由一道课本例题引发的探究、引申与应用
识图析图研图一道课本习题的应用与拓展
二、拓展与应用
， ， ；
问题4：（2009年绍兴市）
若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角 点．例如，如图的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM，BM， ∠ABM=90°则点M为直角点． （1）若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻 边具有何种数量关系？并说明理由； （2）若点M、N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，且 AB=4 ，BC= 3 ,求MN的长．
x
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识图
析图
研图
一道课本习题的应用与拓展
嵊州市教研室
蔡建锋
题目
（浙教版八年级上册P47第2题） 如图1，在Rt△CAB和Rt△ECD 中，AC=CE，点D 在边BC的延长线上，且∠ACE= ∠B= ∠D=90° 从你的直觉中能得出哪些结论？ A E
B
C 图1
D
一、应用举例
问题1
问题 2
问题 3
三、综合与应用
问题2：（2008年中考题）经过x轴上A（－1，0）B（3，0 ）两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c交y轴于点C，设抛物线的 顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题： （1）用含a的代数式表示出C，D两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； y （3）如图，当a＜0时， D 能否在抛物线上找到一点Q， C 使△BDQ为直角三角形？ G 若能找到，试写出Q点的 坐标；若不能，请说明理由。 O
back
一、应用举例
， ， ；
问题2：（2007年江苏南通市） 如图3，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB= 2cm，CD=4cm。以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两 点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（ ）
把握核心知识彰显教育价值--一道课本例题引发的探究与思考
MF2 F1 O F2 x
NPM 的平分线． 老师：如图 11，过椭圆外一点 P 作椭圆的两条
切线， PO 是 NPM 的平分线吗？
y N PM OQ 图 10 x N y P M F2 x
F1
F1 O
P F 2 N M F1 O F2 x 图 12
y
图 11
2
作法了． 结论 4 椭圆上点 M 处（非顶点）的切线的作 图方法： （1）以椭圆的长轴为直径作圆 O ； （2）由点 M 向椭圆的长轴引垂线，交圆 O 于一 点P； （3）过点 P 作 OP 的垂线，交椭圆的长轴所在 直线于点 N ； （4）连接 MN ，直线 MN 就是椭圆在点 M 处的 切线． 学生 6 在图 3 中， 连接 OP ， 则 k OM OM ，
是椭圆的切线的充要条件是 x M xN a 2 ． 如果设直线 MN 与 学生 8 老师， ，则 圆的一个交点为 Q （如图 3） 若 即 NQA 是钝角， NQA BQA ， 过点 Q 作直线 l MN ，则直线 l 好像
y P Q M A O D BN x l 图3
究带来的喜悦． 笔者乘胜追击，进一步引导学生分析椭圆的切 b y y x0 x a 0 ，通过变形，可得 2 2 1 ， 线 MN 的方程（*） a b xx y y 若设点 M ( x ， y ) ，则有 2 2 1 ，而且当 M 为椭 a b 圆的短轴端点时，结论也成立．
学生：不会，根据经验，我们可以猜测： 如图 11， F1PN MPF2 ． 老师：能证明吗？ 学生：构造图 12，利用三角形全等能证明． 老师：刚才我们从几何角度研究了椭圆的切线 问题，而解析几何的特点是用代数的方法来研究几 何的问题．我们能求椭圆在某一切点 M 处的切线方 程吗？过椭圆外一点 P 作椭圆的两条切线，两切点 的连线所在直线方程呢？ 伴随着下课铃声的响起，老师希望学生能进一 步在知识的衔接点思维，并深刻体会解析几何的本 质． 4 课后反思 数学教材由于受篇幅的限制，往往以精练、浓 缩的编排方式来呈现一定的数学内容． 教师作为教材的开发者、教学的组织者，应尽 力发挥自身的主导作用，结合学生的认知特点和心 理规律，通过对教材的再加工，将简单、静态、结 果性的教材内容设计为丰富、生动、过程化的学习 内容，让学生在经历自我探索、体验、建构的活动 中获取广泛的数学知识和数学学习经验，进而促进 自身的主动发展．我们要挣脱教材的束缚，以学论 教，合理取舍，把静止、直白的教材内容还原成生 动、思辨的逻辑思考方法，让每一个学生在活动中 体验、感悟，让数学思维在知识衔接点闪光．
探究 推广 引申 应用——一道课本习题的探究性学习
易知 、
理得 ｋ ：一 。 ：
的斜 率 ｋ 、２ ｌ ｋ 为其两根 。据韦达定
．…④
ｋ ：一 ２ ｌ
复 习教学 中，我 引导学生对这一道 习题进行探 究 、 推广 、引申，并应用 所得 结论解决有关高考 与竞赛
试题．
ｌ 十 ｎ Ｙｏ
于是 ・Ｂ＝０ Ｐ
｛ ｒ ２ ｐ＝１ ０ ， （ｐ ＋Ｈ （２ ０＝１ ａ ＋２ § ”－ ） － ｙ） ２ 一
探究 １ 若在 （ ） １ 中的条件“ ． ｘ＝０， 一 Ｏ ， ， 去掉
铮 直线， 过定点 （ｐ， ）（ ２ 一２ 平移后 ）
结论是否改变？ 设直线 ７ 的方程为 ＝ｎ ｙ十ｍ ，
Ａｘ ， １ ， Ｂ ｘ ， ２ ． （ Ｙ ） （２ Ｙ ）
