A的仰角为30°，底部点B的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角尺测得点A的俯角为60°．若CD为9.6m，则雕塑AB的高度为多少？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先过点C作CE⊥AB于E，然后利用三角函数的性质，求得CD，AC的长，然后在Rt△ACE 中，求得AE的长，继而求得CE的长，又在Rt△BCE中，求得BE的长，继而求得答案．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E．∵∠ADC=90°﹣60°=30°，∠ACD=90°﹣30°=60°，∴∠CAD=90°．∵CD=9.6，∴AC=CD=4.8．在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，∠ACE=30°，∴AE=AC=2.4，CE=AC•cos∠ACE=4.8•cos30°=．在Rt△BCE中，∵∠BCE=45°，∴BE=CE=，∴AB=AE+BE=2.4+≈6.6（米）．答：雕塑AB的高度约为6.6米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：，解得：x=1，经检验x=1是方程的根，即红球的个数为1个；（2）画树状图如下：∴P（摸得两白）==．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（2015•巴中）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；（2）利用圆周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC，又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF，∵CO=BO，∴∠OCF=∠B，∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB，又∵∠D=∠B∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴=，即=，解得；DC=．【点评】此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，得出△OCD∽△ACB是解题关键．23．某仓储系统有12条输入传送带，12条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图1，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图2，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图3．（1）每条输入传送带每小时进库的货物流量为13吨，每条输出传送带每小时出库的货物流量为15吨．（2）在0时至2时内，求出仓库内货物存量y（吨）与时间x（小时）之间的函数关系式：y=2x+8．（3）在4时至5时，有6条输入传送带和6条输出传送带在工作．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据“每小时传送货物量=增加（减少）的量÷时间”结合图1和图2即可得出结论；（2）设函数关系式为y=kx+b，由图3找出点的坐标，利用待定系数法即可求出结论；（3）设在4时至5时，有m条输入传送带和n条输出传送带在工作．结合图象得出15n﹣13m=12，结合m、n的取值范围即可得出结论．【解答】解：（1）每条输入传送带每小时进库的货物流量为：13÷1=13（吨），每条输出传送带每小时出库的货物流量为15÷1=15（吨）．故答案为：13；15．（2）当0≤x≤2时，设函数关系式为y=kx+b，∵函数的图象过点（0，8），（2，12），∴有，解得：．∴y=2x+8（0≤x≤2）．故答案为：y=2x+8．（3）设在4时至5时，有m条输入传送带和n条输出传送带在工作．由题意得：15n﹣13m=12．∴n=．∵0≤m≤12，且m和n均为整数，∴13m+12为15的整数倍，∴m=6，此时n=6．故答案为：6；6．【点评】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）根据数量关系直接求值；（2）找出点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；（3）根据数量关系得出关于m、n的方程，结合m、n的范围找出结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系结合图象找出方程（或方程组）是关键．24．（1）如图①，点E是正方形ABCD边BC上任意一点，过点C作直线CF⊥AE，垂足为点H，直线CF交直线AB于点F，过点E作EG∥AB，交直线AC于点G．则线段AD，EG，BF之间满足的数量关系是AD=EG+BF；（2）如图②，若点E在边CB的延长线上，其他条件不变，则线段AD，EG，BF之间满足的数量关系是AD=EG﹣BF，证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为4，tan∠F=，将一个45°角的顶点与点A重合，并绕点A旋转，这个角的两边分别交线段EG于M，N两点．当EN=2时，求线段GM 的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB=BC，∠ABC=90°，∠ACB=45°，由平行线的性质得出∠CEG=∠ABC=90°，得出△CEG是等腰直角三角形，EG=CE，由AAS证明△ABE≌△CBF，得出对应边相等BE=BF，即可得出AD=EG+BF；（2）由正方形的性质得出AD=AB=BC，∠ABC=90°，∠ACB=45°，由平行线的性质得出∠CEG=∠ABC=90°，得出△CEG是等腰直角三角形，EG=CE，由AAS证明△ABE≌△CBF，得出BE=BF，即可得出AD=EG﹣BF；（3）过A作AP⊥EG于P，过M作MQ⊥AG于Q，则四边形ABEP为矩形，得出AB=PE，AP=BE，由正方形的性质得出AB=BC=AD=PE=4，由三角函数得出BE=BF=AP=6，得出PN=2，证明△AQM∽△APN，得出对应边成比例，AQ=3QM，由勾股定理求出AG，证明△AGP∽△GMQ，得出对应边成比例，GM=QM，设GM=x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）AD=EG+BF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC，∠ABC=90°，∠ACB=45°，∵EG∥AB，∴∠CEG=∠ABC=90°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴EG=CE，∵CF⊥AE，垂足为点H，∴∠CHE=∠CBF=90°，∴∠F=∠CEH，∵∠CEH=∠AEB，∴∠F=∠AEB，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE=BF，∴BC=EC+BE=EG+BF，∴AD=EG+BF；故答案为：AD=EG+BF；（2）AD=EG﹣FB，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC，∠ABC=90°，∠ACB=45°，∵EG∥AB，∴∠CEG=∠ABC=90°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴EG=CE，∵CF⊥AE，垂足为点H，∴∠FHA=∠FBC=∠ABE=90°，∴∠FAH=∠BCF，∵∠FAH=∠BAE，∴∠BCF=∠BAE，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE=BF，EG=CE=BE+BC=BF+AD，∴AD=EG﹣BF；故答案为：AD=EG﹣BF；（3）过A作AP⊥EG于P，过M作MQ⊥AG于Q，如图所示：则四边形ABEP为矩形，∴AB=PE，AP=BE，∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=BC=AD=PE=4，∵tan∠F==，∴BF==6，∴BE=BF=AP=6，∵EN=2，∴PN=2，∵∠PAQ=∠MAN=45°，∴∠MAQ=∠NAP，∵∠APN=∠AQM=90°，∴△AQM∽△APN，∴，即，∴AQ=3QM，∵△APG是等腰直角三角形，∴AG===6，∵∠G=∠G，∠GQM=∠APG=90°，∴△AGP∽△GMQ，∴，即，∴GM=QM，设GM=x，∵GM2=QM2+（AG﹣AQ）2，则x2=（）2+（6﹣）2，解得：x=3或x=6（不合题意，舍去），∴GM=3．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明两次三角形相似才能得出结果．25．已知该抛物线y=x2+bx+c，经过点B（﹣4，0）和点A（1，0）与y轴交于点C．（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；（2）如图1，经过点B的直线l交抛物线于点E，且满足∠EBO=∠ACB，求出所有满足条件的点E 的坐标，并说明理由；（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在左，点N在右），分别过点M，N作PM∥x轴，PN∥y轴，PM，PN交于点P．点M，N运动时，且始终保持MN=不变，当△MNP的面积最大时，请直接写出直线MN的表达式．【考点】二次函数综合题．【专题】动点型．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（2）根据勾股定理，可得BC的长，根据等角的正切值相等，可得HO的长，根据待定系数法，可得BE的解析式，根据解方程组，可得E点坐标；（3）由题意△PMN是等腰直角三角形，得PM=PN=1，设M（a，a2+3a﹣4）则N（a+1，a2+3a+1）或（a+1，a2+3a﹣5），代入抛物线的解析式即可求解．。

辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测(一)数学(理)试题

第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i 为虚数单位，则复数21i-所对应的点在（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】试题解析：21i-1i =+，其对应的点为(1,1)，故选A. 考点：1.复数的四则运算； 2.复数的几何意义. 2. 设全集U R =，集合{}|lg A x y x ==，}{1,1B =-,则下列结论正确的是（）A ．}{1AB =- B ．()(,0)A B =-∞R ðC ．(0,)AB =+∞ D ．}{()1A B =-R ð【答案】D 【解析】试题解析：化简集合A {}|0x x =>，从而A 、C 错，{}|0R C A x x =≤，故选D.考点：集合的基本运算3. 下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（） A ．2xy =B ．2xy =C ．22xxy -=- D ．22xxy -=+ 【答案】C 【解析】试题解析： A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或'2ln 22ln 20xxy -=+>），故选C .考点：函数的单调性、奇偶性4.已知两个非零向量,满足()0a a b ⋅-=，且2a b =，则>=<,（） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】B 【解析】试题解析：由题2a ab =⋅，而>=<,cos 22122aa b a ba⋅==⋅，故选B. 考点：平面向量的数量积、夹角和模5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）【答案】B 【解析】试题解析：俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线，选B. 考点：三视图6.设等差数列{}n a 满足27a =，43a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 0>最大的自然数n 是（）A ．9 B.10 C.11 D.12 【答案】A 【解析】试题解析：解出{}n a 的公差37242d -==--，于是{}n a 的通项为)3(25--=n a n 112+-=n ，可见{}n a 是减数列，且650a a >>，065=+a a ，于是092259>⋅=a S ， 01026510=⋅+=a a S ，01122611<⋅=aS ，从而该题选A. 考点：等差数列的求和公式7.某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是（）A ．)5365sin(π+-=x yB ．)5256sin(π-=x yC ．)5356sin(π+=x yD ．)5365cos(π+-=x y 【答案】C 【解析】试题解析：不妨令该函数解析式为)sin(ϕω+=x A y ，由图知1=A ，3434ππ-=T 125π=，于是352πωπ=，即56=ω，3π是函数减时经过的零点，于是ππϕπ+=+⋅k 2356，k ∈Z ，所以ϕ可以是53π，选C.考点：三角函数图象和性质8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．．0CD ．3336【答案】B 【解析】试题解析：由框图知输出的结果32016sin 32sin3sinπππ+++= s ，因为函数xy 3sin π=的周期是6，所以)36sin 32sin3(sin 336πππ+++= s 00336=⨯=，故选B. 考点：算法与程序框图9．实数x y ，满足22202y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z x y =-的最大值是（）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】试题解析：依题画出可行域如图，可见ABC ∆及内部区域为可行域，令x y m -=，则m 为直线:l m x y +=在y 轴上的截距，由图知在点)6,2(A 处m 取最大值是4，在(2,0)C 处最小值是-2，所以[2,4]m ∈-，所以z 的最大值是4,故选B.考点：简单线性规划10. 已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是（） A ．38-B ．316C ．D ．不能确定【答案】A 【解析】试题解析：令点),(00y x P ，因该双曲线的渐近线分别是03=-y x ，03=+y x ，所以=PA 1313+-y x ，=PB 131300++y x ，又AOB APB ∠-=∠cos cos AOx ∠-=2cos 3cosπ-=21-=，所以PA PB ⋅APB ∠=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=21433432020y x 83-=，选A.此题可以用特殊位置法解决：令P 为实轴右顶点，此时323,,,38PA PB PA PB PA PB π==<>=∴⋅=-，选A.考点：1.双曲线标准方程及其几何性质；2.平面向量的数量积.11. 将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（） A ．24种 B ．28种 C ．32种 D ．36种【答案】B 【解析】试题解析：由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：14C ；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一情况下有13C 种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集），在第二情况下有1种分法（剩下三名同学各分到一本小说），在第三情况下有13C 种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说），这样第二步骤共有情况数是++113C 713=C ，故本题的答案是28714=C ，选B.解法2：将3本相同的小说记为a,a,a; 2本相同的诗集记为b,b,将问题分成3种情况，分别是1、aa,a,b,b,此种情况有2412A =种；2、bb,a,a,a, 此种情况有144C =种；3、 Ab,a,a,b, 此种情况有2412A =种，总共有28种，故选B考点：计数原理12. 已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（） A ．012x <<0 B ．012x <<1C ．2220<<x D 0x <【答案】D 【解析】试题解析：由题x x f 2)(='，200)(x x f =，所以l 的方程为2000)(2x x x x y +-=2002x x x -=，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为)ln ,(11x x ，xy 1='，所以l 的方程为y 1ln 111-+=x x x ，这样有⎪⎩⎪⎨⎧=-=20110ln 112x x x x ，所以2002ln 1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ，()1,x ∈+∞，所该函数的零点就是0x ，排除A 、B 选项，又因为x x x g 12)(-='xx 122-=，所以)(x g 在()1,+∞上单调增，又02ln )1(<-=g ，022ln 1)2(<-=g，20g =-0x D.考点：1.直线方程；2.导数的几何意义.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 已知1sin cos 5αα-=，则sin 2α=____________. 【答案】2425【解析】试题解析：依题2512sin 1)cos (sin 2=-=-ααα，所以25242sin =α，答案为2425. 考点：和差倍半的三角函数14. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA l ⊥于点A ，当30AFO ∠=（O 为坐标原点）时, PF =____________. 【答案】43【解析】试题解析：令l 与y 轴交点为B ，在ABF Rt ∆中，030=∠AFB ，2=BF ，所以AB =若),(00y x p，则0x =，代入24x y =中，则013y =，而0413PF PA y ==+=，故答案为43.几何法：如图所示，030AFO ∠=，30PAF ∴∠=︒又120PA PF APF APF =∴∆∠=︒为顶角的等腰三角形而24cos3033AF PF ==∴==︒，故答案为43.考点：抛物线方程及其几何性质15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________. 【答案】66 【解析】试题解析：依题)2(321≥+=-n S a n n ，与原式作差得， n n n a a a 21=-+，即n n a a 31=+，2≥n ，可见，数列{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列，52=a ，所以345(13)113S -=+-66=.故答案为66.考点：1.数列的求和；2.等比数列.16. 已知函数()()2(),2,12x f x x ⎧≥⎪=⎨≤<⎪⎩ 若方程()1f x ax =+恰有一个解时，则实数a的取值范围 . 【答案】1(0,)2⎤⋃⎥⎝⎦【解析】试题解析：当1+=ax y 过点)2,2(B 时，则21=a ，满足方程有两个解；当1+=ax y 与12)(-=x x f 相切时，则251+-=a ，满足方程有两个解；所求范围1(0,)2⎤⋃⎥⎝⎦.考点：1.分段函数；2.函数方程.三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ， 43π=C ，且)cos(sin 2sin B A A B +⋅=. (Ⅰ)证明：222b a =；(Ⅱ)若ABC ∆的面积是1，求边c .【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）c =. 【解析】试题解析：（Ⅰ）由A B C π+=-，以及正弦定理得，2cosC b a =- ， …………………3分又43π=C ，所以b =，从而有222b a =.………………………………………6分（Ⅱ）由1sin 2ABC S ab C ∆=1==，所以ab =2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩9分由余弦定理知， 2222cosC c a b ab =+-24102=++=，…………11分所以c =……………………………………………………………………………12分考点：1.三角函数的恒等变换；2.正弦定理、余弦定理. 18. (本小题满分12分)已知长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，E 为11C D 的中点，如图所示. (Ⅰ)在所给图中画出平面1ABD 与平面EC B 1的交线（不必说明理由）； (Ⅱ)证明：//1BD 平面EC B 1；(Ⅲ)求平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为55arccos. 【解析】试题解析：几何解法（Ⅰ）连接1BC 交C B 1于M ，则直线ME 即为平面1ABD 与平面EC B 1的交线，如图所示；……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体1AC 中，所以M 为1BC 的中点，又E 为11C D 的中点ACDA 1B 1C 1B D 1EACDA 1B 1C 1BD 1EM所以在B C D 11∆中EM 是中位线，所以1//BD EM ，…………………………6分又⊂EM 平面EC B 1，⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1；……………………8分（Ⅲ）因为在长方体1AC 中，所以11//BC AD ，平面1ABD 即是平面11D ABC ，过平面EC B 1上点1B 作1BC 的垂线于F ，如平面图①，因为在长方体1AC 中，⊥AB 平面11BCC B ， ⊂F B 1平面11BCC B ，所以AB F B ⊥1，B AB BC =⋂1，所以⊥F B 1平面1ABD 于F .过点F 作直线EM 的垂线于N ，如平面图②，连接N B 1，由三垂线定理可知，EM N B ⊥1.由二面角的平面角定义可知，在FN B Rt 1∆中，NF B 1∠即是平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的平面角.因长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，在平面图①中，525211=⨯=F B ，………………………………………………………………………10分1053=FM ， 251=M C ，11=E C ，在平面图②中，由1EMC ∆相似1FMN ∆可知EMFMEC FN ⋅=1225110531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=55=，所以NF B 1tan ∠NF F B 1=25552=⋅=，所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为2arctan .………………………12分D A平面图②B 1平面图①1CB空间向量解法：（Ⅰ）见上述. …………………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为在长方体1AC 中，所以1,,DD DC DA 两两垂直，于是以1,,DD DC DA 所在直线分别为z y x ,,轴，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为2==AB AD ,11=AA ，所以)0,0,0(D ，)1,0,0(1D ，)0,2,2(B ，)1,2,2(1B ，)0,2,0(C ， )1,1,0(E .