线性代数同济大学
同济大学线性代数电子教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解线性代数的基本概念，包括向量、线性空间、线性变换等。
2. 掌握线性方程组的解法，包括高斯消元法、克拉默法则等。
3. 理解矩阵的基本性质和运算，包括矩阵的乘法、逆矩阵、特征值和特征向量等。
4. 能够运用线性代数的知识解决实际问题。
教学重点：1. 线性方程组的解法。
2. 矩阵的基本性质和运算。
3. 特征值和特征向量的概念及计算方法。
教学难点：1. 线性方程组的解法在高维空间中的应用。
2. 特征值和特征向量的物理意义及其在工程中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 引入线性代数的概念，介绍线性代数在工程中的应用。
2. 简述线性代数的研究对象，如线性空间、线性变换和线性方程组。
二、教学内容1. 向量空间- 向量的概念及其运算。
- 线性空间的基本性质。
- 子空间的概念及其性质。
2. 线性变换- 线性变换的定义及其表示。
- 线性变换的运算。
- 线性变换的性质。
三、实例分析1. 通过实例展示线性代数在工程中的应用，如电路分析、信号处理等。
2. 分析实例中的线性方程组，介绍高斯消元法及其应用。
四、课堂练习1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
2. 指导学生完成练习，解答学生疑问。
第二课时一、复习上节课内容1. 回顾向量空间、线性变换等概念。
2. 回顾高斯消元法及其应用。
二、教学内容1. 矩阵- 矩阵的定义及其运算。
- 矩阵的基本性质。
- 矩阵的秩及其计算。
2. 线性方程组- 克拉默法则及其应用。
- 线性方程组的解的性质。
三、实例分析1. 通过实例展示矩阵在工程中的应用，如矩阵分解、矩阵求逆等。
2. 分析实例中的矩阵运算，介绍矩阵的逆及其应用。
四、课堂练习1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
2. 指导学生完成练习，解答学生疑问。
五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
教学反思：1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略。
线性代数课件(完整版)同济大学
a11 a12 a13
a21 a22 a23
引进记号
a31 a32 a33
原则：横行竖列
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
p1 p2 L pn
4. 当 p1 p2 L是p偶n 排列时，对应的项取正号； 当 p1 p2 L是奇pn排列时，对应的项取负号.
思考题： 1 1成立吗？ 答：符号 1可以有两种理解： ✓若理解成绝对值，则 1 ；1 ✓若理解成一阶行列式，则 1 . 1
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与 绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
线性代数（第五版）
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
例：写出四阶行列式中含有因子a11a的23 项.
解：a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
(a a a a )x a b b a
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
|2A1|(2)3|A1|8|A|18216
17设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A1)*
证明由 得A*|A|A1所以当A可逆时有
|A*||A|n|A1||A|n10
从而A*也可逆
因为A*|A|A1所以
(A*)1|A|1A
又 所以
(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*
5设 问
(1)ABBA吗?
解ABBA
因为 所以ABBA
(2)(AB)2A22ABB2吗?
解(AB)2A22ABB2
因为
但
所以(AB)2A22ABB2
(3)(AB)(AB)A2B2吗?
解(AB)(AB)A2B2
因为
而
故(AB)(AB)A2B2
6举反列说明下列命题是错误的
(1)若A20则A0
解取 则A20但A0
解 令
则
故
29设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆求
(1)
解设 则
由此得
所以
(2)
解设 则
由此得
所以
30求下列矩阵的逆阵
(1)
解设 则
于是
(2)
解设 则
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1把下列矩阵化为行最简形矩阵
(1)
解 (下一步r2(2)r1r3(3)r1)
~ (下一步r2(1)r3(2))
~ (下一步r3r2)
(3)
解 (下一步r12r4r22r4r33r4)
~ (下一步r23r1r32r1)
~ (下一步r216r4r316r2)
~
~
矩阵的秩为3 是一个最高阶非零子式
10设A、B都是mn矩阵证明A~B的充分必要条件是R(A)R(B)
线性代数(同济大学应用数学系第四版)1-5 行列式的性质
等于下列两个行列式之和： 则D等于下列两个行列式之和： 等于下列两个行列式之和 ′ a11 ⋯ a1i ⋯ a1n a11 ⋯ a1i ⋯ a1n ′ a 21 ⋯ a 2 i ⋯ a 2 n a 21 ⋯ a 2 i ⋯ a 2 n D= + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ′ a n1 ⋯ a ni ⋯ a nn a n1 ⋯ a ni ⋯ a nn 按第i 按第i列拆分
性质2 性质2 例如
互换行列式的两行（ 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 行列式变号.
1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8, 3 5 8 6 6 2
如果行列式有两行（ 完全相同， 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 此行列式为零.
D = − D,∴ D = 0
★
0 b11 ⋯ b1n ⋮ ⋮ bn1 ⋯ bnn
b11 ⋯ b1n D2 = ⋮ ⋮ , bn1 ⋯ bnn
例3
a k 1 ⋯ a kk 设D= c11 ⋯ c1k ⋮ ⋮ c n1 ⋯ c nk
a11 ⋯ a1k D1 = ⋮ ⋮ , ak1 ⋯ akk
证明
D = D1 D2 .