营 直线 ， 过定点 （ｐ＋Ｘ ， ）（ ２ ｏ一 平移前 ｌ 由此可把 命题 １１ ． 推广为 命题 １ 设直线 ， ． ２ 与抛物线 Ｙ ：２ ｘｐ＞０ 交 ｐ（ ）
０）…⑨
设 直 线 ，与 抛 物 线 Ｙ ＝２ ｘｐ＞０ ！ ｐ（ ）交 于
Ａｘ， ） （：Ｙ） （。 ，Ｂ ｘ，２两点 ，其 中 Ｙ＞ ２ ， Ｙ．
（ ）若 ． ：０， １ Ｏ 一 ｘ＝０，求 ， 与 轴 的交点坐标 ； （ 是否存在定点 Ｍ，使得 当 ２） 经过 Ｍ 时，总 有 ． ＝０成立． ０ 这 是一道 内涵丰 富、具 有教学价值的 习题 ．在
③代入②得 Ｙ ＋（２ ｘ ＋２ ｒ ｙ） ， － ｐ ｙＹ） ｘ＋ｎ ＝０ （ ｅ
即 （＋２Ｙ ） ＋（ｍ ｏ ， 一２ ｐ ：０． １ ｎｏｙ ２ Ｙ 一２ ） ｍｘ 化 为 （＋２ ０（ ）＋（ｍ ｏ ２ ） 一２ ｐ＝０． １ ） ２ｙ一 ｍ
一道例题的引申变化与拓展应用
【 索 变 化 １ 将 三 角 形 转 化 为 直 角 三 角 探 】 课 本 中 每 节 后 面 设 置 的 练 习 题 ， 本 上 基 都 是 与 本 节 内 容 、 题 相 对 应 的 ， 生 完 成 例 学 时 ， 往 有 一 种 思 维 定 势 ： 节 的 题 目用 本 节 往 本 内容 解 决 ． 而 思 考 方 法 单 一 ， 起 来 也 轻 车 因 做
１
’ ． ．
ＡＥ＋ Ｂｃ—ＡＥ＋ ＢＤ＋ ｃＤ一 去 （ ＡＥ＋
厶
１
ＡＦ ＢＤ＋ Ｂ ＋ Ｆ＋ ｃ Ｄ＋ ｃ ） 寺 ｚ Ｅ一 ．
厶
ｌ
这 是 一 道 三 角 形 和 圆 这 两 个 基 本 图形 结
合 的 基 础 性 题 目 ， 此 题 主 要 是 应 用 三 角 形 解 若 浙 江慈 溪市 上林中学 一１ ０ 的全 等 得 出 ＡＥ— ＡＦ． 将 图 形 作 适 当 的 改 ５０一 邬 熔炉
ＡＢ— ｃ 内 切 圆 半 径 ｒ 由 ， ，
图２
、
原 题 ： 新 浙 江 版 九 年 级 下 参 ３ ２三 角 （ ．
三 个 直 角 易 知 四边 形 ＥＣＤＩ为 矩 形 ， Ｉ － 且 Ｄ－ Ｉ ． 四边 形 ＥＣＤＩ为 正 方 形 ， Ｃ —Ｃ ： Ｅ，’ ． 则 Ｄ Ｅ＝ ＝ 工 ：Ｉ ：ｒ 由 上 题 不 难 知 道 ＡＥ— ＡＦ， Ｄ Ｄ＝ Ｅ＝ ． ＝ ＝ Ｂ
’三０ 是 △ ＡＢＣ 的 内 切 圆 ， Ｆ 为 切 （ ） Ｅ、
９ 。 ＢＣ－ ａ， Ａ－ ｂ ＡＢ—Ｃ 求 ｏ ０（ （ ｏ） Ｏ， － Ｃ － ， ， 半 三 ） 的
维普资讯
课本题 拓展
一道课本例题的探究
一道课本例题的探究著名数学家G 〃波利亚说：“一个专心的认真备课的老师能够拿一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘问题的各方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。
”而课本中许多例题是我们解决一些疑难问题的“原型”，是学生智能的生长点，也是考试题目的重要来源地，因此，平时教学中，我们不能就题论题，而应该引导学生对它进行深入研究，将它们的潜在功能发掘出来，这样就可以培养学生举一反三，触类旁通解题能力。
本文以一道课本上的例题为例，激发学生研究课本例题的热情、兴趣。
如图，OA,OB 不共线，AP=t AB(t R) 用OA,OB 表示 OP （人教版第117页例5）。
解：OP=(1-t)OA+ OB （过程略） 1、对例题结论结构的分析。
①(1-t) + t =1②当P 在直线AB 上时，t , (1-t)与OA ，OB 交叉相乘。
2、例题的延伸拓展。
性质1若A 、B 、P 三点共线，则OP=λOA+u OB 其中λ+ u =1证明：设AP=tAB ，则AO+OP= t （AO+OB ）∴OP=（1-t ）OA+t OB,令1-t=λ, t=u则λ+u=1O故OP=λOA+ u OB, λ+u=1成立 性质2 如图，若OP=λOA+ u OB,，则λ+u=1，则A 、B 、P三点共线。
证明：∵λ+u=1 ∴ OP=λOA+ u OB=λOA+ （1-λ）OB∴λ（AO-OB ∴ BP=λBA∵、BA 共点， ∴A 、B 、P 三点共线。
综合性质1及性质2可知：若A 、B 是互异两点，则点P 与点A 、B 共线的充要条件是：存在实数λ、u ，使得λ 且λ+u=1性质3 已知三点A 、B 、C ，如果它们对应的向量分别是a, b, c ，那么这三点位于同一条直线上的充要条件是存在三个不全为零的实数α、β、γ，使得αa+βb+γc=0,且α+β+γ=0 （*）证明：（必要性，）如图若A 、B 、C 三点在同一条直线上，且有αAC=βCB ，由于 c =a+AC α c=b+BC=b-CB 由1、2可知，(α+β) c =αa+βb 即C= 令γ=-（α+β） 则有αa+βb+γc=0,且α+β+γ=0 （充分性）由（*）式得C=- = AC=c-a= -a= 因为AB=b-a,所以AC= AB 即AC与AB 平行且存在公共点A ，所以A 、B 、C 三点在同一 β α+β β α+β3β α+β αa+βb α+β αa+βb γ αa+βb α+β条直线上。
由课本一道例题引发的探究活动
起来构成一个平面三角形组 合体 , 其中 A 、 B、 C 的坐标分 别 为 A ( x1 , y1) 、 B ( x2 , y 2 ) 、
C ( x3 , y 3 ) , 求 此 三 角 形 组 合 图4
设 x =
y =
m1 x 1 + m2 x 2 + … + m k x k , m1 + m2 + … + m k
题成立 . 从这个证明我们看到 , 上述的猜想是正确的. 可见在学习中是需要大胆猜想和严谨证明的. 请大
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2
2
( 2) 当两个质点的质量不同时 , 如图 3 所示 , 根
据物理知识中的力矩平衡得
作者简介 :周立军 , 男 , 1997 年毕业于东北林业大学师范学院数学教育专业 , 中学一级教师 . 海淀区青年班主任带头人 .
