高中数学：集合之间的关系与运算练习
高中数学必修第一册《1-2集合间的基本关系》课时同步训练试题
1-2集合间的基本关系 同步训练第I 卷（选择题）一、单选题1．（2018·浙江高一课时练习）设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．B ∈AD ．A ＝B2．（2021·全国）下列命题中，正确的有（ ）①空集是任何集合的真子集；②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集：④如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A B ⊆.A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 3．（2018·佛山市第二中学）集合{}{}14,A x x B x x a =-≤≤=>，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．4a <B ．4a >-C ．1a >-D ．14a -<≤4．（2019·华东师范大学第一附属中学）已知集合{}2430,A x x x x R =-+<∈，(){}12202750,x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈且，若A B ⊆，则实数a 的取值范围_______. A ．[]4,0- B ．[]4,1-- C ．[]1,0- D ．14,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 5．（2017·浙江）集合{|}A x x a =≤，2{|50}B x x x =-<，若A∩B=B ，则a 的取值范围是（ ）A ．5a ≥B ．4a ≥C ．5a <D ．4a < 6．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）已知{}1,2,3A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则B 的真子集个数为（ ）A ．31B ．32C ．63D ．64二、多选题7．（2021·江苏）给出下列选项，其中正确的是（ ）A ．{}{}∅∈∅B ．{}{}∅⊆∅C ．{}∅∈∅D ．∅⫋{}∅ 8．（2021·全国高一专题练习）已知集合{12}A xx =<<∣，{232}B x a x a =-<<-∣，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得AB =B ．存在实数a 使得A B ⊆C ．当4a =时，A B ⊆D ．当04a 时，B A ⊆E.存在实数a 使得B A ⊆第II 卷（非选择题）三、填空题9．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知集合{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以()1k-再求和，则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是______.10．（2021·全国）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___． 11．（2019·全国高一课时练习）某个含有三个实数的集合既可表示为,,0b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a ，a ＋b ，1}，则a 2015＋b 2015的值为____．12．（2021·全国）已知{}{}1,21,2,3,4,5,6,7A ≠⊆⊂，满足上述条件的集合A 的个数是______．四、解答题13．（2021·全国高一课时练习）已知全集(){|010},{1,35,7}U U A B x N x A C B =⋃=∈≤≤⋂=，，试求集合B .14．（2017·湖南长沙一中高一期中）已知集合{|013}A x ax =<+≤，集合1{|2}2B x x =-<<. （1）若1a =；求AC B ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.15．（2020·黑龙江哈九中高三期末（文））已知()1f x x a x =-++.（1）若不等式()21f x x <++的解集是区间3,2的子区间，求实数a 的取值范围； （2）若对任意的x ∈R ，不等式()21>+f x a 恒成立，求实数a 的取值范围.16．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）写出集合P 的所有子集，其中(){},|5,,P x y x y x N y N ++=+=∈∈.参考答案1．C【解析】【分析】首先确定集合A 的特征，据此确定A 与B 的关系即可.【详解】由题意可知集合A 中的元素为集合B 的子集，据此可得：B A ∈.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合与元素的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．C【分析】运用空集的性质，即可判断①；运用集合的传递性，即可判断②；由集合的真子集的个数，即可判断③；由韦恩图，即可判断④．【详解】①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故①错误；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错误；④由韦恩图易知④正确.故选C.【点睛】本题考查集合的概念，主要是空集和子集、真子集的性质，考查判断能力，属于基础题． 3．A【分析】据已知条件知A ，B 有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围．【详解】{}14A x x =-≤≤，{}B x x a =>，∵A B ⋂≠∅，∴对照数轴得4a <，即a 的取值范围为4a <，故选：A.【点睛】本题考查集合关系中的参数取值问题和集合的交集运算，将集合的关系转化为集合端点的不等关系，是解决本题的关键，属于基础题.4．B【分析】首先解出集合A ,若满足A B ⊆，则当()1,3x ∈时，120x a -+≤和()22750x a x -++≤恒成立，求a 的取值范围.【详解】{}13A x x =<<，A B ⊆，即当()1,3x ∈时，120x a -+≤恒成立，即12x a -≤- ，当()1,3x ∈时恒成立，即()1min 2x a -≤- ，()1,3x ∈而12x y -=-是增函数，当1x =时，函数取得最小值1-，1a ∴≤-且当()1,3x ∈时，()22750x a x -++≤恒成立，()()1030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得：4a ≥- 综上：41a -≤≤-.故选B【点睛】本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解.5．A【解析】因为25005x x x -<⇒<<,又A B B B A ⋂=⇒⊆，则由{|}A x x a =≤，可得；5a ≥时满足条件A B B ⋂=．6．A【分析】由题：根据,a b 的取值情况分析集合{2,3,4,5,6}B =一共32个子集，所以31个真子集.【详解】由题：当1a b ==时，集合B 中元素最小为2，当3a b ==时，集合B 中元素最大为6， 又当1,2a b ==时，集合B 中元素为3，当1,3a b ==时，集合B 中元素为4，当2,3a b ==时，集合B 中元素为5，所以集合{2,3,4,5,6}B =，其子集个数为5232=个，所以真子集31个.故选：A【点睛】此题考查元素与集合的关系以及子集个数分析，关键在于熟记集合的子集个数结论，否则只有逐一列举，计算量大且容易出错.7．BCD【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断【详解】对于A ，∅不是{}{}∅的元素，故不正确；对于B ，∅是任何集合的子集，所以∅是{}{}∅的子集，故正确；对于C ，∅是{}∅的元素，故正确；对于D ，∅是任何非空集合的真子集，{}∅有一个元素∅，是非空集合，故正确.故答案为：BCD .8．AE【分析】利用集合相等判断A 选项错误，由A B ⊆建立不等式组，根据是否有解判断B 选项； 4a =时求出B ，判断是否A B ⊆可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.【详解】A 选项由相等集合的概念可得23122a a -=⎧⎨-=⎩解得2a =且4a =，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A B ⊆，得23122a a -≤⎧⎨-≥⎩即24a a ≤⎧⎨≥⎩，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当4a =时，得{52}B xx =<<∣为空集，不满足A B ⊆，因此C 错误； D 选项当232a a -≥-，即1a ≥时，B A =∅⊆，符合B A ⊆；当1a <时，要使B A ⊆，需满足23122a a -≥⎧⎨-≤⎩解得24a ≤≤，不满足1a <，故这样的实数a 不存在，则当04a ≤≤时B A ⊆不正确，因此D 错误；E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B A ⊆，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.【点睛】本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.9．16【分析】先求出集合M 它非空子集A 的个数，在所有子集中，各个元素出现的次数，即可解答．【详解】因为{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A 共有15个， 分别是{}{}{}{}123412{},,,,，, 1,31,42,32,43,41,2,31,2,4{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,3,42,3,41,2,34,,,,,,,,,,其中数字1,2,3,4都出现了8次． 依题意得：()()()()123481121314116⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦. 故答案为：16.【点睛】本题主要考查了集合的非空真子集的概念，理解本题中的新定义的概念是解决本题的关键，属于中档题.10．2≤a ≤4【分析】根据集合A 解出a ﹣1＜x ＜a +1，利用包含关系求解参数范围.【详解】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩ ，∴2＜a ＜4． 又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}， a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}， 均满足A 是B 的真子集， ∴2≤a ≤4．故答案为：2≤a ≤411．0【分析】根据所给的一个集合的两种表达形式，看出第一种表达形式中，只有a ＋b 一定不等式0，重新写出集合的两种形式，把两种形式进行比较，得出a ，b 的值，得到结果.【详解】解：∵集合既可以表示成{b ，b a，0}，又可表示成{a ，a ＋b ，1} ∴a ＋b 一定等于0在后一种表示的集合中有一个元素是1只能是b .∴b ＝1，a ＝－1∴a 2015＋b 2015＝0.【点睛】本题考查集合的元素的三个特性和集合相等.易错点在于忽略集合中元素的互异性. 12．31【分析】集合A 中一定含有1,2这两个元素，且集合A 是集合{}1,2,3,4,5,6,7的真子集，则满足上述条件的集合A 的个数与集合{}3,4,5,6,7的真子集的个数一致，求出集合{}3,4,5,6,7的真子集个数，即可得出答案.【详解】由题意可知，集合A 中一定含有1,2这两个元素，且集合A 是集合{}1,2,3,4,5,6,7的真子集 则满足上述条件的集合A 的个数与集合{}3,4,5,6,7的真子集的个数一致则满足上述条件的集合A 的个数为52131-=故答案为：31【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，求集合的真子集个数，属于中档题.13．{0,2,4,6,8,9,10}【分析】计算{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃=，根据(){1,3,5,7}U A B ⋂=计算得到答案.【详解】{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃=，(){1,3,5,7}U A B ⋂=，{1,3,5,7}U B ∴=.故(){0,2,4,6,8,9,10}U U B B ==.【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力.14．（1）1{|12A CB x x =-<≤-或2}x =；（2）(,4)[2,)-∞-+∞ 【解析】试题分析：（1）1a =时求出集合A ，根据补集的定义写出A B ；（2）A B A ⋂=得A B ⊆，A 中不等式解集分三种情况讨论：0a =、0a <和0a >时，求出对应集合A ，根据A B ⊆求出a 的取值范围.试题解析：（1）若1a =，则{|12}A x x =-<≤， 故1{|12A CB x x =-<≤-或2}x = （2）,A B A A B ⋂=∴⊆，不等式013ax <+≤解集分三种情况讨论：①0a =，则,A R A B =⊆不成立；②0a <，则21{|}A x x a a =≤<-，由A B ⊆得12,12,2a a⎧-≤⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩得4a <-；③0a >，则12{|}A x x a a =-≤<，由A B ⊆得11,222,a a⎧-≥-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩得2a ≥. 综上所述：a 的取值范围为()[),42,-∞-⋃+∞.点睛：本题主要考查了集合的运算以及含有参数的集合间的关系，属于基础题；对于含有参数的一元一次不等式的解法，主要利用分类讨论的思想，对一次项系数进行讨论，分为0,0,0a a a =><三种情形，利用数轴将区间端点值进行比较，得出不等式组.15．（1）[]1,0-（2）(),0-∞【分析】（1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；（2）根据绝对值的三角不等式可得()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 分类讨论计算可得；【详解】解：（1）因为()1f x x a x =-++，且()21f x x <++，2x a ∴-< ，22a x a ∴-+<<+，由题意知，()[]2,23,2a a -+⊆-，所以2322a a -≥-⎧⎨+≤⎩， 解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,0-.（2）()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，当且仅当()()10a x x -+≥时，等号成立，所以()f x 的最小值为1a +.故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+，所以10121a a a +≥⎧⎨+>+⎩或10121a a a +<⎧⎨-->+⎩，解得0a <. 所以实数a 的取值范围是(),0-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题. 16．{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}，{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)【分析】依次写出集合P 中的所有元素，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，即可写出其所有子集.【详解】由题(){},|5,,P x y x y x N y N ++=+=∈∈可解得{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，所有子集分为：没有元素：∅；一个元素：{}(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)；两个元素：{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}；三个元素：{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)；四个元素：{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).所以，所有子集为：{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}，{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)【点睛】此题考查求集合中的元素和写出集合的子集，其中要求根据题目条件准确写出集合中的元素，根据集合中元素个数分别写出子集，做到不重不漏.答案第9页，总9页。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系-单选专项练习(1)(人教A版,含解析)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．集合M= x ∈N*| x (x －3)< 0}的子集个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D 详解：{}{*|(3)0}{*|03}1,2M x N x x x N x =∈-<=∈<<=所以集合的子集个数为224=个，故选D ．2．若集合{|11}M x x =∈-≤≤Z ，2{|,}P y y x x M ==∈，则集合M 与P 的关系是（ ） A ．M P = B ．M P C ．P MD ．M P ⋂=∅答案：C解析：根据集合M ，求出集合P ，进而可得集合M 与P 的关系． 详解：解：由题意可得{1,0,1}M ，{0,1}P =，所以P M ．故选：C ． 点睛：本题考查了集合包含关系的判断及应用，属基础题．3．已知集合{}12A x x =<≤，{}B x x a =<.若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．1a a ≥ B ．1a a ≤C ．{}2a a ≥D ．{}2a a >答案：D解析：利用数轴法，根据集合间的关系，即可得答案； 详解： 根据题意作图：易知2a >. 故选：D.点睛：本题考查根据集合间的关系求参数的取值，求解时注意等号成立的条件. 4．已知集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，若A B ⊆，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1答案：B解析：根据A B ⊆可得出关于a 的等式，解出即可. 详解：集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，A B ⊆，21a ∴+=，解得1a =-. 故选：B. 点睛：本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 5．集合（1，2）（3，4）}的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．15D ．16答案：B解析：直接枚举求解即可. 详解：易得()(){}1,2,3,4的子集有∅,(){}1,2,(){}3,4,()(){}1,2,3,4. 故选：B 点睛：本题主要考查了集合的子集个数,属于基础题. 6．集合{1,0,1}-的非空真子集共有（ ） A ．5个 B ．6个C ．7个D ．8个答案：B解析：将集合的所有非空真子集列举出来，即可得解. 详解：集合{1,0,1}-，则其非空真子集为{}1-，{0}，{1}，{1,0}-，{0,1}，{1,1}-， 所以非空真子集共有6个， 故选：B. 点睛：本题考查了集合的真子集概念，真子集个数计算，属于基础题.7．已知集合{}0,1,2A =，则A 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个答案：D解析：根据集合中元素的个数，以及集合子集的个数2n ，简单计算可得结果. 详解：集合A 的子集共有328=个. 故选：D. 点睛：本题考查集合子集个数的计算，识记常用结论，假设集合元素个数为n ，则该集合子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -，属基础题. 8．含有三个实数的集合表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b +，则20092009a b +的值为 A ．0 B ．-1 C ．1 D ．答案：B解析：根据集合的相等，分别找到元素的对应关系，排除不可能的情况，再进行分类讨论，得到答案. 详解：含有三个实数的集合表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b + 所以可得0a =或者0ba=当0a =时，因有b a，所以不成立. 故只能0b a=，即0b =此时集合分别为{},0,1a 和{}2,,0a a所以有21a =，即1a =±而由集合的互异性可知，1a =时，不成立 故1a =- 故选B 项. 点睛：本题考查集合的相等，和集合的性质，属于简单题.9．集合P 具有性质“若x P ∈，则1P x∈”，就称集合P 是伙伴关系的集合，集合111,0,,,1,2,3,432A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为A ．3B ．7C ．15D ．31答案：C解析：首先分析集合A 中的哪些元素能是伙伴关系的集合里的元素，然后利用集合的子集个数公式求解. 详解：根据条件可知满足伙伴关系的集合里面有111,1,,3,,232-中的某些元素，13和3，12和2都以整体出现，13和3看成一个元素，12和2也看成一个元素，∴共有4个元素，集合是非空集合，∴有42115-=个.故选C 点睛：本题主要考查集合关系的判断，利用条件确定伙伴关系的元素是解决本题的关键，意在考查分析问题和解决问题的能力.10．设A=x|2≤x≤4}，B=x|2a≤x≤a+3}，若B 真包含于A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,3 B ．(){}3,1∞+⋃ C ．{}1 D ．()3,∞+答案：C解析：由B 真包含于A ，讨论B ＝∅与B≠∅时，求出a 的取值范围． 详解：∵A＝x|2≤x≤4}，B ＝x|2a≤x≤a+3}，且B 真包含于A ； 当B ＝∅时，2a ＞a+3，解得a ＞3；当B≠∅时，232234a a a a ≤+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩解得a ＝1；此时A=B.∴a 的取值范围是a|a ＞3} 故选C ． 点睛：本题考查了集合之间的基本运算，解题时容易忽略B ＝∅的情况，是易错题．11．集合{}1,2,3的真子集有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．7个 D ．8个答案：C解析：根据集合真子集的个数公式求解即可. 详解：集合{}1,2,3的元素个数为3个， 故真子集的个数为3217-=， 故选：C 点睛：本题主要考查了集合子集，真子集的概念，考查了集合真子集个数公式，属于容易题.12．集合{}2|4,,A y y x x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为A ．9B ．8C ．7D ．6答案：C 详解：{}0,3,4,A =故A 有7个真子集13．已知集合{}1,1A =-，{}|10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为 A ．{}1,0,1- B ．{}1,1- C ．{}1 D ．{}1-答案：A 详解：试题分析：B A ⊆，∴B=φ或B ＝－1}或B ＝1}，∴a=0,-1,1． 考点：子集关系点评：本题考查了子集关系，勿忘空集．14．下列四个集合中，空集是A ．{}2|20x R x ∈+=B ．0C ．{}|84x x x ><或D ．{}∅答案：A 详解：试题分析：A.因为方程2+2=0x 无解，所以{}2|20x R x ∈+= =φ；B.0中含有一个元素0，所以不是空集；C. {}|84x x x ><或含有很多元素，所以不是空集；D. {}∅含有一个元素φ，所以不是空集． 考点：集合的表示方法；空集的定义．点评：空集就是不含任何元素的集合．属于基础题型．15．下列四个关系中，正确的是（ ） A ．{},a a b ∈ B ．{}{},a a b ∈ C ．{}a a ∉D ．(){},a a b ∈答案：A解析：因为a 是集合{,}a b 中的元素，判断A 选项正确；因为{}a 与{},a b 是两个集合，判断B 选项错误；因为a 是集合{}a 中的元素，判断C 选项错误；因为数a 不在集合{(,)}a b 中，判断D 选项错误. 详解：解：A 选项：因为a 是集合{,}a b 中的元素，所以{},a a b ∈，故A 选项正确； B 选项：{}a 与{},a b 是两个集合，集合之间没有属于关系，故B 选项错误； C 选项：因为a 是集合{}a 中的元素，所以{}a a ∈，故C 选项错误；D 选项：因为集合{(,)}a b 中的元素是点(,)a b ，数a 不在集合{(,)}a b 中，故D 选项错误； 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合的属于关系、集合之间的包含关系，是基础题 16．集合｛1，2，3｝的子集共有 A ．7个 B ．8个 C ．6个 D ．5个答案：B 详解：集合｛1，2，3｝中共三个元素，子集个数为：328=. 故选B.17．集合A ＝(x ，y)|y ＝x}和B ＝()21,|45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，则下列结论中正确的是 ( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．∅∈A答案：B解析：B ＝()21,|45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭＝(1,1)}，而A ＝(x ，y)|y ＝x}，B 中的元素在A 中，所以B ⊆A故选B ．18．已知集合{}22,4,A a =，{}2,6B a =+，若B A ⊆，则a =（ ）A ．-3B ．-2C ．3D ．-2或3答案：C解析：因为B A ⊆得到64a +=或者26a a +=，但是算出a 的值后，要将a 值代回去检验是否满足集合的互异性的条件. 详解： 因为B A ⊆，若64a +=，则2a =-，24a =，集合A 中的元素不满足互异性，舍去； 若26a a +=，则3a =或-2，因为2a ≠-，所以3a =. 故选C. 点睛：根据集合之间的包含关系求解参数的值时，一定要记得将参数的值代回集合中检验是否会有重合的元素，如果有重合的情况就要舍掉这个参数的取值，切记集合的三要素：确定性，互异性，无序性.19．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤ C ．21a -<< D ．2a <-或1a >答案：B解析：{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或 ，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩，选A. 点睛：形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a|＋|x －b|＞c(c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解.20．设集合{}|12A x x =<<,{}|B x x a =<,若A B ⊆,则a 的取值范围 A ．2a ≤ B ．1a ≤C ．1a <D ．2a ≥答案：D解析：结合数轴分析即可. 详解：画出数轴可得,若A B ⊆则2a ≥.故选：D点睛：本题主要考查了根据集合的关系求参数的问题,属于基础题型.。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系巩固练习(人教A版,含解析)(61)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则B 的所有真子集的个数为（ ）A ．512B ．256C ．