证明
对 D1 作运算ri + krj，把 D1 化为下三角形行列式
P.12 例 c+z a+x b+ y d +w
y
w a c
=
a+x b
c+z a b d d +
+
a+x
c+z +
x z y w
= c
x b z d
y w
+
＊
性质６ 把行列式的某一列（ 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行 对应的元素上去 对应的元素上去， 同一数然后加到另一列 行)对应的元素上去，行 列式不变． 列式不变． a11 ⋯ a1i ⋯ a1 j ⋯ a1n a21 ⋯ a2i ⋯ a2 j ⋯ a2 n 例如 k× ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ ani ⋯ anj ⋯ ann
《线性代数》同济大学版课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(2)ba c a cb cb a ;解ba c a cbc b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a cb a ;解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y y x y x +++.解yx y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2)1(-n n :3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) (2n ) (2n -2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解 含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:(1)71100251020214214; 解71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解2605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解ef cf bf de cd bd ae ac ab ---ec b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 4111111111=---=.(4)dc b a100110011001---. 解d c b a 100110011001---dc b aab ar r 10011001101021---++===== dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1.5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 .(2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22zy x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y z y x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得)5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得) 022122212221222122222=++++=d d c c b b a a .(4)444422221111d c b a d c b a d c b a=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d );证明444422221111d c b a d c b a d c b a)()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++-++------=)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----==(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).(5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n+a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明 用数学归纳法证明. 当n =2时,2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立.假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有11100 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明 因为D =det(a ij ), 所以nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a aD D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=.D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开))1()1(10 00000 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a aan n n nn a a a +⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 0000 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ; 解 根据第6题结果, 有nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 1111)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)n nnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112;解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开)nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+.再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而111111112c b d a d c b a D -==,所以∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r152423210 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.(6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D ,28411235122412111512-=-----=D , 42611135232422115113-=----=D ,14202132132212151114=-----=D , 所以111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==DDx . (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100650000611==D ,11455101065100065000601000152-==D , 70351100650000601000051001653==D , 39551000601000051000651010654-==D ,2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T. 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y . 7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k.8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A-1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ;解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ;解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|. 解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*. 证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1. |P |=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000320012101301300120010100121. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A , 故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311;解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267. (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211. 4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(TT B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1TT T B A X ,从而⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BAX . 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X . 解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式? 解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样? 解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431,矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式. 10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ). 证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x , 故方程组的解为。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
同济大学线性代数
同济大学线性代数同济大学线性代数是一门基础的数学课程，在同济大学的学生中被广泛的学习。
这门课是针对学生们学习数学的基本原理和方法，以及在实际应用中使用这些原理和方法的能力，特别是一般有关矩阵，向量空间和线性变换的概念学习。
在学习这门课之前，学生们需要具备一定的微积分知识，加之对线性结构和算法分析的基本了解，才能更好地理解线性代数。
主要内容线性代数主要包括以下几个方面：矩阵论、向量空间论、线性变换论、线性方程组论及其应用。
1.矩阵论：学习矩阵的基本定义、特性及其操作，包括行列式、矩阵函数、条件数、广义逆矩阵、奇异值分解、正定矩阵和矩阵分解等知识。
2.向量空间论：学习矢量空间的定义、性质及其基本操作，包括线性相关、线性无关、维数、正交基、正交坐标系、向量的线性组合等。
3.线性变换论：学习线性变换的定义、性质及其基本操作，包括线性变换、秩、固有值及其固有向量、行列式、圆及其上的线性变换等。
4.线性方程组论及其应用：学习线性方程组的基本原理及其应用，包括稀疏矩阵、最小二乘法、最优结构及其应用等。
这门课程是一门非常实用的数学课程，应用到实际生活中非常多，特别是在机械工程、电子工程、金融工程等行业中。
性代数对于解决计算机中的各种技术问题、设计优化算法和表示几何信息也有重要的作用，学习线性代数后，可以更加熟练地应用线性代数的概念来解决实际问题。
同济大学线性代数课程作为一门基础性的科目，对学生们掌握数学的基本原理和方法是非常重要的，也是在数学以及其它学科中扩展思维，打下有力基础的一门课程。
在学习同济大学线性代数课程的过程中，不仅可以学到更加丰富的知识，而且在实践中逐渐掌握现代科学技术的研究能力，也是培养高素质的社会人才的重要课程。
(同济大学)线性代数第五版课后答案
成都大学诗叶子制作第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---;解 381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)ba c a cb cb a ;解 ba c a cb cb a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc=3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ).成都大学诗叶子制作(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解 逆序数为2)1(-n n :3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n)2, (2n)4, (2n)6,⋅⋅⋅, (2n)(2n-2) (n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)t a11a23a3r a4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:成都大学诗叶子制作成都大学诗叶子制作(1)7110025*******214; 解 71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解 2605232112131412-26053212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab ---;解 efcf bf de cd bd aeac ab ---e c b e c b e c b adf ---=abcdef adfbce 4111111111=---=.成都大学诗叶子制作(4)dc b a 100110011001---. 解 d c b a 100110011001---dc b aab ar r 10011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ada ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++成都大学诗叶子制作bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得)成都大学诗叶子制作022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).成都大学诗叶子制作(5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-xx a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明 因为D =det(a ij ), 所以成都大学诗叶子制作nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解成都大学诗叶子制作aa a a a D n 0 0010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 00 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a an n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.成都大学诗叶子制作(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解 根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解成都大学诗叶子制作nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(. (5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |;成都大学诗叶子制作解 a ij =|i -j |, 04321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 043211 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.(6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 111 1121成都大学诗叶子制作nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10001 000 100 0100 0100 0011332212132 11113121121110 00011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 000100 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为成都大学诗叶子制作14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 284112035122412111512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==D D x .(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 150751001651000651000650000611==D , 114551010651000650000601000152-==D ,成都大学诗叶子制作70351100650000601000051001653==D , 39551000601000051000651010654-==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ成都大学诗叶子制作有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,成都大学诗叶子制作故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;成都大学诗叶子制作解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,成都大学诗叶子制作 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗?解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ; 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取成都大学诗叶子制作 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,成都大学诗叶子制作 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以成都大学诗叶子制作 (B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,成都大学诗叶子制作 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:成都大学诗叶子制作 (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .成都大学诗叶子制作 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,成都大学诗叶子制作 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A )可逆, 且(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ),故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ),两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.成都大学诗叶子制作 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2,即 |A ||A -E |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,成都大学诗叶子制作 )3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|. 解 因为*||11A A A =-, 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0,从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以(A *)-1=|A |-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得成都大学诗叶子制作A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A成都大学诗叶子制作11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A . 26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,成都大学诗叶子制作所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,成都大学诗叶子制作1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n EBC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C OC O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.成都大学诗叶子制作由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则成都大学诗叶子制作⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.成都大学诗叶子制作(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000410003011020201. 2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.成都大学诗叶子制作3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211. 4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,成都大学诗叶子制作所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:成都大学诗叶子制作⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********;成都大学诗叶子制作解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02301000001000071210 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2;成都大学诗叶子制作(3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有成都大学诗叶子制作A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为。
同济大学工程数学线性代数第六版答案（全）.