2001 年荣获全国中学数学课件评比优秀奖 , 2002 年荣获海淀区教育系统先进青年教师称号 .
家再看前面课本例 2 的结果
x 1 + x2 + x 3 y1 + y 2 + y 3 ,
3
3
和我们刚才得出的结论有什么联系和区别 ? 结论 :课本上的例 2 是上述问题 112 的特例 , 是 当三个小球质量相同时的组合体的重心坐标 ; 而问 题 112 情况是课本例 2 的一般形式 . 问题 114 已知由三根材质相同且均匀、 质量 也分别均匀的细棒构成的平面组合体 ABC , 其中点
2 2 2
2 2 2
一道课本习题的拓展探究及应用
中，［为ＡＢ边上任意一点， Ｊ ） 过点 Ａ 、Ｂ分别作 ＣＤ的平行线， Ｂ 交 Ｃ、 Ａ Ｃ的延长线于 Ｅ、 Ｆ
（ ２． 如图 ）
是数学课改的重要 目标之一． 课本习题的结论具 有 广阔的探 究、拓 展空间， 近几年 的中考、竞
求： ＝ ． 证去＋
Ｆ
赛题， 根植于课本， 从课本 中寻找命题 生长点的 原题和拓展题屡见不鲜， 因此重视课本习题的拓
２１年第 ｌ期 ００ ｌ
数 学教 学
ｌ一３ ｌ１
一
道课 本 习题 的拓展探 究 及应 用
４０ ０ 湖北省武汉洪山区教育科学研究培训中心 江思容 ３０ ７
课本 中的习题是数学课堂教学的重要组成 部分， 它具有典型性和代表性， 在解题过程 中， 发
展学 生 思维 ， 发 学 生智 力， 养 学 生 创新 精 神 开 培
两个并联 电阻 Ｒ 和 Ｒ 的总 电阻 Ｒ的倒数等于 １ ２
：
ｒ ＿ ｎ ｒ Ｈ
・ ＋ 一： — ＋ｎ ｒ ｍ ● ｌ 一 ～ １ ｌ ’ ． Ｐ 。ｑ 竹 ＋ 佗
．
这 两 个 并 联 电阻 的 倒 数 之 和．现 在 我 们可 以用
．
１ ．１
ｌ 一
１
例３ （ 武汉等六市初中数学竞赛题） 如图５ ，
故ＡＡ ＝、２， Ｂ ＝ 、 ６ ／ｎ Ｂ ／ ． ／ ／ ２
－ ． 上
在梯形 Ｂ ＣＤ中Ａ ｆ Ｄｆ ＢＣ． 过对角线的交点Ｍ 作ＥＦ Ａ ￣ Ｄ分别交 ＡＢ ＤＣ于点 、Ｆ． 求证： 上 一 。
上
ｊ＇ ～上 ＿
， ６ ＣＰ ’
ＡＤ
ＢＣ
ＥＦ ’
０
１ ，１
数学教材中例题的延伸及应用
数学教材中例题的延伸及应用作者：张成龙来源：《语数外学习·中旬》2013年第02期纵观历年的数学中考题，师生们普遍感到一些试题“似曾相识”。
这是因为数学试题多数源于课本，又高于课本，这就给了我们如下启示：课本中的例题，具有典型性和示范性，正确对例题展开一些探究，适当引申拓展，有利于激发学生的学习兴趣，有利于提高学生的探索能力，有利于培养学生的发散思维和创新能力。
一、一题多解，培养学生思维的发散性一题多解，就是引导学生从不同角度，不同方面进行思考，并找出多种解法中的共同规律或最佳解法。
一题多解，能使学生视野开阔，思维优化，这种优化是解题技巧的升华。
例1 如图1：已知△ABC，∠B=90°，O是AB上的点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，AD=2，AE=1。
求CD的长。
设CD=x，则CB=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程可得x=3.解法3：连接OD、OC由S△AOC+S△BOC =S△ABC得二、一题多变，训练思维的灵活性对课本中的例习题，我们不能满足于就题论题，在解题后，要针对题目特点进行一题多变练习，对原题进行变换、加工、改造，但要注意不能出现科学性与常识性错误。
通过这种训练，我们可以达到对知识迁移的提高，从而培养了学生的创造思维能力。
例2 在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M为BC的中点，DE⊥AM，E为垂足。
完成该题后，可作如下一系列变式：三、以例带类，寻找规律，拓展延伸课本中有些例题、习题，看似平常，实际上内涵丰富，我们应当善于利用这些例习题，对它们进行细致研究与纵深剖析，从而取得规律性认识，必要时进行拓展延伸，由此及彼，达到以例带类的目的。
例3 解方程组：x+y=7xy=12.分析：根据一元二次方程的根与系数关系，x、y可看作某一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求得x、y。
我们在学完本题后，要看出本题所代表类型的普遍规律，总结其特点，在遇到同类习题时，就可迎刃而解了。
教材中一道导数习题的引申与应用
教材中一道习题的引申与应用Wu 先生数学人教A 版《选修2-2》第一章“导数及其应用”有一道习题（P 32B 组.1(3)）：利用函数的单调性证明1(0)x e x x >+≠，并通过函数图象直观验证.证明：构造1x y e x =--，1x y e '=-，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>，()00y y ∴==极小值，故10x y e x =--≥（当0x =时取等号）.习题中0x ≠，故1x e x >+.这其实是一个泰勒级数展开式的部分放缩，由其进行的不同变形也非常有用，比如：()1111.ln 1ln 1ln1ln 1x x x x x x x x ≥+⇒≤-⇒≤-⇒≥-（含对数类）； 112.111x xx x e x e x e e x x-≥+⇒≥-⇒≤⇒<--；（含指数类） 13.1x x x e x e x e ex -≥+⇒≥⇒≥；（含指数类）214.12x e x x ≥++，2311126x e x x x ≥+++（泰勒级数展开） 5.ln 2x e x -≥.