255D ．254 2．已知集合{M x x =∣是等边三角形}，{N x x =∣是等腰三角形}，则下列判断正确的是（ ）A ．M N ≠⊂B ．M NC ．M N ∈D ．M N ⊇ 3．下列错误的是（ ） A ．0∈∅B ．A ∅=∅C ．{}∅⊆∅D ．若A B A ⋃=，则B A ⊆ 4．已知集合{0,},{|12}A a B x x ==-<<，且A B ⊆，则a 可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 5．已知集合(){}22,2,,M x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则集合M 的真子集的个数为（ ）A ．921-B ．821-C ．52D ．421+ 6．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 的子集个数为（ ）A ．5B ．6C ．31D ．32 7．已知集合{|16}A x x =-<<，{}23|B x x =<<，则（ ）A ．AB ∈ B ．A B ⊆C ．A B =D ．B A ⊆ 8．已知集合{}1,2A =，22,B k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，则实数k 的值为A ．1或2B ．12C ．1D ．29．已知集合A 、B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是 （ ）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的b B ∈，都有b A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，0a B ∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，0a B ∈10．已知集合{}*220A x N x x =∈-++≥，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8二、填空题 1．设集合{,}A x y =，2{0,}B x =，若A ＝B ，则2x y +=______2．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合1,2A ，{}2|2,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为______．3．已知集合{}2,4A a =-，{}0,3B b =-，若A B =，则a b -=_______.4．已知集合{}2|320M x x x =-+=，集合{}2|220,N x x x k k R =++=∈非空，若M N ⋂=∅，则k的取值范围是___；5．已知{}2|13300A x x x =-+≤，{|5}B x m x m =≤≤+，且A B B =，则m 的取值范围是_______.三、解答题1．已知集合，，且，求实数的值.2．判断下列各组中集合之间的关系：（1）A ＝x|x 是12的约数}，B ＝x|x 是36的约数}；（2）A ＝x|x 是平行四边形}，B ＝x|x 是菱形}，C ＝x|x 是四边形}，D ＝x|x 是正方形}；（3）A ＝x|－1<x<4}，B ＝x|x<5}.3．写出集合a ，b ，c}的所有子集？写出集合a ，b ，c ，d}的所有子集？4．已知集合{}2230A x x x =-++>，()(){}231210B x x a x a a =-+++<. 若B A ⊆，求实数a 的取值范围.5．已知集合{|2P x x =≤-或5}x >，{|121}Q x k x k =+≤≤-，当P Q =∅时，求实数k 的取值范围.参考答案一、单选题1．C解析：通过举例得到集合B 的元素的个数，从而求出其真子集的个数．详解：解：x ＝1时，y ＝1，2，3，4，∴这样的元素有4个，x ＝2时，y ＝1，2，∴这样的元素有2个，x ＝3时，y ＝1，∴这样的元素有1个，x ＝4时，y ＝1，∴这样的元素有1个，∴集合B 共有8种元素，故集合B 的真子集的个数是：821255-=个，故选：C ．点睛：本题考查了集合的真子集的计算，求出集合中元素的个数的前提，代入21n -是关键，本题是一道基础题．2．A解析：根据集合的基本运算和三角形的性质可求得答案.详解：集合{M xx =∣是等边三角形}，{N x x =∣是等腰三角形}， 所以M N ≠⊂. 故选：A.点睛：本题考查了集合的基本运算，属于基础题.3．A解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误.详解：对于A 选项，0∉∅，A 选项错误；对于B 选项，A ∅=∅，B 选项正确；对于C 选项，{}∅⊆∅，C 选项正确；对于D 选项，若A B A ⋃=，则B A ⊆，D 选项正确.故选：A.点睛：本题考查元素与集合、集合与集合包含关系的应用，属于基础题.4．C解析：由A B ⊆先求出a <<-12且0a ≠，对照四个选项即可得到答案.详解：解：因为A B ⊆，且集合{}0,,{|12}A a B x x ==-<<，所以a <<-12且0a ≠，根据选项情况，由此可以判定只能选择C ．故选：C5．A解析：首先确定集合M 的元素个数，接着根据公式求出集合M 的所有子集个数，减掉集合M 本身得出结果即可.详解：因为集合(){}22,2,,M x y x y x Z y Z =+≤∈∈，画出如下示意图：由图可知集合M 有9个元素，集合M 的所以子集的个数为92，所以集合M 的真子集的个数为921-，故选：A.点睛：集合M 有n 个元素,则集合M 的所有子集个数为2n ，集合M 的所有非空子集个数为21n -，集合M 的所有真子集个数为21n -，集合M 的所有非空真子集个数为22n -；6．D解析：根据集合元素的特性确定集合集合A 中元素的个数，进而根据子集的概念即可求解.详解：集合A 中有5个元素，所以A 的子集个数为5232=，故选：D7．D解析：由条件根据集合间的关系可直接判断.详解：由集合{|16}A x x =-<<，{}23|B x x =<<选项A. ,A B 两个数集之间应是包含关系不能用属于关系，故不正确.由条件可得B A ⊆，A B ⊄，且A B ≠，所以选项B,C 错误，选项D 正确.故选：D8．D 解析：由集合元素的互异性及子集的概念可知2=1k ，由此能求出实数k 的值．详解：集合{}1,2A =，22,B k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，∴由集合元素的互异性及子集的概念可知2=1k，解得2k =.故选D.点睛：本题考查集合元素的互异性及子集的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9．C解析：根据子集的定义进行判断.详解：根据子集的定义：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集.因为A 不是B 的子集所以存在0a ，满足0a A ∈，0a B ∉故选：C点睛：本题主要考查了集合子集的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10．B解析：求出集合A ，确定集合A 的元素个数，由A B A ⋃=可得出B A ⊆，再利用子集个数公式可求得满足条件的集合B 的个数.详解：{}{}{}*2*20121,2A x N x x x N x =∈-++≥=∈-≤≤=， 又A B A =，B A ∴⊆，因此，符合条件的集合B 的个数为224=.故选：B.点睛：本题考查集合子集个数的求解，解答的关键就是求出集合的元素个数，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.二、填空题1．2解析：首先根据两集合相等，列出对应的方程组，求出参数的值之后再验证是否满足集合中元素的互异性，对所求的值进行相应的取舍，最后求得结果.详解：因为{}{}2,,0,A x y B x ==，若A B =， 则20x y x =⎧⎨=⎩或20x x y ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩， 当0x =时，{}0,0B =不成立，当1,0x y ==时，{}{}1,0,0,1A B ==，满足条件，所以22x y +=.故答案为：2点睛：该题考查的是有关利用集合相等，求参数的值的问题，在解题的过程中，需要明确两集合相等的条件是两个集合中元素是完全相同的，得到相应的方程组，求出结果之后需要对所求结果进行验证，是否满足元素的互异性，从而求得结果.2．10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭解析：分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a 值，即可求解详解：解：当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，当0a >时，B ⎧⎪=⎨⎪⎩，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B 集合有公共元素1-时，解得2a =，当,A B 2=时，解得12a =， 故a 的取值集合为10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故答案为：10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭3．1解析：由于20a ≥，则2034a b ⎧=⎨-=-⎩，解方程组可得,a b ，进而可得答案． 详解：因为20a ≥，A B =，所以2034a b ⎧=⎨-=-⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，即1a b -=. 故答案为：14．1{2k k ≤且4k ≠-，且12}k ≠-解析：首先求解集合M ，再根据条件，列出关于k 的不等式，求解k 的取值范围.详解：2320x x -+=，解得：1x =或2x =， {}1,2M ∴=,N ≠∅，480k ∴∆=-≥，解得：12k ≤， 若1N ∈，则2204k k ++=⇒=-，若2N ∈，则84012k k ++=⇒=-，M N =∅，4k ∴≠-且12k ≠-， 综上可知1{2k k ≤且4k ≠-，且12}k ≠-. 故答案为：1{2k k ≤且4k ≠-，且12}k ≠-点睛：本题考查根据集合的关系求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.5．35m ≤≤解析：求出集合A ，利用A B B =，列出不等式求解即可.详解：集合{}{}2|13300|310A x x x x x =-+≤=≤≤，且{|5}B x m x m =≤≤+，A B B =，B A ∴⊆，可得3510m m ≤⎧⎨+≤⎩，解得35m ≤≤. 故答案为：35m ≤≤点睛：本题考查不等式的解法，集合包含关系的应用，考查计算能力，属于基础题．三、解答题1．或 解析：由得或，分别求出的值，再将的值代入到集合中验证是否满足题意，可得解. 详解： 因为集合，，且， 或 即或， 解得:或或， 当时，集合，，符合题意； 当时，集合，这与集合中的元素需满足互异性相矛盾，故舍去； 当时，集合，，符合题意； 综上所述，实数的值为：或. 故得解.点睛：本题考查集合间的包含关系，注意在求解参数的值后，需代入集合中验证是否满足集合元素的互异性等，属于基础题.2．（1）A B ；（2）D B A C ；（3）A B.解析：（1)由x 是12的约数，则必定是36的约数可判断集合间的关系；（2）画出Venn 图可判断集合间的关系；（3）易知A 中的元素都是B 中的元素，可判断集合间的关系.详解：（1）因为若x 是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB. （2）由图形的特点可画出Venn 图如图所示，从而D B AC.（3）易知A 中的元素都是B 中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A ，故AB.点睛：本题考查集合间的关系，属于基础题.3．答案见解析解析：根据子集的定义进行求解即可.详解：集合a ，b ，c}的所有子集为:∅，a}，b}，c}，a ，b}，a ，c}，b ，c}，a ，b ，c}. 集合a ，b ，c ，d}的所有子集为:∅，a}，b}，c}，d}，a ，b}，a ，c}，a ，d}，b ，c}，b ，d}，c ，d}，a ，b ，c}，a ，b ，d}，a ，c ，d}，b ，c ，d}，a ，b ，c ，d}.4．1322a -≤≤解析：试题分析：先具体化集合Ａ，集合Ｂ对字母ａ分类讨论明确解集，根据B A ⊆，结合数轴得到关于ａ的不等关系，从而得到实数a 的取值范围.试题解析：()1,3A =-,B A ⊆ 当1a =时, B φ= B A ⊆ 当1a >时,()1,2B a a =+,1a +≥-且23a ≤, 312a ∴<≤当1a <时,()2,1B a a =+,21a ≥-且13a +≤, 112a ∴-≤<∴ B A ⊆时，1322a -≤≤. 点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.5．(,3]-∞解析：试题分析：由已知中集合{|2P x x =≤-或5}x >，{|121}Q x k x k =+≤≤-满足P Q ⋂=∅，即Q P ⊆，我们分为Q =∅和Q ≠∅两种情况，分别求出满足条件的实数k 的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案.试题解析：①当Q =∅时，121k k +>-，即2,k P Q <⋂=∅②当Q ≠∅时，若P Q ⋂=∅，则12112215k k k k +≤-⎧⎪+>-⎨⎪-≤⎩，解之可得23k ≤≤,综上，(],3k ∈-∞。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系-单选专项练习(1)(人教A版,含答案及解析)
1.2 集合间的基本关系1．若集合M 满足{}1M ≠∅，{}*3|1M x x ⊆∈N ，则符合条件的集合M 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．设集合6|2B x Z N ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭x ,则集合B 的子集个数为( )． A ．3B ．4C ．8D ．16 3．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 4．集合{|3,}n M x x n ==∈N ，集合{|3,}x x n N n =∈=N ，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．MND ．MN 且NM5．已知集合{}|11A x x =-≤≤，{}|0B x x a =-≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞-D ．[)1,+∞6．设集合{}1012U =-，，，，2{|1}A y y x x U ==+∈，则集合A 的真子集个数为A ．2B ．3C ．7D ．8 7．集合A=﹣1，5，1}，A 的子集中，含有元素5的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个8．已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是 A ．A C φ⋂= B ．A C C = C ．B C B =D ．AB C =9．集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．1310．已知集合{}12A x x =≤≤，{}2,B y y x a x A ==+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]2,1--C ．[]22-,D ．[]1,1-11．已知集合{}{}2|4,|1.A x x B x ax ====若B A ⊆，则实数a 的值是（ ）A ．12B ．2C ．11,22-D ．110,,22-12．已知函数1()lg1xf x x+=-的定义域为A , 函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ,则下述关于A B 、的关系中,不正确的为A ．AB ⊇ B ．A B B ⋃=C ．A B B =D ．B A13．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．7个B ．5个C ．3个D ．8个14．下列集合中表示同一集合的是 A ．(){}2,3M =，(){}3,2N =B ．2,3M，{}3,2N =C ．(){},1M x y y x ==+，{}1N y y x ==+D ．{}1M y y x ==+，{}21N y y x ==+15．已知集合{}1,2,{|20}A B x ax ==-=，若B A ⊆，则a 的值不可能是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．316．给出下列关系式：①23Q ⊆；②{}210x x x ∅∈++=；③(){}(){}21,4,23x y y x x -⊆=--；④{}[)22,x x <=+∞，其中正确关系式的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．317．下列符号表述正确的是（ ）A ．*0N ∈B ．1.732Q ∉C ．{}0∅∈D ．{}2x x ∅⊆≤18．已知集合{2,4}A ，则集合A 的子集个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．819．设集合{}2|1P x x ==，则集合P 的非空真子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．820．已知集合A =a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是A ．aB ．a ，c}C ．a ，e}D ．a ，b ，c ，d }参考答案1．C2．D3．C4．D5．D6．C7．B详解：试题分析：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3个，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得结论．解：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3个，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得：22=4，故选B．考点：子集与真子集．8．C9．B10．B11．D12．D13．A14．B15．D16．B17．D18．C19．A20．B详解：由集合的子集的定义可知：集合A=a，b，c}的子集为：∅，a}，b}，c}，a，b}，a，c}，b，c}，a，b，c}，对应选项，则可以作为集合A的子集的是a，c}.故选B.点睛：集合A={}12n a a a ，，，的子集个数为2n ，非空真子集个数为22n -.【参考解析】1．解析：依题可知M 致少有元素1，结合子集定义即可求解． 详解：由题意可知，{}1M =或{1,2}或{1,3}或{1,2,3}． 故选：C2．解析：首先用列举法，分别取出满足题目时x 值，从而得出集合B 的元素，从而得出集B 的子集. 详解： 当666603,12,41,1620212421x x x x =⇒==⇒==⇒==-⇒=+++- 所以集合{}3,2,1,6B =,所以集合B 的子集个数为4216=. 故选D 点睛：本题主要考查就集合中子集的求法：若集合B 中有n 个元素，则集合B 的子集有2n 个,属于基础题.3．解析：根据题意，分析可得集合M 中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，即M 的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数，由集合的子集与元素数目的关系，分析可得答案． 详解：解：根据题意，满足题意条件的集合M 中必须有1，2，3这三个元素， 且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素， 则M 的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数， 集合{4，5，6}有3个元素，有3226-=个非空真子集； 故选：C ． 点睛：本题考查集合间的基本关系，以及非空真子集的个数的运算．4．解析：分析集合M 和N 中元素的性质，进行比较即可得出答案. 详解：由{|3,}n M x x n ==∈N ，可得集合M 中的元素为：1,3,9,27,,3,n ；由{|3,}x x n N n =∈=N ，可得集合N 中的元素为：0,3,6,9,12,,3,n ，比较得1M ∈，但1N ∉，0N ∈，但0M ∉，3M ∈，3N ∈.∴MN 且NM .故选：D. 点睛：本题考查了两个集合关系的判断，准确分析集合中元素的特点并进行比较是解题的关键，属于一般难度的题.5．解析：根据集合的包含关系,即可求得参数a 的取值范围. 详解：集合{}|11A x x =-≤≤,{}|0B x x a =-≤,即{}|B x x a =≤ 因为A B ⊆, 则1a ≥ 即[)1,a ∈+∞ 故选:D 点睛：本题考查了集合的包含关系,求参数的取值范围,属于基础题.6．解析：先求出集合A ，进而求出其真子集的个数． 详解：因为集合{}1012U =-，，，，∴集合{|}A y y x U =∈＝1， ∴真子集个数为23﹣1＝7个， 故选C ． 点睛：本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题． 7．8．解析：先求集合C ，再根据集合与集合的关系判断即可． 详解：由题设，{0,2,4}C =，则B C ⊆，故B C B = 选C . 点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．9．解析：根据集合真子集的计算公式，直接得出结果. 详解：集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为42115-=. 故选：B. 点睛：本题主要考查求集合的真子集个数，属于基础题型.10．解析：根据题意，求得集合B ，结合A B ⊆，列出不等式组，即可求解. 详解：由题意，集合[]1,2A =，可得{}[]2,2,4B y y x a x A a a ==+∈=++， 因为A B ⊆，所以2142a a +≤⎧⎨+≥⎩，解得[]2,1a ∈--．故选：B.11．解析：计算{}2,2A =-，考虑{}2B =，{}2B =-，B =∅三种情况，计算得到答案. 详解：{}{}2|42,2A x x ===-，B A ⊆，当{}2B =时，21a =，12a =；当{}2B =-时，21a -=，12a =-；当B =∅时，0a =. 即0a =或12a =或12a =-. 故选：D. 点睛：本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力，忽略掉空集是容易发生的错误.12．解析：分别求出两函数的定义域，再判断集合关系. 详解： 因为1()lg1xf x x +=-，所以101x x +>-即()()110x x +-> ，解得11x -<< 故{}11A x x =-<<因为()lg(1)lg(1)g x x x =+--，所以1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<故{}11B x x =-<< 所以A B = 故选D. 点睛：本题考查函数的定义域与集合之间的关系，属于简单题.13．解析：根据集合的补集判断集合的个数，进而求得集合的真子集个数． 详解：由题可知，集合A 有三个元素．所以A 的真子集个数为：32-1=7个．选A 点睛：集合中子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1，非空真子集的个数为2n -214．解析：因为有序数对()2,3与()3,2不相同，所以A 错误；由于集合中的元素具有无序性，所以集合M 与集合N 是同一集合，故B 正确；因为集合M 表示的是当1,y x x R =+∈时，所得的有序实数对(),x y 所构成的集合，而集合N 是当1,y x x R =+∈时所得的y 值所构成的集合，所以C 错误；因为M R =，[)1,N =+∞，所以D 错误， 详解：对于A 选项：有序数对()2,3与()3,2不相同，所以集合M 与集合N 不是同一集合，故A 错误； 对于C 选项：由于{}(,)1,M x y y x x R ==+∈，所以集合M 表示的是当1,y x x R =+∈时，所得的有序实数对(),x y 所构成的集合，而由{}1,N y y x x R ==+∈得集合N 是当1,y x x R =+∈时所得的y 值所构成的集合， 所以集合M 与集合N 不是同一集合，故C 错误；对于D 选项，{}1M y y x R ==+=，{}{}[)21,11,N y y x x R y y ==+∈=≥=+∞，所以集合M 与集合N 不是同一集合，故D 错误；对于B 选项：由于集合中的元素具有无序性，所以集合M 与集合N 是同一集合，故B 正确； 故选B. 点睛：本题考查集合所表示的元素的意义，在判断时需分清集合中表示的是点集还是数集，理解元素的具体含义是什么，属于基础题.15．解析：由B A ⊆，分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合集合间的关系，即可求解. 详解：由题意，集合{}1,2,{|20}A B x ax ==-=， 因为B A ⊆，当0a =时，集合B 为空集，此时满足B A ⊆；当0a ≠时，集合2{|20}{}B x ax a =-==，可得21a或22a=，解得1a =或2a =， 综上可得，实数a 的值为{}0,1,2，所以则a 的值不可能是3. 故选：D. 点睛：本题主要考查了根据集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合间的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.16．解析：对于①，23Q ∈；对于②，{}210x x x ∅⊆++=；对于③，点(1,4)-在抛物线223y x x =--上，对于④，{}[)22,x x <⊆+∞.详解：对于①，元素与集合不是包含关系，故①不正确；对于②，{}210x x x ∅∉++==∅，故②不正确；对于③，点(1,4)-在抛物线223y x x =--上，故(){}(){}21,4,23x y y xx -⊆=--正确；对于④，{}[)22,x x <⊆+∞，故④不正确. 故选：B. 点睛：本题考查了元素与集合的关系，考查了集合与集合的关系，考查了空集，属于基础题.17．解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 详解：对于A 选项，0N *∉，A 选项错误；对于B 选项，1.732Q ∈，B 选项错误； 对于C 选项，{}0∅⊆，C 选项错误；对于D 选项，{}2x x ∅⊆≤，D 选项正确. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.18．解析：根据子集的定义依次列出集合的子集即可得出答案. 详解：集合{}2,4A =的子集分别是：φ，{}2，{}4，{}2,4，共有4个子集. 故选：C. 点睛：本题考查集合子集的概念，属于基础题.19．解析：解出集合P ，再写出集合P 的非空真子集即可. 详解：集合{}2|1P x x ==,即{}1,1P =-，集合P 的非空真子集有{}{}1,1-， 共2个. 故选：A . 点睛：本题考查的是集合子集，真子集，是基础题. 20．。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系复习专练(人教A版,含解析)(60)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列式子表示正确的是（ ）A ．∅{}0⊆B ．{}{}22,3∈C ．∅{}1,2∈D ．{}00,2,3⊆答案：A解析：根据空集的性质，集合与集合的关系，元素与集合的关系逐一判断可得答案. 详解：解：根据空集的性质，空集是任何集合的子集，{}0∅⊆，故A 正确；根据集合与集合关系的表示法，{}2{}2,3，故B 错误； ∅是任意非空集合的真子集，有∅{}1,2，但{}1,2∅∈表示方法不对，故C 错误；根据元素与集合关系的表示法，{}00,2,3∈，不是{}00,2,3⊆，故D 错误；故选：A.点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用，元素与集合关系的判断，集合的表示法.2．已知集合A=x|a≤x<3)，B=[1，+∞)，若A 是B 的子集，则实数a 取值范围为（ ）A ．[0，3)B ．[1，3)C ．[0，+∞)D ．[1，+∞)答案：D 解析：根据条件讨论A 是否为空集：A =∅时，3a ；A ≠∅时，31a a <⎧⎨⎩，解出a 的范围即可．