所以)1,2,2(1--=BD ，)1,0,2(1=CB ，)1,1,0(-=，…………………………6分令平面EC B 1的一个法向量为),,(z y x m = 所以m CB ⊥1，m CE ⊥，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01m CB ，即⎩⎨⎧==+z y z x 02，不妨令1-=x ，得到平面EC B 1的一个法向量为)2,2,1(-=m ，而02421=+-=⋅BD ，所以BD ⊥1，又因为⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1.…………………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知)0,2,0(-=，)1,2,2(1--=BD ，令平面1ABD 的一个法向量为),,(z y x =, 所以n BA ⊥，n BD ⊥1，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01n BD ，即⎩⎨⎧=+--=-02202z y x y ，不妨令1=x ，得到平面1ABD 的一个法向量为)2,0,1(=n ，………………………………………10分因为<,cos 555941=⋅+-=.………………………………………11分所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为55arccos .…………………12分考点：1.平行关系；2.空间的角；3.空间向量方法. 19. (本小题满分12分)某中学根据2002—2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m 、31、n ，已知三个社团他都能进入的概率为241，至少进入一个社团的概率为43，且n m >. (Ⅰ)求m 与n 的值；(Ⅱ)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.【答案】（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m . （Ⅱ）X 的分布列为：24162415124243824140)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E【解析】试题解析：（Ⅰ）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .…………………6分（Ⅱ）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. …………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ； 81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P . 这样X 的分布列为：（………………………………每答对两个，加1分）于是，241624151214243824140)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. ……12分考点：随机变量的分布列与数学期望 20. （本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点1F 、2F 分别在x 轴上,离心率为21，在其上有一动点A ，A 到点1F 距离的最小值是1.过A 、1F 作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)判断ABCD 能否为菱形，并说明理由.(Ⅲ)当ABCD 的面积取到最大值时，判断ABCD 的形状，并求出其最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=.（Ⅱ）ABCD 不能是菱形.（Ⅲ）ABCD S的最大值为6，此时211m +=，也就是0m =时，这时直线AB x ⊥轴，可以判断ABCD 是矩形.…………………………………………11分【解析】试题解析：（Ⅰ）依题，令椭圆E 的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>222c a b =-(0)c >，所以离心率12c e a ==，即2a c =.…………………………2分令点A 的坐标为00(,)x y ，所以2200221x y a b+=，焦点1(,0)F c -，即1AF ==0c x a a =+，（没有此步，不扣分）因为0[,]x a a ∈-，所以当0x a =-时，1min AF a c =-，……………………………3分由题1a c -=，结合上述可知2,1a c ==，所以23b =，于是椭圆E 的方程为22143x y +=.………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F -，如图，直线AB 不能平行于x 轴，所以令直线AB 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程，22341201x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=，所以，122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.……………………………………………5分若ABCD 是菱形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，于是有12120x x y y ⋅+⋅=，……6分又1212(1)(1)x x my my ⋅=--21212()1m y y m y y =⋅-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +⋅-++=，………………………………………………7分得到22125034m m --=+ ，可见m 没有实数解，故ABCD 不能是菱形. ………………8分（Ⅲ）由题4ABCDAOB S S ∆=，而11212AOB S OF y y ∆=⋅-，又11OF = ，即1122ABCDSOF y y =⋅-=9分由（Ⅱ）知122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.所以，ABCDS==10分=因为函数1()9f t t t=+，[1,)t ∈+∞，在1t =时，min ()10f t =，………………11分即ABCD S的最大值为6，此时211m +=，也就是0m =时，这时直线AB x ⊥轴，可以判断ABCD 是矩形. …………………………………12分考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题满分12分）已知函数a x x a x x x f +--=22ln )(（a ∈R ）在其定义域内有两个不同的极值点. (Ⅰ)求a 的取值范围；(Ⅱ)记两个极值点分别为1x ，2x ，且21x x <.已知0>λ,若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,求λ的范围.【答案】(Ⅰ) 10a e<<.（Ⅱ）1λ≥.令切点00A(,ln )x x ，所以001|x x k y x ='==，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =，解得，0x e =，于是1k e =，所以10a e<<.………………………………………6分（解法二）转化为，函数ln ()xg x x=与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点. 又21ln ()xg x x -'=，即0x e <<时，()0g x '>，x e >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减.从而()()g x g e =极大1e=………3分又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()0g x →，所以()g x 的草图如下，可见，要想函数ln ()xg x x=与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，只须10a e<<.………………………………6分（解法三）令()ln g x x ax =-，从而转化为函数()g x 有两个不同零点，而11()ax g x ax x x-'=-=（0x >）若0a ≤，可见()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调增，此时()g x 不可能有两个不同零点. ………………………………………………3分若0a >，在10x a <<时，()0g x '>，在1x a>时，()0g x '<，所以()g x 在1(0,)a上单调增，在1(,)a+∞上单调减，从而1()()g x g a=极大1ln1a=- 又因为在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()g x →-∞，于是只须：()0g x >极大，即1ln10a ->，所以10a e<<. 综上所述，10a e<<……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+. 由（Ⅰ）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+，因为0>λ，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+.………………………………………………………7分又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，1122ln ()xa x x x =-，即1212lnx x a x x =-.所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+，因为120x x <<，原式恒成立，即112212(1)()ln x x x x x x λλ+-<+恒成立. 令12x t x =，(0,1)t ∈，则不等式(1)(1)ln t t t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立. ………………………………8分令(1)(1)()ln t h t t t λλ+-=-+，又221(1)()()h t t t λλ+'=-+22(1)()()t t t t λλ--=+, 当21λ≥时,可见(0,1)t ∈时,()0h t '>,所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增,又(1)0h =，()0h t <在(0,1)t ∈恒成立,符合题意. ………………………………………10分当21λ<时, 可见2(0,)t λ∈时,()0h t '>, 2(,1)t λ∈时()0h t '<, 所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增,在2(,1)t λ∈时单调减, 又(1)0h =, 所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述, 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,只须21λ≥,又0λ>,所以1λ≥.…12分考点：应用导数研究函数的性质请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (Ⅰ)证明：//AB CD ； (Ⅱ)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.【答案】（Ⅰ）//AB CD .（Ⅱ）AC MD BD CM ⋅=⋅.所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TDDTM TMD =∠∠,在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BDTC AC =, 所以MD BDMC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅.…………………………………10分考点：1. 几何证明选讲；2.正弦定理.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2sin ρθ=. (Ⅱ) []1,0∈TN TM . 【解析】试题解析：（Ⅰ）依题,因222x y ρ=+, 所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,…3分又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为: 00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分 (解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.考点：坐标系与参数方程24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲x已知命题“a b c ∀>>，11t a b b c a c+≥---”是真命题，记t 的最大值为m ，命题“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，其中(0,)2πγ∈. (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)求n 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4=m .（Ⅱ）22≥n . 【解析】试题解析：（Ⅰ）因为“a b c ∀>>，11t a b b c a c +≥---”是真命题，所以a b c ∀>>，11t a b b c a c+≥---恒成立，又c b a >>，所以)11()(cb b ac a t -+-⋅-≤恒成立，所以，min )]11()[(cb b ac a t -+-⋅-≤.…………………………3分又因为)11()()11()(cb b ac b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅- 42≥--+--+=cb b a b ac b ，“=”成立当且仅当b a c b -=-时. 因此，4≤t ，于是4=m . ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈），因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分考点：不等式选讲。