第一章行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式(1)381141102解3811411022(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644(2)b a c ac b c b a 解ba c a cbc b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3(3)222111c b a cb a 解222111c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2(a b)(b c)(c a)(4)y x y x xy x yyx yx 解yx y x x y x yyx yx x(x y)y yx(x y)(x y)yx y 3(x y)3x 33xy(x y)y 33x 2y x 3y 3x 32(x3y 3)2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 2解逆序数为441 43 42 32(3)3 4 2 1解逆序数为53 2 3 14 2 4 1, 2 1(4)2 4 1 3解逆序数为32 1 4 1 4 3(5)1 3 (2n 1) 2 4(2n)解逆序数为2)1(n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2解逆序数为n(n1)3 2(1个)5 2 5 4 (2个)(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)4 2(1个)6 2 6 4(2个)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个)3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为(1)t a11a23a3r a4s其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是(1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424计算下列各行列式(1)71100251020214214解711025102021421410014231020211021473234c c c c 34)1(14310221101414310221101401417172001099323211c c c c (2)2605232112131412解2605232112131412260503212213041224c c 041203212213041224r r 0000003212213041214r r (3)ef cf bf decd bd ae ac ab 解efcf bf de cd bd ae ac ab ec b ec b ec b adf abcdefadfbce 4111111111(4)dc b a 100110011001解d c b a100110011001dc b a ab ar r 10011001101021d c a ab 101101)1)(1(1201011123cd c ad a ab dc c cd adab 111)1)(1(23abcd ab cd ad 15证明:(1)1112222b b a a b ab a (a b)3;证明1112222b b a a b ab a 00122222221213ab a b a a b a ab ac c c c ab ab a b a ab 22)1(2221321))((ab a a b a b (a b)3(2)y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by axbz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a bz ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a 22z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33y x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33yx z x z y z y x b a )(33(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(d d d dc c c c b b b b a a a a (c 4c 3c 3c 2c 2c 1得) 5232125232125232125232122222ddddc c c c b b b b a a a a (c 4c 3c 3c 2得)022122212221222122222d d c c b b a a (4)444422221111dcb a dc b ad c b a (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明444422221111dc b ad c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b )()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b =(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)(5)12211000010001a x a a a a x xxn n n x na 1xn 1a n 1x a n证明用数学归纳法证明当n 2时2121221ax a x a x a x D 命题成立假设对于(n 1)阶行列式命题成立即D n1xn 1a 1xn 2a n 2x a n1则D n 按第一列展开有1110010001)1(11x x a xD D n n nn xD n1a n x na 1xn 1a n 1x a n因此对于n 阶行列式命题成立6设n 阶行列式D det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得nnn n a a a a D 1111111112n nn na a a a D 11113a a a a D n n nn 证明D D D n n 2)1(21)1(D 3D证明因为D det(a ij )所以nnn n n n nnn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1()1()1(331122111121n nn n n n n n a a a a a a a a DD n n n n 2)1()1()2(21)1()1(同理可证nnnn n n a a a a D )1(11112)1(2DDn n Tn n 2)1(2)1()1()1(DD D D D n n n n n n n n )1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式)(1)aaD n11, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0解aa a a a D n10000000000001000(按第n 行展开))1()1(100000000000010000)1(n nn a a a )1()1(2)1(n nn a aann nnn aa a)2)(2(1)1()1(a n an 2an 2(a 21)(2)xa a a x a a a x D n ; 解将第一行乘(1)分别加到其余各行得ax xa a x x a ax x a a a ax D n0000000再将各列都加到第一列上得ax ax a x a aa a n x D n000000000)1([x (n 1)a](x a)n 1(3)1111)()1()()1(1111n a a a n a a an a a a D nnn n n n n;解根据第6题结果有nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1此行列式为范德蒙德行列式112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D 112)1()]([)1(j i n n n j i1121)1(2)1()()1()1(j in n n n n j i11)(j in j i(4)nnnnnd c d c b a b a D 11112;解nnnnnd c d c b a b a D 11112(按第1行展开)nn n nnnd d c d c b a b a a 000111111110)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n nnnn 再按最后一行展开得递推公式D 2n a n d n D 2n2b nc n D 2n2即D 2n (a n d n b n c n )D 2n2于是ni i i i i nD c b d a D 222)(而111111112c b d a d c b a D 所以ni i i i i nc bd a D 12)((5) D det(a ij )其中a ij |i j|; 解a ij |i j |043214123310122*********)det(n n n n n n n n a D ij n 04321111111111111111111112132n n n n r r r r15242321022210022100021000011213n n n n n c c c c (1)n 1(n 1)2n 2(6)nna a a D 11111111121, 其中a 1a 2a n 0解nna a a D 11111111121nn n n a a a a a a a a a c c c c 1010001000100010000113322121321111312112111000011000001100001100001nn na aa a a a a ani in na aa a a a a a 11111312112110000010000001000001000001)11)((121niin a a a a 8用克莱姆法则解下列方程组(1)1123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解因为14211213513241211111D142112105132412211151D 284112035122412111512D 426110135232422115113D 14202132132212151114D 所以111DD x 222DD x 333DD x 144DD x(2)150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x 解因为6655100065100065100065100065D150751001651000651000650000611D 114551010651000650000601000152D 70351100650000601000051001653D 39551000601000051000651010654D 21211000051000651000651100655D 所以66515071x 66511452x 6657033x 6653954x 6652124x 9问取何值时齐次线性方程组200321321321x x x x x x x x x 有非零解？解系数行列式为1211111D令D 0得0或1于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解10问取何值时齐次线性方程组)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x 有非零解？