（含指对类）（证明：1,ln 1,ln 1x e x x x x x ≥+≤--≥-，不等号两边相加可得）.部分不等式所涉及的函数图象如图所示.下面我们利用上述不等式看几个例子：例1.（2013年全国Ⅱ卷理）已知函数()()ln xf x e x m =-+. Ⅰ 设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；Ⅱ 当2m ≤时，证明()0f x >.第一问略去，第二问我们仅从放缩角度阐述：题目即证()ln xe x m >+，也即证()ln 0x e x m -+>，由2m ≤需证()()ln ln 20x x e x m e x -+≥-+>.而由1x e x ≥+（0x =取等号）得，()1ln 2x x +≥+（1x =-取等号），两式相加即得()ln 2x e x >+，从而原式得证()ln xe x m >+. 例2.（2018年全国Ⅰ卷文）已知函数()ln 1xf x ae x =--.Ⅰ 设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；Ⅱ 证明：当1a e≥时，()0f x ≥. 第一问略去，第二问我们也仅从放缩角度阐述：由题即证ln 10x ae x --≥，当1a e ≥时，也即证1ln 1x e x -≥+.由1x e x ≥+（0x =取等号）得，1x e x -≥，两边取对得1ln x x -≥ 即ln 1x x ≥+，故1ln 1x e x x -≥≥+（1x =取等号），从而得证.可见，灵活利用上述放缩会很快解决此类不等式问题，最后我们看一道2020年全国Ⅰ卷理科21题：已知函数2()x f x e ax x =+-.Ⅰ 设1a =时，讨论()f x 的单调性；Ⅱ 当0x ≥时， ()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 第一问略去，我们仅阐述第二问：即当0x ≥时，23112x e ax x x +-≥+，当0x =时，原式成立，当0x >时，参变分离得：32112x x x e a x ++-≥，令32112()xx x e g x x ++-=，()231122()x x x e x g x x ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭'=，由上述不等式变形知：2112x e x x ≥++，()0,2x ∴∈时，()0g x '>，()2,x ∴∈+∞时，()0g x '<，故2max 7()(2)4e g x g -==.故27,4e a ⎡⎫-∈+∞⎪⎢⎣⎭.综上所述，熟知上述这些基本的放缩不等式，对于快速解决问题是很有帮助的.。
一道课本例题的多种解法及引申
的多种解法
及引申
云 南 杨 天 勇
所 以 ａ＋６ ｆ ≤ 活 应 用 知 是
识 的体现 ， 开 阔了思路 ， 通 了知识 间 的 内在联 系 ， 它 沟
培 养 了求 异 思 维 和 应 用 知 识 解 决 问 题 的 能 力 ．
Ｂ 一 １； 一 ２；
则 ａｃ 的最小值 是 （ ｂｄ
ｎ— ｒ ｏ ， 一 ， ｉ ， 一 ， ｏ ｄ ｒ ｉ 。 ａ ＋ ｂ ｃ ｓ ６ ｎ ａ Ｃ ． ｓｐ． ｓｎ ｐ 则 ｃ ｄ一 ａ ｓ ｃ ￣Ｏ ＇ Ｓ口 ・ｒ Ｏ ＿ ｒ ｉ 口・ｒ ｉ — ｒ Ｃ Ｓ — ） ｒ ， Ｃ Ｃ Ｓｐ ｝ ｓｎ 一 ｓｎ ｐ 。Ｏ （ ≤ 所
Ｄ
最 大 值 １ 最 小值 ｛ 和
解 因 为 ？ ｙ！ １ 故 可 设 ． Ｃ Ｓｄ， ＋ 一 ． ｒ— Ｏ Ｙ— ｓｎ ａ， ｉ 则 有 （１一 ．ｙ） ｒ （卜｛ 一 ）一 （１一 Ｃ ｓｎ ａ ・ ＯＳ ａ ｉ ）
下 面仅给 出几种 具有代表性 的解 法） ．
：
。 ２ ｚ、 例 Ｙ∈ Ｒ， ＋ Ｙ 一 １ 则 且 ，
） ．
目的 ．下 面 以 一 道 课 本 例 题 为 例 说 明 ．
（１ ｘｙ）（１＋ ．ｙ） （ ～ ｒ 有
Ａ
一．
最 小 值 ， 无 最 大 值 ； ｏ 而
ｊ
例 １ （ 中《 等 式 人教 版 ） ２ 高 不 第 ９页 ） 已知
璺 斗 一＋ ｃ ｃ ￣ Ｆ
—— —一 一
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“ｆ…
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ｂ 一 ｄ —
—
—— — ～— — … ｉ
：≥ ０ 一≥ ．
．
初中数学专题讲座精编从一道课本题引申而得的中考探究题-