辽宁省沈阳市和平区2016届中考数学一模试卷含答案解析

2016年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．﹣2的相反数是（）A．﹣B．﹣2 C．D．22．如图，正三棱柱的主视图为（）A．B．C．D．3．地球上的陆地面积约为149000000km2．将149000000用科学记数法表示为（）A．1.49×106B．1.49×107C．1.49×108D．1.49×1094．下列各式计算正确的是（）A．a3+a4=a7B．（3a+b）2=9a2+b2C．（﹣ab3）2=a2b6D．a6b÷a2=a3b5．1﹣的值（）A．比﹣2大B．比﹣3大C．比﹣3小D．比﹣4小6．袋子中装有2个黑球和3个白球，这些球除了颜色不同外形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地一次从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是白球B．摸出的三个球中至少有一个球是黑球C．摸出是三个球中至少有两个球的黑球D．摸出的单个球中至少有两个球是白球7．下列四个命题：①两点之间线段最短；②三角形有且只有一个外接圆；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④正六边形的边心距与边长相等．其中是真命题的有（）A．①②B．①③C．①②④ D．②③④8．小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（2016•沈阳一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≥2 D．m≤210．在△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC放在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的边AC∥x轴，AC=1，点B在x轴上，点C在函数y=﹣（x＜0）的图象上．先将此三角形作关于原点O的对称图形，再向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，此时点A1在函数y=（x＞0）的图象上，B1C1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．分解因式：3ax2﹣12ay2=．12．不等式组的解集是．13．将正面分别标有数字1，2，3，4的四张质地、大小完全相同的卡片背面朝上放在桌面上．从中随机抽取一张，将抽得的数字作为十位上的数字，然后将所抽取的卡片背面朝上放回并洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数字作为个位上的数字，则组成的两位数大于23的概率是．14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=40°，∠ADB=68°，则∠CAD=．15．某射击小组某次射击的数据如表：则这个射击小组20人射击成绩的中位数是环．16．如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为m．三、解答题（共9小题，满分82分）17．计算：．18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=7cm，DC=2cm，∠EBD=60°，则BE=cm时，四边形BFCE是菱形．19．某市今年1月1日起调整居民用水的价格，每立方米水费上涨．小刚家去年12月份的水费是20元，而今年2月份的水费是36元，已知小刚家今年2月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．20．在“全民读书月”活动中，某校九年级的小明调查了班级40名同学计划购买课外书的费用情况，并对调查结果进行整理，绘制了下面两个不完整的统计图．（1）直接补全条形统计图；（2）m=，n=；（3）在扇形统计图中，“30元”所在扇形的圆心角的度数是；（4）如果该校九年级共有学生320人，那么请你估计计划购买课外书的费用为80元的九年级学生有多少？21．如图，为了测量某建筑物CE及建筑物上面的旗杆CD的高度（E，C，D三点在一条直线上），一测量员在距离建筑物底部E处10m的A处安置高为1.4m的测倾器AB，在B处测得旗杆顶部D 的仰角为60°，旗杆底部C的仰角为45°，求建筑物CE及旗杆CD的高度（若运算结果有根号，保留根号）．22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D=108°，连接AC．（1）求∠BAC的度数；（2）若∠DCA=27°，AB=8，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B，D的坐标分别为（8，0），（0，4）．若反比例函数y=（x＞0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交DC边于点E，交BC边于点F．设直线EF的函数表达式为y=k2x+b．（1）反比例函数的表达式是；（2）求直线EF的函数表达式，并结合图象直接写出不等式k2x+b的解集；（3）若点P在直线BC上，将△CEP沿着EP折叠，当点C恰好落在x轴上时，点P的坐标是．24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M．（1）如图1，若∠B=30°，求证：△ACD是等边三角形；（2）如图2，若AC=10，AD=13，∠CDH=∠A．①求线段DM的长；②点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当△DMN是等腰三角形时，求线段MP的长．25．直线y=与抛物线y=（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD=CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是．2016年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．﹣2的相反数是（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：D．【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．2．如图，正三棱柱的主视图为（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线，即可解答．【解答】解：正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线．故选：B．【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．3．地球上的陆地面积约为149000000km2．将149000000用科学记数法表示为（）A．1.49×106B．1.49×107C．1.49×108D．1.49×109【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：149 000 000=1.49×108，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．下列各式计算正确的是（）A．a3+a4=a7B．（3a+b）2=9a2+b2C．（﹣ab3）2=a2b6D．a6b÷a2=a3b【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方以及整式的除法进行计算．【解答】解：A、a3与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（3a+b）2=9a2++6ab+b2，故本选项错误；C、（﹣ab3）2=a2b6，故本选项正确；D、a6b÷a2=a4b，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方以及整式的除法，熟记计算法则即可解题．5．1﹣的值（）A．比﹣2大B．比﹣3大C．比﹣3小D．比﹣4小【考点】估算无理数的大小．【分析】先估算3＜＜4，进而解答即可．【解答】解：∵3＜＜4，∴﹣4＜﹣＜﹣3，∴﹣3＜1﹣＜﹣2．故选B．【点评】本题考查了无理数的估算，关键是得出3＜＜4解答．6．袋子中装有2个黑球和3个白球，这些球除了颜色不同外形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地一次从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是白球B．摸出的三个球中至少有一个球是黑球C．摸出是三个球中至少有两个球的黑球D．摸出的单个球中至少有两个球是白球【考点】随机事件．【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【解答】解：A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是随机事件，选项错误．故选A．【点评】考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．下列四个命题：①两点之间线段最短；②三角形有且只有一个外接圆；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④正六边形的边心距与边长相等．其中是真命题的有（）A．①②B．①③C．①②④ D．②③④【考点】命题与定理．【分析】根据两点之间线段最短，三角形有一个且只有一个外接圆以及正方形的判定、正六边形边心距的概念可以得出①②正确，③④错误．【解答】解：①正确．②正确．③错误，对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．④错误，正六边形的边心距=a，（a是正六边形边长）．故选A．【点评】本题考查命题与定理、两点之间线段最短、三角形有一个且只有一个外接圆、正方形的判定、正六边形的边心距的概念，解题的关键是理解并且记住这些概念，属于中考常考题型．8．小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（2016•沈阳一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≥2 D．m≤2【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2m=0有两个实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×2m≥0，即16﹣8m≥0，解得：m≤2，故选：D．【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．10．在△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC放在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的边AC∥x轴，AC=1，点B在x轴上，点C在函数y=﹣（x＜0）的图象上．先将此三角形作关于原点O的对称图形，再向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，此时点A1在函数y=（x＞0）的图象上，B1C1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】反比例函数综合题．【分析】首先由边AC∥x轴，AC=1，点C在函数y=﹣（x＜0）的图象上，求得点C的坐标，继而求得点A与点B的坐标，然后由旋转的性质、平移的性质，求得△A1B1C1各顶点的坐标，再由点A1在函数y=（x＞0）的图象上，B1C1与此图象交于点P，求得答案．【解答】解：∵边AC∥x轴，AC=1，∴点C的横坐标为﹣1，∵点C在函数y=﹣（x＜0）的图象上，∴y=2，∴点C的坐标为：（﹣1，2），∴点A的坐标为：（0，2），点B的坐标为：（﹣1，0），∵先将此三角形作关于原点O的对称图形，再向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，∴A1的坐标为：（3，﹣2），B1的坐标为：（4，0），C1的坐标为：（4，﹣2），∵点A1在函数y=（x＞0）的图象上，∴k=xy=3×（﹣2）=﹣6，∴此反比例函数的解析式为：y=﹣，∵线段B1C1的解析式为：x=4，∴点P的横坐标为：4，∴点P的纵坐标为：y=﹣=﹣．故选D．【点评】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求反比例函数解析式、旋转的性质、平移的性质以及点与函数的关系．注意求得△A1B1C1各顶点的坐标是关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．分解因式：3ax2﹣12ay2=3a（x+2y）（x﹣2y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式3a，再利用平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：原式=3a（x2﹣4y2）=3a（x+2y）（x﹣2y），故答案为：3a（x+2y）（x﹣2y）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．不等式组的解集是x≤2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组解集即可．【解答】解：解不等式3x＜2x+4，得：x＜4，解不等式x﹣3≤﹣1，得：x≤2，所以不等式组解集为：x≤2，故答案为：x≤2．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，准确求出每个不等式的解集是解题的前提和根本，依据口诀确定不等式组解集是关键．13．将正面分别标有数字1，2，3，4的四张质地、大小完全相同的卡片背面朝上放在桌面上．从中随机抽取一张，将抽得的数字作为十位上的数字，然后将所抽取的卡片背面朝上放回并洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数字作为个位上的数字，则组成的两位数大于23的概率是．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出组成的两位数大于23的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中组成的两位数大于23的数为9，所以组成的两位数大于23的概率=故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=40°，∠ADB=68°，则∠CAD=70°或14°．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】①根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CB，DA=DB，证明△CAD≌△CBD，得到答案；②根据线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明结论．