解系数行列式为101112431111132421D(1)3(3)4(1)2(1)(3)(1)32(1)23令D 0得2或3于是当2或3时该齐次线性方程组有非零解第二章矩阵及其运算1已知线性变换3213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1x 2x 3到变量y 1y 2y 3的线性变换解由已知221321323513122y y y x x x 故3211221323513122x x x y y y 321423736947y y y 321332123211423736947x x x y x x x y x x x y 2已知两个线性变换32133212311542322y y y x y y y x y y x 323312211323z z y z z y z z y 求从z 1z 2z 3到x 1x 2x 3的线性变换解由已知221321514232102y y y x x x 321310102013514232102z z z 321161109412316z z z 所以有3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x 3设111111111A150421321B求3AB 2A 及A TB 解1111111112150421321111111111323A AB 2294201722213211111111120926508503092650850150421321111111111BA T 4计算下列乘积(1)127075321134解127075321134102775132)2(7111237449635(2)123)321(解123)321((132231)(10)(3))21(312解)21(31223)1(321)1(122)1(2632142(4)20413121013143110412解204131210131431104126520876(5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x 解321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x (a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3a 13x 1a 23x 2a 33x 3)321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a xa xa xa 5设3121A2101B 问(1)AB BA 吗? 解AB BA因为6443AB8321BA所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗? 解(A B)2A 22AB B2因为5222BA 52225222)(2B A 2914148但43011288611483222BAB A27151610所以(A B)2A 22AB B2(3)(A B)(A B)A 2B 2吗? 解(A B)(A B)A 2B2因为5222BA 1020BA 906010205222))((B A B A 而718243011148322BA故(A B)(A B)A 2B26举反列说明下列命题是错误的(1)若A 20则A 0解取0010A则A 2但A 0(2)若A 2A 则A 0或A E 解取0011A则A 2A 但A 0且A E(3)若AX AY 且A 0则X Y解取0001A1111X1011Y则AX AY 且A0但X Y 7设101A 求A2A 3Ak解12011011012A1301101120123AA A101k Ak8设001001A求Ak解首先观察0010010010012A 22220123232323003033AA A43423434004064AA A 5453454550105AA AkAkk kkk kkk k k02)1(121用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k 时成立，则k 1时，01001002)1(1211kk kk k kk kkk k kAA A111111)1(02)1()1(k k k k k k k k k k 由数学归纳法原理知kk kkk kkkk k kA02)1(1219设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B TAB 也是对称矩阵证明因为A TA 所以(B TAB)TB T(B TA)TB T A T B B TAB从而B TAB 是对称矩阵10设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA证明充分性因为A TABTB 且AB BA 所以(AB)T(BA)TA TB TAB即AB 是对称矩阵必要性因为A TAB TB 且(AB)TAB 所以AB (AB)TB T ATBA11求下列矩阵的逆矩阵(1)5221解5221A |A|1故A 1存在因为1225*22122111A A A A A 故*||11A A A1225(2)cos sin sin cos 解c o s s i n s i n c o s A |A|10故A 1存在因为cos sinsin cos *22122111A A A A A 所以*||11A A Acossinsin cos (3)145243121解145243121A|A|20故A 1存在因为214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A 所以*||11A A A1716213213012(4)n a a a 0021(a 1a 2a n 0)解na a a A21由对角矩阵的性质知na a a A 1001121112解下列矩阵方程(1)12643152X解126431521X1264215380232(2)234311111012112X 解1111012112234311X332321012343113132538122(3)101311022141X解11110210132141X2101101311421212101036612104111(4)021102341010100001100001010X 解1110100001021102341100001010X1010000102110234110000101020143101213利用逆矩阵解下列线性方程组(1)3532522132321321321x x x x x x x x x 解方程组可表示为321153522321321x x x 故013211535223211321x x x从而有01321x x x (2)05231322321321321x x x x x x x x x 解方程组可表示为012523312111321x x x 故3050125233121111321x x x 故有305321x x x 14设A kO (k 为正整数)证明(E A)1E A A2Ak 1证明因为A kO所以E A kE又因为E A k(E A)(E A A2A k 1)所以(E A)(E A A2Ak 1)E由定理2推论知(E A)可逆且(E A)1E A A2Ak 1证明一方面有E (E A)1(E A)另一方面由A kO有E (E A)(A A 2)A 2Ak 1(Ak 1A k)(E A A2Ak 1)(E A)故(E A)1(E A)(E A A2Ak 1)(E A)两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A2Ak 115设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆并求A 1及(A 2E)1证明由A 2A 2E O 得A2A 2E 即A(A E)2E或E E A A )(21由定理2推论知A 可逆且)(211E A A由A 2A 2E O 得A2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E)4E或E A E E A )3(41)2(由定理2推论知(A 2E)可逆且)3(41)2(1A E E A 证明由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得|A 2A|2即|A||A E|2故|A|所以A 可逆而A 2E A2|A 2E||A 2||A|2故A 2E 也可逆由A 2A 2E OA(A E)2EA 1A(A E)2A 1E)(211E A A又由A 2A 2E O(A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A 3E)4 E所以(A 2E)1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E)1)3(41)2(1A E E A 16设A 为3阶矩阵21||A 求|(2A)15A*|解因为*||11A A A 所以|||521||*5)2(|111A A A A A |2521|11A A |2A 1|(2)3|A 1|8|A|1821617设矩阵A 可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A 1)*证明由*||11A A A得A*|A|A1所以当A 可逆时有|A*||A|n|A 1||A|n 1从而A*也可逆因为A*|A|A1所以(A*)1|A|1A又*)(||)*(||1111A A A A A 所以(A*)1|A|1A |A|1|A|(A 1)*(A 1)*18设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*证明(1)若|A|0则|A*|0(2)|A*||A|n 1证明(1)用反证法证明假设|A*|0则有A*(A*)1E 由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0(2)由于*||11A A A则AA*|A|E 取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0则|A*||A|n 1若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立因此|A*||A|n 119设321011330AAB A 2B 求B解由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故321011330121011332)2(11AE A B 01132133020设101020101A 且AB E A 2B求B解由AB E A 2B 得(A E)B A 2E即(A E)B (A E)(A E)因为01001010100||E A 所以(A E)可逆从而201030102E A B 21设A diag(121)A*BA 2BA 8E求B解由A*BA 2BA 8E 得(A*2E)BA 8EB8(A*2E)1A 18[A(A*2E)]18(AA*2A) 1 8(|A|E 2A) 1 8(2E 2A) 14(E A)14[diag(212)]1)21,1,21(diag 42diag(121)22已知矩阵A 的伴随阵8030010100100001*A 且ABA1BA 13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E 得AB B 3AB 3(A E)1A 3[A(E A 1)]1A 11*)2(6*)21(3A E A E 103006060060000660300101001000016123设P 1AP 其中1141P2001求A11解由P 1AP 得A P P 1所以A11A=P 11P 1.