第三章Bezier曲线生成

凸包
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图3.1.9 Bezier曲线的凸包性
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（4）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变 换而变化的特性。Bezier曲线位置与形状与其特征多 边形顶点 Pi (i = 0,1,Λ ,n) 的位置有关，它不依赖坐标系的选 择。
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（5）变差缩减性。若Bezier曲线的特征多边形
i=0
i=0
i=0
i=0
t ∈[0,1]
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质， 在终点处也有相同的性质。
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（3）凸包性 n
由于 ，且 ∑ Bi,n (t) ≡ 1 0 ≤ Bi,n (t) ≤ 1(0 ≤ t ≤ 1,i = 0,1,Λ , n) ，这一结果 i=0
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的
Bernstein调和函数线性组合而成。因为，
Bi,n (t)
=
Cni t i (1− t)n−i
=
(Cni −1
+
C i−1 n−1
)t
i
(1
−
t
)
n−i
= (1 − t)Cni −1t i (1 − t)(n−1)−i + tCni−−11t i−1(1 − t)(n−1)−(i−1)
说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特
征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是 Bi,n (t) 。在
几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在 t ∈[0,1]中各点是控
制 点 Pi 的 凸 线 性 组 合 ， 即 曲 线 落 在 Pi 构 成 的 凸 包 之
中，如图3.1.9所示。
= (1− t)Bi,n−1(t) + tBi−1,n−1(t)
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（6）导函数
Bi′,n (t) = n[Bi−1,n−1 (t) − Bi,n−1 (t)],
i = 0,1,⋅ ⋅ ⋅, n;
（7）最大值。Bi,n (t)在 t =
i n
处达到最大值。
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（8）升阶公式
(1
−
t
)
Bi
,n
(t
)
=
(1
−
n
i +
) 1
Bi,n
+1
(t
)
tBi,n (t)
=
i +1 n +1
Bi +1,n +1 (t )
Bi,n
(t)
=
(1 −
n
i +
) 1
Bi
,n+1
(t
)
+
i +1 n +1
Bi +1,n +1 (t )
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（9）积分
∫1
0 Bi,n (t)
=
1 n +1
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• Bezier方法将函数逼近同几何表示结合 起 来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具
一样得心应手。
• 典故
– 日本的穗板：天上掉下来
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P1 P0
P2
P1
P3
P3
P0
P2
图3.1.8 三次Bezier曲线
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3.2.1 Bezier曲线的定义和性质
1,2,⋅ ⋅
⋅,
n
−
1;
（2）端点性质
Bi
,n
(0)
=
⎧1 ⎩⎨0
(i = 0) otherwise
Bi
,n
(1)
=
⎧1 ⎩⎨0
(i = n) otherwise
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（3）权性
n
∑ Bi,n (t) ≡ 1t ∈ (0,1)
i=0
由二项式定理可知：
n
n
∑ ∑ Bi,n (t) = Cniti (1− t)n−i = [(1− t) + t]n ≡ 1
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3．Bezier曲线的性质 （1）端点性质
a）曲线端点位置矢量 由 Bernstein 基 函 数 的 端 点 性 质 可 以 推 得 ， 当 t=0 时 ， P(0)=P0 ； 当 t=1 时 ， P(1)=Pn 。 由 此 可 见 ， Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起 点、终点重合。
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b)切矢量
n−1
∑ 因为，P' (t) = n 所以当t=0时， Pi[Bi−1,n−1(t) − Bi,n−1(t)] i=0
P’(0)=n(P1-P0)，当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，这说明
Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形
的第一条边及最后一条边的走向一致。
Bi,n (t)
=
C
i n
t
i
(1
−
t ) n−i
=
n! t i i!(n − i)!
⋅ (1 − t)n−i
(i = 0,1,⋅ ⋅ ⋅, n)
0°=1, 0!=1
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2．Betnstein基函数的性质
（1）正性
Bi,n
(t)
=
⎧=
⎨ ⎩

>
0t 0t
= ∈
0,1 (0,1),i
=
1．定义
给 定 空 间 n+1 个 点 的 位 置 矢 量 Pi （ i=0 ， 1 ， 2，…，n），则Bezier曲线可定义为：
n
Σ P(t) = Pi Bi,n (t), i=0
t ∈[0,1]
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其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边 形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：
i=0
i=0
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（4）对称性
Bi,n (t) = Bn−i,n (t)
因为
Bn−i,n
(t)
=
C
n−i n
[1
−
(1 −
t )]n −( n −i )
⋅
(1 −
t ) n−i
= Cni t i (1 − t)n−i = Bi,n (1 − t)
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(5）递推性。
Bi,n (t) = (1 − t)Bi,n−1 (t) + tBi−1,n−1 (t), (i = 0,1,..., n)
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（2）对称性。由控制顶点 Pi* = Pn−i ,(i = 0,1,..., n), 构造出的新 Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因
n
n
n
n
为： ∑ ∑ ∑ ∑ C * (t) = Pi*Bi,n (t) = Pn−i Bi,n (t) = Pn−i Bn−i,n (1− t) = Pi Bi,n (1− t),
P0P1 Λ Pn 是一个平面图形，则平面内任意直 线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多 边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。 此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波 动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的 折线更光顺。
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Bezier 曲线
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由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲 面表示方法, 已不能满足用户的需求。
1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了 一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并 用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设 计系统，1972年，该系统被投入了应用。