详解：解：{|3}A x a x =<，[1B =，)+∞，且A B ⊆，∴①A =∅时，3a ；②A ≠∅时，31a a <⎧⎨⎩，解得13a <， ∴综上，实数a 的取值范围为[1，)+∞．故选：D ．点睛：本题考查了子集的定义，描述法、区间的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．3．已知集合{}1A x x =>，则下列判断正确的是（ ）A ．0A ∈B ．{}2A ⊆C ．2A ⊆D ．A ∅∈答案：B解析：先区分是集合还是元素，而后选用符合的符号．详解： 解：集合{|1}A x x =>，0A ∴∉，{2}A ⊆，2A ∈，A ∅⊆ 故选：B ．4．若{}6,7,8A =，则集合A 的真子集共有A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个答案：C解析：根据n 元集合有2n ﹣1个真子集，结合集合6，7，8}共有3个元素，代入可得答案． 详解：因为A ＝6，7，8}共3个元素故集合A ＝6，7，8}共有23﹣1＝7个真子集故选C ．点睛：本题考查的知识点是子集与真子集，熟练掌握n 元集合有2n 个子集，有2n ﹣1个真子集，是解答的关键．5．已知集合A=2，3}，B=x|mx ﹣6=0}，若B ⊆A ，则实数m=A ．3B ．2C ．2或3D ．0或2或3答案：D详解：试题分析：：∵A=2，3}，B=x|mx-6=0}=6m }， ∵B ⊆A ， ∴2=6m ，或3=6m ，或6m 不存在， ∴m=2，或m=3，或m=0考点：集合关系中的参数取值问题6．已知集合{}{}0,2,2,0,A B a ==-,若A B ⊆,则实数a 的值为A ．2B ．1C ．0D ．2-答案：A详解：试题分析：因A B ⊆,故，应选A. 考点：子集包含关系的理解．7．已知集合，则下列式子表示正确的有 ① ② ③④ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：C详解： 解：因为集合，则说明A=1,-1},因此利用元素与集合的关系，以及集合与集合的关系得到①,成立，③ ④也成立，选项C8．已知集合{}{}|1,|M x x N x x a =>=>，且M N ⊆，则（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．1a ≥D ．1a >答案：A解析：根据M N ⊆，在数轴上作出,M N ，可得结果.详解：根据M N ⊆，在数轴上作出集合,M N ，如图：可得：1a ≤，故选：A.点睛：本题考查集合间的包含关系，注意利用数轴，是基础题.9．已知集合{1,2}A =，{4,5,6}B =，:f A B →为集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有（ ）种.A ．2B ．3C ．6D ．7答案：C解析：函数的值域C 是集合B 的一个子集,分析可知B 的非空子集共有7个,除去{4,5,6}有3个元素不能作为值域,则值域C 的不同情况有6种.详解：由函数的定义可知,函数的值域C 是集合B 的一个子集.{4,5,6}B =,非空子集共有3217-=个；而定义域A 中至多有2个元素,所以值域C 中也至多有2个元素；所以集合B 的子集{4,5,6}不能作为值域C,值域C 的不同情况只能有6种.故选：C.点睛：本题考查了集合的子集个数和函数的定义,若函数的定义域和值域里的元素个数为有限个,则值域的元素个数不会超过定义域里的元素个数.本题属于中等题.10．已知a b 、为实数，若集合,1ba ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与{},0a 表示同一集合，则+a b 等于（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．±1答案：C 解析：由集合相等可得1,0b a a==，解出即可．详解： 解：集合相等可得1,0b a a ==，解得1,0a b ==．1a b ∴+=． 故选：C ．点睛：本题考查了集合相等，属于基础题．二、填空题1．集合{}1,0,1-的子集共有___________个.答案：8解析：将子集一一列出即可．详解：集合{1A =-，0，1}的子集有：∅，{}1-，{0}，{1}，{1-，0}，{0，1}，{1-，1}，{1-，0，1}共8个故答案为：8．2．已知全集U =R ，集合{|34}A x x =-≤≤，集合{|121}B x a x a =+<<-，且U A C B ⊆，则实数a 的取值范围是_________________.答案：a≥3或a≤2解析：对集合B 分类讨论B=∅与B ≠∅,结合U A C B ⊆得到关于a 的不等式组，从而得到结果. 详解：∵{|121}B x a x a =+<<-，且A ⊆∁U B ，2a ﹣1＞a+1，解得a ＞2，∁U B=x|x≤a+1，或x≥2a﹣1}，∴241a a ⎧⎨≤+⎩＞或2213a a ⎧⎨-≤-⎩＞， 解得a≥3或a∈∅．此时实数a 的取值范围为a≥3．当B=∅，∁U B=R ，满足A ⊆∁U B ，∴a+1≥2a﹣1，解得a≤2．综上可得：实数a 的取值范围为a≥3或a≤2．点睛：本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．角的集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z 与集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z 之间的关系为________．答案：A B =解析：在集合A 中，分析k 的奇偶，可得出集合A 所表示的角的终边，与集合B 相比较，可得出结果.详解：解：集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z ，当k 为奇数时，假设21k n =-，则{|2,}2A x x n k πππ==-+∈Z ，即{|2,}2A x x n k ππ==-∈Z 表示终边在y 轴非正半轴上的角，当k为偶数时，假设2k n =，集合{|2,}2A x x n k ππ==+∈Z ，表示终边在y 轴非负半轴上的角； 集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z ，则集合B 表示终边落在y 轴上的角的集合，所以A B =. 故答案为：A B =.4．集合∅和{0}的关系表示正确的有________.(把正确的序号都填上)①{0}=∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅{0}.答案：④解析：根据集合间的基本关系及定义，即可得答案；详解：∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然{0}∅≠，又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}.，所以④正确，①②③不正确.故答案为：④点睛：本题考查集合间的基本关系，考查对概念的理解，属于基础题.5．已知{}0,2,M b =，{}20,2,N b =，且M N ，则实数b 的值为____________.答案：1解析：根据集合相等以及集合元素的互异性可求得实数b 的值.详解：{}0,2,M b =，{}20,2,N b =且M N ，则202b b b b ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，解得1b =. 故答案为：1.点睛：本题考查利用集合相等求参数，同时要注意集合的元素应满足互异性，考查计算能力，属于基础题.三、解答题1．设全集U =R ，集合{}5|4A x x =-<<，集合{6B x x =<-或}1x >，集合{}|0C x x m =-<，求实数m 的取值范围，使其同时满足下列两个条件.①()C A B ⊇⋂；②()()U U C A B ⊇.答案：{}|4m m ≥解析：求出A B 和()()U U A B ⋂，求出集合C ，由包含关系得m 的不等关系．详解：解：因为{}5|4A x x =-<<，{|6B x x =<-或1}x >，所以{}|14A B x x =<<.又{|5U A x x =≤-或4}x ≥，{}61|U B x x =-≤≤，所以()(){}65|U U A B x x =-≤≤-.而{}|C x x m =<，因为当()C A B ⊇⋂时，4m ≥，当()()U U C A B ⊇时，5m >-，所以4m ≥.即实数m 的取值范围为{}|4m m ≥.点睛：本题考查集合的综合运算，考查集合的包含关系，掌握包含关系是解题关键．2．已知M=x| -2≤x≤5}， N=x| a+1≤x≤2a -1}.（1）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围；（2）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围.答案：（1）空集；（2）{}3a a ≤.解析：（1）根据子集的性质进行求解即可；（2）根据子集的性质，结合N =∅和N ≠∅两种情况分类讨论进行求解即可.详解：（1）由M N ⊆得：12321531212a a a a a a a +≤-≤-⎧⎧⎪⎪⇒-≥≥⎨⎨⎪⎪+≤-≥⎩⎩无解； 故实数a 的取值范围为空集；（2）由M N ⊇得：当N =∅时，即1212a a a +>-⇒<；当N ≠∅时，12121232153a a a a a a a +≤-≥⎧⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩， 故23a ≤≤；综上实数a 的取值范围为{}3a a ≤.3．设f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，有f （x ﹣2）＝x 2﹣3x+3． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若x|f （x ﹣2）＝﹣（a+2）x+3﹣b}＝a}，求a 和b 的值．答案：（Ⅰ）f （x ）＝x 2+x+1；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）采用换元法，令x ﹣2＝t ，即可求得解析式；（Ⅱ）先将表达式化简，再结合x|f （x ﹣2）＝﹣（a+2）x+3﹣b}＝a}可得，解方程可求a 和b 的值详解：（Ⅰ）依题意，令x ﹣2＝t ，则x ＝t+2，∴f （t ）＝（t+2）2﹣3（t+2）+3＝t 2+t+1， ∴f （x ）＝x 2+x+1；（Ⅱ）依题意，方程x 2﹣3x+3＝﹣（a+2）x+3﹣b 有唯一解a ，即方程x 2+（a ﹣1）x+b ＝0有唯一解a ， ∴，解得．点睛：本题考查换元法求解析式，根据集合相等求解参数，一元二次方程有唯一解的等价条件的转化，属于中档题4．已知集合{}25A x x =-≤≤，集合{}121B x p x p =+≤≤-，若A B B =，求实数p 的取值范围．答案：3p ≤解析：根据题意，由集合的性质，可得若满足A B B =，则B A ⊆，进而分：①121p p +>-，②121p p +=-，③121p p +<-，三种情况讨论，讨论时，先求出p 的取值范围，进而可得B ，讨论集合B 与A 的关系可得这种情况下p 的取值范围，对三种情况下求得的p 的范围求并集可得答案．详解：解：根据题意，若A B B =，则B A ⊆；分情况讨论：①当121p p +>-时，即2p <时，B =∅，此时B A ⊆，则A B B =，则2p <时，符合题意；②当121p p +=-时，即2p =时，{}{}333B x x =≤≤=，此时B A ⊆，则A B B =，则2p =时，符合题意；③当121p p +<-时，即2p >时，{}121B x p x p =+≤≤-，若B A ⊆，则有21512p p -≤⎧⎨+≥-⎩，解可得33p -≤≤， 又由2p >，则当23p <≤时，符合题意；综上所述，满足A B B =成立的p 的取值范围为3p ≤．点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，易错点为遗漏B =∅的情况，考查了分类讨论的思想，属于中档题.5．已知全集U=R ，集合A=x∣-2≤x≤3}，B=x∣2a<x<a+3}，且U B A ⊆，求实数a 的取值集合.答案：a∣a≤-5或a≥32}解析：首先求出集合A 的补集，再根据U B A ⊆，对集合B 是否为空集分类讨论，得到不等式组，解得即可；详解：解：因为{}|23A x x =-≤≤，所以U {|2A x x =<-或3}x >因为U B A ⊆，当B =∅时23a a ≥+解得3a ≥；当B ≠∅时，由U B A ⊆所以23,23,a a a <+⎧⎨≥⎩或2332a a a <+⎧⎨+≤⎩－ 解得332a ≤<或5a ≤-.所以实数a 的取值集合为{|5a a -≤或3}2a ≥.点睛：本题考查集合的包含关系求参数的取值范围，一般需对集合是否为空集分类讨论，属于基础题.。
【人教版】必修一数学：04-集合的基本关系及运算：知识讲解和巩固练习_集合基本关系运算(提高版,含答案)
集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ð）．4.集合基本运算的一些结论A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，A AB B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一、集合间的关系例1. 集合{}|2,A a a k k N ==∈，集合21|1(1)(1),8n B b b n n N ⎧⎫⎡⎤==--⋅-∈⎨⎬⎣⎦⎩⎭，那么,A B 间的关系是（ ）.A.A B B.B A C. A =B D.以上都不对 【答案】B【解析】先用列举法表示集合A 、B ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A 是非负偶数集，即{}0,2,4,6,8,A =⋅⋅⋅.集合B 中的元素211(1)(1)8n b n ⎡⎤=--⋅-⎣⎦0()1(1)(1)()4n n n n ⎧⎪=⎨+-⎪⎩为非负偶数时，为正奇数时.而1(1)(1)4n n +-（n 为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即1,3,5,7,n =⋅⋅⋅.由1(1)(1)4n n +-依次得0,2,6,12，⋅⋅⋅，即{}0261220B =⋅⋅⋅，，，，，. 综上知，B A ，应选B .【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn 图，或数形集合表示）.举一反三：【变式1】若集合{}{}|21,,|41,A x x k k z B x x l l z ==-∈==±∈，则（ ）. A.A B B.B A C. A =B D.A B Z =【答案】C例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为∅，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，含有3个元素的子集为{a ，b ，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a 起，a 与每个元素搭配有{a ，b}，{a ，c}，然后不看a ，再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：∅和它本身.举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【答案】7个【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（ ） A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个 【答案】C【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.例3．集合A={x|y=x 2+1}，B={y|y=x 2+1}，C={(x,y)|y=x 2+1}，D={y=x 2+1}是否表示同一集合？ 【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A={x|y=x 2+1}的代表元素为x ，故集合A 表示的是函数y=x 2+1中自变量x 的取值范围，即函数的定义域A=(,)-∞+∞；集合B={y|y=x 2+1}的代表元素为y ，故集合B 表示的是函数y=x 2+1中函数值y 的取值范围，即函数的值域B=[1,)+∞；集合C={(x,y)|y=x 2+1}的代表元素为点（x ，y ），故集合C 表示的是抛物线y=x 2+1上的所有点组成的集合；集合D={y=x 2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x 2+1．【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．举一反三：【变式1】 设集合{(,)|34}M x y y x ==+，{(,)|32}N x y y x ==--，则M N =（ ）A. {1,1}-B. {1,1}x y =-=C.(1,1)-D. {(1,1)}- 【答案】D【解析】排除法：集合M 、N 都是点集，因此MN 只能是点集，而选项A 表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C 表示区间(1,1)-（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D ．【变式2】 设集合{|21,}M x y x x Z ==+∈，{|21,}N y y x x Z ==+∈，则M 与N 的关系是（ ） A. N M Ü B. M N Ü C. N M = D. N M =∅【答案】A【解析】集合M 表示函数21,y x x Z =+∈的定义域，有{}M =整数；集合N 表示函数21,y x x Z =+∈的值域，有{}N =奇数，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】【变式3】 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅【答案】B【解析】 当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性． 【答案】D【解析】由M=N ，知M ，N 所含元素相同.由O ∈{0，|x|，y}可知O ∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠00，则x=y ，M ，N 可写为M={x ，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x| ∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x ≠1 当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( ) 【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又，∴当b=1时，a=-1，b{0,b}={0,-1,1}a∴，当b=1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2. 类型二、集合的运算例 5. 设集合{}{}|3,,|31,A x x k k Z B y y k k Z ==∈==+∈，{}|32,C z z k k Z ==+∈，{}|61,D w w k k Z ==+∈，求,,,A B A C B C B D .【答案】AB AC B C ===∅,BD D =【解析】先将集合A 、B 、C 、D 转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.集合{}|3,A x x k k Z ==∈表示3的倍数所组成的集合；集合{}|31,B x x k k Z ==+∈表示除以3余1的整数所组成的集合； 集合{}|32,C x x k k Z ==+∈表示除以3余2的整数所组成的集合； 集合{}|61,D x x k k Z ==+∈表示除以6余1的整数所组成的集合；A B A C B C ∴===∅,B D D =.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.举一反三：【变式1】已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2-2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A. ∅ B. R C. {-1，9} D. [-1，9] 【答案】D【解析】集合M 、N 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y ≥-1}，N={y|y ≤9}，所以M ∩N={y|-1≤y ≤9}，选D.例6. 设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( ) A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【思路点拨】先把集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题． 【答案】D【解析】由N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}可得：N={x|0<x<2，x ∈Z}={1}，又由M ∩N={1}，可知1∈M ，即a=1，故选D.举一反三：【变式1】（1）已知：M={x|x ≥2}，P={x|x 2-x-2=0}，求M ∪P 和M ∩P ；（2）已知：A={y|y=3x 2}， B={y|y=-x 2+4}， 求：A ∩B ，A ∪B ；（3）已知集合A={-3， a 2 ，1+a}， B={a-3， a 2+1， 2a-1}， 其中a ∈R ，若A ∩B={-3}，求A ∪B. 【答案】（1）{x|x ≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y ≤4}，R ；（3）{-4，-3，0，1，2}. 【解析】（1）P={2，-1}，M ∪P={x|x ≥2或x=-1}，M ∩P={2}.（2）∵A={y|y ≥0}， B={y|y ≤4}， A ∩B={y|0≤y ≤4}， A ∪B=R . （3）∵A ∩B={-3}，-3∈B ，则有：①a-3=-3⇒a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}⇒A ∩B={-3，1}，与已知不符，∴a ≠0；②2a-1=-3⇒a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A ∪B={-4，-3，0，1，2}.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a 的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【高清课堂：集合的运算 377474 例5】【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B. 【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A ∩B={2，3}，知元素2，3是A ，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a 2-2a ，6｝，则必有a 2-2a=3，解方程a 2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A ∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝ 当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}这既不满足条件A ∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去. 综上A ∪B=｛2，3，6，18｝例7.已知全集{}{}21,2,3,4,5,|40U A x x px ==++=，求C u A.【思路点拨】C u A 隐含了A U ⊆，对于A U ⊆，注意不要忘记A =∅的情形.【答案】 当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5；当5p =-时，C u A={}2,3,5. 【解析】当A =∅时，方程240x px ++=无实数解. 此时2160,44p p ∆=-<-<<.C u A=U当A ≠∅时，二次方程240x px ++=的两个根12,x x ，必须属于U . 因为124x x =，所以只可能有下述情形：当122x x ==时，4p =-，此时{}2,A = C u A={}1,3,4,5； 当121,4x x ==时，5p =-，此时{}1,4,A = C u A={}2,3,5. 综上所述，当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5； 当5p =-时，C u A={}2,3,5.【总结升华】求集合A 的补集，只需在全集中剔除集合A 的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A 的元素不确定，因此必须分类讨论才行.举一反三：【变式1】 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}. 【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A ∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B 中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 类型三、集合运算综合应用例8．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点. 【答案】（1）a<4；（2）a ≥-2；（3）-2≤a<4． 【解析】(1)∵A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}，又A ∩B ≠∅，如图，a<4； (2)画数轴同理可得：a ≥-2；(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4. 【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.举一反三：【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C【解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P =， ∴M P ⊆，∴ 11a -≤≤ 故选C ．例9. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.（1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值. 【思路点拨】明确A B B =、A B B =的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ⊆中，不要漏掉B =∅的情况.【答案】（1）1a =或1a ≤-；（1）2． 【解析】首先化简集合A ，得{}4,0A =-.（1）由AB B =，则有B A ⊆，可知集合B 为∅，或为{}0、{}4-，或为{}0,4-.①若B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-. ②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时，{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意； 当1a =-时，{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意. ③若4B -∈，代入得2870a a -+=，解得7a =或1a =. 当1a =时，已讨论，符合题意；当7a =时，{}{}2|1648012,4B x x x =++==--，不符合题意. 由①②③，得1a =或1a ≤-. （2）,AB B A B =∴⊆.又{}4,0A =-，而B 至多只有两个根，因此应有A B =，由（1）知1a =. 【总结升华】两个等价转化：,A B B A B A B B B A =⇔⊆=⇔⊆非常重要，注意应用.另外，在解决有条件A B ⊆的集合问题时，不要忽视A ≠∅的情况.举一反三：【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.【答案】4,a ≥或4a <- 【解析】A B B =,B A ∴⊆.①当B =∅时，此时方程22120x ax a ++-=无解，由0∆<，解得4,a >或4a <-. ②当B ≠∅时，此时方程22120x ax a ++-=有且仅有一个实数解-2，0∴∆=，且22(2)2120a a --+-=，解得4a =.综上，实数a 的取值范围是4,a ≥或4a <-.【变式2】设全集U R =，集合{}{}|12,|40A x x B x x p =-≤≤=+<，若B C u A ，求实数p 的取值范围.【答案】4p ≥【解析】 C u A={}|1,2x x x <->或，|4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭.B C u A ，∴14p-≤-，即4p ≥.∴实数p 的取值范围是4p ≥. 【巩固练习】1．1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ） A 、B A Ü B 、A B Ü C 、A=B D 、A ∩B=∅ 2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ）A 、{(-2, 1), (2, 1)}B 、{|0x x ≤≤C 、{|1x x -≤≤D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足AB A =,那么下列各式中一定成立的是（ ）A ． AB B ． B AC ． AB B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或06．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．MN C ．N M D ．M N =∅7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a .8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x==且AB B =，则x = .10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = . 11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件： （1）{}1414,,10;AB a a a a =+=（2）集合AB 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<.求1234,,,a a a a 的值.【答案与解析】1.【答案】D【解析】.学生易错选C 。