从一道课本题引申而得的中考探究题人教版《几何》第二册第142页习题4.2的A 组第3题第（1）小题为：例1 如图1，如果直线l 1//l 2，那么△ABC 与△A ’BC 的面积相等吗？为什么？分析：此题比较简单，△ABC 与△A ’BC 有一条公共边BC 作为底. 又因为l 1//l 2，所以△ABC 与△A ’BC 在BC 边上的高相等. 因此，△ABC 与△A ’BC 的面积也就相等了.这本是一道非常简单的习题，但是在2003年河北省的中考数学试卷上却将它引申为一道颇具价值的探索性问题，下面就请同学们先来独立解答一下这道题吧：例2 探究规律：如图2，已知直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、P 为直线m 上的两点.（1）请写出图中面积相等的各对三角形： .（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么无论P 点移动到任何位置总有： 与△ABC 的面积相等；理由是： .n m 第26题图1 OBA P C 第26题图2 E D CB A第26题图3 N ME D C B A解决问题：如图3，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图4中折线CDE ）还保留着，张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多. 请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案. （不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图4中画出相应的图形；图2 图3 图4 A A ’ BC l 1l 2图1（2）说明方案设计理由.分析：“探究规律”中，（1）由例1可知，△ABC 和△ABP 是同底等高的三角形，它们的面积相等；同理，△CPA 和△CPB 也是同底等高的三角形，它们的面积相等；在△ABC 和△ABP 中同时减去△AOB ，所得△AOC 和△BOP 的面积相等. 总之，在图2中，面积相等的三角形有三对，分别是△ABC 和△ABP 、△CPA 和△CPB 以及△AOC 和△BOP.(2) △ABP 与△ABC 的面积相等. 这是因为平行线间的距离相等，所以无论点P 在m 上移动到任何位置，总有△ABP 与△ABC 同底等高，因此，它们的面积总相等.“解决问题”中，（1）利用上述探究的结论，可以得到以下画法，如图5所示.连结EC, 过点D 作DF//EC, 交CM 于点F, 连结EF, EF 即为所求直路的位置.（2）设EF 交CD 于点H,由上面得到的结论，可知：S △ECF =S △ECD , S △HCF =S △EDH .∴S 五边形ABCDE =S 五边形ABCFE ,S 五边形EDCMN = S 四边形EFMN .最后，留给同学们一个问题：如果张大爷想过C 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多（不计分界小路与直路的占地面积）. 你能按张大爷的要求，设计出修路方案吗？CM图5。
高中数学课本重要例习题及其引申
高中数学课本重要例习题及引申1、}}{{22160430R ，A x x ，B x x x ==-<=-+≥已知U 且，求：（1） ()()U U C A C B （2）()()U U C A C B2、}{a x a x a a x <<-><的解集是)0( }{a x a x x a a x -<>>>或的解集是)0( 可推广为R a ∈，结论仍然成立。
设全集U=R 。
（1） 解关于x 的不等式)(,011R a a x ∈>-+-（2） 记A 为（1）中不等式的解集，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫=-+-=0)3cos(3)3(sin ππππx x x B ，若()U C A B 恰有3个元素，求a 的取值范围。
3、集合A 的元素个数记作card （A ）)()()()(B A c a r d B c a r d A c a r d B A c a r d ⋂-+=⋃（1）某地对农民抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63%，三种电器齐全的占25%，那么一种电器也没有的贫困户所占的比例为 。
（2）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，有 种不同的排法。
4、已知y=f(x)在R 上是奇函数，且在（o ，+∞）上是增函数 证明：y=f(x)在（-∞，o ）上也是增函数引申：定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]递减，若f(1-m)＜f(m)，则m 的范围 。
5、求证：在公共的定义域内（1）奇（偶）函数与奇（偶）函数的积是偶函数； （2）奇函数与偶函数的积是奇函数。
引申：设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时，()()()()''0f x g x f x gx ⋅+⋅>，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是 。
源于课本习题的中考试题的探究与启示
图５
系列 的演变拓广 就是以这道习题为 “ 原形 ” ， 再 现 了静 的变身．
态 向动态 的生成过程 ， 也 为习题完成 了一次 又一次华丽
（ １ ） 求证 ：
： ．
（ ２ ） 设Ｅ ， 当 为何 值时 ， 矩形 Ｅ ｐ 的 面积最 大 ？ 并求其最大值． （ ３ ） 当矩形 的面 积最 大 时 ， 该 矩形 Ｅ ｐ以每
精心演变拓展 而成的 ，本文就一道课本 习题 略陈管见 ，
与读者共赏． 引例 如 图１ ， ＡＡ Ｂ Ｃ 是一块 锐
Ｂ Ｐ Ｄ Ｑ ｃ 图２
Ｃ
