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三角形“四心”定义与性质

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。∆ABC 的重心一般用字母O 表示。

性质：

1.外心到三顶点等距，即OA =OB =OC 。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一

边，即OD ⊥BC, OE ⊥AC, OF ⊥AB .

3. ∠A = 1

∠BOC, ∠B =

2

1

∠AOC, ∠C =

2

1

∠AOB 。

2

二、三角形的内心

定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。∆ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：

性质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

1

2.三角形的面积＝⨯三角形的周长⨯内切圆的半径．

2

3.AE =AF ,BF =BD, C D =CE ；

AE +BF +CD =三角形的周长的一半。

4. ∠BIC = 90 +1

∠A, ∠CIA = 90 +

1

∠B ，∠AIB = 90 +

1

∠C 。

2 2 2

三、三角形的垂心

定义：三角形三条高的交点叫重心。∆ABC 的重心一般用字母H 表示。性质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即AH ⊥BC, BH ⊥AC, CH ⊥AB 。

2.△ABH 的垂心为C ，△ BHC 的

垂心为A ，△ ACH 的垂心为B 。

+ = + = + 四、三角形的“重心”：

定

义：三角形三条中线的交点叫重心。 ∆ABC 的重心一般用字母G 表示。 性 质：

1. 顶点与重心G 的连线必平分对边。

2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2 倍。即GA = 2GD , GB = 2GE , GC = 2GF

3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即 x G =

x A + x B + x C , y 3 G = y A + y B + y C . 3

4. 向量性质：（1） GA + GB + GC = 0 ；

1 （2） = (PA + PB + PC ) ，5. 3 S ∆BGC = S ∆CGA = S ∆AGB = 1 S 3

∆ABC 。 五、三角形“四心”的向量形式：

结论1：若点O 为∆ABC 所在的平面内一点，满足⋅ O = ⋅ O = ⋅ O ，

则点O 为∆ABC 的垂心。

2 2 2 2 2 2

结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足OA BC OB CA OC AB ，

则点O 为∆ABC 的垂心。

结论3：若点G 满足GA + GB + GC = 0 ，则点G 为∆ABC 的重心。

1

结论4：若点G 为∆ABC 所在的平面内一点，满足=

则点G 为∆ABC 的重心。

(OA + OB + OC ) ， 3

结论5：若点 I 为∆ABC 所在的平面内一点，并且满足 a ⋅ IA + b ⋅ IB + c ⋅ IC = 0

（其中 a , b , c 为三角形的三边），则点 I 为△ABC 的内心。

结论6：若点O 为∆ABC 所在的平面内一点，满足

(OA + OB ) ⋅ BA = (OB + OC ) ⋅ CB = (OC + OA ) ⋅ AC ，则点O 为∆ABC 的外心。

结论 7：设∈ (0,+∞) ，则向量 AP = (| AB | + AC | AC | ) ，则动点 P 的轨迹过∆ABC 的内心。