|P|31141*P 1141311P而11111120012001故31313431200111411111A6846832732273124设AP P其中111201111P511求(A)A 8(5E 6A A 2)解()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)] diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P ()P1*)(||1P P P 1213032220000000011112011112111111111425设矩阵A 、B 及A B 都可逆证明A1B 1也可逆并求其逆阵证明因为A 1(A B)B1B1A1A1B1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(A B)B 1可逆即A1B 1可逆(A 1B 1)1[A 1(A B)B 1]1B(A B)1A 26计算3003200121013013000120010100121解设10211A 30122A 12131B 3322B 则2121B O B E A O EA 222111B A O B B A A 而4225303212131021211B B A 9034332301222B A 所以2121B O B E A O E A 222111B A O B B A A 90340042102521即30320012101301300012001010012190034004210252127取1001DC B A 验证||||||||D C B A DC B A解4100120021010*********0021010010110100101DC B A 而01111||||||||D C B A 故||||||||D C B A DC B A 28设22023443O O A 求|A 8|及A4解令34431A 22022A 则21A O O A A 故8218A O O A A8281A O OA 1682818281810||||||||||A A A A A 464444241422025005OO A O O A A29设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆求(1)1OB A O 解设43211C C C C OB AO 则O B A O 4321C C C C sn E O O E BC BC AC AC 2143由此得sn E BC O BC O AC E AC 2143121413BC O C O C A C 所以OA B O OB A O 111(2)1B C O A 解设43211D D D D BC OA 则sn E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得sn E BD CD O BD CD OAD E AD 42312114113211B D CA B D OD A D 所以11111BCA B O A B C O A 30求下列矩阵的逆阵(1)2500380000120025解设1225A2538B则5221122511A8532253811B于是8532000052002125003800001200251111BABA (2)4121031200210001解设2101A4103B2112C则1111114121031*********BCA B O A B C O A 411212458103161210021210001第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵(1)340313021201解340313021201(下一步r 2(2)r 1r 3(3)r 1)~020031001201(下一步r 2(1)r 3(2))~010*********(下一步r 3r 2)~30031001201(下一步r 33)~100031001201(下一步r 23r 3)~100001001201(下一步r 1(2)r 2r 1r 3)~100001000001(2)174034301320解174034301320(下一步r 22(3)r 1r 3(2)r 1 )~31031001320(下一步r 3r 2r 13r 2 )~0000310010020(下一步r 12 )~000031005010(3)12433023221453334311解12433023221453334311(下一步r 23r 1r 32r 1r 43r 1 )~1010500663008840034311(下一步r 2(4)r 3(3) r 4(5) )~22100221002210034311(下一步r 13r 2r 3r 2r 4r 2 )~0000000002210032011(4)34732038234202173132解34732038234202173132(下一步r 12r 2r 33r 2r 42r 2 )~118771298804202111110(下一步r 22r 1r 38r 1r 47r 1 )~41000410002020111110(下一步r 1r 2r 2(1)r 4r 3 )~0000410001111020201(下一步r 2r 3 )~000004100030110202012设987654321100010101100001010A 求A解100001010是初等矩阵E(12)其逆矩阵就是其本身100010101是初等矩阵E(12(1))其逆矩阵是E(12(1))100010101100010101987654321100001010A2872212541000101019873216543试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵(1)323513123解100010001323513123~101011001200410123~1012002110102/102/3023~2/102/11002110102/922/7003~2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为21021211233267(2)121232112201023解10000100001000011210232112201023~001030110000100122594012102321~20104301100001001200110012102321~10612430110000100100110012102321~10612631110`1022111000010000100021~10612631110104211100010*********故逆矩阵为106126311101042114(1)设113122214A 132231B求X 使AX B解因为132231113122214),(B A 412315210100010001~r 所以4123152101BA X(2)设433312120A 132321B 求X 使XA B解考虑A T X TBT因为134313*********),(TTB A 411007101042001~r 所以417142)(1TT T B A X 从而4741121BAX 5设101110011AAX 2X A求X解原方程化为(A 2E)X A 因为101101110110011011),2(A E A 011100101010110001~所以11101110)2(1AE A X 6在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r 1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中可能存在等于0的r 1阶子式也可能存在等于0的r 阶子式例如10000100001AR(A)30000是等于0的2阶子式010001000是等于0的3阶子式7从矩阵A 中划去一行得到矩阵B问AB 的秩的关系怎样?解R(A)R(B)这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式故A 的秩不会小于B 的秩8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(1010)(110)解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵000001000001010001100001此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式(1)443112112013; 解443112112013(下一步r 1r 2 )~443120131211(下一步r 23r 1r 3r 1 )~564056401211(下一步r 3r 2 )~000056401211矩阵的2秩为41113是一个最高阶非零子式(2)815073131213123解815073131223123(下一步r 1r 2r 22r 1r 37r 1 )~15273321059117014431(下一步r 33r 2 )~00059117014431矩阵的秩是271223是一个最高阶非零子式(3)02301085235703273812解2301085235703273812(下一步r 12r 4r 22r 4r 33r 4 )~02301024205363071210(下一步r 23r 1r 32r 1 )~0230114000016000071210(下一步r 216r 4r 316r 2 )~02301000001000071210~0000100007121002301矩阵的秩为3070023085570是一个最高阶非零子式10设A 、B 都是m n 矩阵证明A~B 的充分必要条件是R(A)R(B)证明根据定理3必要性是成立的充分性设R (A)R (B)则A 与B 的标准形是相同的设A 与B 的标准形为D 则有A~DD~B由等价关系的传递性有A~B11设32321321k k k A问k 为何值可使(1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3解32321321k k k A)2)(1(0011011~k k k k k r (1)当k 1时R(A)1(2)当k2且k 1时R(A)2(3)当k 1且k2时R(A)312求解下列齐次线性方程组:(1)02220202432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等行变换有A212211121211~3/410013100101于是4443424134334x x x x x x x x 故方程组的解为1343344321kx x x x (k 为任意常数)(2)05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等行变换有A5110531631121~000001001021于是4432242102x x x x x x x x 故方程组的解为10010012214321k k x x x x (k 1k 2为任意常数)(3)7420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等行变换有A7421631472135132~1000010000100001于是00004321x x x x 故方程组的解为00004321x x x x (4)3270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等行变换有A3127161311423327543~0000001720171910171317301。
同济大学线性代数第六版答案(全)
同济大学线性代数课件__第四章y
1
§4.1 向量组
一.n维向量
定义1：n 个数
a 1 , a 2 , , a n
所组成的有序数组