【解答】解：①如图1，∵点C、D为线段AB的垂直平分线上的两点，∴CA=CB，DA=DB，在△CAD和△CBD中，，∴△CAD≌△CBD，∴∠CAD=∠CBD，∵∠ACB=40°，∠ADB=68°，∴∠CAD=（360°﹣40°﹣68°）=121°；②如图2，∵点C为线段AB的垂直平分线上的点，∴CA=CB，∴∠CAB=∠CBA=（180°﹣40°）=70°，∵点D为线段AB的垂直平分线上的点，∴DA=DB，∴∠DAB=∠DBA=（180°﹣68°）=56°，∴∠CAD=∠CBD=70°﹣56°=14°．综上所述：∠CAD=70°或14°．故答案为：70°或14°．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．某射击小组某次射击的数据如表：则这个射击小组20人射击成绩的中位数是7.5环．【考点】中位数．【分析】要求中位数，因表中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可．【解答】解：这个射击小组20人射击成绩的中位数是（7+8）÷2=7.5．故答案为：7.5．【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．16．如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为15m．【考点】二次函数的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BC=x，BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值，进而可得a的值，由AB=3a计算可得．【解答】解：∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，设BC=x，BE=a，则AE=2a，∴8a+2x=80，∴a=﹣x+10，3a=﹣x+30，∴y=（﹣x+30）x=﹣x2+30x，∵a=﹣x+10＞0，∴x＜40，则y=﹣x2+30x=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米，当x=20时，a=﹣x+10=5，∴AB=AE+BE=3a=15米，故答案为：15．【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．三、解答题（共9小题，满分82分）17．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】先分别根据0指数幂、负整数指数幂的运算法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=1﹣2+3﹣5﹣2=﹣6+．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂、负整数指数幂的运算法则及绝对值的性质是解答此题的关键．18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=7cm，DC=2cm，∠EBD=60°，则BE=3cm时，四边形BFCE是菱形．【考点】菱形的判定；平行四边形的判定．【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△ABE≌△DCF（SAS），进而求出BE=FC，BE∥FC，即可得出答案；（2）直接利用菱形的性质得出△EBC是等边三角形，进而得出答案．【解答】（1）证明：在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE=FC，∠ABE=∠DCF，∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE=EC，∵AD=7cm，DC=2cm，AB=DC，∴BC=3cm，∵∠EBD=60°，EB=EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE=3cm．故答案为：3．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的性质，正确掌握菱形的性质是解题关键．19．某市今年1月1日起调整居民用水的价格，每立方米水费上涨．小刚家去年12月份的水费是20元，而今年2月份的水费是36元，已知小刚家今年2月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．【考点】分式方程的应用．【分析】求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系，本题的关键描述语是：今年2月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，等量关系为：2月份的用水量﹣12月份的用水量=5m3．【解答】解：设去年居民用水价格为x元/立方米，则今年水费为x（1+）元/立方米，根据题意可列方程为：﹣=5整理，得﹣=5，解得：x=2．经检验x=2是原方程的解．则x（1+）=2.4．答：该市今年居民用水价格为2.4元．【点评】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．20．在“全民读书月”活动中，某校九年级的小明调查了班级40名同学计划购买课外书的费用情况，并对调查结果进行整理，绘制了下面两个不完整的统计图．（1）直接补全条形统计图；（2）m=25，n=5；（3）在扇形统计图中，“30元”所在扇形的圆心角的度数是72°；（4）如果该校九年级共有学生320人，那么请你估计计划购买课外书的费用为80元的九年级学生有多少？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）总人数乘以30元所占百分比可得30元人数，用总人数减去其余各组人数可得80元的人数，补全条形图；（2）用20元、80元的人数除以总人数可得其所占百分比；（3）用360°乘以30元占总数的百分比；（4）用总体中人数×样本中80元所占比例可得．【解答】解：（1）费用为30元的有：40×20%=8人，费用为80元的有：40﹣2﹣8﹣16﹣4=10人，补全条形统计图如下：（2）m==25，n=×100=5；（3）360°×20%=72°；（4）320×25%=80人．答：估计计划购买课外书的费用为80元的九年级学生约有80人．故答案为：（2）25，5；（3）72°．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．如图，为了测量某建筑物CE及建筑物上面的旗杆CD的高度（E，C，D三点在一条直线上），一测量员在距离建筑物底部E处10m的A处安置高为1.4m的测倾器AB，在B处测得旗杆顶部D 的仰角为60°，旗杆底部C的仰角为45°，求建筑物CE及旗杆CD的高度（若运算结果有根号，保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作BF⊥DE于F，易知四边形AEFB是矩形，分别在RT△BFC和RT△BFD中求出CF，DF即可解决问题．【解答】解：如图作BF⊥DE于F，∵∠BAE=∠AEF=∠BFE=90°，∴四边形ABFE是矩形，∴EF=AB=1.4，BF=AE=10，在RT△BFC中，∵∠CBF=45°，∠BFC=90°，∴∠FBC=∠FCB=45°，∴BF=CF=10，在RT△BFD中，∵∠BFD=90°，∠DBF=60°，BF=10，∴tan∠DBF=，∴=，∴DF=10，DC=DF﹣CF=10﹣10，CE=CF+EF=11.4，答：建筑物CE及旗杆CD的高度分别为11.4m和（10﹣10）m．【点评】本题考查解直角三角形的有关知识、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是理解仰角、俯角的概念，学会添加辅助线，把问题转化为直角三角形、特殊的四边形解决，属于中考常考题型．22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D=108°，连接AC．（1）求∠BAC的度数；（2）若∠DCA=27°，AB=8，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【考点】扇形面积的计算；圆内接四边形的性质．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠B=72°，根据AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）连接OC，OD，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°﹣108°﹣27°=45°，由圆周角定理得到∠DOC=90°，推出△COD是等腰直角三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=108°，∴∠B=72°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=18°；（2）连接OC，OD，∵∠D=108°，∠DCA=27°，∴∠DAC=180°﹣108°﹣27°=45°，∴∠DOC=90°，∴△COD是等腰直角三角形，∵AB=8，∴OC=OD=4，∴阴影部分的面积=S﹣S△COD=﹣×42=4π﹣8．扇形COD【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B，D的坐标分别为（8，0），（0，4）．若反比例函数y=（x＞0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交DC边于点E，交BC边于点F．设直线EF的函数表达式为y=k2x+b．（1）反比例函数的表达式是y=；（2）求直线EF的函数表达式，并结合图象直接写出不等式k2x+b的解集；（3）若点P在直线BC上，将△CEP沿着EP折叠，当点C恰好落在x轴上时，点P的坐标是（8，3）．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）求出点A坐标代入y=即可解决．（2）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下面，即可写出不等式的解集．（3）如图作EM⊥OB于M，利用翻折不变性，设设PC=PN=x，利用△EMN∽△NBP得=，求出x即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形OBCD是矩形，∴OD=BC=4，OB=CD=4，∵OA=OC，∴点A坐标（2，4），∵点A在反比例函数y=上，∴k1=8，∴反比例函数为y=，故答案为y=．（2）∵点E、F在反比例函数图象上，∴点E坐标（2，4），点F坐标（8，1），设直线EF为y=kx+b，则，解得，∴直线EF为y=﹣x+5．于图象可知不等式k2x+b＜的解集为x＜2或x＞8．（3）如图作EM⊥OB于M，∵∠DOM=∠EMO=∠EDO=90°，∴四边形DEMO是矩形，∴EM=DO=4，∵△EPN是由△EPC翻折得到，∴EC=EN=6，PC=PN，∠ECP=∠ENP=90°，设PC=PN=x，MN==2，∵∠ENM+∠PNB=90°，∠PNB+∠NPB=90°，∴∠ENM=∠NPB，∵∠EMN=∠PBN，∴△EMN∽△NBP，∴=，∴=，∴x=9﹣3，∴PB=BC﹣PC=4﹣（9﹣3）=3﹣5．故答案为（8，3﹣5）．【点评】本题考查反比例函数、一次函数的有关知识、翻折变换等知识，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，学会待定系数法确定函数解析式，学会利用函数图象确定自变量的取值范围，属于中考压轴题．24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M．（1）如图1，若∠B=30°，求证：△ACD是等边三角形；（2）如图2，若AC=10，AD=13，∠CDH=∠A．①求线段DM的长；②点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当△DMN是等腰三角形时，求线段MP的长．【考点】三角形综合题．【专题】综合题；一次函数及其应用．（1）由三角形内角和定理求出∠A的度数，根据D为直角三角形斜边上的中点，得到CD=AD，【分析】利用等边对等角及内角和定理得到∠ADC=60°，利用等边三角形的判定方法判断即可得证；（2）①由D为斜边上的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定出AC=CD=AD，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出DH与AC平行，确定出DM为三角形ABC中位线，利用中位线定理判断即可求出DM的长；②分三种情况考虑：当MN=DN；当MN=DM；当DN=DM，分别求出MP的长即可．【解答】（1）证明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠A=60°，由题意可得D是直角三角形斜边A边上的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A=60°，∴∠ADC=60°，∴△ACD为等边三角形；（2）解：①∵点D是直角三角形斜边AB上的中点，∴AC=CD=AD，∴∠ACD=∠A，∵∠CDH=∠A，∴∠ACD=∠CDH，∴DH∥AC，∴DM为△ABC的中位线，∴DM=AC=5；②分三种情况考虑：（i）当MN=DN时，如图1所示，由①得：AD=CD，∠A=∠ACD=∠CDH，DM=5，∵MN=DN，∴∠CDN=∠DMN=∠A=∠ACD，∴△ADC∽△DNM，∴=，即=，解得：DN==CD，∴CN=DN，∵DH∥AC，∴△ACN≌△PDN，∴PD=AC=10，∴MP=PD﹣DM=10﹣5=5；（ii）当MN=DM=5时，如图2所示，则有∠MND=∠MDN=∠ACD=∠A，∴△ADC∽△MDN，∴=，即=，解得：DN=，∴CN=13﹣=，∵△ACN∽△PDN，∴=，即=，解得：PD=；（iii）当DN=DM时，如图2所示，则有DN=5，CN=13﹣5=8，∵△ACN∽△PDN，∴=，即=，解得：PD=，则MP=PD﹣DM=．【点评】此题属于三角形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．25．直线y=与抛物线y=（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD=CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是（3，）．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的解析式可得出抛物线对称轴为x=3，将x=3代入直线AB的解析式中即可求出点C的坐标；由抛物线的解析式表示出顶点坐标，结合两点间的距离公式即可得出CD的长度；（2）将直线解析式代入抛物线解析式中，得出关于x的二元一次方程，由求根公式找出x值中较大的数，令其为t，变换等式即可得出结论；（3）①借用（2）的结论，利用CD=CB得出关于m的一元二次方程，解方程得出m的值代入原方程进行验证即可确定m的结果，在将m代入t关于m的解析式中即可得出B点的横坐标，由点B。