角 三角形余 料 ，边Ｂ Ｃ ＝ １ ２ ０ 毫米 ， 高 Ａ Ｄ ＝ ８ ０ 毫 米 ，要把 它加工成 正方形
上， 这 一
解析 ： （ １ ） 因为 四边形Ｅ 阡， Ｑ 是矩形 ， 所ｒ ２ Ｅ Ｆ ／ ／ ， 所
以 △ＡＥＦ Ａ ＡＢ Ｃ ．
Ｙ ． Ｎ￣Ａ Ｄ￣Ｓ Ｃ ， Ｎｒ ２ Ａ Ｈ￣Ｅ Ｆ ， 所 以
： ．
瓣
寸。 ７ 敷・ ７初 中 版
（ １ ） ＡＡ Ｂ Ｃ 中边Ｂ Ｃ 上高 Ｄ ＝ — — ；
秒１ 个单位 的速度沿射线Ｑ Ｃ 匀速运 动（ 当点Ｑ 与点ｃ 重合 时停 止运动 ） ， 设运 动时间为 ｔ 秒， 矩形Ｅ 与 ＡＡ Ｂ Ｃ 重
叠部分 的面积为ｓ ， 求ｓ 关于ｔ 的 函数解析式．
（ ２ ） 当 — — 时 ， Ｐ ９ 恰好落在边Ｂ Ｃ 上（ 如 图２ ） ； （ ３ ） 当Ｐ ９ 在 ＡＡ Ｂ Ｃ ￣ 部时（ 如 图３ ） ， 求Ｙ 关于 的 函数 关 系式 （ 注明 的取 值范 围） ， 并求 出 为何值 时Ｙ 最大 ， 最 大值是 多少 ？
对新教材课本习题的引申和研究
（ ２ ｎ 一 １
‘
结论 ５ ： 若两 个 等差数 列 ｛ ｝ 和｛ ６ Ｊ 的前 ｎ 项 和为Ｓ 和
，
由于 ＝ ａ ｎ ＋ ｂ 结合等差数列 的性质有 ：
，
则 （ ２ ｎ 一 １ ） （ ２ ｍ 一 １ ） ＝ Ｓ 扣 ｚ
口 ＋
出
结论１ ： 若 两 个等 差数 列 ｛ ％ ） 、 ｛ ｂ ） 的前ｎ 项 和 分别 为
Ｓ ｑ ７ ｘ９ ＋ ２ ６ ５
６ ｓ
（ ６ ＋ ６）
，
． ｓ ， 且 案 ＝ （ ｎ ｃ ≠ ０ ） 测 ＝ Ｓ ２ ｎ － １ ＝ 丽 ａ ｘ （ ２ ｎ － １ ） ＋ ｂ ．
！ ±
２ 二 ！ Fra bibliotek ２
从上面的解 法４ 可以看 出 ， 等差数列的前ｎ 项 和． ｓ ， ｌ 是关
（ ２ ｎ 一 １ ）
１
’
于 几 的 二 次 函 数 ， 即 ｎ ｎ ， 又 因 为 鲁 ： ７ ｎ ＋ ２ ， 所 以 可 设
Ｓ ． ＝ ｋ ｎ （ ７ ｎ ＋ ２ ） ， 后 ｎ （ ｎ ＋ ３ ） ， 于是
，
再 求 尝 ・
求 毒 ．
因 为 鲁 ＝ ７ ｎ ＋ ２ ＝ ，
所以 ＝ 丽 Ｓ ｎ ＋ ｌ － Ｓ ｎ ＝ ，
鲁 ： 盎 ｎ ａ ｌ ＋ ｎ （ ｎ － １ ） ｄ ｌ ：
＋
ｌ ＋ ｄ ： ｂ
ａｓ
一
所 以 尝 ＝ ， 去 ＝ ＝ 篙 ．
，
①
所 以ａ ｎ ＝ Ｓ ￣ － Ｓ ． － ＝ 后 （ １ ４ ｎ 一 ５ ） ．
求 的值． 本文将对此题进行一些研究 ， 进而得 出一些相
对课本习题的引深与探索 人教版
对课本习题的引深与探索湖北省通山县第一中学 李雪松高中数学新教材中的例题习题都很有代表性。
课堂教学中抓住典型题目，引导学生大胆进行联想、探索，可以得到综合性强、形式新颖的命题。
这对提高学生思维的广阔性与灵活性，培养学生探索创新的能力大有益处。
下面以人教社新教材第二册（上）P119页的一道习题为例，抛砖引玉。
例：过抛物线px y 22=的焦点的一条直线与抛物线相交，两个交点的纵坐标为1y 、2y ，求证：1y 2y = -2p （设为命题1）（如图1）。
这道题有两点值得注意： 一是抛物线的焦点为定点，二是1y 2y = -2p 为定值。
由此可向以下几个方向展开联想，进行探索：一、探索抛物线的几何性质探索一：命题2：命题1的逆命题：抛物线px y 22=与一条直线相交，两个交点的纵坐标为1y 、2y ，若1y 2y =-2p ，那么该直线是否过抛物线的焦点？设两个交点分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则1212px y =，2222px y =，若1x =2x ，则有21y =22y ，∴|1y | =|2y |=p ，1x =2x =2p。
此时直线AB 过焦点F 。
若1x ≠2x ，则由1212px y =，2222px y =，两式相减得)(2))((212121x x p y y y y -=-+，∴2121212y y px x y y k AB +=--=，又2121211221121111222222y y py y y py p y py p p y y px y k AF +=+=-=-=-=，∴AF AB k k =，因此A 、F 、B 三点共线，直线AB 过焦点F 。
由命题1和命题2可知：AB 过焦点的充分必要条件是1y 2y = -2p 。
探索二：命题3：命题1的推广：过抛物线px y 22=的对称轴上一个定点M （a ，0）的一条直线与抛物线相交，两个交点的纵坐标为1y 、2y ，那么1y 2y 是否为定值？因抛物线与直线交于两点，可设直线AB 的方程为a my x +=，代入px y 22=中消去x ，整理得：0222=--pa pmy y ，由韦达定理知：1y 2y =ap 2-（定值）。
由一道课本习题引发的探究
教学研究2014-04苏科版七年级下册第42页第20题（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，∠A =40°，求∠BOC 的度数；（2）如图2，△A′B′C ′两外角∠C ′B ′D 、∠B′C′E 的平分线相交于点O ′，∠A ′=40°，求∠B′O′C′的度数；（3）由（1）、（2），可以发现∠BOC 与∠B ′O ′C ′之间有怎样的数量关系？若∠A =∠A ′=n °，∠BOC 与∠B ′O ′C ′之间是否还具有这样的关系？为什么？一、两内角平分线交角第（1）题中BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，所以∠BOC 是两内角平分线的交角。