高中数学集合练习题及讲解
高中数学集合练习题及讲解## 高中数学集合练习题及讲解集合是数学中描述对象集合的一种基本工具，它在高中数学中占有重要地位。
以下是一些集合的练习题和相应的讲解，帮助学生更好地理解和应用集合的概念。
### 练习题一：集合的基本运算题目：已知集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {2, 3, 4}，求A ∪ B 和A ∩ B。
解答：- A ∪ B 表示 A 和 B 的并集，即 A 和 B 中所有的元素，不重复地放在一起。
因此，A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
- A ∩ B 表示 A 和 B 的交集，即同时属于 A 和 B 的元素。
因此，A ∩ B = {2, 3}。
### 练习题二：子集与真子集题目：若集合 C = {1, 2}，判断 C 是否是 A 的子集。
解答：- 子集的定义是，如果集合 C 中的每一个元素都是集合 A 的元素，那么 C 是 A 的子集。
- 在这个例子中，C 中的所有元素 1 和 2 都在 A = {1, 2, 3} 中，所以 C 是 A 的子集。
### 练习题三：幂集题目：集合 D = {a, b}，求 D 的幂集。
解答：- 幂集是包含所有可能子集的集合，包括空集和集合本身。
- 对于 D = {a, b}，其幂集 P(D) 包括：- 空集：{}- 只包含 a 的集合：{a}- 只包含 b 的集合：{b}- 包含 a 和 b 的集合：{a, b}- 集合 D 本身：{a, b}### 练习题四：集合的补集题目：已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}，求 A 的补集。
解答：- 补集的定义是全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合。
- 集合 A = {1, 2, 3}，所以 A 的补集是 U 中不属于 A 的元素，即A' = {4, 5}。
### 练习题五：集合的笛卡尔积题目：集合 E = {1, 2} 和 F = {x, y}，求E × F。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系巩固练习(人教A版,含解析)(3)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合S ＝0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x∈A 时，若有1x A -∉，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的非空子集的个数为（ ） A ．16 B ．17 C ．18D ．20 2．集合A ＝x|－2≤x≤2}，B ＝y|y ＝x ，0≤x≤4}，则下列关系正确的是（ ）A ．A ⊆B RB ．B ⊆A RC ．A B ⊆R RD ．A∪B＝R3．已知集合1{|}6A x x k k Z ==+∈，，1{|}23mB x x m Z ==-∈，，1{|}26n C x x n Z ==+∈，，则集合A B C ，，的关系是（ ）A ．A CB B ．CAB C ．A C B = D ．A B C ==4．下列表述正确的是（ ） A ．{},x x y ⊆B ．{}{},x x y ∈C ．{}{},,x y y x ⊆D ．0φ∈5．已知a ，b 为实数，集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,1,0B a =-，若A B =，则实数20212020a b +的值是（ ） A ．2020- B ．0C ．1-D ．16．如果集合，那么A ．B ．C ．D ．7．已知集合{}{}{}1234561,2,6,2,3,4I M N ===，，，，，，. 则集合{}1,6= A ．M N ⋂ B ．M N ⋃ C ．()I M N ⋂ D ．()I N M ⋂ 8．已知集合A=x∈N *|x ﹣3＜0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．89．如果集合|,3n A x x n Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，1|,3B x x n n Z ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，2|,3C x x n n Z ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，那么下列结论中正确的是（ ）A ．BC ≠B ．ABC ．C B A =⊆D ．A C ⊆10．设集合{}22|0,R,R P x x y x y =+=∈∈，则下列各式中，正确的是( )A ．0P =B ．P =∅C ．P ∅∈D ．P ∅⊆二、填空题1．已知集合{}2(1)320A xa x x =-+-=∣，若A 的子集个数为2个，则实数a =______． 2．已知集合{1,6,44}A m =--，集合2{6,}B m =，若B A ⊆，则实数m =__________3．集合的子集共有________个．4．集合M=,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，集合N=a 2，a+b ，0}，且M=N ，则a 2013+b 2014=_____. 5．已知{}{}0,1,P M x x P ==⊆，则P 与M 的关系为________． 三、解答题1．已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{22B x m x m =-≤≤+，}x R ∈． （1）若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值； （2）若()R A B A ⋂=，求实数m 的取值范围．2．已知集合{|25}A x x =-≤≤.（1）若B A ⊆，{|121}B x m x m =+≤≤-，求实数m 的取值范围； （2）若A B ⊆，}1{2|6B x m x m =-≤≤-，求实数m 的取值范围；3．若集合A ＝x|x 2＋x －6＝0}，B ＝x|x 2＋x ＋a ＝0}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围．4．设{}222(1)10A x x a x a =+++-=，1(4)()0,2B x x x x x Z ⎧⎫=+-=∈⎨⎬⎩⎭．若A A B ⊆，求a 的取值范围．5．已知集合{}24xA x R =∈<，(){}lg 4B x R y x =∈=-.（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题 1．D解析：由集合S ＝0，1，2，3，4，5}，结合x∈A 时，若有1x A -∉，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得出答案. 详解：∵当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含“孤立元素”．S 中无“孤立元素”的2个元素的子集为0，1}，1，2}，2，3}，3，4}，4，5}，共5个，S 中无“孤立元素”的3个元素的子集为0，1，2}，1，2，3}，2，3，4}，3，4，5}，共4个，S 中无“孤立元素”的4个元素的子集为0，1，2，3}，0，1，3，4}，0，1，4，5}，1，2，3，4}，1，2，4，5}，2，3，4，5}，共6个，S 中无“孤立元素”的5个元素的子集为0，1，2，3，4}，1，2，3，4，5}，0，1，2，4，5}，0，1，3，4，5}，共4个，S 中无“孤立元素”的6个元素的子集为0，1，2，3，4，5}，共1个，故S 中无“孤立元素”的非空子集有20个，故选D. 点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们根据定义列出满足条件的所有不含”孤立元素”的集合，进而求出不含”孤立元素”的集合个数. 2．C解析：由题意，化简集合B ，再用集合运算求解. 详解：解：{}{}B=|4=x |02y y x x ≤≤≤≤，故B A ⊆，故A B ⊆R R . 故选C. 点睛：本题考查了集合的化简与运算. 3．C解析：对集合C 分析，当n 为偶数时，它与集合A 相等，所以集合A 是集合C 的真子集；又集合B 和集合C 相等，从而得出集合A 、B 、C 的关系． 详解：解：集合1{|}26n C x x n Z ==+∈，，∴当()2n a a Z =∈时，211266a x a =+=+， 当()21n a a Z =+∈时，2112263a x a +=+=+， 又集合1{|}6A x x k k Z ==+∈，，A C ∴，集合1{|}23m B x x m Z ==-∈，，集合1{|}26n C x n Z ==+∈，，1112326m m --=+， 可得C B =，综上可得A C B =． 故选：C ． 4．C解析：根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可； 详解：解：对于A ：{},x x y ∈，故A 错误；对于B ：{}{},x x y ，故B 错误；对于C ：{}{},,x y y x =，故满足{}{},,x y y x ⊆，故C 正确； 对于D ：0∉∅，故D 错误； 故选：C 5．C解析：根据集合相等得到方程组，求出,a b 的值，即可得解； 详解：解：因为集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,1,0B a =-，且A B =，所以2011b a a a ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，所以0b =，1a =-，所以()2021202120202020101a b +=-=-+.故选：C. 6．D 详解：试题分析：元素与集合的关系是从属关系，集合与集合的关系是包含关系，均错误，选择考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系；7．C解析：根据补集的定义先求出C I N ，再利用交集的定义求出M∩（C I N ），得到选项． 详解：因为I=1，2，3，4，5，6}，N=2，3，4}， 所以C I N=1，5，6}， 所以M∩（C I N ）=1，6}， 故选C ． 点睛：本题考查求集合的交、并、补集，一般先化简各个集合，然后利用定义进行计算，属于基础题． 8．C解析：根据集合的描述法可知，集合A 中的元素为1,2 ，所以A 的子集个数为224=. 详解：由30x -<解得3x <，又*x ∈N ，所以1,2x =，故{1,2}A =, 因为B ⊆A ，所以B 是A 的子集，故B 可以是{1}{2}{1,2}φ，，，，故选C. 点睛：本题主要考查了集合的描述法表示，集合的子集，属于中档题. 9．C解析：用列举法分别列出集合,,A B C 即可判断. 详解： 因为集合54211245|,,,,1,,,0,,,1,,,333333333n A x x n Z ⎧⎫⎧⎫==∈=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 154211245|,,,,,,,,,,333333333B x x n n Z ⎧⎫⎧⎫==±∈=----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 254211245|,,,,,,,,,,333333333C x x n n Z ⎧⎫⎧⎫==±∈=----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 所以C B A =⊆. 故选：C.点睛：本题主要考查了集合之间的关系.属于较易题. 10．D解析：由 x 2+ y 2=0可得P=0}，从而可得正确选项. 详解：由 x 2+ y 2=0，可知 x=0且 y=0，所以 P=0}，∴ P ∅⊆ .故选D. 点睛：本题考查空集的定义和集合间的基本关系，理解空集是任何集合的子集是解题的关键，属基础题.二、填空题 1．18-或1解析：由已知可得：集合A 只有一个元素，即关于x 的方程2(1)320a x x -+-=只有一个根.分类讨论求出a 的值. 详解：A 的子集个数为2个，所以集合A 只有一个元素， 即关于x 的方程2(1)320a x x -+-=只有一个根. 当1a =时，方程320x -=只有一个根2=3x 符合题意；当1a ≠时，关于x 的方程2(1)320a x x -+-=只有一个根，只需()()=94120a ∆---=，解得：1=8a -. 故1=8a -或1. 故答案为：18-或1. 点睛：集合A 有n 个元素，则A 的子集的个数为2n . 2．2解析：由B A ⊆，可得244m m =-，解得2m =，经检验满足题意，故答案为2.3．8解析：试题分析：{}{}|030,1,2A x x x Z =≤<∈=且，含有3个元素，因此子集有328=个 考点：集合的子集 4．1-解析：根据集合相等的定义求出,a b 值后可得结论． 详解： ∵MN ，∴0ba=，0b =， 则a b a +=，21a =，1a =±，1a =与元素互异性矛盾，舍去，∴1a =-．∴201320142013(1)01a b +=-+=-． 故答案为：1- 点睛：本题考查集合相等的定义，两个集合中元素完全相同，由此分析可得结论．解题时注意检验，否则易出错，本题属于基础题．5．P M ∈解析：M 中的元素为P 的子集，从而可得P 与M 的关系. 详解：{}{}{}{}{},0,1,0,1M x x P =⊆=∅，所以P M ∈.故答案为：P M ∈. 点睛：一般地，元素与集合之间的关系用,∈∉，集合与集合之间的关系用,⊆⊄，但集合可以作为另一个集合的元素，因此关系判断的关键是弄清楚集合中元素的属性.三、解答题1．（1）2；（2）{5m m >，或}3m <-．解析：（1）结合交集的定义和{}03A B x x ⋂=≤≤分析可得2023m m -=⎧⎨+≥⎩，求解即可；（2）由题可知{2R B x x m =<-，或}2x m >+，再由()R A B A ⋂=可知R A B ⊆，由此得出满足题意的不等式求解即可.详解：（1）因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；（2）{2R B x x m =<-，或}2x m >+，由已知可得R A B ⊆，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >，或}3m <-． 点睛：本题考查集合之间的基本关系，考查集合的基本运算，考查逻辑思维能力和计算能力，考查分析能力，属于常考题.2．（1）{}3|m m ≤；（2）{}|34m m ≤≤解析：（1）当B =∅时，121m m +>-，当B ≠∅时，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩即可求解；（2）若A B ⊆，则21662215m m m m ->-⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩，即可求解.详解：（1）因为{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，当B =∅时，121m m +>-，解得2m <，满足B A ⊆，当B ≠∅时，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上所述：实数m 的取值范围是{}3|m m ≤.（2）若A B ⊆，则21662215m m m m ->-⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩， 解得543m m m >-⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，即34m ≤≤，所以实数m 的取值范围是{}|34m m ≤≤3．a ＞14或a ＝－6 详解：试题分析：求解方程得到集合A ＝－3,2}，由B ⊆A 得到集合B 所有的情况,即方程x 2＋x ＋a ＝0的解得情况，分情况求得a 值，从而得到a 的范围试题解析：A ＝x| x 2＋x －6＝0}＝－3,2}，（2分） 对于x 2＋x ＋a ＝0．（1）当Δ＝1－4a ＜0，即a ＞14时，B ＝∅，B ⊆A 成立；（4分） （2）当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝－12}，B ⊆A 不成立；（6分） （3）当Δ＝1－4a ＞0，即a ＜14时，若B ⊆A 成立，则B ＝－3,2}．（8分） ∴a＝－3×2＝－6．（12分）综上，a 的取值范围为a ＞14或a ＝－6．考点：1．集合的子集关系；2．一元二次方程的根4．1a ≤-或1a =解析：由A A B ⊆可知：A B ⊆，对A 分类讨论即可得到结果. 详解：解：{}4,0B =-，由A A B ⊆知：A A B =，即：A B ⊆ ①当A =∅时，方程222(1)10x a x a +++-=无解， 即224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得：1a <-②当A 为单元数集时，224(1)4(1)0a a ∆=+--=，即1a =-，此时{}0A =满足题意； ③当{}4,0A =-时，4-和0是关于x 的方程222(1)10x a x a +++-=的两根，1a 综上所述：1a ≤-或1a = 点睛：本题考查由子集关系确定字母的范围，考查了分类讨论思想，二次方程根的分布，考查了计算能力，属于中档题.5．(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，. 解析：试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；（2）由（1）可得()()(),24,A B =-∞+∞，根据()C A B ⊆⋃，再分C =∅和C ≠∅两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围. 试题解析： （1）∵x 222< ∴()A ,2∞=-又∵()y lg x 4=-可知x 4>∴()B 4,∞=+（2）∵()()()A B ,24,∞∞⋃=-⋃+，又∵()C A B ⊆⋃ （i ）若C ∅=，即1m m 1->-，解得m 1<，满足：()C A B ⊆⋃∴m 1<符合条件（ii ）若C ∅≠，即m m 1-≤-，解得m 1≥，要保证：()C A B ⊆⋃1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<解得[)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞，.。
人教A版高中数学必修一1.2 集合间的基本关系专练(含解析)(39)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．定义集合A*B=x x A x B ∈∉，}，若A=1，2,3,4,5}，B=2,4,5}，则集合A*B 的子集的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合{|}A x y x =∈Z ，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知集合A=x|a≤x<3)，B=[1，+∞)，若A 是B 的子集，则实数a 取值范围为（ ）A ．[0，3)B ．[1，3)C ．[0，+∞)D ．[1，+∞)4．设集合1,42k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,24k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 与B 的关系是（ ）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B =D ．A 与B 关系不确定5．已知集合{0,1,2}A =，{,2}B a =，若B A ⊆，则a =A ．0B ．0或1C ．2D ．0或1或26．已知集合{}1,2,4A =，{}1,B x =，若B A ⊆，则x = A ．1B ．2C ．2或4D ．1或2或47．满足关系{}1{1,2,3,4}B ⊆⊆的集合B 的个数（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．集合{}{}14,A x x B x x a =-≤≤=>，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ） A ．4a < B ．4a >- C ．1a >-D ．14a -<≤9．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3},{3,5}A B ==，则()()U UA B =（ ）A ．{3}B ．{3}C ．{3,7}D ．{1,3,5}10．非空集合P 满足下列两个条件：（1）P {}1,2,3,4,5，（2）若元素a P ，则6a P -∈，那么集合P 的个数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7D ．8二、填空题1．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20212020a b +=_______． 2．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________.3．已知集合{}23A x x =-<<，{}B x x m =<，若A B B ⋃=，则实数m 的取值范围是______．4．已知集合{}101M =-，，，{},,N x x ab a b M a b ==∈≠且，则集合M 与集合N 的关系是__________．5．已知集合M ={1,ab ,b}，N ={0,a +b,b 2}，M =N ，则a 2010+b 2011=_______． 三、解答题1．已知集合{|12},{|11}A x ax B x x =<<=-<<，求满足A B ⊆的实数a 的取值范围. 2．已知是方程的实数解集，，，且，，求实数对．3．已知集合A ＝x|－2≤x≤5}，B ＝x|m ＋1≤x≤2m－1}． (1)若A∪B＝A ，求实数m 的取值范围； (2)当x∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (3)当x∈R 时，若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围．4．设,x y R ∈，集合{}23,A x xy y =++，{}21,3B x xy x =++-，且A B =，求实数x ，y 的值5．已知函数()32f x x x =-+的定义域为集合A ，{|}B x x a =< （1）若A B ⊆，求a 的取值范围;（2）若全集{|4}U x x =≤，1a =-，求()U A C B ⋂.参考答案一、单选题 1．D解析：先理解新定义集合的运算法则，可求得A*B={}1,3,再求集合{}1,3的子集即可. 详解：解：由A=1,2,3,4,5}，B=2,4,5}，又集合A*B=x x A x B ∈∉，}， 所以A*B={}1,3,又集合{}1,3的子集为φ，{}1，{}3，{}1,3共4个， 即集合A*B 的子集的个数是4， 故选：D. 点睛：本题考查了新定义集合的运算，重点考查了集合子集的运算，属基础题. 2．C解析：由题可得,(1)(2)0x x --≥,结合Z x ∈可求出集合A ,进而可求出集合A 的真子集的个数. 详解：由题意,(1)(2)0x x --≥,解得12x ≤≤,又因为Z x ∈,所以1x =或2x =, 故{1,2}A =,则集合A 的真子集的个数为2213-=. 故选:C. 点睛：集合A 有n 个元素,其子集有2n 个,真子集有21n -个. 3．D解析：根据条件讨论A 是否为空集：A =∅时，3a ；A ≠∅时，31a a <⎧⎨⎩，解出a 的范围即可． 详解：解：{|3}A x a x =<，[1B =，)+∞，且A B ⊆，∴①A =∅时，3a ；②A ≠∅时，31a a <⎧⎨⎩，解得13a <，∴综上，实数a 的取值范围为[1，)+∞．故选：D ． 点睛：本题考查了子集的定义，描述法、区间的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题． 4．B解析：化简集合A 与B,可知B 中的元素都在A 中，即可确定集合A 与集合B 的关系. 详解：因为12,,424k k A x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，21,4k B x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭， 当k Z ∈时，2k +为整数，21k +为奇数， 所以B A ⊆,故选B. 点睛：本题主要考查了集合之间的关系，子集的概念，属于中档题. 5．B解析：根据集合B 是集合A 的子集，得出a 的所有可能取值，由此得出正确选项. 详解：由B A ⊆，可知{0,2}B =或{1,2}B =，所以0a =或1.故选B 点睛：本小题主要考查子集的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题. 6．C 详解：试题分析：∵集合{}1,2,4A =，{}1,B x =，B A ⊆，∴2x =或4x =才能满足集合的互异性.故选C. 考点：集合中子集的概念与集合中元素的互异性.7．D解析：根据题意得，B 是1，2，3，4}的一个包含元素1子集，列举法得出所以符合的子集. 详解：解：满足关系式{}1{1,2,3,4}B ⊆⊆的集合B 有{1},{1,3},{1,2},{1,4},{1,2,3},{1,2,4}，{1,3,4},{1,2,3,4}一共有8个. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合关系的判断和子集的应用，属于基本题. 8．A解析：据已知条件知A ，B 有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围． 详解：{}14A x x =-≤≤，{}B x x a =>，∵A B ⋂≠∅，∴对照数轴得4a <，即a 的取值范围为4a <， 故选：A. 点睛：本题考查集合关系中的参数取值问题和集合的交集运算，将集合的关系转化为集合端点的不等关系，是解决本题的关键，属于基础题. 9．B解析：根据集合的补集，交集运算求解即可. 详解：由题可得{5,7},{1,7}U U A B ==，所以()(){7}U U A B ⋂= 故选：B 点睛：本题主要考查了集合的交集和补集运算，属于基础题. 10．B解析：由题得可将P 中元素分组为{}15，,{}24，,{}3,再根据题意得出是求{}{}{}{}15,2,4,3，的非空真子集个数即可. 