辽宁省沈阳市第二中学2016届高三数学第一次模拟考试试题理(含解析)

沈阳二中2015－2016学年度下学期第一次模拟考试高三（16届）数学（理）试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合22{|1,},{|3,}M y y x x R N x y x x R ==-∈==-∈，则M N 等于( )A.[3,3]-B.[1,3]-C.∅D.(1,3⎤-⎦【知识点】函数的定义域与值域集合的运算【试题解析】因为所以，故答案为：B【答案】B2. 设i 是虚数单位，若复数ia --417（R a ∈）是纯虚数，则实数a 的值为（） A.－4 B.－1 C.4 D.1 【知识点】复数综合运算【试题解析】因为是纯虚数，所以，故答案为：C【答案】C3. 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程ˆy＝0.66x +1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（） A. 83% B. 72% C. 67% D. 66%【知识点】变量相关【试题解析】因为所以，故答案为：A【答案】A4. 下列叙述中正确的是（）A ．若,,a b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B ．若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”D ．l 是一条直线，,αβ是两个平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ 【知识点】全称量词与存在性量词充分条件与必要条件【试题解析】因为A 的条件需再加上，B 的条件需加上，C 最后应为，D 是一个定理。

2016年辽宁省沈阳二中高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2016年辽宁省沈阳二中高考数学一模试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|}，则M∩N等于（）A．[]B．[﹣1，]C．{﹣2，1}D．{（），（）} 2．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4B．﹣1C．4D．13．（5分）某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83%B．72%C．67%D．66%4．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β5．（5分）（﹣）6的展开式中，x3的系数等于（）A．﹣15B．15C．20D．﹣206．（5分）偶函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．1B．2C．3D．47．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4B．2C．6D．48．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）在函数f（x）＝（2t+1）dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n﹣2B．a n＝n2+n﹣2C．a n＝D．a n＝9．（5分）已知一次函数f（x）＝ax﹣1满足a∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a，使得f（x）≤0在x∈[0，1]上成立的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB＝BC＝CA＝，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1D．11．（5分）已知函数f（x）＝x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3]D．[1，3] 12．（5分）过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）抛物线y＝8x2的准线方程是．14．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为．（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）15．（5分）已知两个非零平面向量，满足：对任意λ∈R恒有|﹣λ|≥|﹣|，若||＝4，则•＝．16．（5分）已知等比数列{a n}中，a2＝1，则其前三项和S3的取值范围是．三、解答题（共70分）17．（12分）如图，△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝．（Ⅰ）求：BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．18．（12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X＝8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，点E是AB的中点，CE∥平面A1BD．（1）求证：点D是CC1的中点；（2）若A1D⊥BD时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．20．（12分）已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；（2）对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|﹣|，求正数λ的取值范围．四.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO＝AD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|＝，求点M轨迹的直角坐标方程．[选修4-5；不等式选讲]24．（Ⅰ）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．证明：|a+b|＜；（Ⅱ）若函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|，关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．2016年辽宁省沈阳二中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|}，则M∩N等于（）A．[]B．[﹣1，]C．{﹣2，1}D．{（），（）}【解答】解：集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}＝{y|y≥﹣1}，N＝{x|}＝{x|x}，所以M∩N＝{x|﹣1}，故选：B．2．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4B．﹣1C．4D．1【解答】解：复数a﹣＝a﹣＝a﹣（4+i）＝（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4＝0，解得a＝4．故选：C．3．（5分）某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83%B．72%C．67%D．66%【解答】解：当居民人均消费水平为7.675时，则7.675＝0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262，∴人均消费额占人均工资收入的百分比为×100%≈83%．故选：A．4．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：①当a＝0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b＝0，c≥0，此时b2﹣4ac＝0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac ≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b＝0，则ab2＝cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．5．（5分）（﹣）6的展开式中，x3的系数等于（）A．﹣15B．15C．20D．﹣20【解答】解：（﹣）6的展开式中，通项公式为T r+1＝••＝（﹣1）r•••，由6﹣＝3，得r＝2；∴（﹣）6的展开式中，x3的系数为（﹣1）2•＝15．故选：B．6．（5分）偶函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵偶函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π），∴φ＝，f（x）＝A sin（ωx+）＝A cosωx，把它的图象向右平移个单位得到y＝A cosω（x﹣）＝A cos（ωx﹣ω•）的图象，再根据所得图象关于原点对称，则ω可以等于2，故选：B．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4B．2C．6D．4【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为＝；故选：D．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）在函数f（x）＝（2t+1）dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n﹣2B．a n＝n2+n﹣2C．a n＝D．a n＝【解答】解：∵（2t+1）dt＝x2+x﹣2，∴S n＝n2+n﹣2，＝2n，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1又∵a1＝S1＝1+1﹣2＝0不满足上式，∴a n＝，故选：D．9．（5分）已知一次函数f（x）＝ax﹣1满足a∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a，使得f（x）≤0在x∈[0，1]上成立的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得f（x）＝ax﹣1≤0在x∈[0，1]上恒成立，当x＝0时，可得﹣1≤0，显然恒成立；当x∈（0，1]时，可化为a≤，而的最小值为1，故a≤1，结合a∈[﹣1，2]可得a∈[﹣1，1]，故由几何概型可得P＝＝故选：B．10．（5分）点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB＝BC＝CA＝，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1D．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB＝BC＝CA＝，设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r＝MC＝＝1，∴MO＝＝＝1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME＝SD＝，∴MD＝SE＝＝＝，∴SM＝＝＝．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3]D．[1，3]【解答】解：∵f（x）＝x3ax2+bx+c，∴f′（x）＝x2+ax+b∵函数f（x）在区间（﹣1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，∴f′（x）＝x2+ax+b＝0在（﹣1，0）和（0，1）内各有一个根，f′（0）＜0，f′（﹣1）＞0，f′（1）＞0即，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，＝1+2×，令m＝，其几何意义为区域中任意一点与点（﹣2，﹣1）连线的斜率，分析可得0＜＜1，则1＜＜3∴的取值范围是（1，3）．故选：B．12．（5分）过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【解答】解：由题意，直线l的方程为y＝x+2b，即bx﹣ay+2ab＝0．∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，∴直线l与bx﹣ay＝0的距离恒大于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）抛物线y＝8x2的准线方程是y＝﹣．【解答】解：抛物线y＝8x2的标准方程为：x2＝y，p＝，抛物线的准线方程为：y＝﹣．故答案为：y＝﹣．14．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为24．（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）【解答】解：模拟执行程序，可得n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．（5分）已知两个非零平面向量，满足：对任意λ∈R恒有|﹣λ|≥|﹣|，若||＝4，则•＝8．【解答】解：由得：，且；∴；整理得，，该不等式对任意的λ∈R恒成立；∴＝；∴；∴．故答案为：8．16．（5分）已知等比数列{a n}中，a2＝1，则其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【解答】解：由等比数列的性质可知：a22＝a1a3＝1，当公比q＞0时，得到a1＞0，a3＞0，则a 1+a3≥2＝2＝2，所以S3＝a1+a2+a3＝1+a1+a3≥1+2＝3；当公比q＜0时，得到a1＜0，a3＜0，则（﹣a 1）+（﹣a3）≥2＝2＝2，即a1+a3≤﹣2，所以S3＝a1+a2+a3＝1+a1+a3≤1+（﹣2）＝﹣1，所以其前三项和s3的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）三、解答题（共70分）17．