由一道课本例题引发的探究、引申与应用
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・
４・
中 学教 研 （ 数学）
要 计算 Ｓ ＝１ ・ ２＋ ２・ ３＋ ３・ ４＋… ＋ 凡 （ １ ７ ， ＋ １ ） ，
只需求 出母 函数的项 ｆ “的系数 即可． 根据 二项 式 的
特 别地 ， 如果教 师从 高等数 学 的视角来 研究初
等数 学 ， 常 常能居 高临下 ， 深入 浅 出地处理 问题． 总 而言 之 ， 立足基 础知 识 、 基 本技 能 和基本方 法 ， 编 织
ｉ 垒± 三 ２ ｉ 垒± ） ！ ± ！ 生： ： ： ： ： 鱼： ： 一
！
（ ｋ＋３ ） （ 十２ ） （ ＋１ ）
３ １
， ） ｆ
‘
参 考 文 献
因此 ， 在
Ｎ ： Ｔ ｉ － 式 中， ｔ ｎ的 系 数 应 是 史 济怀． 母 函数 ［ Ｍ］ ． 上海 ： 上 海教 育 出版
告 是 巧 合 还 是 必 然 ？ 有 没
有 一般性 的结论 ？
１ 问题本原
的针对性和有效性 ， 有利于提高学生的数学素养和 教 师把握 高考 的能力．
问题 呈 现 设 点 Ａ， 的坐标 分别 为 （一５ ， ０ ） ， （ ５， ０ ） ， 直线 Ａ ， Ｂ Ｍ 相交 于点 ， 且 它们 的斜 率 之
１ ９ ９ ０： １ ０３ — １ ０ ５．
上 述证 法 １～证 法 ｌ Ｏ 完 全 由学 生通 过 自主探
求得到 ， 证法 １ １ 和证法 １ ２ 则 由教师 介绍 给学 生 ， 这 对 教师 的专 业 素质训 练有 良好 的促 进作 用．
［ ３ ］ 明知 白． 数 列求和 ［ Ｍ］ ． 北京 ： 北京 师 范 大学
解 设 点 Ｍ（ ｘ ， Ｙ ） ， 因为 Ａ（一ａ ， ０ ） ， 日（ ａ ， ０ ） ， 所 以直 线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 的斜 率为 ｋ 肘＝
由 已知得
结论 ４ 如图 １ ， 点 Ａ， Ｂ
是 椭圆 ＋ 告＝ ｌ （ ｎ ＞ ｂ ＞ ｏ ）
化简得 点 Ｍ 的轨迹 方程为
第１ １ 期
刘美良： 由一道课本例题引发的探究、 引申与应用
２ ２
・ ５・
为 ＋ 鲁＝ １ （ ≠± ０ ） ．
２ 变 式探 究
结论 ３ 椭 圆－ － ７＋ ＝１ （ 口＞ｂ＞ ０ ） 上 任 一条
ａ ｏ
经过 原点 的弦 的 ２个 端点 与椭 圆上 任一 点 （ 除这 ２
垒 ｉ ± ２ （ 垒±
１ ，
－ ｙ － 旦
ｑ ／
社． １ ９ ８ ０： １ ７ — １ ８ ．
１・ ２＋ ２・ ３＋… ＋凡 （ 凡＋１ ）＝￣ 。 － ｎ （ ｎ＋１ ） （ ｎ＋２ ） ．
［ ２ ］ 徐 会方 ， 董振平 ， 崔耀 文 ， 等． 怎样 寻 求 Ｐ （ ＋ １ ）的 证 明 ［ Ｍ］ ．郑 州 ：河 南 教 育 出 版 社 ，
例、 习题 进行 变 式探 究 、 引 申拓 展 、 横 向联 想 ， 并 能 巧妙 运用 其 中一 些 结论 ， 以题 攻题 ， 可 以提 高 复 习
丢 ＋ ＿ ｌ （ ≠ ＋ ５ ） ．
本题揭 示 了定 义椭 圆 的另一种 的途 径 ， 但所 求 的曲线方程 中 一 ｂ ２
＝ 一
出版 社 。 １ ９ ８ ５： １ ３ ２ — １ ３ ３ ．
由一 道 课本 例 题 引发 的探 究 、 引 申与应 用
●刘 美 良 （ 鲁迅 中学柯桥校 区 浙江绍兴 ３ １ ２ ０ ０ ０ ）
课 本 中 的例 、 习题 作 为 教 材 的重 要 组成 部 分 ， 都有 一定 的示 范性 、 典 型性 和探 究 性 ， 或 寓 一 般 性 的结 论 、 或 蕴含 着深 刻 的背景材 料 ， 是课 本 的精髓 ， 也是 高考命 题 的 源头 ． 在课 堂 教学 中 ， 对 课 本 中 的
积是 一 ， 求 点 Ｍ 的轨迹 方程
问题 １ 设 点 Ａ， Ｂ 的坐 标 分 别 为 （一ｏ ， ０ ） ，