详解：由题得, 若元素a P ，则6a P -∈可以推导出集合P 中1,5要同时存在,2,4要同时存在,3可存在于P 中也可以不存在,故可以考虑集合P 等价于由元素{}15，,{}24，,{}3组成的集合，又P{}1,2,3,4,5,故本题相当于求集合{}{}{}{}15,2,4,3，的非空真子集个数.即3226-=个. 故选：B. 点睛：本题需要理清题意,将P 中元素分组求非空真子集. 若集合A 中有n 个元素,则集合A 有22n -个非空真子集.二、填空题 1．1-解析：先根据集合的无序性与互异性求参数a ，b ，再代入计算即得结果. 详解：由题意,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2,,0a a b =+，显然0a ≠，故0a b=，即0b =，此时{},0,1a {}2,,0a a =，故21a =，且1a ≠，即1a =-.所以()2021202120202020101a b +=-=-+.故答案为：1-. 2．14解析：先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果. 详解：解: 集合{}1,0,1,7A =-， 元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=. 故答案为:143．{}3m m ≥解析：由A B B ⋃=，得到A B ⊆，再根据{}23A x x =-<<，{}B x x m =<利用数轴求解. 详解：已知{}23A x x =-<<，{}B x x m =<， 因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，所以3m ≥. 所以实数m 的取值范围是{}3m m ≥． 故答案为：{}3m m ≥. 点睛：本题主要考查集合的基本运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．NM解析：根据题意，对集合N 分3种情况讨论，①1a =-时，②0a =时，③1a =时，先分析b 的值，再求出x 的值，进而可得集合N 的元素，即可得集合N ，分析M 、N 的关系，可得答案． 详解：解：根据题意，对集合N 分类讨论可得： ①1a =-时，0b =或1，0x =或1-； ②0a =时，无论b 取何值，都有0x =； ③1a =时，1b =-或0，1x =-或0． 综上知{}0,1N =-， 则有N M；故答案为：N M．点睛：本题考查集合之间关系的判断，关键是要根据题意中a ，b M ∈且a b ，对集合N的元素进行分类讨论，属于中档题． 5．－1解析：利用集合相等所有元素都相等以及集合的互异性列方程求解即可. 详解：因为集合M ={1,ab ,b}，N ={0,a +b,b 2}，M =N ，所以{a b =0b 2=1b ≠1，解得{a =0b =−1，a 2010+b 2011=0+(−1)2011=−1， 故答案为−1. 点睛：本题主要考查集合相等的性质以及集合互异性的应用，属于基础题.三、解答题 1．{}(,2]0[2,)-∞-+∞解析：根据题意，分0a =，0a >和0a <三种情况分类讨论，结合A B ⊆，列出相应的不等式组，即可求解. 详解：由题意，集合{|12},{|11}A x ax B x x =<<=-<<， ①当0a =时，集合A φ=，满足A B ⊆；② 当0a >时，集合12{|}A x x a a =<<，因为A B ⊆，则1121a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2a ≥；③ 当0a <时，集合21{|}A x x a a =<<，因为A B ⊆，则2111a a⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2a ≤-.综上所述，所求实数a 的取值范围为{}(,2]0[2,)-∞-+∞.故答案为：{}(,2]0[2,)-∞-+∞.点睛：本题主要考查了根据集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练应用集合的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及推理与运算能力. 2．或或解析：根据题意，分析可得或或，据此结合一元二次方程根与系数的关系分析、的值，总合即可得答案．详解： 解：根据题意，，，且，， 则或或，当时，方程有唯一的根4， 则，，此时实数对为；当时，方程有唯一的根10，则，，此时实数对为；当时，方程有两根4或10， 则，，此时实数对为；综合可得：实数对为或或．点睛：本题考查集合的包含关系的应用，关键是分析的元素，属于基础题．3．（1）(－∞，3] （2）254 （3）(－∞，2)∪(4，＋∞)解析：解：(1)因为A∪B＝A ，所以B ⊆A ，当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，则m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211{12215m m m m -≥++≥--≤，解得2≤m≤3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3]．(2)当x∈Z 时，A ＝x|－2≤x≤5}＝－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)当B ＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211{212m m m -≥+-≤-， 或211{15m m m -≥++>，解得m>4. 综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． 4．32x y =⎧⎨=-⎩或16x y =-⎧⎨=-⎩解析：根据两个集合相等，则其元素全部相同，可得22133x xy y x xy x ⎧++=⎨++-=⎩，从而得出答案.详解：由A B =得 : 22133x xy y x xy x ⎧++=⎨++-=⎩解得 32x y =⎧⎨=-⎩ 或 16x y =-⎧⎨=-⎩5．()1 3.a >()[]21,3-解析：（1）根据函数定义域的要求,可得集合A.根据子集的意义和数轴,即可求得a 的取值范围;（2）根据补集和交集的运算即可求得()U A C B ⋂. 详解：（1）函数()132f x x x =-++,所以x 需满足3020x x -⎧⎨+>⎩,解得23x -<所以{|23}A x x =-<因为{|}B x x a =<且A B ⊆,图示如下所以a 的取值范围是 3.a >（2）因为全集{|4}U x x =≤,且{|23}A x x =-< 所以|2{U C A x x =≤-或3}4x ≤＜ 因为1a =- 所以{|1}B x x =<- 所以{}14U C B x x =-≤≤所以{}{}23141{|}|3|U A C B x x x x x x ⋂=-≤⋂-≤≤=-≤≤（）＜ 即()U A C B ⋂为[]1,3- 点睛：本题考查了函数定义域及其求法,集合交集、补集的混合运算，注意边界能否取等号，属于基础题．。
高中数学必修一集合练习题
高中数学必修一集合练习题1. 集合的表示法：给定集合A={1, 2, 3}，请用描述法表示集合A。
2. 子集与真子集：若集合B={x | x是A的子集}，集合A={1, 2, 3}，请列出集合B的所有元素，并判断哪些是A的真子集。
3. 集合的并集：已知集合C={1, 2}和集合D={2, 3}，请计算C∪D。
4. 集合的交集：若集合E={1, 3, 5}和集合F={2, 3, 5}，请找出E∩F。
5. 集合的差集：给定集合G={1, 2, 3, 4}和集合H={3, 4, 5}，求G-H。
6. 集合的补集：设全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合I={2, 4, 6}，请求∁_U I。
7. 幂集：集合J={a, b}，请列出J的所有幂集。
8. 集合的包含关系：若集合K={x | x是小于10的正整数}，集合L={1, 3, 5, 7, 9}，请判断K和L之间的关系。
9. 集合相等：集合M={x | x是偶数}和集合N={2, 4, 6, 8, 10}，判断M和N是否相等。
10. 集合的笛卡尔积：若集合O={1, 2}和集合P={a, b}，请计算O×P。
解答提示：- 对于第1题，描述法表示集合A可以写作A={x | x是正整数，且1≤x≤3}。
- 第2题中，集合B的所有元素包括空集和所有A的子集，即B={∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}。
其中，A的真子集是不包含A本身的所有子集。
- 第3题，C∪D={1, 2, 3}。
- 第4题，E∩F={3, 5}。
- 第5题，G-H={1, 2}。
- 第6题，∁_U I={1, 3, 5}。
- 第7题，J的幂集包括所有J的子集，即{∅, {a}, {b}, {a, b}}。
- 第8题，K包含L，因为L的所有元素都在K中。
- 第9题，M和N相等，因为它们包含相同的元素。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系-单选专项练习(3)(人教A版,含答案及解析)
1.2 集合间的基本关系1．下列集合与集合{2,3}A =相等的是（ ） A ．{(2,3)}B ．{(,})|2,3}x y x y ==C ．{}2|560x x x -+=D ．{}290x N x ∈-≤2．设集合A=｛x|1<x<2｝,B=｛x|x<a ｝满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,+∞) B ．(-∞，1] C ．(2,+∞) D ．(-∞，2]3．已知集合{1A =，2}，{|10}B x mx =-=，若A B B =，则符合条件的实数m 的值组成的集合为（ ） A ．{1，1}2B ．{1-，1}2 C ．{1，0，1}2 D ．{1，1}2-4．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2xB y y ==，M A B =，则集合M 的子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．85．下列集合中不同于另外三个集合的是（ ）A ．{}3|1x x =B ．2|1x xC ．{}1D ．1|1x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭6．若集合{}0A x x =<，且B A ⊆，则集合B 可能是 A ．{}1x x >-B ．RC ．{}2,3--D ．{}3,1,0,1--7．下列各组集合中，表示同一个集合的是（ ）A ．(){}(){}3223M N ==，，， B ．(){}{}3232M N ==，，， C ．{}{}11M x x y N y x y =+==+=，D ．(){}(){}2121M x y x y N y x x y =+==+=，，，8．设集合A ={x|x 2−x ＜ 0}，B ={x|−2＜x ＜2 }则（ ） A ．A ∪B =AB ．A ∪B =RC ．A ∩B =AD ．A ∩B =∅9．下列四个关系：①{}{},,a b b a ⊆；②{}0=∅；③{}0∅∈；④{}00∈，其中正确的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．从集合{},,a b c 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a 子集的概率是（ ） A ．35B ．25C ．14D ．1811．已知{1,3}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠的集合M 的个数是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．812．已知集合{}*3A x N x =∈<∣，则集合A 的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．613．设集合1,4A x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,24k B y y k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则它们之间最准确的关系是（ ）． A ．A B = B ．A B ⊄ C ．A BD ．A B ⊆14．若集合A ＝1，2，3}，若集合B ⊆A ，则满足条件的集合B 有（ ） A ．3个 B ．7个 C ．8个 D ．9个15．已知{}22A y y x ==-，{}22B y y x ==-+，则A B =（ ）A ．()){},B ．⎡⎣C ．[]22-,D ．{16．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞-B ．[2,)-+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞17．如果{}2A x x =>-，那么（ ） A ．{}0A ⊆B ．0A ⊆C ．{}0A ∈D ．A ∅∈18．设集合{}14A x x =-<<，集合{}5B x x =<，则（ ） A ．A B ∈ B ．A B ⊆C ．B A ∈D ．B A ⊆19．已知[]{}2,2,A B x x a =-=≤，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}2a a >B ．{}2a a >-C ．{}2a a ≥D ．{}2a a ≤-20．已知集合2{|320,},{|07,}A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈ , 则满足条件A C B ≠⊂⊆的集合C 的个数为 A ．16 B ．15C ．14D ．4参考答案1．C 2．A 3．C 4．C 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．C 11．C 12．B 13．C 14．C 15．C 16．D 17．A 18．B 19．C 20．B【参考解析】1．解析：根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可； 详解：解：集合{2,3}A =，表示含有两个元素2、3的集合， 对于A ：{(2,3)}，表示含有一个点(2,3)的集合，故不相等； 对于B ：{(,})|2,3}x y x y ==，表示的是点集，故不相等；对于C ：{}2|560x x x -+=，表示方程2560x x -+=的解集，因为2560x x -+=的解为2x =，或3x =，所以{}{}2|5602,3x x x -+==对于D ：{}{}2903,2,1,0,1,2,3x N x ∈-≤=---，故不相等故选：C2．解析：根据子集的定义、以及A 、B 两个集合的范围，建立实数a 的不等式，求解即可得到a 的取值范围． 详解：由于 集合A ＝x|1＜x ＜2}，B ＝x|x ＜a}，且满足A ⊆B ， ∴a≥2， 故选：A ． 点睛：本题主要考查集合间的关系，子集的定义，属于基础题．3．解析：A B B =等价于B A ⊆，分B φ=和B φ≠两类情况，分别求出m 的值，得出答案． 详解：A B B =，B A ∴⊆，当0m =时，B φ=满足要求；当B φ≠时，10m +=或210m -=，1m =-或12，∴综上，{1m ∈，0，1}2．故选：C 点睛：本题考查集合间的关系，考查转化思想和分类讨论思想，属于基础题．4．解析：求出集合M ，由此可计算出集合M 的子集个数. 详解：{}{}20x B y y y y ===>，{}1,0,1,2A =-，{}1,2M A B ∴=⋂=，因此，集合M 的子集个数是224=. 故选：C. 点睛：本题考查集合子集个数的计算，一般要求出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.5．解析：分别计算每个集合再分析即可. 详解：由题, {}{}3|11x x ==,2|11,1x x,{}1|11x x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭.故选：B 点睛：本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.6．解析：通过集合{}0A x x =<，且B A ⊆，说明集合B 是集合A 的子集，对照选项即可求出结果． 详解：解：因为集合集合{}0A x x =<，且B A ⊆，所以集合B 是集合A 的子集， 当集合{}1B x x =>-时，1A ∉，不满足题意， 当集合B R =时，1A ∉，不满足题意， 当集合{}2,3B =--，满足题意，当集合{}3,1,0,1B -=-时，1A ∉，不满足题意， 故选：C ． 点睛：本题考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用，属于基础题．7．解析：根据集合相等的概念，判断选项即可求出答案. 详解：对于A,两个集合中的元素分别是数对(3,2),(2,3)，不相同，故错误；对于B ，M 中一个元素为数对(3,2)，N 中两个元素实数3和2，不相同，故错误；对于C ，M=R, N=R,故相同，正确；对于D ，(){}21M x y x y =+=，，(){}21N y x x y =+=，分别表示满足方程21x y +=的数对()x y ，和()y x ，，显然不完全相同，故错误.故选：C 点睛：本题主要考查了集合的元素，集合相等的概念，属于中档题.8．解析：首先通过解不等式求得集合A ，再利用子集的定义得到A ⊆B ，从而得到集合A 中的元素都在集合B 中，利用子集的性质，对选项逐一对比，得到正确答案. 详解：解不等式x 2−x <0，得0<x <1，即A ={x|0<x <1}， 又因为B ={x|−2<x <2}，所以A ⊆B ，从而可得A ∪B =B,A ∩B =A ，对选项逐一分析，可得C 正确， 故选C. 点睛：该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，子集的概念以及子集的性质，属于简单题目.9．解析：根据集合包含关系和元素与集合关系可知①④正确；根据∅含义可知②③错误. 详解：①中，{}{},,a b b a =，可知{}{},,a b b a ⊆成立，①正确； ②中，∅是不包含任何元素的集合，{}0≠∅，②错误； ③中，∅表示空集，不是{}0中元素，③错误； ④中，0是集合{}0中的元素，④正确. 故选B 点睛：本题考查元素与集合的关系、集合之间的包含关系等知识，属于基础题.10．解析：根据集合元素个数可确定子集的个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 详解：集合{},,a b c 的子集共有328=个，集合{}a 的子集共有2个，则从{},,a b c 的所有子集中任取一个，恰是集合{}a 子集的概率为2184=. 故选：C . 点睛：本题考查古典概型概率问题求解，涉及到集合子集个数的求解，属于基础题.11．解析：依题意1M ∈且3M ∈且2,4,5至少有一个属于集合M ，再一一列举出来即可； 详解：解：因为{1,3}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠，所以1M ∈且3M ∈且2,4,5至少有一个属于集合M ，可能有{}1,2,3，{}1,4,3，{}1,4,3，{}1,2,4,3，{}1,2,5,3，{}1,4,5,3，{}1,2,3,4,5共7个，故选：C 点睛：本题考查集合的包含关系，求集合的子集，属于基础题.12．解析：先化简集合A ，再求得其子集即可. 详解：因为集合{}{}*31,2A x N x =∈<=∣，所以集合A 的子集为{}{}{},1,2,1,2∅,所以集合A 的子集个数为4, 故选：B13．解析：利用列举法可判断集合A 、B 的包含关系. 详解： 由集合A 得414k x +=，k Z ∈，则73159,,,,,44444A ⎧⎫=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭， 由集合B 得214k y -=，k Z ∈，则31135,,,,,44444B ⎧⎫=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，所以，A B ， 故选：C ．14．解析：由B 是A 的子集及集合A ＝1，2，3}，可求出集合B 的个数 详解：由集合B ⊆A ，则B 是A 的子集， 则满足条件的B 有23＝8个， 故选：C15．解析：求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得结合A B . 详解：因为{}{}222A y y x y y ==-=≥-，{}{}222B y y x y y ==-+=≤，因此，[]2,2A B =-. 故选：C.16．解析：先根据A B B ⋃=得到A B 、之间的关系，然后利用不等式确定a 的范围. 详解：因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，又因为{}{|20}|2A x x x x =-<=<，{|}B x x a =<，所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞，故选：D. 点睛：本题考查根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一般.集合间运算的性质：A B B A B ⋃=⇒⊆，A B B A B ⋂=⇒⊇.17．解析：对各项表述判断是否正确后可得正确的选项.详解：0为集合A 中的元素，{},0∅均为集合，它们不是A 中的元素，故B 、C 、D 均错误，{}0是一个集合，它是A 的子集，故A 正确.故选：A. 点睛：本题考查元素与集合以及集合与集合关系，前者用属于不属于来考虑，后者用包含不包含来考虑，本题为基础题.18．解析：根据集合的包含关系定义直接得答案. 详解：解：集合{}14A x x =-<<，集合{}5B x x =<， 则A B ⊆. 故选：B 点睛：本题考查集合的包含关系，注意属于是表示元素与集合之间的关系，是基础题.19．解析：根据A B A =得到A B ⊆，再根据范围大小关系得到答案. 详解：A B A A B ⋂=∴⊆[]{}2,2,A B x x a =-=≤，故2a ≥故选：C 点睛：本题考查了根据集合的包含关系求参数范围，判断A B ⊆是解题的关键.20．解析：由A C B ≠⊂⊆可知，A 是C 的真子集，C 是B 的子集，根据子集、真子集的个数即可进行判断即可 详解：由2{|320,}{1,2}A x x x x R A =-+=∈⇒={|07,}{1,2,3,4,5,6}B x x x N B =<<∈⇒=因为A C B ≠⊂⊆，所以C 中一定有1,2两个元素，即求出集合{3,4,5,6}的子集再减去∅即可，即42-1=15个答案选B 点睛：本题考查子集与真子集的判断，真子集个数的求法，若一个集合中元素个数为n个，则子集个数为2n个，真子集的个数为21n-个n-个，非空真子集的个数为22。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系巩固练习(人教A版,含解析)(73)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列错误的是（ ） A ．0∈∅ B ．A ∅=∅C ．{}∅⊆∅D ．若A B A ⋃=，则B A ⊆ 2．下列关于∅的说法正确的是（ ） A ．0∈∅B ．{0}∅∈C ．{0}⊆∅D ．{0}∅⊆3．设集合{}12M x x =-≤<，{}0N x x k =-≤，若M N ，则k 的取值范围是．A ．k 2≤B ．k ≥-1C ．1k >-D ．2k ≥4．集合A ＝(x ，y)|y ＝x}和B ＝()21,|45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，则下列结论中正确的是 ( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．∅∈A5．下列四个命题：（1）空集没有子集；（2）空集是任何一个集合的真子集；（3）φ =0}；（4）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确的个数有个 A ．0B ．1C ．2D ．46．设{}1,2,4,6,8U =，{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则下列结论中正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．{}2A B ⋂= D ．(){}1UAB =7．集合{12}A =，，{123}B =，，，则下列关系正确的是 A ．A B =B ．A B =∅C ．A B ⊆D ．A B ⊇8．已知集合302x A xx ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 A ．()2∞+， B ．[)2∞+， C ．()3∞-+，D ．[)3∞-+，9．已知集合{}13,B x x x Z =-<<∈，则集合B 真子集个数为（ ） A ．3B ．6C ．7D ．810．若x A ∈，则1A x∈，就称A 是和美集合，集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的所有非空子集中是和美集合的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题 1．若集合(),1,1nA m n m n R m ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭、，(){},1,B m n n m m n R ==+∈、，则A 与B 的关系是______．2．已知,a b ∈R ，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20172017a b += ________.3．已知集合{}1,2M x =，{}N x =，若N M ⊆，则x = ________. 4．满足{}{}1,30,1,3,5,7A ⊆⊆条件的集合A 的个数有__________个. 5．已知集合{}0,1,3A =，则A 的子集个数是________. 三、解答题 1．（1）已知集合，，若Ü，求实数的取值范围．（2）若命题：如果：集合成立，则：集合成立．若原命题为真命题，且其逆命题为假命题．求实数的取值范围．2．写出集合A ＝x|0≤x＜3，x∈N}的所有真子集．3．已知集合{}24A x x =-≤≤，{}322mx B x -=<.（1）当1m =时，求A B ，()RB A ；（2）当0m >，A B B ⋃=时，求实数m 的取值范围.4．设{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=，若B A ⊆，求实数a 的值．5．已知集合{}|16A x x =≤<，{}|39B x x =≤≤，{}|23C x a x a =<≤+．A B；（1）求A B，()R（2）若非空集合C满足A C C⋂=，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 1．A解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 详解：对于A 选项，0∉∅，A 选项错误； 对于B 选项，A ∅=∅，B 选项正确；对于C 选项，{}∅⊆∅，C 选项正确；对于D 选项，若A B A ⋃=，则B A ⊆，D 选项正确. 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合包含关系的应用，属于基础题. 2．D解析：根据集合与元素、集合与集合的关系进行每个选项的判断即可. 详解：根据集合与元素、集合与集合的关系可知A 、B 、C 错误 空集是任何集合的子集，故D 正确 故选：D 点睛：本题考查的是集合与元素、集合与集合的关系，较简单. 3．D解析：由M N ⊆，则说明集合M 是集合N 的子集，即集合M 中任意元素都是集合N 中的元素，即2k ≥即可. 详解：解：因为{}{}0|N x x k x x k =-≤=≤， 又{}12M x x =-≤<且M N ，则2k ≥，故选D. 点睛：本题主要考查了子集的相关知识，重点是明确集合与其子集之间的关系，属基础题. 4．B解析：B ＝()21,|45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭＝(1,1)}，而A ＝(x ，y)|y ＝x}，B 中的元素在A 中，所以B ⊆A故选B ． 5．A解析：根据空集的定义：不含任何元素的集合；空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即可判断对错选出答案． 详解：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）、（2）错 又空集中不含任何元素，{}00∈ ，故（3）错误 空集只有空集一个子集，故（4）错 综上所述正确的个数为0个 故选A 点睛：本题考查空集的定义：不含任何元素的集合；与空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，属于基础题． 