分析：由BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线知，∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，又根据三角形内角和为180°知，∠BOC =180°-（∠1+∠2）=180°-12（∠ABC +∠ACB ）=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ，得到公式∠BOC =90°+12∠A .此时∠A =40°，则∠BOC =110°。
ACB图1其实，通过使用公式∠BOC =90°+12∠A ，在图1只要已知∠A⇒∠BOC ，反过来已知∠BOC ⇒∠A 。
进一步提问：如果点O 是∠BAC 、∠ABC 的平分线交点，若∠C =70°,则两内角平分线AO 、BO 的交角∠AOB 是多少？反过来若∠AOB =125°,你能求出三角形中哪个内角的度数？目的是让学生能举一反三，熟练掌握公式，体会公式带来的便捷。
二、两外角平分线交角第（2）题中B′O′、C′O′分别是外角∠C ′B ′D 、∠B ′C ′E 的平分线，则∠B′O′C′是两外角平分线的交角。
一道课本习题的结论及推广
的一道习题, 内容涉
到图形的面积和 手操作, 探
的喜悦, 有利于培养学分图形之间
矩形为例, 通过
的一道习题的学习和探究过程, 发 广和延伸. 在探究过程中, 学生能充 观点等, 这些与教师 时的教学是分 数学思想方法的渗 观察、 分析问题的习
面积相等的两部分的多种方法, 并探索 中心对称的结论; 探究出把一 置特征; 也探究出
图 16 图 17 图 18 图 19
资料、
出结论并
广, 这个过程体现出学生
自主、 探索与合作的学习方法. 探究是有效的教学方式之一. 学生通过 结论, 享 习的效率. 学生通过课 现问题的结论并 分利用分类思想、 运 不开的. 因 透, 要 惯. 手操作、 探索 趣, 提高学
题来源于课 究出把一个矩形分 出所分 个矩形分 方法
结论的延伸: 这些分割方法可 和 方形” . 时, 线绕着它们的交点 (即
广到 “
行四边形、 菱形 方形的两条对角 面积相等的 中
通过类比的方法, 从特殊的图形到一般的图形进行比 较、 研究, 形的结论 生通过运 据矩形和一般 广到一般的 的观点来寻 行四边形相 的特点, 把 问题 于矩 化的规 行四边形. 时, 在探究过程中, 学 的了解, 掌握了
面积相等的两部分的直线有无数条, 行四边形分 过 面积相等的两部分的直
过矩形的对称中心. 行四边形对角线的交点.
线有无数条, 这些直线都
图4 图5 图6
第一种情况: 分割线不相交于矩形的对称中心. 从图 4 –图 6 可见, 每幅图中 、 面积相等、 于矩形的对称中心 …… 结论: 将矩形分 形 中心对称. 结论的推广: 将 的两部分图形 线的交点. 问题 (2): 用直线将矩形分割 面积相等的两部分: 结论: 分 行四边形分 面积相等的两部分, 分 行四边形对角
立足课本,深挖细品——一道课本例题的引申及应用
当 ＝ 去时，有Ｐ Ｃ＝ 去 ＋ 去 船 ，此公式称为向量
Ｚ Ｚ
中点公 式 ．
１挖掘 １ ． １例题
，
１ ． ３引申与推广 ①此定理的逆定理亦成立 （ 逆推即可） ．将它们
合 起来叙 述 为 ：已知 Ｐ Ａ，Ｐ Ｂ是不 共线 向量 ，Ｐ Ｃ＝ ＋ ， Ａ， Ｂ， ｃ三 点共线 的充 要条 件是 ２＋ ｕ ＝１ ． 反 思 若 点 Ｃ不在 直 线 Ａ Ｂ上 ，那 么 和 Ｕ又 满
参考 文 献
［ １ 】 【 美］ Ｇ・ 波利亚 著 ，涂泓 ，冯承天 译 ．怎样解 题— — 数学 思维 的新 方法
点” ，其他条件不变，那么结论是怎样 的？画出图 形并证明你的结论 ．（ 请有兴趣的读者 自己完成画图
一
证明 ． ）
由此可 见 引导学 生对题 目“ 提示 语” 的特征 分析 ，
陈 浮
安徽省灵璧第一中学 （ ２ ３ ４ ２ ０ ０ ）
据 向量 共线 定理可 知 ＝ 砑 ，
—
立 足教 材 ，选 编课 本原 题 ，仿 制 课 本 类题 ，生
一
成 课 本变 题 ，已是 高考 命 题 一个 不争 的事 实 ．这 也 体 现 了高考命 题 的公平 性和 基础 性原 则 ．“ 例 题千 万
对解题活动的有效开展具有方向性引导效能，能让 学 生正确 和 理性 地 产 生思 维 的起 点 ，更能让 学 生抓 住 问题 的本 质属 性 ， 自然 也 是帮 助 学 生理 解题 意 的 根 本途径 ，真正 意义上 开拓 解题教 学 的价值 空 间 ． 综观上 述两 例 解 题教 学 ，通 过 对 题 目“ 提示语”
面 ＝ （ 砀 一 面） ， ＝ 葡 ＋ 历 一 历 ，
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推广 公式 ，
展开 式中 的系数为
知识 网络 ， 把握 纵横 联系 ， 提炼 数学 思想 ， 在 数学 地 提 出问题 、 分 析 问题 、 解决 问题 中学 会数 学学 习 ， 有 益 于拓展思 路 ， 扩 展视 野 ， 发 展学 生 探 究 能力 和 数
学思 维能力．
ｃ ： ｍ ＝ｃ “＝
垒 ｉ ± ２ （ 垒±
