用向量方法求空间角与距离

用向量方法求空间角和距离

在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．

1 求空间角问题

空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角

设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||

a b

a b

（２）求线面角

设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin ||||||l n

l n

（３）求二面角

法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos ||||

a b

a b

法二、设

12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角α=12

12arccos

||||

n n n n 2 求空间距离问题

构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离

法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的

距离||

|||cos |||

AB n d AB n θ==

法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ．

（２）求异面直线的距离

法一、找平面β使b β⊂且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．

法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异

面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离||

|||cos |||

AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）．

分

例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 别是棱1111,A D A B 的中点．

（Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离

例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形

B B A A '' 是矩形，。平面平面ABCD B B A A ⊥''

（Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'DAC 的距离．

（II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角

A C A D -'-的大小为？ 60

例３．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点．

（Ⅰ）求证： 直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直； （II ）当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小．

练习题

1．如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．

2．如图，正四棱柱ABCD A B C D -1111中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，

EF BD G =。

（1）求证：平面B EF BDD B 11⊥平面； （2）求点D 1到平面B EF 1的距离d ； （3）求三棱锥B EFD 11-的体积V 。

O

S

B

C

3．在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=22，M 为AB 的中点. （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；

（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面SCM 的距离.

4．如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；

（III ）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．（05北京16）