6．D解析：根据子集的定义可排除,A B ；由交集定义排除C ；根据补集和交集的定义可知D 正确. 详解：1B ∉，6A ∉ ,A B ∴错误；{}2,4A B =，则C 错误； {}1,8U C B = (){}1U AC B ∴=，D 正确.本题正确选项：D 点睛：本题考查集合间的关系、集合运算中的交集和补集运算，属于基础题. 7．C 详解：试题分析：由题{12}A =，，{123}B =，，.则根据子集的定义可得：A B ⊆. 考点：集合间的关系.8．B解析：求出集合A ，由A B ⊆，结合数轴，可得实数m 的取值范围. 详解：解不等式302x x +≤-，得32x -≤<，[)3,2A ∴=-.A B ⊆，可得2m ≥.故选：B . 点睛：本题考查集合间的关系，属于基础题. 9．C解析：首先求出集合B ，然后根据集合B 中元素的个数，利用公式21n -求出集合B 真子集的个数. 详解：解：{}{}13,0,1,2B x x x Z =-<<∈=，所以集合B 中有3个元素，则集合B 真子集个数为3217-=个， 故选：C. 点睛：如果集合有n 个元素，则其有2n 个子集，有12n -个真子集. 10．D解析：写出集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的非空子集，根据和美集合的定义验证即可.详解：先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有{}{}1,1,-再考虑 含有两个元素的和美集合，有{}11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭， 含有三个元素的子集且为和美集合的是111,,3,1,,3,33⎧⎫⎧⎫-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭含有四个元素的子集且为和美集合的是11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.点睛：本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题.二、填空题 1．A B解析：化简集合(){},1,1,A m n n m m n R ==+≠-∈，再根据集合间的关系，即可求解. 详解：由题意，集合()(){},1,,,1,1,1nA m n m n R m n n m m n R m ⎧⎫==∈==+≠-∈⎨⎬+⎩⎭， 又因为(){},1,,B m n n m m n R ==+∈，所以A B . 故答案为A B . 点睛：本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答中正确化简集合A ，以及熟记集合的包含关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．-1解析：由题意，a≠0，则b=0，代入化简求出a ，可求a 2017+b 2017． 详解：由已知得a≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1， 又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去， 因此a ＝－1，故a 2 017＋b 2 017＝(－1)2 017＋02 017＝－1， 故答案为：－1. 点睛：本题考查了集合内元素的特征，互异性与无序性，属于中档题．3．0或1解析：由N M ⊆，{}N x =，可得x M ∈，从而可得1x =或2x x =，进而可求得结果 详解：解：因为N M ⊆，{}N x =， 所以x M ∈，因为{}1,2M x =，所以1x =或2x x =， 当1x =时，{}{}1,2,1M N ==，满足N M ⊆，当2x x =时，得0x =，此时{}{}1,0,0M N ==，满足N M ⊆， 综上1x =或0x =，故答案为：0或1 4．8解析：由集合的包含关系知1,3A ∈，而0,5,7要么属于A 要么不属于A ，所以三个元素中任意元素与集合A 的关系都有两种可能，即可求集合个数. 详解：由{}{}1,30,1,3,5,7A ⊆⊆知：1,3A ∈，而0,5,7可能属于A ，也可能不属于A ， ∴集合A 的个数有328=， 故答案为：8 5．8解析：根据集合子集个数公式即可得出答案． 详解：集合{}0,1,3A =含3个元素，故子集个数为32=8 故答案为：8 点睛：本题主要考查子集概念，属于基础知识，基本概念的考查，含n 个元素的集合，子集有2n ，真子集2n -1个，非空真子集2n -2个三、解答题 1．(1)；（2）. 解析：（1）先化简集合，再由Ü，即可求出结果；（2）根据原命题为真命题，且其逆命题为假命题，得到Ü，从而可求出结果。
高中数学 第一章 集合 1.2.1 集合之间的关系课后作业 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数
1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是( )A.9B.8C.7D.6解析:∵x∈N,n∈N,∴集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}.∴其子集的个数是23=8.答案:B2.已知P={0,1},M={x|x⊆P},则P与M的关系为( )A.P⫋MB.P∉MC.M⫋PD.P∈M解析:M={x|x⊆P}={⌀,{0},{1},{0,1}},故P∈M.答案:D3.设集合A={x∈Z|x<-1},则( )A.⌀=AB.∈AC.0∈AD.{-2}⫋A解析:A中⌀与集合A的关系应为⌀⊆A或⌀⫋A,B中∉A,C中0∉A,D正确.答案:D4.已知集合A=,集合B={m2,m+n,0},若A=B,则( )A.m=1,n=0B.m=-1,n=1C.m=-1,n=0D.m=1,n=-1解析:由A=B,得m2=1,且=0,且m=m+n,解得m=±1,n=0.又m≠1,∴m=-1,n=0.答案:C5.设集合M=,集合N=,则(A.M=NB.M⫋NC.N⫋MD.M不是N的子集,N也不是M的子集解析:集合M中的元素x=(k∈Z),集合N中的元素x=(k∈Z),当k∈Z时,2k+1代表奇数,k+2代表所有整数,故有M⫋N.答案:B6.若非空数集A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A⊆B成立的所有a的集合是( )A.{a|1≤a≤9}B.{a|6≤a≤9}C.{a|a≤9}D.⌀解析:∵A为非空数集,∴2a+1≤3a-5,即a≥6.又∵A⊆B,∴∴1≤a≤9.综上可知,6≤a≤9答案:B7.已知A={y|y=x2-2x-6,x∈R},B={x|4x-7>5},那么集合A与B的关系为.解析:对于二次函数y=x2-2x-6,x∈R,y最小==-7,所以A={y|y≥-7}.又B={x|x>3},由图知B⫋A.答案:B⫋A9.已知集合A={x|x=1+a2,a∈R},B={y|y=a2-4a+5,a∈R},试判断这两个集合之间的关系.解:因为x=1+a2,a∈R,所以x≥1.因为y=a2-4a+5=(a-2)2+1,a∈R,所以y≥1,故A={x|x≥1},B={y|y≥1},所以A=B.10.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B?若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由;(2)若A⊆B成立,求出相应的实数对(a,b).解:(1)不存在.理由如下:若对任意的实数b都有A⊆B,则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能.因为A={a-4,a+4},所以这都不可能,所以这样的实数a不存在.(2)由(1)易知,当且仅当时A⊆B.解得所以所求的实数对为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6).。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系复习专练(人教A版,含解析)(29)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合(){}(){}22,1,,A x y x y B x y y x =+===，则A B 的子集个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：A 解析：解方程组221x y y x⎧+=⎨=⎩，根据解的个数求出交集，再得出子集个数． 详解：解：由221x y y x ⎧+=⎨=⎩得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2=(2A B ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭， ∴A B 的子集个数为224=，故选：A ．点睛：本题主要考查集合的交集运算，考查有限集的子集个数，属于基础题． 2．下列与集合{}1,2A =-相等的是（ ）A ．1,2B ．1,2C ．(){},1,2x y x y =-=D ．{}220x x x --=答案：D解析：集合相等指的是两个集合中元素完全相同，A 为点集，B 不是集合，C 也是点集，D 经过计算后可知元素与集合A 中完全相同，故选D.详解：解：∵{}{}2201,2x x x --==-，∴与集合{}1,2A =-相等的是{}220x x x --=.故选：D3．在下列命题中，不正确的是（ ）A ．1}∈0，1，2}B ．φ⊆0，1，2}C ．0，1，2}⊆0，1，2}D ．0，1，2}=2，0，1}答案：A详解：对于A ，1}⊆0，1，2}，错误； 对于B ，空集是任何集合的子集，正确；对于C ，相等的两个集合互为子集，正确；对于D ，二者显然相等，正确.故选A4．已知全集U =R ，则正确表示集合21|1M y y x ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭和集合{}2|1N x y x ==-关系的韦恩图是A ．B ．C ．D ．答案：D解析：首先解出,M N ，然后判断两个集合的关系.详解：{}01M y y =<≤，210x -≥，解得11x -≤≤ {}11N x x ∴=-≤≤M N ，故选D.点睛：本题考查了判断集合的关系，属于简单题型.5．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =,集合{}1,2,3,5A =,{}2,4B =，则()U C A B ⋃=A ．{}4B ．{}0,2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}1,2,4答案：C详解：{}(){}0,40,2,4U U C A C A B =⇒⋃=,故选C.6．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B ⋂=A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8答案：A详解：{}2,5,8U B =,所以{}2,5U A B ⋂=，故选A.考点：集合的运算.7．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，下列四个集合：①|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭，②{}|0x x ≠，③1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭，④整数集Z ．其中以0为聚点的集合有 A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④答案：B详解： 试题分析：：①集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足0x a <<的x ，∴0不是集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭的聚点； ②集合{}|0x x ≠，对任意的a ，都存在2a x =（实际上任意比a 小的数都可以），使得02a x a <=<，∴0是集合{}|0x x ≠的聚点； ③集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a >，使10x a n <=<，∴0是集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭的聚点； ④对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x Z ∈，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．综上可知B 正确.考点：新概念.8．已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为A ．30B ．31C ．62D ．63答案：A解析：先化简集合A ，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解. 详解：因为集合{|6A x x =<且}{}*N 1,2,3,4,5x ∈=， 所以A 的非空真子集的个数为52230-= .故选：A点睛：本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.9．已知集合{}2*2240,M x x x x N =+-=∈，{}6,0,4N =-，则集合M 与N 的关系是（ ）A ．M NB ．N M ⊂≠C ．N M ⊂≠D ．N M ⊆答案：C解析：首先解方程22240x x +-=，求出M ，根据元素即可判断M 与N 的关系.详解：首先解方程22240x x +-=，由*x ∈N 可得4x =或6x =-（舍）所以{}4M =，可得N M ⊂≠.故选：C.点睛：本题考查了集合间关系，考查了真子集的概念，属于基础题.10．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．1或1-答案：B 解析：根据集合相等以及集合元素的互异性可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得20192019a b +的值.详解： b a 有意义，则0a ≠，又{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，0b a ∴=，可得0b =， 所以，{}{}21,,00,,a a a =，21a ∴=，由集合中元素的互异性可得1a ≠，所以，1a =-，因此，()2019201920192019101a b +=-+=-.故选：B.点睛：本题考查利用集合相等求参数，同时不要忽略了集合中元素互异性的限制，考查计算能力，属于中等题.二、填空题1．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则I C N =___________.答案：{}1-解析：根据N 自然数，所以在全集I 上直接去补集即可得解.详解：{}1I N =-，{}1I C N =-.故答案为：{}1-2．角的集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z 与集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z 之间的关系为________．答案：A B =解析：在集合A 中，分析k 的奇偶，可得出集合A 所表示的角的终边，与集合B 相比较，可得出结果.详解： 解：集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z ，当k 为奇数时，假设21k n =-，则{|2,}2A x x n k πππ==-+∈Z ，即{|2,}2A x x n k ππ==-∈Z 表示终边在y 轴非正半轴上的角，当k为偶数时，假设2k n =，集合{|2,}2A x x n k ππ==+∈Z ，表示终边在y 轴非负半轴上的角； 集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z ，则集合B 表示终边落在y 轴上的角的集合，所以A B =. 故答案为：A B =.3．已知集合{}3A =，集合{}2|2 0x x x B a -+==，且A 是B 的真子集，则实数a =_________．答案：3-解析：由A 是B 的真子集知，23230a -⨯+=，解得a 的值即可.详解：A 是B 的真子集，∴3B ∈，即23230a -⨯+=，解得：3a =-.故答案为：3-.点睛：本题主要考查真子集的概念，属于基础题.4．集合{(,)|2A x y xy ==且3,,}x y x R y R +=∈∈的所有子集为________．答案：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}解析：先解方程组23xy x y =⎧⎨+=⎩求出集合A ，再用列举法写出子集即可. 详解：由23xy x y =⎧⎨+=⎩得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩， 所以()(){}1,2,2,1A =，因此其所有的子集为：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}.故答案为：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}.点睛：本题主要考查求集合的子集，属于基础题型.5．使2x,x+y}=7,4}的（x,y ）是_________答案：71(,)22或(2,5)解析：两个集合相等，集合内的元素相等，{274x x y =+=或{247x x y =+=，两种情况依次求解即可. 详解：由题2x,x+y}=7,4}即{274x x y =+=或{247x x y =+=， 解得：7212x y ==⎧⎨⎩或{25x y ==， 所以（x,y ）是71(,)22或(2,5) 故答案为：71(,)22或(2,5)点睛：此题考查通过两个集合相等，求参数的值，需要注意两个集合相等，集合中的元素相同，分别列方程组求解即可.三、解答题1．已知集合{|()0,}M x f x x x R =-=∈与集合{|[()]0,}N x f f x x x R =-=∈，其中()f x 是一个二次项系数为1的二次函数．（1）判断M 与N 的关系；（2）若M 是单元素集合，求证：M N ．答案：（1）M N ⊆；（2）证明见解析解析：（1）根据集合元素的属性特征，结合复合函数的性质进行求解即；（2）根据题意可以求出函数()f x 的表达式，最后再根据集合N 元素属性特征，结合函数()f x 的解析式进行求解即可.详解：（1）任取0x M ∈，则()00f x x =，故()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，∴0x N ∈．∴M N ⊆；（2）设{}M a =，则2()()f x x x a -=-．∴2()()f x x a x =-+．222222[()]()]()()()()0f f x x x a x a x a x x x a x a x a ⎡⎡⎤-=-+-+-+-=-+-+-=⎣⎣⎦．∴2()0,0x a x a x a x a ⎧-+-=⇒=⎨-=⎩．故[()]0f f x x -=只有一个根a ．∴M N . 点睛：本题考查了集合之间的关系判断，考查了二次复合函数的运算，考查了数学运算能力和推理论证能力.2．已知集合或 ，,若，求实数的取值范围．答案：或 解析：根据可得出，从而可讨论是否为空集列不等式，解出的范围即可．详解： 解：， ， 当时， ； 当时，或， 或， 综上所述：或．点睛：本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集和空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．3．设集合(){1,2,3,...,}2,n A n n n N =≥∈，集合n P A ⊆，如果对于任意元素x P ∈，都有1x P -∈或1x P +∈，则称集合P 为n A 的自邻集.记(1,)kn k n k N a ≤≤∈为集合n A 的所有自邻集中最大元素为k 的集合的个数. （1）直接判断集合{1,2,3,5}P =和{1,2,4,5}Q =是否为5A 的自邻集；（2）比较610a 和531010a a +的大小，并说明理由；（3）当4n ≥时，求证：121111...n n n n n n a a a a ----≤+++.答案：（1）P 不是5A 的自邻集，Q 是5A 的自邻集；（2）610a >531010a a +，理由见解析；（3）证明见解析解析：（1）利用自邻集的定义直接判断即可；（2）利用自邻集的定义求出10A 的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案；（3）记集合(){1,2,3,...,}2,n A n n n N =≥∈所有子集中自邻集的个数为n a ，可得1n n n n a a a -=+，然后分：①自邻集中含2,1,n n n --这三个元素，②自邻集中含有1,n n -这两个元素，不含2n -，且不只有1,n n -这两个元素，③自邻集只含有1,n n -这两个元素，三种情况求解即可 详解：解：（1）因为{}51,2,3,4,5A =，所以5{1,2,3,5}P A =⊆和5{1,2,4,5}Q A =⊆，因为51,51P P -∉+∉，所以{1,2,3,5}P =不是5A 的自邻集，因为112,21,415,514Q Q Q Q +=∈-∈+=∈-=∈所以{1,2,4,5}Q =是5A 的自邻集，（2）{}101,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有5，6}，4，5，6}，3，4，5，6}，2，3，5，6}，1，2，5，6}，2，3，4，5，6}，1，2，3，5，6}，1，2，4，5，6}，1，2，3，4，5，6}共9个，即6109a =其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有4，5}，3，4，5}，2，3，4，5}，1，2，4，5}，1，2，3，4，5}共5个，5105a =其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有2，3}，1，2，3}共2个，3102a =所以610a >531010a a +（3）证明：记集合(){1,2,3,...,}2,n A n n n N =≥∈所有子集中自邻集的个数为n a ，由题意可得当4n ≥时，1211111...n n n n n a a a a -----=+++ ，121...n n n n n nn a a a a a -=++++，显然1n n n n a a a -=+ ①自邻集中含2,1,n n n --这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素n 后的集合为D ，因为2,1n n D --∈，所以D 仍是自邻集，且集合D 中的最大元素为1n -，所以含有2,1,n n n --这三个元素的自邻集的个数为1n n a -，②自邻集中含有1,n n -这两个元素，不含2n -，且不只有1,n n -这两个元素，记自邻集除1,n n -之外最大元素为m ，则23m n -≤≤，每个自邻集中去掉1,n n -这两个元素后，仍为自邻集，此时的自邻集的最大元素为m ，可将此时的自邻集分为4n -种情况：含有最大数为2的集合个数为2n a含有最大数为3的集合个数为3n a……，含有最大数为3n -的集合个数为3n n a -则这样的集合共有233n n n n a a a -++⋅⋅⋅+，③自邻集只含有1,n n -这两个元素，这样的自邻集只有1个，综上可得23312331211n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=+++⋅⋅⋅++≤+++⋅⋅⋅+++因为1n n n n a a a -=+，121...n n n n n n n a a a a a -=++++， 所以23312331211n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=+++⋅⋅⋅++≤+++⋅⋅⋅+++，所以1n n n a a -≤，所以121111...n n n n n n a a a a ----≤+++点睛：关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合子集的有关知识，考查分析问题的能力，解题的关键是对集合新定义的理解，考查理解能力，属于较难题4．写出下列每对集合之间的关系：（1）{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5}B ；（2）2{|1}C x x ==，{|||1}D x x ==；（3）(,3)E =-∞，(1,2]F =-；（4）{|G x x =是对角线相等且互相平分的四边形}，{|H x x =是有一个内角为直角的平行四边形}．答案：（1）B A ；（2）C D =；（3）F E ；（4）G H =．解析：因为集合之间的关系是通过元素来定义的，因此只要针对集合中的元素进行分析即可．详解：（1）因为B 的每个元素都属于A ，而4A ∈且4B ∉，所以B A ．（2）不难看出，C 和D 包含的元素都是1和1-，所以C D =．（3）在数轴上表示出区间E 和F ，如图所示．由图可知F E ．（4）如果x G ∈，则x 是对角线相等且互相平分的四边形，所以x 是矩形，从而可知x 是有一个内角为直角的平行四边形，所以x H ∈，因此G H ⊆．反之，如果x H ∈，则x 是有一个内角为直角的平行四边形，所以x 是矩形，从而可知是x 对角线相等且互相平分的四边形，所以x G ∈，因此H G ⊆．综上可知，G H =．点睛：本题主要考查的是集合与集合间的关系同时考查了子集以及集合相等的定义，当A 是B 的子集时，要么A 是B 的真子集，要么A 与B 相等．是基础题.5．已知{|3},{|21},A x x B x x a A B =<=+<⊆，求实数a 的取值范围.答案：[7,)+∞解析：首先求出集合B ，再根据集合的包含关系，得到不等式，解得.详解：解：{|21}B x x a =+<1|2a B x x -⎧⎫∴=<⎨⎬⎩⎭. {|3}A x x =<又A B ⊆, 所以132a -,解得7a ,所以实数a 的取值范围为[7,)+∞ 点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.。
高一数学集合之间的关系与运算试题