（ ｎ ， ０ ） ， 直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 相 交 于点 Ｍ， 且 它们 的斜率 之
积是 一 ， 求点 Ｍ 的轨迹方程．
解 设点 （ ， Ｙ ） ， 由Ａ （一ｎ ， ０ ） ， Ｂ（ ｎ ， ０ ） ， 得
问题 ２ 已知椭 圆方 程 ＋ ＝１ （ 。＞ｂ＞ｏ ） ，
个顶点） 连线的斜率之积是定值 一 ．
口
Ａ（一 口 ， ０ ） ， Ｂ（ ａ ， ０ ） 是 椭 圆长 轴 的 ２个端 点 ， 点 在 椭 圆上但 不 同于点 Ａ， Ｂ， 直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 的斜 率 之 积 是否 为定 值 ？试探 究 之．
化简 得点 Ｍ 的轨迹 方程 为
＋
告＝ １ （ ≠± ｎ ） ．
（ ≠５ ） ・
据此 ， 可 以得 到椭 圆的一 个 “ 生成 方式 ” ， 归 纳
如下 ：
＋ ５ 一 ５ 手 ９ （ ’ ≠ ＋ 一 ５ 一 ） ， ’
’ 一
结论 １ 若与 ２个 定 点 Ａ（一０ ， ０） ， Ｂ（ ｎ ， ０ ） 连 线 的斜 率 之 积是 定 值 一 ， 则 动 点 Ｍ 的轨 迹 方程
推广 公式 Baidu Nhomakorabea
展开 式中 的系数为
知识 网络 ， 把握 纵横 联系 ， 提炼 数学 思想 ， 在 数学 地 提 出问题 、 分 析 问题 、 解决 问题 中学 会数 学学 习 ， 有 益 于拓展思 路 ， 扩 展视 野 ， 发 展学 生 探 究 能力 和 数
学思 维能力．
ｃ ： ｍ ＝ｃ “＝
（ 人教 版 《 数学（ 选修 １ － １ ） 》 第３ ５页 ） 解 设 点 （ ， Ｙ ） ， 因为 Ａ（一５ ， ０） ， Ｂ（ ５ ， ０ ） ，
所 以直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 的斜率 为 （ ≠ 一 ５ ） ， 删
由 已知得
士 ． 上 ＝ 一 （ ≠± ｎ ） ，
４・
中 学教 研 （ 数学）
要 计算 Ｓ ＝１ ・ ２＋ ２・ ３＋ ３・ ４＋… ＋ 凡 （ １ ７ ， ＋ １ ） ，
只需求 出母 函数的项 ｆ “的系数 即可． 根据 二项 式 的
特 别地 ， 如果教 师从 高等数 学 的视角来 研究初
等数 学 ， 常 常能居 高临下 ， 深入 浅 出地处理 问题． 总 而言 之 ， 立足基 础知 识 、 基 本技 能 和基本方 法 ， 编 织
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参 考 文 献
因此 ， 在
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告 是 巧 合 还 是 必 然 ？ 有 没
有 一般性 的结论 ？
１ 问题本原
的针对性和有效性 ， 有利于提高学生的数学素养和 教 师把握 高考 的能力．
问题 呈 现 设 点 Ａ， 的坐标 分别 为 （一５ ， ０ ） ， （ ５， ０ ） ， 直线 Ａ ， Ｂ Ｍ 相交 于点 ， 且 它们 的斜 率 之
１ ９ ９ ０： １ ０３ — １ ０ ５．
上 述证 法 １～证 法 ｌ Ｏ 完 全 由学 生通 过 自主探
求得到 ， 证法 １ １ 和证法 １ ２ 则 由教师 介绍 给学 生 ， 这 对 教师 的专 业 素质训 练有 良好 的促 进作 用．
［ ３ ］ 明知 白． 数 列求和 ［ Ｍ］ ． 北京 ： 北京 师 范 大学
解 设 点 Ｍ（ ｘ ， Ｙ ） ， 因为 Ａ（一ａ ， ０ ） ， 日（ ａ ， ０ ） ， 所 以直 线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 的斜 率为 ｋ 肘＝
由 已知得
结论 ４ 如图 １ ， 点 Ａ， Ｂ