称为一个 n 维向量. 第 i 个数 a i 称为第 i 个分量. 这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵.
a1 a 2 (a1 , a2 an )T an 列向量
25
例4： 已知向量 1 , 2 , 3 线性无关，证明：向量
1 1 2 , 2 2 3 , 3 1 3 线性无关.
x1 x 1 , 2 , , n 2 0 x1 1 x2 2 xn n 0 x n
【注】零向量可写成任意同维数向量的线性组合，即 齐次线性方程组 x11 x22 xmm 0总有解。
其中 A 1 , 2 , , m
21
特别 (1) n个n维向量 (1 , 2 , , n ) A 线性相关
R( A) n A 0
(2) n个n维向量 ( 1 , 2 , , n ) A 线性无关
R( A) n A 0
22
例2: 已知 1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) , 试讨论向量组 1 , 2 , 3及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
23
解： 设 x1 1 x2 2 x3 3 0
1 0 2 0 1 x 2 x 4 0 x 即 1 2 3 1 5 7 0 1 0 2
16
(NEW)同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 行列式1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 考研真题详解第2章 矩阵及其运算2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 考研真题详解第3章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 考研真题详解第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 考研真题详解第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 考研真题详解第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 考研真题详解第1章 行列式1.1 复习笔记一、二阶与三阶行列式1二阶行列式定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：则表达式就是数表的二阶行列式，并记作2三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表记该式称为数表所确定的三阶行列式．二、全排列和对换1全排列把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列．n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示．（1）逆序数定义对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成1个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数．（2）分类逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列．（3）逆序数的计算设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序．设为这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果比p i大的且排在p i前面的元素有t i个，则称p i这个元素的逆序数为t i．全体元素的逆序数的总和即是这个排列的逆序数．2对换（1）定义对换是在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动．将相邻两个元素对换称为相邻对换．（2）性质①排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．②奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数．三、n阶行列式1定义称为n阶行列式，简记作，其中数a ij为行列式D的第（i，j）元素．2两类典型的n阶行列式（1）下三角形行列式（2）对角行列式3行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等．（2）对换行列式的两行（列），行列式变号．（3）如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式．（5）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和．（6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．四、行列式按行（列）展开1余子式与代数余子式在n阶行列式中，把（i，j）元a ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n －1阶行列式称为（i，j）元a ij的余子式，记作M ij，记A ij称为（i，j）元a ij的代数余子式．2定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或 3范德蒙德行列式4代数余子式的推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零．即或5代数余子式的重要性质或．1.2 课后习题详解1利用对角线法则计算下列三阶行列式：2按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）13…（2n－1）24…（2n）；（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2．解：（1）此排列为标准排列，其逆序数为0；（2）此排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0＋1＋1＋2＝4；（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0＋0＋2＋3＝5；（4）此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，因此它的逆序数为0＋0＋2＋1＝3；（5）此排列中前n位元素的逆序数均为0．第n＋1位元素2与它前面的n －1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0．因此该排列的逆序数为（6）此排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4,……,末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为3写出四阶行列式中含有因子的项．解：根据行列式定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a32和a44或a34和a42．又因排列1324与1342的逆序数分别为1与2，所以此行列式中含有的项为与4计算下列各行列式：解：（1）（2）；（3）（4）（5）（6）5求解下列方程：其中a，b，c互不相等．因此方程的解为．（2）根据题意，方程左式为4阶范德蒙德行列式，则有因a，b，c互不相等，因此方程的解为6证明：（2）将左式按第1列拆开可以得到因此有其中于是因此，（5）方法一 按第1列展开得方法二 按最后一行展开得7设n阶行列式，把D上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得证明证：（1）通过对换行将D1变换成D，从而可找出D1与D的关系：D1的最后一行是D的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行，共进行n－1次交换；这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行n－2次交换……直至最后一行是D 的第n－1行，再通过一次交换将它换到第n－1行，这样就把D1变换成D，共进行次交换，故．（2）计算D2：观察可知，D2的第1，2，…，n行恰好依次是D的第n，n－1，…，1列，因此若把D2上下翻转得，则的第1，2，…，n行依次是D的第1，2，…，n列，即．于是由（1）有（3）计算D3：观察可知，若把D3逆时针旋转90°得，则的第1，2，…n列恰好是D的第n，n－1，…，1列，于是再把左右翻转就得到D．由（1）、（2）有8计算下列各行列式（D k为k阶行列式）：，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；；；提示：利用范德蒙德行列式的结果．，其中未写出的元素都是0；；，其中a ij＝|i－j|；，其中解：（1）方法一 化D n为上三角形行列式上式中最后那个行列式为上三角形行列式；方法二 把D n按第二行展开，由于D n的第二行除对角线元素外全为零，因此有，即于是有 （2）利用各列的元素之和相同，把从第二行起的各行全部加到第一行，再提取公因式．（3）把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，因此行列式经上下翻转再左右翻转，即相当于转180°，其值不变．于是按范德蒙德行列式的结果可得（4）可用递推法即有递推公式另外，归纳基础为，利用这些结果可递推得（5）把第一行除外的所有行都加到第一行，并提取第一行的公因子，得（6）（7）可将原行列式化为上三角形行列式，需从第2行起，各行均减去第1行，得行列式其中.于是9设，D的（i，j）元的代数余子式记作A ij，求.解：求，则等于用1，3，－2，2替换D的第3行对应元素所得行列式，即1.3 考研真题详解一、选择题行列式等于（ ）．[数一、数二、数三 2014研]A． B．C． D．【答案】B【解析】二、填空题1阶行列式 [数一 2015研]【答案】【解析】将阶行列式按第一行展开2设是三阶非零矩阵，为A的行列式，A ij为a ij的代数余子式,若，则｜A｜＝______．[数一、数二、数三 2013研]【答案】－1【解析】由可知，故3设A，B为3阶矩阵，且．[数二、数三2010研]【答案】3【解析】因为所以第2章 矩阵及其运算2.1 复习笔记一、线性方程组和矩阵1线性方程组（1）n元非齐次线性方程组设有n个未知数m个方程组的线性方程组当常数项不全为零时，该方程组称为n元非齐次线性方程组．（2）n元齐次线性方程组含有n个未知数m个方程组的线性方程组称为n元齐次线性方程组．2矩阵（1）定义由m×n个数a ij（i＝1，2，…，m；j＝1，2,…，n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记为（2）分类①实矩阵 矩阵元素都为实数的矩阵．②复矩阵 矩阵元素为复数的矩阵．③行矩阵/列矩阵 又称行向量/列向量，只有一行（列）的矩阵．④n阶方阵 行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵．⑤零矩阵 元素都是零的矩阵．⑥对角矩阵 对角线以外的元素都是0的方阵．⑦单位矩阵 对角线上元素都为1的对角矩阵．二、矩阵的运算1矩阵的加法（1）定义设有两个m×n矩阵A＝（a ij）和B＝（b ij），则矩阵A与B的和记作A＋B，规定为注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．