高一数学集合之间的关系与运算试题1.数集{1,2,x2-3}中的x不能取的数值的集合是( )A．{2,}B．{-2, }C．{±2,±}D．{2, }【答案】:C【解析】:(1)由x2-3≠1,解得x≠±2.(2)由x2-3≠2,解得x≠.∴x不能取的数值的集合为{±2, }.2.下列5个命题,其中正确的个数为()①a∈A a∈A∪B ②A B A∪B=B ③a∈B a∈A∩B④A∪B=B A∩B=A⑤A∪B=B∪C A=CA．2B．3C．4D．5【答案】:B【解析】:由交、并集的定义与性质可知①②④正确;③错误,如A=;⑤错误,如A={1,2},B={3,4},C={1,2,3},有A∪B=B∪C,但A≠C.3.．已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】:D【解析】:由于集合中的元素是互异的,所以a、b、c互不相等,即△ABC一定不是等腰三角形.4.已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1},若Q P，那么a的值是()A．1B．-1C．1或-1D．0，1或-1【答案】:D【解析】:因为由x2=1得x=±1，所以P={-1,1}.又因为Q P，所以分Q=和Q≠两种情况讨论:(1)若Q=，则a=0；(2)若Q≠，则a≠0，Q={x|x=}，所以a=-1或1.综合(1)(2)可知，a的值为0，1或-1.5.．由实数x,-x,|x|,,()2,-所组成的集合,最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素【答案】:B【解析】:上面实数化简即为x,-x,|x|,x2.由于|x|与x和-x中有一个是相同的,故最多只有x,-x,x2三个元素.6. 已知集合M={x|x=+,k ∈Z},N={x|x=+,k ∈Z}.若x 0∈M,则x 0与N 的关系是 ( )A ．x 0∈NB ．x 0NC ．x 0∈N 或x 0ND ．不能确定【答案】:A【解析】主要考查对集合中元素特征的认识。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系巩固练习(人教A版,含解析)(15)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．集合B ＝a ，b ，c}，C ＝a ，b ，d}，集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C.则集合A 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．若集合{}202A =-，，，{0}B =，则（ ） A ．A B ∈B ．B A ∈C ．A B ⊆D ．B A ⊆ 3．下列几个关系中正确的是 A ．{}00∈ B ．{}00= C ．{}00⊆ D ．{}0∅=4．已知集合{}1,3M =，{}|03,N x x x Z =<<∈，又P MN =，那么集合P 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．7个 C ．8个 D ．9个5．已知集合{}{}2|430,|A x x x B x x a =-+>=<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是A ．(3,)+∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞D ．(,1)-∞ 6．集合x,y}的子集个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知集合A=﹣1，1}，B=x|ax+2=0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为A ．﹣2}B ．2}C ．﹣2，2}D ．﹣2，0，2} 8．设集合{}lg 0A x x =<，1222x B x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B =B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B =∅ 9．设集合6|2B x Z N ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭x ,则集合B 的子集个数为( )． A ．3B ．4C ．8D ．16 10．下列关系中，正确的个数是（ ）. ①{}00∈；②∅{0}，；③{}(){}0,10,1⊆；④(){}(){},,a b b a =. A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 1．已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个．2．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以()1k -再求和（如{}2,3,5A =，可求得和为：()()()2352131516⋅-+⋅-+⋅-=-，则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________.3．满足关系式{2,3}{1,2,3,4}A ⊆⊆的集合A 的个数是__________.4．已知非空集合M 满足{}0,1,2,3M ⊆，若存在非负整数k （3k ≤），使得对任意a M ∈，均有2k a M -∈，则称集合M 具有性质P ，则具有性质P 的集合M 的个数为______________.5．集合{}1,0,1-的所有子集个数为_________．三、解答题1．已知集合P ＝0，x ，y}，Q ＝2x ，0，y 2}，且P ＝Q ，求x ，y 的值.2．已知集合{}1,2A =-，{}220B x x ax b =-+=．若B ≠∅且B ⫋A ，试求实数,a b 的值．3．对于集合A ，B ，我们把集合 {|x x A ∈， 且 }x B ∉ 记作A －B ．（1）已知集合A ＝ ()11-， ，B ＝ ()02，，求A －B ，B －A ；(直接写出结果即可) （2）已知集合P ＝ ()(){|20}x x a x a +-≥，Q ＝ []12，，若Q P -=∅，求实数a 的取值范围．4．已知集合={|3}A x x a -≤≤，a R ∈，{|34,}B y y x x A ==+∈，2{|,}C z z x x A ==∈.（Ⅰ）若0a =，求A B ；（Ⅱ）若3a ≥，且B C B ⋃=，求a 的取值范围.5．已知集合{}|023A x x a =<+≤，122B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭. （1）当1a =时，求()R C B A ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题1．C解析：根据集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C ，分若A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解.详解：若A =∅，满足A ⊆B ，A ⊆C ，若A ≠∅，因为集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C ，所以集合A 是由属于B 且属于C 的元素构成，此时集合A 可能是{}{}{},,,a b a b ，故选：C点睛：本题主要考查子集的概念，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.2．D解析：分析两个给定的有限集中的元素与另一集合的关系即可得解.详解：因集合B 中只有一个元素0，并且0A ∈，于是得集合B 是集合A 的子集，从而得B A ⊆， 所以B A ⊆.故选：D3．A解析：由元素与集合、集合与集合的关系即可判断是否正确．详解：0是集合{}0 的一个元素，所以{}00∈ ，故选择A ．点睛：本题考查了元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题概念题．4．B详解：因为N=x|0＜x ＜3，x∈Z}=1，2}，又M=1，3}，所以P=M∪N=1，3}∪1，2}=1，2，3}，所以集合1，2，3}的真子集有：φ，1}，2}，3}，1，2}，1，3}，2，3}共7个．故选B ．5．C解析：由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合A ，B ，根据B ⊆A ，可得参数a 的取值范围．详解：集合A ＝x|x ＞3或x ＜1}，集合B ＝x|x ＜a}，由B ⊆A ，可得a≤1，∴实数a 的取值范围是(,1]-∞，故选C ．点睛：本题考查集合间的关系以及一元二次不等式的解法，属于基础题．6．D解析：根据集合子集的定义，即可得到子集个数．详解：集合{},x y 的子集有{}{}{},x y x y ，，，∅,共有4个 故选D点睛：本题主要考查了集合的子集个数问题，当集合内有n 个元素时子集个数为2n 个7．D详解：试题分析：由B ⊆A 可知集合B 可以为{}{}1,1,-∅，所以方程ax+2=0的根可能为-1,1或无解，所以a=-2,0,2实数a 的所有可能取值的集合为﹣2，0，2}考点：集合的子集关系8．B解析：解对数不等式和指数不等式确定集合,A B ，再判断集合的关系．详解：由已知{|01}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，所以A B ⊆．故选：B ．点睛：本题考查集合的包含关系，确定集合中的元素是解题关键．9．D解析：首先用列举法，分别取出满足题目时x 值，从而得出集合B 的元素，从而得出集B 的子集.详解： 当666603,12,41,1620212421x x x x =⇒==⇒==⇒==-⇒=+++- 所以集合{}3,2,1,6B =,所以集合B 的子集个数为4216=.故选D点睛：本题主要考查就集合中子集的求法：若集合B 中有n 个元素，则集合B 的子集有2n 个,属于基础题.10．B解析：利用元素与集合的关系符号表示、集合与集合之间的关系符号表示即可判断. 详解：对于①，0是集合{}0中的元素，即{}00∈，故正确；对于②，空集是任何非空集合的真子集，故∅{0}，故正确；对于③，集合{}0,1中的元素为0，1，集合(){}0,1中的元素为()0,1，故错误；对于④，集合(){},a b 中的元素为(),a b ，集合(){},b a 中的元素为(),b a ，故错误.故选：B点睛：本题考查了元素与集合、集合与集合的符号表示，考查了集合中的基本知识，属于基础题.二、填空题1．2n 21n -22n -解析：根据子集，真子集以及非空真子集的定义即可求解．详解：集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个 故答案为：2n ；21n -；22n -2．256-解析：首先确定每个元素在集合M 的所有非空子集中分别出现62个，在求和.详解：因为集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，那么每个元素在集合M 的所有非空子集中分别出现62个， 则对M 的所有非空子集中元素k 执行乘以()1k-，再求和操作，则这些和的总和是()()()()()()()12345676211121314151617256⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=-⎣⎦ 故答案为：256-点睛：本题主要考查集合的非空真子集的概念，理解本题的新定义的概念是解决本题的关键，属于中档题型.3．4解析：列举出满足题意的集合A 即得解.详解：由题得满足关系式{2,3}{1,2,3,4}A ⊆⊆的集合A 有：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}.所以集合A 的个数为4.故答案为：4.点睛：本题主要考查集合的关系和集合个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4．8解析：分k 的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合M ，从而得到答案.详解：当0k =时，M 为{0}.当1k =时，M 为{1},{0,2},{0,1,2}当2k =时，M 为{2},{1,3},{1,2,3}当3k =时，M 为{3}.所以满足条件的集合M 有8个.故答案为：8点睛：本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．5．8详解：试题分析：∵集合{}1,0,1-有3个元素，∴集合{}1,0,1-的所有子集个数为328=考点：本题考查了子集的个数点评：解决此类问题常常用到：若集合有n 个元素，则该集合的所有子集个数为2n三、解答题1．14x =；12y =.解析：根据两个集合相等、集合元素的互异性等知识求得,x y 的值.详解：依题意P Q =，若22x xy y =⎧⎨=⎩，此时0x =，20x =，不满足集合元素的互异性，不符合. 若22x y y x⎧=⎨=⎩，解得0x y ==或11,42x y ==. 当0x y ==时，不满足集合元素的互异性，不符合. 当11,42x y ==时，110,,42P Q ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，符合. 故11,42x y ==.点睛：本小题主要考查集合相等的知识，考查集合元素的互异性.2．11a b =-⎧⎨=⎩或24a b =⎧⎨=⎩ 解析：由题意知{}1B =-或{}2B =，再根据集合B 的解集分类讨论求参数值详解：{}1,2A =-，B ≠∅且B ⫋A ，{}1B =-或{}2B =当{}1B =-时，()()()222401210a b a b ⎧∆=--=⎪⎨--⋅-+=⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩当{}2B =时，()222402220a b a b ⎧∆=--=⎪⎨-⨯+=⎪⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩ 综上所述，11a b =-⎧⎨=⎩或24a b =⎧⎨=⎩ 点睛：本题考查了集合间的基本关系，结合分类讨论思想，以及一元二次方程根与判别式关系、解的性质求参数3．（1）][()1012A B B A -=--=，，，；（2）112a -≤≤ 解析：(1)根据集合运算的定义求解.(2)由已知条件可得出Q P ⊆，再由一元二次不等式的解法，对a 分情况讨论求解.详解：（1） ()()1102A B =-=，，，， 由定义可得 ][()1012A B B A -=--=，，， ； （2） Q P Q P ∅-=∴⊆，， 当 0a = 时， {}{}222200P xx ax a x x R =--≥=≥=∣∣ ，满足 Q P ⊆ ； 当 0a > 时， {}2220{|P xx ax a x x a =--≥=≤-∣ 或 2}x a ≥ ， 0{21a a >∴≤ ，解得 102a <≤ ； 当 0a < 时， {}2220{|2P xx ax a x x a =--≥=≤∣ 或 }x a ≥- ， 0{1a a <∴-≤ ，解得 10a -≤< ， 综上： 112a -≤≤ .4．(Ⅰ){|30}x x -≤≤；(Ⅱ)34a ≤≤.解析：试题分析：(Ⅰ)当0a =时，{|30}A x x =-≤≤，{|54}B y y =-≤≤.则{|30}A B x x ⋂=-≤≤.(Ⅱ)由题意可知C B ⊆，其中{|534}B y y a =-≤≤+，而3a ≥时，2{|0}C z z a =≤≤.求解不等式234a a ≤+结合题意可得34a ≤≤. 试题解析：（Ⅰ）由题可得0a =时，{|30}A x x =-≤≤，{|54}B y y =-≤≤.∴{|30}A B x x ⋂=-≤≤.（Ⅱ）∵B C B ⋃=，∴C B ⊆，{|534}B y y a =-≤≤+.3a ≥时，2{|0}C z z a =≤≤.∴234a a ≤+，14a -≤≤.∴34a ≤≤.点睛：(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．5．（1）{}()|12R C B A x x x ⋃=≤≥或（2）(11]-，解析：试题分析：（1）根据集合的运算先求R C B ，进而再求()R C B A ⋃即可；（2）由A B A ⋂=可得A B ⊆，进而得122322a a ⎧-≥-⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，求解即可. 试题解析：（1）当1a =时，{}1|021312A x x x x ⎧⎫=<+≤=-<≤⎨⎬⎩⎭∵122B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则122R C B x x x ⎧⎫=≤-≥⎨⎬⎩⎭或 ∴(){}|12R C B A x x x ⋃=≤≥或（2）若A B A ⋂=，则A B ⊆∵{}3|02322a a A x x a x x ⎧⎫-=<+≤=-<≤⎨⎬⎩⎭， ∴122322a a ⎧-≥-⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 解得11a -<≤，∴实数a 的取值范围是(]11-，.。
人教A版高中数学必修一1.2 集合间的基本关系专练(含解析)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合(){}(){}22,1,,A x y x y B x y y x =+===，则A B 的子集个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．集合{}52,Z M x x k k ==-∈，{}|53,P x x n n Z ==+∈，{}103,Z S x x m m ==+∈之间的关系是 A ．S P M B ．S P MC ．S PMD ．PM S3．下列写法：（1）0}∈2，3，4}；（2）∅⊆0}；（3）-1，0，1 }=0，-1，1}；（4）0∈∅，其中错误写法的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．设集合{}1,1M =-,{}240N x x =-<,则下列结论正确的是A ．N M ⊆B ．N M =∅C ．M N ⊆D ．M N =R5．已知集合{|1}P x R x =∈≥，{}1,2Q =，则下列关系中正确的是（ ）A ．P Q =B ．Q P ⊆C ．P Q ⊆D ．P Q R = 6．已知集合{|12}A x x =-<<，{|01}B x x =<<，则A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．A B =D ．A B =∅ 7．集合{|}A x x a =≤，2{|50}B x x x =-<，若A∩B=B，则a 的取值范围是（ ） A ．5a ≥ B ．4a ≥ C ．5a < D ．4a < 8．设集合{|14},M x x a π=<<=，则下列关系正确的是（ ）A ．a M ⊆B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ⊆9．若集合{}2|1,A y y x x R ==+∈，集合{}|50B x R x =∈+>，则集合A 与B 的关系是（ ）A ．AB ∈ B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B =10．已知A ＝x|x 2﹣3x+2＝0}，B ＝x|ax ﹣1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为（ ） A ．1，2 B ．1，12 C ．0，1，2 D ．0，1，12二、填空题1．已知集合A=x|x ﹣a=0}，B=x|ax ﹣1=0}，且A∩B=B，则实数a 等于_____．2．符合条件{}{},,a P a b c ≠⊂⊆的集合P 的个数是个_______. 3．集合6|5M a a⎧=∈⎨-⎩N 且}a Z ∈，用列举法表示集合M =________．4．已知集合{1,2,3}A =，则集合{,}B x yx A y A =-∈∈∣的所有子集的个数是________. 5．集合{}2|340,A x ax x x R =--=∈，若A 只有一个真子集，则实数a 的值为______.三、解答题1．指出下列集合之间的关系：（1）{}1,1A =-，{}21B x N x =∈=；（2）{}1,1A =-，()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1B =----； （3）{}2,P x x n n Z ==∈，(){}21,Q x x n n Z ==-∈； （4）{A x x =是等边三角形}，{B x x =是三角形}； （5）}{14A x x =-<<，}{50B x x =-<.2．设{}{}2230,10M x x x N x ax =--==-=，若MN N =，求所有满足条件的a 的集合3．写出集合P 的所有子集，其中.4．已知集合{}21A x y x ==+，{}22B y y x a ==+，（1）求集合A ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．5．已知{1,}M t =，2{1}N t t =-+，若M N M ⋃=，求实数t 的取值构成的集合．参考答案一、单选题 1．A解析：解方程组221x y y x ⎧+=⎨=⎩，根据解的个数求出交集，再得出子集个数．详解：解：由221x y y x ⎧+=⎨=⎩得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2=(2A B ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，∴A B 的子集个数为224=， 故选：A ． 点睛：本题主要考查集合的交集运算，考查有限集的子集个数，属于基础题． 2． C解析：先算出集合S ，用列举法表示各集合后可得各集合之间的关系. 详解： ∵{|52,},{|53,}M x xkkPx xn n Z Z ，{|103,}Sx xm m Z ，∴{,7,2,3,8,13,18,}M，{,7,2,3,8,13,18,}P， {,7,3,13,23,}S，故S PM ，故选C. 点睛：集合的表示方法有列举法和描述法，当用描述法表示的集合时，如果集合中的元素不太明晰，可用列举法表示集合，从而明确集合中的元素. 3．B解析：由集合与集合的关系判断（1），由空集的性质判断（2）（4）；由集合的无序性以及集合相等的定义判断（3）. 详解：由集合与集合的关系可知，（1）错误；空集是任何集合的子集，（2）正确；由集合的无序性以及集合相等的定义可知，（3）正确；空集是不含任何元素的集合，（4）错误； 故选：B 4．C 详解：集合{}1,1M =-,{}240{|22}N x x x x =-<=-<<,1,1N -∈,所以M N ⊆.故选C.5．B解析：本题考查的是两个集合之间的关系，题意中集合Q 中的元素较少，可以从集合Q 中的元素进行分析判断，判断集合Q 中的元素是否在P 中，从而得出结果． 详解：解：{|1}P x R x =∈≥1P ∴∈，2P ∈，且P Q ≠Q P ∴⊆故本题正确选项：B 点睛：本题考查了集合之间的运算，求解问题的方法可以用数轴法、列举法等等． 6．A解析：画数轴结合子集的概念即可得到答案. 详解：∵集合{|12}A x x =-<<，{|01}B x x =<<， ∴B A ⊆． 故选A ． 点睛：本题考查集合间的基本关系. 7．A解析：因为25005x x x -<⇒<<,又A B B B A ⋂=⇒⊆，则由{|}A x x a =≤，可得；5a ≥时满足条件A B B ⋂=． 8．D解析：由14a <<，即得：,{}a M a M ∈⊆. 详解：因为{|14},M x x a π=<<=，14a <<， 所以,{}a M a M ∈⊆， 故选：D 点睛：本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，考查学生的分析能力，属于基础题. 9．B解析：先确定集合,A B 中的元素，然后根据子集定义判断． 详解：由题意{}2|1,{|1}[1,)A y y x x R y y ==+∈=≥=+∞，{}|50{|5}(5,)B x R x x x =∈+>=>-=-+∞，显然集合A 中的元素都属于B ， 所以A B ⊆． 故选：B ． 点睛：本题考查集合的包含关系，根据子集定义判断． 10．D解析：先计算集合A ，然后根据B ⊆A ，按a=0，a≠0进行讨论并加以计算可得结果. 详解：由题可知：集合A ＝1，2}，对于集合B ，当a=0时，B =∅，满足B 是A 的子集，符合题意； 当a≠0时，B ＝x|x ＝1a }，B ⊆A ， 则1a ＝1或1a ＝2，解得a ＝1或12； 综上可知，a 的值为0或1或12， 故选：D 点睛：本题考查集合的包含关系求参数，考查计算与分析能力，属基础题.二、填空题 1．1或﹣1或0解析：∵A∩B=B，∴B A ⊆，{}{|0}A x x a a =-==。
高中数学必修一人教A版1.2 集合间的基本关系-单选专项练习(含解析)(46)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-答案：B解析：根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解.详解：已知{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，且M N ⊆，所以2a ≥.故实数a 的取值范围为[)2,+∞，故选B.点睛：本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题.2．若M=1，5}，则集合M 的真子集个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：根据真子集的个数与原集合元素的个数之间的关系求解.详解：因为M=1，5}中有两个元素所以集合M 的真子集个数是2213-=故选：C点睛：本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.3．已知集合{|1}P x R x =∈≥，{2,3}Q =，则下列关系中正确的是A ．P Q =B ．P QC ．Q PD ．P Q R =答案：C解析：由2,3均大于等于1,即可判断集合P 与Q 的关系.详解：因为21≥,3≥1,所以QP, 故选:C点睛：本题考查集合之间的关系,属于基础题.4．下列四个命题：①∅＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：利用空集的定义、属性对各个命题进行判断．Φ不含任何元素；空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集．详解：解：对于①Φ不含任何元素而0}含元素0，故①错对于②空集是本身的子集，故②错对于③空集的子集只有其本身，故③错对于④，空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集，故④对故选B．点睛：本题考查空集的定义、性质：Φ不含任何元素；空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集．5．关于以下集合关系表示不正确的是（）A．∅∈∅} B．∅⊆∅} C．∅∈N*D．∅⊆N*答案：C解析：空集是任何集合的子集.根据元素与集合的关系、集合与集合的关系对选项逐一进行判断，由此得出正确选项.详解：对于A选项，集合中含有一个元素空集，故空集是这个集合的元素，故A选项正确. 空集是任何集合的子集，故B,D两个选项正确.对于C选项，空集不是正整数集合的元素，C选项错误.故选C.点睛：本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，考查空集的概念.属于基础题. 6．已知集合，，则的子集个数为A．B．C．D．答案：A详解：试题分析：,所以集合的子集个数为，故选A.考点：集合7．设a ，b∈R，集合1，a}＝0，a ＋b}，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案：A详解：∵1，a}＝0，a ＋b}，∴a=0,b=1∴b－a ＝1，故选A.点睛：注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.8．设,a b ∈R ，则集合()(){}()(){}22|10,|10P x x x a Q x x x b =--==+-=，若P Q =，则a b -=（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．1答案：C解析：由集合的描述写出集合,P Q ，根据P Q =求,a b ，进而可求-a b .详解：由题意，得{}{}{}{}1,,11,,1{,{1,11,1a ab b P Q a b ≠-≠-===-=-， ∵P Q =，∴仅当1,1a b =-=时符合题意，故2a b -=-.故选：C.9．若集合{|A x N x =∈≤，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉答案：D解析：根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B 、C 错误，再根据a =可得正确的选项.详解：因为a 表示元素，{}a 表示集合，故B 、C 错误. 因为a A ∉，且{}a A ⊆不成立，故A 也错误，D 正确，故选：D.本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含，10．已知集合{|12}M x x =-<<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(,1]-∞-答案：B解析：由题根据集合M,N 的关系，可得2a ≥，即得解.详解：已知{|12}M x x =-<<，{}|N x x a =<，且M N ⊆，所以2a ≥．故实数a 的取值范围为[2)+∞，， 故选B ．点睛：本题主要考查集合的关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.11．已知集合{}0,1,2,4,6A =，{}*233n B n =∈<N ，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4答案：A 解析：首先确定集合B ，求出A B 后可得其子集个数．详解：由题意{1,2,3,4,5}B =，{1,2,4}A B ⋂=，其子集个数为328=．故选：A ．点睛：本题考查集合的运算，考查子集的个数，确定集合中的元素是解题关键．12．已知集合A =x x 是三角形}，B =x x 是等腰三角形}，C =x x 是等腰直角三角形}，D x x 是等边三角形}，则A ．AB ⊆B ．C B ⊆ C ．D C ⊆D ．A D ⊆答案：B 解析：根据各集合中三角形的特征可判断它们之间的相互关系.详解：∵等腰直角三角形必为等腰三角形，∴C B ⊆.点睛：本题考查集合间的包含关系，弄清楚集合中元素的属性是关键，此类问题是基础题.13．已知集合{}0,2,3A =，{},,B x x a b a b A ==⋅∈，则B 的子集的个数是（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16答案：D解析：写出集合B ，确定集合B 中元素个数，利用子集个数公式可求得结果.详解：已知集合{}0,2,3A =，{}{},,0,4,6,9B x x a b a b A ==⋅∈=，因此，B 的子集的个数4216=.故选：D.点睛：本题考查集合子集个数的求解，解题的关键就是确定集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题.14．