预赛山东高中数学竞赛试题解析

2020年全国高中数学联赛

山东赛区预赛试题参考答案

一.填空题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)

1.数列{a n }是集合{2x +2y +2z |0≤x

解:令f(x,y,z)=2x +2y +2z ,因f(21,22,23)是第3

24C =2024项,所以

a 2020=f(17,22,23)=217+222+223.

2.设二次函数f (x)=a x 2+b x+c (a >0)和一次函数y=a x+b 满足:当|x|≤1时,|f (x)| ≤1且y=a x+b 有最大值2.则函数f (x)=__________________.

解:由a >0时y=a x+b 递增,知当-1≤x ≤1时,y 最大=a +b =2.由|x|≤1时,|f (x)|≤1 及0,1∈[-1,1],得|c|≤1,|a +b +c |≤1,又a +b =2得|2+c |≤1,得-1≤c ≤-1即c=-1. 故f (0)=c=-1及|f (x)|≤1知f (x)最小=-1,所以0,02==-b a

b

,代入a +b =2得a =2, 所以f (x)=2x 2-1.

3.经过曲线x

y 1

=与y=x 2+3x -7交点的圆的方程是_______________________;

解:由交点(x,y)满足⎩⎨⎧-+==7312x x y xy ,得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=7

3372

2x y x y x y ,相加得10622

2=+++y x y x , 即20)3()1(22=+++y x 为所求圆的方程.

4.设ΔABC 中∠A=450,∠B=600,则其外心O 到ΔABC 三边距离之比___________; 解:O 到三边a,b,c 距离分别为r a ,r b ,r c ,则B

A

S S b r a r AOC BOC b a 2sin 2sin ==∆∆, 所以

B A

r r b a cos cos =,同理C

B r r c b cos cos =,所以r a :r b :r c =cosA:cosB:cos

C 13:2:2-=;

A

B

C

O

5.正实数a,b,c 成等比数列(q ≠1),log a b,log b c,log c a 成等差数列.则公差d =______; 解:设q

b a =,c=bq,log a b=x -d,log b c=x,log

c a=x+d,则a x -

d =b,b x =c,c x+d =a.

将bq c q b

a ==,代入得⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=

==+-)

3()()2()1()(q b

bq bq b b q b d x x d

x ,将(1)×(3)得b 2x q 2d =b 2q -1,将(2)代入得

b 2q 2d+2=b 2q -1,即q 2d+3=1,因q≠1,所以2

3-=d . 6.设A,B,C 为ΔABC 的三个内角,则使得C

B A cos 23sin 1sin 1+≥+λ恒成立的实 数λ的最大值是——————;

解:因3+2cosC=42cos

2

C +1>0,所以,)sin 1

sin 1)(

12cos 4(2B

A C ++≤λ, 因]cos )[cos(2

1

2

cos

8sin sin 2cos

8)sin 1sin 1)(12cos

4(2

C B A C B A C

B

A C +-=≥++

82cos 2cos

8)

cos 1(212

cos

8==

+≥

C C

C C

,等号成立仅当A=B=300,C=1200,所以λ最大=8. 7.随机选取{1,2,…,n}中r(1≤r ≤n)个元构成子集的最小数的期望值是________.

解:集合M 含r 个元素的子集共有r

n C 个,M 中以正整数k 为最小数的含r 个元 素的子集共有1--r k n C 个,其中1≤k ≤n -r+1.所以最小数的期望值是

r

n r r r n r n r n C C r n C C C 11

131211)1(321--------⨯+-++⨯+⨯+⨯ =r

n

r r r r r n r r r n r n C C C C C C C 111112111211)()(------------++++++++

=1

111111++==+++++---r n C C C C C C r

n r n r n r r r n r n . 8.与坐标轴交于三个不同点A,B,C 的所有抛物线y=x 2+ax +b ,ΔABC 的外接圆

恒过同一定点___________;

解:设A(x 1,0),B(x 2,0),C(0,b ),⊙ABC 交y 轴于D,显然b ≠0. 若A,B 在原点两侧,则b <0,由|b ||OD|=|x 1x 2|=|b |,得 |OD|=1,所以点D(0,1);若A,B 在原点同侧,则b >0, 由b |OD|=|x 1x 2|=b ,仍有点D(0,1).⊙ABC 恒过点D(0,1). 9.设OABC 是边长为1的正四面体，E 、F 分别为AB 与OC 的 中点.则异面直线OE 与BF 的距离是______________; 解:令则 假设是OE 与BF 的公垂线向量,则有

,取 ,则,,

所以,向量在上的射影长即为所求. 10.一棱长为6的正方体封闭空盒子中放有一半径为1的小球,若将盒子任 意翻动,则小球达不到的空间的体积是_____________ ;

解:将盒子任意翻动时,小球达不到的空间为:正方体8个角处的空间加正方 体12条棱处的空间.其中8个角处的空间合并为棱长为2的正方体挖掉半 径为1的小球,其体积为π3

48-;12条棱处的空间合并为3个空心正四棱柱

,,,c OC b OB a OA ===,2

1),(2

1

b c BF b a OE -=+=c z b y a x n ++=⎩⎨⎧=+=++⇔⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+-=-++=⋅=++=+++=⋅0302330

)3(41)21)((0)233(4

1))((21y x z y x y x b c c z b y a x BF n z y x b a c z b y a x OE n c b a n 33)3,1,3(--=--=1039319||=+--=n 1)33(-=⋅--=⋅b c b a b n b OB =n 10

10

|

|||=

⋅=

n b n d O A

B

C x

y

D

O A

B

C x

y D