（2）运算规律设A，B，C都是m×n矩阵，则①A＋B＝B＋A；②（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）；③设矩阵A＝（a ij），记：－A＝（－a ij），－A称为矩阵A的负矩阵，显然有A＋（－A）＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋（－B）．2数与矩阵相乘（1）定义数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为（2）运算规律设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，则①（λμ）A＝λ（μA）；②（λ＋μ）A＝λA＋μA；③λ（A＋B）＝λA＋λB．3矩阵与矩阵相乘（1）定义设A＝（a ij）是一个m×s矩阵，B＝（b ij）是一个s×n矩阵，则规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C＝（c ij），其中并把此乘积记为C＝AB．（2）运算规律①（AB）C＝A（BC）；②（AB）＝（A）B＝A（B）（其中λ为数）；③A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）A＝BA＋CA；④EA＝AE＝A；⑤．（3）注意①只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘．②矩阵的乘法一般不满足交换律，即在一般情形下，AB≠BA．③对于两个n阶方阵A，B，若AB＝BA，则称方阵A与B是可交换的．④若有两个矩阵A，B，满足AB＝0,不能得出A＝0或B＝0的结论；若A≠0，而A（X－Y）＝0也不能得出X＝Y的结论．三、矩阵的转置1定义把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作A T．2转置运算（1）（A T）T＝A；（2）（A＋B）T＝A T＋B T；（3）（λA）T＝λA T；（4）（AB）T＝B T A T．3对称矩阵设A为n阶方阵，如果满足A T＝A，即a ij＝a ji（i，j＝1,2…,n）,则称A为对称矩阵．四、方阵的行列式1定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作detA或|A|．2由A确定|A|的运算规律假设A、B为n阶方阵，λ为数：（1）|A T|＝|A|；（2）|λA|＝λn|A|；（3）|AB|＝|A||B|．3伴随矩阵行列式|A|的各个元素的代数余子式A ij所构成的如下的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵．一般地，五、逆矩阵1定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB＝BA＝E，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A又称B的逆矩阵，简称逆阵．2性质（1）若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．（2）若矩阵A可逆，则|A|≠0．（3）若|A|≠0，又称A为非奇异矩阵，则矩阵A可逆，且，其中A*为矩阵A的伴随矩阵．若|A|＝0，称A为奇异矩阵，A不可逆．（4）A为可逆矩阵的充要条件是|A|≠0．3逆矩阵运算规律：（1）若A可逆，则A－1也可逆，且；（2）若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且（3）若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且；（4）若AB＝E（或BA＝E），则B＝A－1．六、克拉默法则含有n个未知数x1，x2，…，x n的n个线性方程的方程组 （2-1-1）它的解可以用n阶行列式表示，即有克拉默法则：如果线性方程组（2-1-1）的系数矩阵A的行列式不等于零，即则方程组（2-1-1）有唯一解其中A j（j＝1，2，…，n）是把系数矩阵A中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵，即七、矩阵分块法1定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．2矩阵分块法（1）设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有其中A ij与B ij的行数相同、列数相同，则（2）设，λ为数，则．（3）设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成其中A i1，A i2，…，A it的列数分别等于B1j，B2j，…，B tj的行数，则其中（4）设，则（5）设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即其中A i（i＝1，2，…，s）都是方阵，则称A为分块对角矩阵．分块对角矩阵的行列式具有下述性质由此性质可知，若，则，并有2.2 课后习题详解1计算下列乘积：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2设，求3AB－2A及A T B．解：则有因A T＝A，即A为对称阵，所以3已知两个线性变换求从z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换．解：依次将两个线性变换写成矩阵形式其中分别为对应的系数矩阵；在这些记号下，从z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换的矩阵形式为，此处矩阵即有4假设，问：（1）AB＝BA吗?（2）（A＋B）2＝A2＋2AB＋B2吗?（3）（A＋B）（A－B）＝A2－B2吗?5举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；（2）若A2＝A，则或A＝E；（3）若AX＝AY，且A≠0，则X＝Y．6（1）设，求A2，A3，…，A k；（2）设，求A4．解：（1）根据矩阵乘法直接计算得一般可得 （2-2-1）则当k＝1时，式（2-2-1）成立．假设当k＝n时，式（2-2-1）成立，则当k＝n＋1时根据数学归纳法可知式（2-2-1）成立；7（1）设，求A50和A51；（2）设，A＝ab T，求A100．解：（1），则可得（2）由于b T a＝－8，所以根据上式可知8（1）设A，B为n阶矩阵，且A为对称阵，证明B T AB也是对称阵；（2）设A，B都是n阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件是AB＝BA．证：（1）由矩阵乘积的转置规则有所以由定义知B T AB为对称阵；（2）因为A T＝A，B T＝B，所以9求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）根据二阶方阵的求逆公式可得（2）（3）因为，所以A可逆，并且于是（4）因为a1a2…a n≠0，所以a i≠0，i＝1，2，…，n．则矩阵是有意义的，并且因为所以A可逆，而且.10已知线性变换求从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换．解：记则线性变换的矩阵形式为x＝Ay，其中A是它的系数矩阵．因为所以A是可逆矩阵，则从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换的矩阵形式可写成又由于 于是即11设J是元素全为1的n（≥2）阶方阵．证明E－J是可逆矩阵，且这里E是与J同阶的单位矩阵．证：因为于是所以，是可逆矩阵，并且12设（k为正整数），证明可逆，并且其逆矩阵证：因为所以可逆，并且其逆矩阵．13设方阵A满足A2－A－2E＝O （2-2-2）证明A及A＋2E都可逆，并求解：（1）可先证A可逆．由式（2-2-2）得即 所以A是可逆的，且；（2）再证A＋2E可逆．由，即同理，可知可逆，且.14解下列矩阵方程：（1）；（2）；（3）；（4）AXB＝C，其中.解：（1）因为矩阵的行列式等于1，不为零，所以它可逆，从而用它的逆矩阵左乘方程两边，得（2）记矩阵方程为，因所以A可逆，用右乘方程的两边可得又由于所以（3）记，则矩阵方程可写为因为，所以A，B均可逆．依次用和左乘和右乘方程两边得（4）因为，所以A，B均是可逆矩阵，且分别用和左乘和右乘方程两边得15分别应用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组：（1）（2）解：（1）①可用克拉默法则：因为系数矩阵的行列式，由克拉默法则，方程组有唯一解，并且②用逆矩阵方法：因为｜A｜≠0，所以A可逆，于是则有（2）①用克拉默法则：因为系数矩阵的行列式，由克拉默法则方程组有唯一解，并且②用逆矩阵方法因为｜A｜＝2≠0，所以A可逆，于是，易求得代入可得16设A为三阶矩阵，，求．解：因为，所以A可逆．于是由及，得对公式两端取行列式得17设，AB＝A＋2B，求B．解：由因，它的行列式det（A－2E）＝2≠0，所以它是可逆矩阵．用左乘上式两边得18设．且AB＋E＝A2＋B，求B．解：由方程，合并含有未知矩阵B的项，得又因为，其行列式，所以A－E可逆，用左乘上式两边，即可得到解：由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵A*，可用公式求解：用A左乘所给方程两边，得又由于，所以A是可逆矩阵，用右乘上式两边，可以得到观察可得是可逆矩阵，并且于是 20已知A的伴随阵A*＝diag（1，1，1，8），且，求B．解：（1）先化简所给矩阵方程假设能求得A并且为可逆矩阵，则可解得 （2-2-3）（2）再计算A根据题意可知A是可逆矩阵，由，两边取行列式得即，所以，于是因为，所以是可逆矩阵，并且将上述结果代入式（2-2-3）可得21设，其中，求A11．解：由于，则．所以22设AP＝PΛ，其中求φ（A）＝A8（5E－6A＋A2）．解：由于，所以P是可逆矩阵．根据AP＝PΛ可得，并且记多项式，则有由于是三阶对角阵，所以于是 23设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且．证：因为，根据定理2的推论可以知A*可逆，且另因．用A左乘此式两边得通过比较上面两式可知结论成立．24设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明：（1）若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0；（2）．证：（1）因为 （2-2-4）当时，上式成为可用反证法求证。
线性代数同济
线性代数同济介绍线性代数是数学的一个重要分支，是研究向量空间和线性映射的代数系统。
同济大学开设的线性代数课程是计算机科学、数学和工程等领域的重要基础课之一。
本文档将介绍线性代数同济课程的主要内容和学习要点。
目录• 1. 同济大学线性代数课程概述• 2. 基础概念– 2.1 线性方程组– 2.2 矩阵和行列式• 3. 向量空间与线性变换• 4. 特征值与特征向量• 5. 线性代数的应用• 6. 学习方法和资源1. 同济大学线性代数课程概述同济大学线性代数课程是计算机科学、数学和工程等专业的必修课之一。
本课程将培养学生理解线性代数的基本概念和理论，并将其应用于实际问题的能力。
通过学习这门课程，学生将能够解决线性方程组、矩阵和行列式、向量空间和线性变换、特征值与特征向量等相关问题。
2. 基础概念2.1 线性方程组线性方程组是线性代数中的重要概念之一，它由多个线性方程组成。
同济大学线性代数课程中会介绍线性方程组的基本定义、解法和应用。
学生将学会使用消元法、高斯消元法和矩阵运算等技巧来解决线性方程组，并通过例题来加深理解。
2.2 矩阵和行列式矩阵和行列式也是线性代数中的重要概念。
同济大学线性代数课程将介绍矩阵的基本定义、运算规则和性质，以及行列式的计算方法和性质。
学生将通过习题和实例来巩固对矩阵和行列式的理解，并可以将其应用于解决实际问题。