是 椭圆 ＋ 告＝ ｌ （ ｎ ＞ ｂ ＞ ｏ ）
化简得 点 Ｍ 的轨迹 方程为
第１ １ 期
刘美良： 由一道课本例题引发的探究、 引申与应用
２ ２
・ ５・
为 ＋ 鲁＝ １ （ ≠± ０ ） ．
２ 变 式探 究
结论 ３ 椭 圆－ － ７＋ ＝１ （ 口＞ｂ＞ ０ ） 上 任 一条
ａ ｏ
经过 原点 的弦 的 ２个 端点 与椭 圆上 任一 点 （ 除这 ２
垒 ｉ ± ２ （ 垒±
１ ，
－ ｙ － 旦
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１・ ２＋ ２・ ３＋… ＋凡 （ 凡＋１ ）＝￣ 。 － ｎ （ ｎ＋１ ） （ ｎ＋２ ） ．
［ ２ ］ 徐 会方 ， 董振平 ， 崔耀 文 ， 等． 怎样 寻 求 Ｐ （ ＋ １ ）的 证 明 ［ Ｍ］ ．郑 州 ：河 南 教 育 出 版 社 ，
例、 习题 进行 变 式探 究 、 引 申拓 展 、 横 向联 想 ， 并 能 巧妙 运用 其 中一 些 结论 ， 以题 攻题 ， 可 以提 高 复 习
丢 ＋ ＿ ｌ （ ≠ ＋ ５ ） ．
本题揭 示 了定 义椭 圆 的另一种 的途 径 ， 但所 求 的曲线方程 中 一 ｂ ２
＝ 一
出版 社 。 １ ９ ８ ５： １ ３ ２ — １ ３ ３ ．
由一 道 课本 例 题 引发 的探 究 、 引 申与应 用
●刘 美 良 （ 鲁迅 中学柯桥校 区 浙江绍兴 ３ １ ２ ０ ０ ０ ）
课 本 中 的例 、 习题 作 为 教 材 的重 要 组成 部 分 ， 都有 一定 的示 范性 、 典 型性 和探 究 性 ， 或 寓 一 般 性 的结 论 、 或 蕴含 着深 刻 的背景材 料 ， 是课 本 的精髓 ， 也是 高考命 题 的 源头 ． 在课 堂 教学 中 ， 对 课 本 中 的
积是 一 ， 求 点 Ｍ 的轨迹 方程
问题 １ 设 点 Ａ， Ｂ 的坐 标 分 别 为 （一ｏ ， ０ ） ，
（ ｎ ， ０ ） ， 直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 相 交 于点 Ｍ， 且 它们 的斜率 之
积是 一 ， 求点 Ｍ 的轨迹方程．
解 设点 （ ， Ｙ ） ， 由Ａ （一ｎ ， ０ ） ， Ｂ（ ｎ ， ０ ） ， 得
问题 ２ 已知椭 圆方 程 ＋ ＝１ （ 。＞ｂ＞ｏ ） ，
个顶点） 连线的斜率之积是定值 一 ．
口
Ａ（一 口 ， ０ ） ， Ｂ（ ａ ， ０ ） 是 椭 圆长 轴 的 ２个端 点 ， 点 在 椭 圆上但 不 同于点 Ａ， Ｂ， 直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 的斜 率 之 积 是否 为定 值 ？试探 究 之．
化简 得点 Ｍ 的轨迹 方程 为
＋
告＝ １ （ ≠± ｎ ） ．
（ ≠５ ） ・
据此 ， 可 以得 到椭 圆的一 个 “ 生成 方式 ” ， 归 纳
如下 ：
＋ ５ 一 ５ 手 ９ （ ’ ≠ ＋ 一 ５ 一 ） ， ’
’ 一
结论 １ 若与 ２个 定 点 Ａ（一０ ， ０） ， Ｂ（ ｎ ， ０ ） 连 线 的斜 率 之 积是 定 值 一 ， 则 动 点 Ｍ 的轨 迹 方程
推广 公式 Baidu Nhomakorabea
展开 式中 的系数为
知识 网络 ， 把握 纵横 联系 ， 提炼 数学 思想 ， 在 数学 地 提 出问题 、 分 析 问题 、 解决 问题 中学 会数 学学 习 ， 有 益 于拓展思 路 ， 扩 展视 野 ， 发 展学 生 探 究 能力 和 数
学思 维能力．
ｃ ： ｍ ＝ｃ “＝
（ 人教 版 《 数学（ 选修 １ － １ ） 》 第３ ５页 ） 解 设 点 （ ， Ｙ ） ， 因为 Ａ（一５ ， ０） ， Ｂ（ ５ ， ０ ） ，
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