（12分）如图，△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝．（Ⅰ）求：BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin＝，所以cos∠ABC＝1﹣2＝1﹣2×＝．（2分）在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，由余弦定理可得：①（5分）在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：，．（7分）因为cos∠ADB＝﹣cos∠BDC，所以有，所以3b2﹣a2＝﹣6 ②由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3．（9分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠ABC＝，则sin∠ABC＝＝，又AB＝2，BC＝3，则△ABC的面积为AB•BC sin∠ABC＝，又因为AD＝2DC，所以△DBC的面积为×2＝．（12分）18．（12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X＝8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．【解答】解：（I）当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为；方差为．（Ⅱ）当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21，事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y＝17）＝．事件“Y＝18”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树9棵”，所以该事件有4种可能的结果，因此P（Y＝18）＝＝．事件“Y＝19”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树10棵；或甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2+2＝4种可能的结果，因此P（Y＝19）＝＝．事件“Y＝20”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树9棵”，所以该事件有4种可能的结果，因此P（Y＝20）＝＝．事件“Y＝21”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树10棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y＝21）＝）＝．所以随机变量Y的分布列为：EY＝17×P（Y＝17）+18×P（Y＝18）+19×P（Y＝19）+20×P（Y＝20）+21×P（Y＝21）＝17×+18×+19×+20×+21×＝19．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，点E是AB的中点，CE∥平面A1BD．（1）求证：点D是CC1的中点；（2）若A1D⊥BD时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．【解答】证明：（1）取A1B1的中点F，连结FC1，EF，设EF∩A1B＝G…（1分）由作图过程易得：四边形EFC1C为平行四边形，EG∥AA1在△AA1B中，点E是AB的中点，∴点G是A1B的中点，EG＝C1C＝AA1，…（3分）又∵CE∥平面A1BD．CE⊂平面EFC1C，且平面EFC1C∩平面A1BD＝DG∴DG∥CE，又∵EG∥CD∴四边形CEGD为平行四边形，CD＝EG＝C1C，∴点D是C1C的中点．…（6分）（2）由（1）知EF∥AA1，又∵AA1⊥平面ABC∴EF⊥平面ABC又∵△ABC是边长为2的等边三角形，点E是AB的中点，∴CE⊥AB且CE＝，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz，设EF＝2h，…（7分）则E（0，0，0），C（0，，0），B（1，0，0），F（0，0，2h），A1（﹣1，0，2h），D（0，，h），＝（1，，﹣h），＝（﹣1，，h），由A1D⊥BD可知：•＝（1，，﹣h）•（﹣1，，h）＝﹣1+3﹣h2＝0，即h2＝2，h＝…（8分）由z轴⊥平面ABC可得：平面ABC的一个法向量＝（0，0，1）…（9分）设平面A1BD的一个法向量为＝（x，y，z），由得：，令，则＝（，0，0），…（10分）∴cos＜，＞＝＝，…（11分）所以，平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为…（12分）20．（12分）已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且，∴，解得a＝2，b＝，∴椭圆E的方程为：+＝1；（Ⅱ）（i）设直线l：y＝kx+1，代入椭圆方程x2+2y2＝4，设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，①由，可得（x2，y2﹣1）＝（﹣x1，（1﹣y1）），即有x2＝﹣x1，②②代入①，可得k＝±，即有直线l的方程为y＝±x+1：（ii）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|．∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），又∵＝，∴＝，解得y0＝1或y0＝2．∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．下面证明：对任意直线l，均有．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，∵△＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∴+＝＝2k，已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），又k AQ＝＝＝k﹣，k QB′＝＝＝﹣k+＝k﹣，∴k AQ＝k QB′，即Q、A、B'三点共线，∴＝＝＝．故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；（2）对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|﹣|，求正数λ的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx的导数f′（x）＝x﹣（2a+2）+＝，x＞0，由题意可得f′（2）＝＜0，可得a＞，2a+1＞2＞1，由f′（x）＞0，可得x＞2a+1或0＜x＜1；f′（x）＜0，可得1＜x＜2a+1．即有f（x）的增区间为（0，1），（2a+1，+∞）；减区间为（1，2a+1）；（2）由a∈[，]，可得2a+1∈[4，6]，由（1）可得f（x）在[1，2]递减．设1≤x1＜x2≤2，即有f（x1）＞f（x2），＞，原不等式即为f（x1）﹣λ•＜f（x2）﹣λ•对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]恒成立，令g（x）＝f（x）﹣，即有g（x1）＜g（x2），即为g（x）在[1，2]递增，即有g′（x）≥0对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]恒成立，即x﹣（2a+2）++≥0，即为x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，则（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，a∈[，]，由x∈[1，2]，可得2x﹣2x2≤0，只需（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0．即x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈[1，2]恒成立，令h（x）＝x3﹣7x2+6x+λ，h′（x）＝3x2﹣14x+6≤0在1≤x≤2恒成立，则有h（x）在[1，2]递减，可得h（2）取得最小值，且为﹣8+λ≥0，解得λ≥8．即有正数λ的取值范围是[8，+∞）．四.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO＝AD．【解答】解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OAC＝∠ODB．∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴，∴BD＝9．…（5分）（2）证明：∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A．∴∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠ODC＝180°﹣∠COD﹣∠OCD＝∠ADO．∴AD＝AO…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|＝，求点M轨迹的直角坐标方程．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ＝，所以直线斜率为1，直线l：y ＝x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（4分）（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2＝6表示一椭圆…（8分）取y＝x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2＝0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2＝6夹在平行直线之间的两段弧…（10分）[选修4-5；不等式选讲]24．（Ⅰ）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．证明：|a+b|＜；（Ⅱ）若函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|，关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）记h（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|＝，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0，解得：﹣＜x＜，则M＝{x|﹣＜x＜}，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×＝；（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2等价于|2x+1|+|2x﹣3|＞+2，|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣2x+3|＝4，于是4＞+2，即，∴﹣1＜a＜0或3＜a＜4．。

【VIP专享】沈阳市和平区2016届中考数学一模试卷含答案解析

轴，AC=1，点 B 在 x 轴上，点 C 在函数 y=﹣ （x＜0）的图象上．先将此三角形作关于原点 O 的
对称图形，再向右平移 3 个单位长度得到△A1B1C1，此时点 A1 在函数 y= （x＞0）的图象上， B1C1 与此图象交于点 P，则点 P 的纵坐标是（）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
2016 年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷
一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，满分 20 分） 1．﹣2 的相反数是（）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2 2．如图，正三棱柱的主视图为（）
A．
B．
C．
3．地球上的陆地面积约为 149000000km2．将 149000000 用科学记数法表示为（）
11．分解因式：3ax2﹣12ay2= 正面分别标有数字 1，2，3，4 的四张质地、大小完全相同的卡片背面朝上放在桌面上．从
A．1.49×106 B．1.49×107 C．1.49×108 D．1.49×109
4．下列各式计算正确的是（）
A．a3+a4=a7 B．（3a+b）2=9a2+b2 C．（﹣ab3）2=a2b6 D．a6b÷a2=a3b
5．1﹣ 的值（）
D．
A．比﹣2 大 B．比﹣3 大 C．比﹣3 小 D．比﹣4 小 6．袋子中装有 2 个黑球和 3 个白球，这些球除了颜色不同外形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地一次从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（） A．摸出的三个球中至少有一个球是白球 B．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 C．摸出是三个球中至少有两个球的黑球 D．摸出的单个球中至少有两个球是白球