3. 向量空间与线性变换向量空间和线性变换是线性代数的核心内容之一。
同济大学线性代数课程将介绍向量空间的基本定义和性质，以及线性变换的定义、特点和表示。
学生将学会判断一个集合是否构成向量空间，了解线性变换的基本操作和性质，并能够进行线性变换的矩阵表示和求逆运算。
4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用价值。
同济大学线性代数课程将介绍特征值与特征向量的定义、计算方法和性质。
学生将学会如何求解特征值和特征向量，并通过实例来加深理解。
此外，还将介绍对角化和相似矩阵的概念和应用。
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
同济版线性代数
同济版线性代数同济版线性代数简介线性代数是现代数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换和矩阵等代数结构以及它们之间的关系。
同济版线性代数是同济大学出版社出版的一本经典教材，被广泛应用于各个高校的线性代数教学中。
1. 线性代数的基本概念同济版线性代数从最基础的概念开始介绍，如向量的定义、线性组合、线性方程组、矩阵等。
通过精心组织的内容，使学生逐步形成对线性代数的整体认识。
2. 向量空间与线性变换向量空间是线性代数中的重要概念，同济版线性代数对其进行了详细讲解。
包括向量空间的定义与性质，子空间的概念以及子空间的判定方法。
此外，线性变换也是线性代数的核心内容之一，同济版线性代数着重介绍了线性变换的定义、性质和实例，帮助学生理解线性变换的本质。
3. 矩阵与行列式矩阵是线性代数中的重要工具，同济版线性代数对矩阵的定义和运算进行了详细讲解。
同时，行列式也是线性代数中重要的概念之一。
同济版线性代数对行列式的性质、求法以及与线性方程组的关系进行了深入的讲解，帮助学生理解行列式在线性代数中的重要性。
4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，同济版线性代数对特征值与特征向量的定义、性质、求法以及与矩阵的关系进行了详细的讲解。
通过具体的例题和习题，帮助学生掌握计算特征值与特征向量的方法。
5. 内积空间与正交变换内积空间是线性代数中的一个重要概念，同济版线性代数对内积空间的定义、性质以及内积空间的一些特殊性质进行了详细介绍。
同时，正交变换也是内积空间中的重要概念，同济版线性代数通过实例和习题，帮助学生理解和应用正交变换。
总结：同济版线性代数全面系统地介绍了线性代数的基本概念、向量空间、线性变换、矩阵与行列式、特征值与特征向量以及内积空间与正交变换等内容。
它不仅适用于大学的线性代数教学，也可以作为工科、理科等专业相关课程的参考书。
同济版线性代数以其内容完整、深入浅出的特点，深受广大师生的喜爱。
同济大学工程数学线性代数第六版答案（全）
同济大学工程数学线性代数第六版答案（全）第一章行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式⑴ 21 04312 0 1 解 1 4 11 8 32 ( 4)3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 44a b c (2) b c acaba b c 解 b c acab acb bac cba bbb aaa ccc3abc a 3 b 3 c 3bc 2 ca 2 ab 2 ac 2 ba 2 cb 2 (a b)(b c)(c a)1 C 21b2 1 C 21bx y x y⑷ y x y xx y x yx y x y解y x y xx y x yx(x y)y yx(x y) (x y)yx y (x y) x3xy(x y) y3 3x2y x3 y3 x32(x3 y3)2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1) 1 2 3 4解逆序数为0(2) 4 1 3 2解逆序数为4 41 43 42 323 2 (1 个)5 2 5 4(2 个)7 2 7 4 7 6(3 个)(3)3 4 2 1解逆序数为 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3解逆序数为(5)1 3 (2n逆序数为1) 2 4n(n 1)2(2n)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个)(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2解逆序数为n(n 1)3 2(1 个)5 2 5 4 (2 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个)4 2(1 个)6 2 6 4(2 个)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个)3写出四阶行列式中含有因子ana23的项解含因子ana23的项的一般形式为(1)t ana23a3r a4s其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子ana23的项分别是t 1(1) ana23a32a44 ( 1) ana23a32a44 ana23a32a44 (1)t ana23a34a42 ( 1)2ana23a34a42 ana23a34a42 4计算下列各行列式34W 2M42 0720 2112 51 41w 1234111412 102021 12 30w24d id i 112 24236 11202 3150 2004 2341 122 3120202 4236 11202 3151122 4236 11202 315角 024 2 3 0112 023e ea aa cda efbl bfab ac aeb c e 解bd cd de adf b c ebf cf efb c e1 1 1adfbc d 1 1 4abcdef1 1 15证明:证明ax by ay bz az bxx y z⑵ ay bz az bx ax by (a 3 b 3) y z x az bx ax by ay bzz x y证明n uo ld oo1da 1 C 1 ba b 1o O 1oaA o o 1)(1)21 ab1 0 dC 2i ab1 0ad ed 01)( 1)3ab 1 adedabed ab ed ad ax by ay bz az ay bz az bx ax az bx ax by ay a 2 (1)2f ab a 1b 22b (a b)3； a 2 2a 1 ab a b 1 b 2 2b 1C3C1a 2 2a 1 ab a 2 b a 0 b 2 2b a 2 2a 01)31ab b a 2 b 2 a 2a 2b 2a(b a)(ba)(a b)3bx by bz。
线性代数课件同济大学第五版
第二章 矩阵及其运算
P47 习题二
§2.1 矩阵:
t1, t2 §2.3 逆矩阵: t10, t11(1)(3) §2.4 矩阵的分块: t27, t28 课后练习：t25,t26
§2.2 矩阵的运算:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
P78 习题三
第一章 行列式
P25 习题一
§1.1 §1.2二阶、三阶行列式, 逆序数:
t2, t4(1)(3) t5,t9 §1.3 行列式的性质: t6(1)(3), t8(1)(2)(5) §1.4 行列式按行(列)展开: t9 §1.5 克莱姆法则: t10
§1.3 n阶行列式:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
t1(1), t2 §3.2 矩阵的秩: t4, t2 课后练习：t3 §3.3 线性方程组的解: t13(1), t14(1), t16 课后练习：t17
§3.1 矩阵的初等变换:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
第四章 向量组的线性相关性
P106 习题四
t1 §4.2 向量组的线性相关性: t4 课后练习：t5,t6, t8 §4.3 向量组的秩: t11, t13 课后练习：t12(2) §4.4 线性方程组解的结构: t20(1), t26(1) §4.5 向量空间: t38 课后练习：t37
§4.1 向量组及其线性组合:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
第五章 相似矩阵与二次型
P134 习题五
§5.1 向量的内积、长度与正交性:
t1
课后练习：t7,
§5.2 方阵的特征值与特征向量:
同济大学线性代数第六版答案(全)
x a a a
ax xa 0 0
Dn
ax
0
xa
0
ax 0 0 0 xa
再将各列都加到第一列上 得
x (n1)a a a a
0 Dn 0
0
xa 0 0 0 x a 0 [x(n1)a](xa)n1 0 0 0 xa
1 1 2
4 2 3
0 2 0
5 0 62
5 0 62
2 1 40
r4 r1
2 3 1
1 1 2
4 2 3
0
2 0
0
0 0 00
ab ac ae (3) bd cd de
bf cf ef
ab ac ae
b c e
解 bd cd de adf b c e
bf cf ef
b c e
1 1 1 adfbce 1 1 1 4abcdef
1 1 1
a 1 00
(4)
1 0
b 1
1 c
0 1
0 0 1 d
解
a1 1 b 0 1
0 1 c
0 0 1
r1 ar2
0 1 0
1 ab b 1
a 1 c
0 0 1
0 0 1 d
a (1)2n a
a (n1)(n1)
a
(1)n1(1)n
an anan2an2(a21)
a (n2)(n2)
x a a
(2)
Dn
a
x
a
;
a a x
解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得
线性代数-工程版(同济大学第六版)ppt课件
二、历史与发展
线性代数作为一个独立的分支在20世纪才 形成，而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼” 问题就是一个简单的线性方程组求解的问题。 最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中 国古代东汉年初成书的数学著作《九章算术·方 程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所 述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩 阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
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a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
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2. 三阶行列式的计算 ——对角线法则/三角形法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
D1 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
D2 D
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例1
求解二元线性方程组
3 x1 2 2 x1
x2 x2
12 1
3 2
解 因为 D
3 (4) 7 0
21
12 2
D
12 (2) 14
11 1
3 12
D
3 24 21
2 21
所以
x1