１ ，
－ ｙ － 旦
ｑ ／
社． １ ９ ８ ０： １ ７ — １ ８ ．
１・ ２＋ ２・ ３＋… ＋凡 （ 凡＋１ ）＝￣ 。 － ｎ （ ｎ＋１ ） （ ｎ＋２ ） ．
［ ２ ］ 徐 会方 ， 董振平 ， 崔耀 文 ， 等． 怎样 寻 求 Ｐ （ ＋ １ ）的 证 明 ［ Ｍ］ ．郑 州 ：河 南 教 育 出 版 社 ，
积是 一 ， 求 点 Ｍ 的轨迹 方程
问题 １ 设 点 Ａ， Ｂ 的坐 标 分 别 为 （一ｏ ， ０ ） ，
（ ｎ ， ０ ） ， 直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 相 交 于点 Ｍ， 且 它们 的斜率 之
积是 一 ， 求点 Ｍ 的轨迹方程．
解 设点 （ ， Ｙ ） ， 由Ａ （一ｎ ， ０ ） ， Ｂ（ ｎ ， ０ ） ， 得
・
４・
中 学教 研 （ 数学）
要 计算 Ｓ ＝１ ・ ２＋ ２・ ３＋ ３・ ４＋… ＋ 凡 （ １ ７ ， ＋ １ ） ，
只需求 出母 函数的项 ｆ “的系数 即可． 根据 二项 式 的
特 别地 ， 如果教 师从 高等数 学 的视角来 研究初
等数 学 ， 常 常能居 高临下 ， 深入 浅 出地处理 问题． 总 而言 之 ， 立足基 础知 识 、 基 本技 能 和基本方 法 ， 编 织
问题 ２ 已知椭 圆方 程 ＋ ＝１ （ 。＞ｂ＞ｏ ） ，
个顶点） 连线的斜率之积是定值 一 ．
口
Ａ（一 口 ， ０ ） ， Ｂ（ ａ ， ０ ） 是 椭 圆长 轴 的 ２个端 点 ， 点 在 椭 圆上但 不 同于点 Ａ， Ｂ， 直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 的斜 率 之 积 是否 为定 值 ？试探 究 之．
告 是 巧 合 还 是 必 然 ？ 有 没
有 一般性 的结论 ？
１ 问题本原
的针对性和有效性 ， 有利于提高学生的数学素养和 教 师把握 高考 的能力．
问题 呈 现 设 点 Ａ， 的坐标 分别 为 （一５ ， ０ ） ， （ ５， ０ ） ， 直线 Ａ ， Ｂ Ｍ 相交 于点 ， 且 它们 的斜 率 之
化简 得点 Ｍ 的轨迹 方程 为
＋
告＝ １ （ ≠± ｎ ） ．
（ ≠５ ） ・
据此 ， 可 以得 到椭 圆的一 个 “ 生成 方式 ” ， 归 纳
如下 ：
＋ ５ 一 ５ 手 ９ （ ’ ≠ ＋ 一 ５ 一 ） ， ’
’ 一
结论 １ 若与 ２个 定 点 Ａ（一０ ， ０） ， Ｂ（ ｎ ， ０ ） 连 线 的斜 率 之 积是 定 值 一 ， 则 动 点 Ｍ 的轨 迹 方程
出版 社 。 １ ９ ８ ５： １ ３ ２ — １ ３ ３ ．
由一 道 课本 例 题 引发 的探 究 、 引 申与应 用
●刘 美 良 （ 鲁迅 中学柯桥校 区 浙江绍兴 ３ １ ２ ０ ０ ０ ）
课 本 中 的例 、 习题 作 为 教 材 的重 要 组成 部 分 ， 都有 一定 的示 范性 、 典 型性 和探 究 性 ， 或 寓 一 般 性 的结 论 、 或 蕴含 着深 刻 的背景材 料 ， 是课 本 的精髓 ， 也是 高考命 题 的 源头 ． 在课 堂 教学 中 ， 对 课 本 中 的
解 设 点 Ｍ（ ｘ ， Ｙ ） ， 因为 Ａ（一ａ ， ０ ） ， 日（ ａ ， ０ ） ， 所 以直 线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 的斜 率为 ｋ 肘＝
由 已知得
结论 ４ 如图 １ ， 点 Ａ， Ｂ
是 椭圆 ＋ 告＝ ｌ （ ｎ ＞ ｂ ＞ ｏ ）
（ 人教 版 《 数学（ 选修 １ － １ ） 》 第３ ５页 ） 解 设 点 （ ， Ｙ ） ， 因为 Ａ（一５ ， ０） ， Ｂ（ ５ ， ０ ） ，
所 以直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 的斜率 为 （ ≠ 一 ５ ） ， 删
由 已知得
士 ． 上 ＝ 一 （ ≠± ｎ ） ，
ｉ 垒± 三 ２ ｉ 垒± ） ！ ± ！ 生： ： ： ： ： 鱼： ： 一
！
（ ｋ＋３ ） （ 十２ ） （ ＋１ ）
３ １
， ） ｆ
‘
参 考 文 献
因此 ， 在
Ｎ ： Ｔ ｉ － 式 中， ｔ ｎ的 系 数 应 是 史 济怀． 母 函数 ［ Ｍ］ ． 上海 ： 上 海教 育 出版
例、 习题 进行 变 式探 究 、 引 申拓 展 、 横 向联 想 ， 并 能 巧妙 运用 其 中一 些 结论 ， 以题 攻题 ， 可 以提 高 复 习
丢 ＋ ＿ ｌ （ ≠ ＋ ５ ） ．
本题揭 示 了定 义椭 圆 的另一种 的途 径 ， 但所 求 的曲线方程 中 一 ｂ ２
＝ 一
１ ９ ９ ０： １ ０３ — １ ０ ５．
上 述证 法 １～证 法 ｌ Ｏ 完 全 由学 生通 过 自主探
求得到 ， 证法 １ １ 和证法 １ ２ 则 由教师 介绍 给学 生 ， 这 对 教师 的专 业 素质训 练有 良好 的促 进作 用．
［ ３ ］ 明知 白． 数 列求和 ［ Ｍ］ ． 北京 ： 北京 师 范 大 期
刘美良： 由一道课本例题引发的探究、 引申与应用
２ ２
・ ５・
为 ＋ 鲁＝ １ （ ≠± ０ ） ．
２ 变 式探 究
结论 ３ 椭 圆－ － ７＋ ＝１ （ 口＞ｂ＞ ０ ） 上 任 一条
ａ ｏ
经过 原点 的弦 的 ２个 端点 与椭 圆上 任一 点 （ 除这 ２