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【解析】当 0 a 1 时，
S S (a )
1 a2 2a S S ( a ) 2a ；当 1 a 2 时，；当 2 2
2 a 3 时，
C 正确。
S S (a )
5 11 S S (a ) a ；当 a 3 时， 2 2 ；由 S S (a) 的解析式得知
2 2
致无法进行；【解题思路】 1、先求出 b 2.利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到答案。【解析】由直线 l : y x 1 平分圆 C : ( x 1) ( y b) 4 的周长得到圆心 1, b 在直线
2 2
l : y x 1 上，所以 b 2 ，所以圆 C 的圆心到直线 x 3 的距离为 2 等于圆 C 的半径，所
以直线 x 3 与圆 C 相切，故选 B。 9.设 O 为坐标原点， M 1, 2 ，若 N x, y 满足 A．10 B．8 C．6

2x y 4 0 ，则 OM ON 的最大值为 x y20
D．4[来源:4
【答案】C 【考查方向】本题主要考查线性规划的知识，考查向量的数量积的坐标表示【易错点】1.无法将 OM ON 正确表示出来， 2.可行域画错，导致结果出错。【解题思路】1.先画出可行域， 2.将 OM ON 表示成 x 2 y 的形式，然后设 z x 2 y ，将其平移到点最大为 6. 【解析】1.先画出可行域，
y 2 x2 1 (a 0, b 0) 的下， a 2 b2 上焦点，过 F2 点作以 F1 为圆心， OF1 为半径的圆的切线， P 为
11.如图，已知 F1 , F2 是双曲线切点，若切线段 PF2 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为 A． 3 B． 2
y F2 M O F1 P x
lg 40 10
lg 4
；
log a N
N ,(a 0, 且 a 1, N 0)
10lg 4 4 ，之后将结果相加即可得到答案。
【解析】 f (8) 1 lg10 2 ，因为 lg 40 1 ，所以
f (lg 40) 10(lg 401) 10
2 A． 6，
2 成立，所以 a 4(a 3) 0 ，解得 2 a 6 ，故选 C。
4.已知公比为 q 的等比数列 an ，且满足条件 q 1 ， a2 a7 2 ， a4 a5 15 ，则 a12
27 25 27 25 C．或 3 25
A．【答案】D
2

3 5 2k ,k Z k , k Z ，所以 f ( x ) 的单，得 k x 2 6 2 3 6 5 调递减区间是 k , k , k Z ，故选 B。 6 3 2k 2 x

3

【答案】C 【考查方向】本题主要考查求分段函数的解析式以及识别图像的能力。【易错点】当 0 a 1 时的解析式求错导致结果出错。【解题思路】 1、先求当 0 a 1 时， S S (a) 的解析式； 2. 接着求当 a 在其他段时， S S (a) 的解析式，然后根据解析式选出正确选项。
B．
25 3查等比数列的性质：若 m n p q ，则 am an a p aq 。【易错点】1.忽略题中角标之间的关系导致无法解出答案； 2.对于性质：若 m n p q ，则 am an a p aq 理解不好导致运算出错。【解题思路】 1、先利用等比数列的性质得 a2 a7 15 ，之后联立方程组解得 a2 3, a7 5
A. 2 i B. 2 i C. 1 2i D. 1 2i 【答案】C 【考查方向】本题主要考查复数的运算和共轭复数的概念，意在考查考生的运算求解能力。【易错点】没有注意共轭的要求，容易误选 D 【解题思路】 1、先利用复数的除法法则得到
z
(2 i)i 1 2i 1 2i i2 1

3
是函数 f ( x ) sin( 2 x ) 的一个极大值点求出；
2. 然后求函数
f ( x ) sin( 2 x

6
) 的单调递减区间
5 k , k , k Z ，最后令 k 0 即可得到答案。 6 3 2 x ) 的一个极大值点得 f ( ) 1，所以【解析】由 x0 是函数 f ( x ) s in( 3 3
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的能力。【易错点】1、不理解题中的存在的意思； 2、无法从题中的假命题转化出一个真命题导致无法选出正确选项； 3、一元二次不等式恒成立转化成判别式与 0 的关系确定出错。【解题思路】 1、先由题意转化得到： x R ,使得 x2 ax a 3 0 ”为真命题 2、由一元二次不等式恒成立转化得到 a 2 4(a 3) 0 ，解得 2 a 6 【解析】由题意得： x R ,使得 x2 ax a 3 0 ”为真命题，即： x2 ax a 3 0 恒
lg
40 10
10lg 4 4 ，所以 f (8) f (lg 40) 6 ，故选 B。
6 C． 2，
D． (2,6)
3．若命题“ x0 R ,使得 x0 2 ax0 a 3 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是 B． (6,2) 【答案】C 【考查方向】本题主要考查特称命题的否定，一元二次不等式恒成立问题，以及转化与化归
S
C
DC 1, AD 1, DB 2 DC AB
A D
B
3 3 5 易求得三角形 ABC, ACS , CBS , ASB 的面积分 , 2, 5, ， 2 2
所以则该三棱锥四个面的面积中最大的是 6.已知 x0 是 A． (

3
3 5 2
，故选 C。
是函数 f ( x ) sin( 2 x ) 的一个极大值点，则 f ( x ) 的一个单调递减区间
东北育才学校高中部 2016 届高三第五次模拟数学试题（理科）
考试时间：120 分钟试卷满分：150 分命题：高三数学备课组
第Ⅰ卷（选择题
项符合题目要求. 1.复数 z
共 60 分）
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
2i 的共轭复数是．． i
A．5 B．6 C．9 D．22 【答案】B 【考查方向】本题主要考查分段函数函数值的求法以及指数、对数的性质和运算法则。重在考查学生对于指数和对数的运算化简能力。【易错点】1.不会将 10(lg 401) 化简为 10 2.忘记公式 a 【解题思路】 1、先求 f (8) 1 lg10 2 2、 f (lg 40) 10(lg 401) 10
2
6 , 3
)
B． (
5
3 , 6
)
C． (

2
, )
D． (
2 , ) 3
【答案】B 【考查方向】本题主要考查了三角函数最值和单调区间的求法,属于比较简单问题，在各类试卷中出现的频率较高。【易错点】1.将三角函数的最值以极值的形式出现导致无法理解题意致误。 2.将三角函数的最值、单调区间记错、求错出错。【解题思路】1.先由 x0
开始 n=3，k=0 n 为偶数
是
否
n n 2
n 3n 1
k=k+1
n 5, k 2 ； n 16, k 3 ； n 8, k 4 ，跳出循环，故输
出结果为 4，选 A。 8.已知直线 l : y x 1 平分圆 C : ( x 1) ( y b) 4 的周
2、仍然利用等比数列的性质得
a12
2 a7 25 a2 3
a4 a5 a2 a7 15 ，【解析】由等比数列的性质得：又因为 a2 a7 2 ，所以 a2 3, a7 5
a12
2 a7 25 a2 3 ，故选 D。
（ a2 5, a7 3 不符合 q 1 舍去），所以
2 2
n=8
是
否
输出 k 结束
长，则直线 x 3 与圆 C 的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】B 【考查方向】本题主要考查直线与圆的位置关系的判定。考查考生的转化与化归的能力。【易错点】对于题目中的直线 l : y x 1 平分圆 C : ( x 1) ( y b) 4 的周长不理解导
2
2k ,k Z ，得

6
2k , k Z ，所以 f ( x ) s i n ( x 2

6
)令，
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7.若执行右面的程序框图，则输出的 k 值是 A．4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【考查方向】本题是算法程序框图题，主要考查循环结构。【易错点】循环结束的条件或循环不进行完导致结果出错。【解题思路】根据给出的程序框图循环执行，直到符合条件跳出循环。【解析】由题中程序框图知： n 3, k 0 ； n 10, k 1 ；
F2 F1P 60, 然后利用中位线得到 F1P OM ，进
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而
MOx 30,
C． 3 D． 2 【答案】B 【考查方向】此题主要考查圆的切线的性质，双曲线的几何性质以及对于几何图形的识图能力，意在考查考生的综合解题能力。【易错点】1、无法将题中条件准确转化； 2.焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线的方程与焦点在 x 轴上的渐近线方程不同，此点容易出错。【解题思路】1、选根据题中条件求出