已知集合{}01M =，，则满足条件M N M ⋃=的集合N 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：由M N M ⋃=得到集合N 为集合M 的子集，根据子集的定义写出其子集，即可得到集合N 的个数.详解：M N M ⋃=N M ∴⊆，即集合N 为集合M 的子集则集合N 可以为：{1}{0},{1,0}∅，， ，共四个 故选：D点睛：本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题.15．集合910A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭的真子集的个数是（ ） A ．4B ．7C ．8D ．16答案：B 解析：先根据已知化简集合，再求集合的真子集的个数得解.因为9,10N x∈-所以101,3,9,9,7,1.x x -=∴=均满足x ∈N . 所以集合{1,7,9}A =,由于集合A 有3个元素，所以它的真子集的个数为3217-=.故选：B点睛：本题主要考查集合的化简和集合的真子集的个数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．已知集合A ＝*2|0,x x x N x -⎧⎫≤∈⎨⎬⎩⎭，{}2,B x Z =∈，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8答案：C解析：分别求出,A B 对应的集合,再根据A C B ⊂⊆可得C 中元素需满足的关系再求解即可. 详解：{}*2|0,1,2x A x x N x -⎧⎫=≤∈=⎨⎬⎩⎭,{}{}2,0,1,2,3,4B x Z =∈=,又A C B ⊆⊆, 故C 中一定有元素1,2,可能有元素0,3,4且至少有一个.故满足条件的集合A C B ⊆⊆C 的个数与{}0,3,4的非空子集的个数相同,为3217-=个.故选：C点睛：本题主要考查了集合间的基本关系与非空子集的个数问题,属于中等题型.17．已知集合{}3,A x x k k *=∈N ，{}6,B x x z z *=∈N 则下列结论正确的是（ ）A ．AB A =B ．A B B =C ．A B =D ．以上均不对答案：B 解析：集合A 为正整数中3的倍数构成的集合，集合B 为正整数中6的倍数构成的集合，由此能求出结果．详解： 解：集合{}3,A x x k k *==∈N ， ∴集合A 为正整数中3的倍数构成的集合，{}6,B x x z z *==∈N ，∴集合B 为正整数中6的倍数构成的集合，B A ∴．A B B ∴=．故选：B ．点睛：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．已知集合{}12,|A x x x Z =-≤≤∈，{}2x x y B y ==-+，则集合A B 的子集个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：先求得A B ，由此求得集合A B 的子集个数.详解：依题意{}1,0,1,2A =-，2111|()244B y y x ⎧⎫==--+≤⎨⎬⎩⎭，所以{}1,0A B ⋂=-，共有2个元素，故集合A B 的子集个数为224=个.故选：D点睛：本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集个数，属于基础题.19．若集合A ＝{}1，则下列关系错误的是（ ）A ．1A ∈B ．A A ⊆C ．A φ⊆D ．A φ∈答案：D解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可得答案.详解：由A ＝{}1，A. 1A ∈，根据元素与集合的属于关系，正确；B. A A ⊆，根据集合与集合的包含关系，正确；C. A φ⊆，根据集合与集合的包含关系，正确D. A φ∈，应为集合与集合的包含关系，即A φ⊆，错误，故选：D.点睛：本题考查元素与集合属于关系、集合与集合的包含关系，属于基础题.20．若集合A=1，3，x}，B=x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C解析：根据集合的包含关系可得x2=3或x2=x，解方程由集合的互异性即可求解. 详解：解析由B⊆A，知x2=3或x2=x，解得x=0，或x=1，当x=1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x=1舍去.故选：C。
高中数学必修一1.2 集合间的基本关系巩固练习(人教A版,含解析)(66)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}3,A x x k k *=∈N ，{}6,B x x z z *=∈N 则下列结论正确的是（ ） A ．A B A = B ．A B B = C ．A B = D ．以上均不对 2．满足{1}{1,2,34}A ⊆⊆，的集合A 的个数为（ ） A ．4B ．6C ．7D ．83．已知集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集的元素之和等于9，则123a a a ++=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．64．已知集合{}24A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若A B A =，则a 取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．()2,+∞5．集合{}|61,M x x k k Z ==+∈与集合{}|32,N x x k k Z ==-∈的关系为 A ．MNB ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M N φ=6．已知集合，，定义，则集合的所有非空真子集的个数为 A ．32 B ．31C ．30D ．以上都不对7．若非空集合{}1,2,3,4,5S ⊆，且若a S ∈，则必有6a S -∈，则所有满足上述条件的集合S 共有 A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个8．函数2()28f x x x =--的定义域是集合A ，函数()1g x x a=--的定义域是集合B ，且A B为空集，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(1,3]-D ．[1,3)-9．设集合,24k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，,42k N x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则M ，N 之间的关系为（ ） A ．MNB ．M NC ．M ND ．M N ⋂=∅10．若集合A 满足{},a b A ⊆ {},,,,a b c d e ，则集合A 的个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题1．写出满足关系式{}1,2A 的所有集合A =______． 2．已知集合{}1,2,3A =，集合满足A B A ⋃=，则集合有_________个．3．已知集合U=1，2，3，4，5，6，7，8}，A=1，2，3，4，5}，B=4，5，6，7，8}，则是集合U 的子集但不是集合A 的子集，也不是集合B 的子集的集合个数为____________ .4．已知集合{}2,1M a a =-，{}0,1N =-，若MN ，则a =______.5．满足条件{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =的所有集合A 的个数是________个 三、解答题 1．已知集合，．（1）若，求出所有满足Ü的集合；（2）若，求实数的取值范围．2．设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集个数为N ，这些子集记为12,,,N A A A .（1）当4n =时，求集合12,,,N A A A 中所有元素之和S ； （2）记i m 为(1,2,,)i A i N =中最小元素与最大元素之和，记()1Nii mf n N==∑，求()f n 的表达式.3．写出集合{,,}a b c 的所有子集.4．设[]1,1A =-，22B ⎡=⎢⎣⎦，函数2()21f x x mx =+-. （Ⅰ）设不等式()0f x ≤的解集为C ，当()C A B ⊆时，求实数m 取值范围； （Ⅱ）若对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，试求x B ∈时，()f x 的值域；（Ⅲ）设2()g x x a x mx =---，求()()f x g x +的最小值．5．设P=|x 2221x x ⎧-≤⎨≥⎩}，Q=|x 2220x ax a -++≤} ，a R ∈，（1）求P；，求a的取值范围．（2）若P Q参考答案一、单选题 1．B解析：集合A 为正整数中3的倍数构成的集合，集合B 为正整数中6的倍数构成的集合，由此能求出结果． 详解：解：集合{}3,A x x k k *==∈N ，∴集合A 为正整数中3的倍数构成的集合，{}6,B x x z z *==∈N ，∴集合B 为正整数中6的倍数构成的集合， BA ∴．A B B ∴=．故选：B ． 点睛：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．D解析：根据1}⊆A ⊆1，2，3，4}分析出集合A 的所有结果即可． 详解：因为1}⊆A ⊆1，2，3，4}，所以A ＝1}，1，2}，1，3}，1，4}，1，2，3}，1，2，4}，1，3，4}，1，2，3，4}， 故选D ． 点睛：本题主要考查集合的包含关系，是基础题． 3．C解析：写出集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集，然后相加即可得出答案. 详解：解：集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集为：{}{}{}{}{}{}123121323,,,,,,,,a a a a a a a a a ，则所有非空真子集的元素之和为：()12312132312339a a a a a a a a a a a a ++++++++=++=，所以1233a a a . 故选：C. 4．C解析：由条件可知A B ⊆，列不等式求a 的取值范围. 详解：由A B A =知A B ⊆，故234a a -<⎧⎨+≥⎩，解得1a ≥． 故选：C ． 5．B解析：集合M 中任意元素x 满足()613212x k k =+=+-，由此可得出集合M 是集合N 的子集，即可得出结论. 详解：集合M 中的任意元素x 都有()613212x k k =+=+-，由题意可知21k +为奇数 由于集合N 中的任意元素x 都有32,x k k Z =-∈ 所以M N ⊆ 故选B 点睛：本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题. 6．C解析：根据新定义的运算可知，的所有非空真子集的个数为，故选C.7．B 详解：试题分析：因为非空集合{}1,2,3,4,5S ⊆，且若a S ∈，则必有6a S -∈，所有满足上述条件的集合S {}{}{}{}{}{}{}31,52,41,3,52,3,4124,51,2,3,4,5，，共7个，故选B.考点：1、集合的子集；2、元素与集合.8．A解析：分析：根据偶次根式被开方数非负解得集合A ，根据分母不为零解得集合B ，再结合数轴根据A B ⋂为空集，解得实数a 的取值范围.详解：()f x == 定义域为2(1)90x --≥，解得(,2][4,)x ∈-∞-⋃+∞， ∴{|2A x x =≤-或4}x ≥，()g x =10x a -->，解得11a x a -<<+，∴{}|11B x a x a =-<<+， 又∵A B =∅，∴12{14a a -≥-+≤，解得13a -≤≤． 故选A ．点睛：具体函数定义域主要考虑：(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.（3）对数中真数大于零.(4)零次幂得底不为零. 9．A解析：从元素满足的公共属性的结构入手，对集合N 中的k 分奇数和偶数讨论，从而可得两集合的关系． 详解：对于集合N ，当21k n n Z =-∈，时，,24n N x x n Z M ππ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭， 当2k n n Z =∈，时，1,2n N x x n Z π⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭， ∴集合M 、N 的关系为M N .故选：A. 点睛：本题考查象限角的概念，考查集合的包含关系判断及应用，属于常考题. 10．B解析：试题分析：由已知可得集合A 至少函数含有,a b 可能含有,,c d e 中的一个，两个或不含这几个元素，合计共有7种情况 考点：集合的子集二、填空题 1．∅，{}1，{}2解析：先写出集合1,2}的所有子集,再除去1,2}. 详解：因为集合1,2}的所有子集为:∅,1},2},1,2},其中1,2}不是真子集, 所以A=∅,或A=1}或A=2}. 故答案为: ∅，{}1，{}2. 点睛：本题考查了子集、真子集的概念以及由集合写子集和真子集.属于基础题. 2．8解析：试题分析：由题意可知A B A B A ⋃=⇒⊆，又集合A 有3个元素，则集合B 的个数为328=.考点：集合的关系与运算.3．196个解析：先找出集合U 的子集个数，再减去集合A 或集合B 的子集个数，即可得出结果. 详解：集合U 的子集个数为28，其中是集合A 或集合B 的子集个数为552222+-，所以满足条件的集合个数为()85522222196-+-=.点睛：本题主要考查子集的概念，解题的关键是会判断子集个数. 4．0解析：根据集合相等的定义和集合中元素的互异性，即可求出a 的值. 详解：解：由题可知，{}2,1M a a =-，{}0,1N =-，因为M N ，而20a ≥，所以20a =，11a -=-，则0a =. 故答案为：0. 5．16解析：先计算{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，由结果可知集合A 中应有元素9，然后元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，从而得到答案.详解：因为{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =， 而{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=， 所以可得集合A 中一定有元素9，所以元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ， 而集合{}1,3,5,7的子集有42=16个， 故满足要求的集合A 的个数是16. 故答案为：16. 点睛：本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.三、解答题 1．(1)，，，，，，．(2) 解析：（1）集合用列举法表示为,当时,,根据Ü,则为的非空子集,依次列出即可（2）先讨论是否为,再当不为时,根据方程的根与中元素的相等情况进行讨论详解： （1）集合.当时,集合, 由,可得是的非空子集,共有（个）,分别为,,,,,,.（2）对于方程, 当时,,即,满足.当时,,即,方程有实数根,且实数根是,1,中的数.若是方程的实数根,则有,此时,不满足.故舍去； 若1是方程的实数根,则有,此时,不满足,故舍去；若是方程的实数根,则有,此时,不满足,故舍去.综上可得，实数的取值范围为.点睛：本题考查子集、真子集的定义,考查列举法表示集合,考查分类讨论思想,讨论后注意检验,属于易错题2．（1）30；（2）()+1f n n =.解析：（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个，进而可求解；（2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21C n -个，以n 为最大元素的子集有21C n -个；以2为最小元素的子集有22C n -个，以1n -为最大元素的子集有22C n -个，进而求得1Ni i m =∑，即可求解.详解：（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个，于是所求元素之和为23(1234)C 30+++⨯=.（2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21C n -个，以n 为最大元素的子集有21C n -个；以2为最小元素的子集有22C n -个，以1n -为最大元素的子集有22C n -个 以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个. 所以222121221(+1)(C C C )Ni N n n i m m m m n --==+++=+++∑2223222312331244(+1)(C C C C )(+1)(C C C C )n n n n n n ----=++++=++++()31(+1)n n C n N ==+=，所以()1+1Nii mf n n N===∑.3．∅，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c . 解析：根据子集的定义枚举列出即可. 详解：集合{,,}a b c 的所有子集有：∅,{}a ,{}b ,{}c ,{,}a b ,{,}a c ,{,}b c ,{,,}a b c .点睛：本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型.4．（Ⅰ）11m -≤≤（Ⅱ）[-．（Ⅲ）当12a ≤-时，函数的最小值为54a --；当1122a -<≤时，函数的最小值为21a -；当12a >时，函数的最小值为54a -+ 解析：（Ⅰ）根据()C A B ⊆，且[1,1]A B =-，可知满足题意的条件为使函数()f x 与x 轴的两个交点横坐标12,[1,1]x x ∈-，可得关于m 的不等式组，解不等式组即可得m 的取值范围； （Ⅱ）根据(1)(1)f x f x +=-可得对称轴，即可求得m 的值．则二次函数在B 集合内的值域即可求出；（Ⅲ）对a 分类讨论，在a 的不同取值范围下讨论()()f x g x +的单调性，即可求得在a 不同取值范围时的最小值． 详解：（Ⅰ）[1,1]A B =-，因为()C A B ⊆⋃，二次函数2()21f x x mx =+-图象开口向上，且280m ∆=+>恒成立，故图象始终与x 轴有两个交点，由题意，要使这两个 交点横坐标12,[1,1]x x ∈-，当且仅当(1)0(1)0114f f m ⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-<-<⎩， 解得11m -≤≤ （Ⅱ）对任意x ∈R 都有(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 图象关于直线1x =对称 所以m14-=，得4m =- 所以2()2(1)3f x x =--为22⎡-⎢⎣⎦上减函数．min ()f x =-max ()f x =故x B ∈时，()f x值域为[-．（Ⅲ）令()()()x f x g x ϕ=+，则2()||1x x x a ϕ=+--（i ）当x a ≤时，2215()124x x x a x a ϕ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当12a ≤，则函数()x ϕ在(,]a -∞上单调递减， 从而函数()x ϕ在(,]a -∞上的最小值为2()1a a ϕ=-．若12a >，则函数()x ϕ在(,]a -∞上的最小值为1524a ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，且1()2a ϕϕ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． （ii ）当x a ≥时，函数2215()124x x x a x a ϕ⎛⎫=+--=+-- ⎪⎝⎭ 若12a ≤-，则函数()x ϕ在(,]a -∞上的最小值为1524a ϕ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且1()2a ϕϕ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭若12a >-，则函数()x ϕ在(,)a +∞上单调递增，从而函数()x ϕ在(,)a +∞上的最小值为2()1a a ϕ=-． 综上，当12a ≤-时，函数()x ϕ的最小值为54a -- 当1122a -<≤时，函数()x ϕ的最小值为21a - 当12a >时，函数()x ϕ的最小值为54a -+点睛：本题考查了二次函数根的分布，二次函数的对称性及值域，含参数二次函数的最值与单调性综合应用，属于难题．5．(1) [1,4]P =.(2) (－1，187]． 解析：（1）利用绝对值不等式的解法以及一元二次不等式的解法求解不等式组，即可得到集合P ；(2)分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解2220x ax a -++≤，利用包含关系列不等式，从而可得a 的取值范围.详解：（1）由222x -≤-≤，得04x ≤≤由21x ≥，得11x x ≥≤-或[]1,4P ∴=（2）［1，4］Q ⊇有两种情况：其一是Q=∅，此时Δ＜0；其二是Q≠∅，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围．设f(x)=x 2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a 2－a －2)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，Q=∅ ⊆［1，4］；当Δ=0时，a=－1或2；若a=－1时Q=－1}不合要求；若a=2时，Q=2}⊆［1，4］．当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2．设方程f(x)=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么Q=［x 1，x 2］，Q ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4()()10,4014,0f f a ⎧≥≥⇔⎨≤≤∆>⎩且且， 即301870012a a a a a -+>⎧⎪->⎪⎨>⎪⎪-⎩或，解得2＜a ≤ 187， 综上可知：P Q ⊇时，a 的取值范围是(－1，187]． 点睛： 本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的子集以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。
人教A版高中数学必修一1.2 集合间的基本关系专练(含解析)(29)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．集合{1,0,1}A =-的子集中，含有元素0的子集共有（ ） A ．8个 B ．4个 C ．3个 D ．2个2．M ＝x|x 3＝x}，N ＝x|x 2＝1}，则下列式子中正确的是（ ）A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M∩N＝∅3．下列六个关系式:⑴(){}{}(){}(){}(){}(){}{,}{,}2,,304005060a b b a a b b a ⊆==∅∈∅∈∅⊆其 中正确的个数为（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．少于4个4．设集合M=-1,1},N=x|x ＜0或x ＞12},则下列结论正确的是 A ．N ⊆M B ．N∩M=∅C ．M ⊆ND ．M∪N=R5．设集合，，则的子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．设集合，则下列关系中正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．7．若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ）A ．62B ．32C ．64D ．308．集合{}1,4,A x =，{}2,1B x =，B A ⊆，则满足条件的实数x 的值为（ ）A ．1或0B ．1，0或2C ．0，2或2-D ．1或29．若集合{}{}1,2,3,4a b c d =，，，，且下列四个关系：①1a =； ②1b ≠；③2c =； ④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序实数组()a b c d ，，，的个数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．810．下列集合中，表示空集的是A ．{}0B ．(){},,0x y y x x =-≤ C ．{}2560,x x x x N ++=∈D ．{}24,x x x Z <<∈二、填空题1．已知集合{}21,3,A a =，{}1,2B a =+，若A B A ⋃=，则实数a =__________.2．若集合(){}22210A x k x kx =+++=有且仅有1个真子集，则实数k 的取值集合是_______.3．已知集合，若，则实数的取值范围是___4．已知A ＝－1，3，2－1，B ＝3，．若BA ，则实数＝ ______．5．已知集合M {4,7,8}≡，M 的子集中至多有一个偶数的集合共有 个.三、解答题 1．已知集合，.（l ）当时，求；（2）求使的实数的取值范围.2．设集合A ＝x|x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝x|x 2－4x ＋a ＝0，a 为常数}，若B A ，求实数a 的取值范围．3．已知集合{}1,,a b 与{}2,,a a ab 相等，求实数a ，b 的值．4．已知集合A ＝x|2x ≥或2x <-}，B ＝x|x≤a－3}． (1)当a ＝2时，求(R C A )∩B；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．5．已知集合{|36}A x x =<<，{|29}B x x =<<． （Ⅰ）求A B ，()()R R C A C B ⋃；（Ⅱ）已知集合{|21}C x a x a =<<-，若B C B ⋃=，试求实数a 的取值范围．参考答案一、单选题 1．B解析：本题先将集合{1,0,1}A =-的子集都列举出来，再找含有元素0的子集即可解题. 详解：解：集合{1,0,1}A =-的子集：φ，{}1-，{0}，{1}，{1,0}-，{1,1}-，{0,1}，{1,0,1}-，其中含有元素0的子集共有4个. 故选：B 点睛：本题考查集合的基本关系，含有特殊元素的子集个数，是基础题. 2．C解析：求得两个集合的元素，由此确定正确选项. 详解：()()()332,0,1110x x x x x x x x x =-=-=+-=，所以{}0,1,1M =-，()()21,110x x x =+-=，所以{}1,1N =-，所以N M ⊆.故选：C 3．C 详解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间的关系可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确，即正确的关系式个数为4个， 故选C.点睛：本题主要考查了：（1）点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，； （2）元素和集合之间是属于关系，子集和集合之间是包含关系； （3）不含任何元素的集合称为空集，空集是任何集合的子集．4．C解析：因为M=-1,1},N=x|x ＜0或x ＞12{}11,1,02M N x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭＜或,所以可知M N ⊆ .故选C.5．A 详解：试题分析：椭圆与指数函数图像有两个交点，即含两个元素，子集个数为4.考点：椭圆与指数函数图像,子集个数.6．D 详解：此题考查集合与元素间的关系 解：由于，所以.是元素不是集合用错，故A,B错；表示集合，集合和集合之间用，错；故C 错..7．D解析：先确定集合S 中元素的个数，再由集合的真子集的个数和元素个数间的关系求解. 详解：因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S 一共有5个元素， 所以S 的非空真子集个数是52230-=个. 故选：D 点睛：本题主要考查集合元素的特征及集合的基本关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 8．C解析：根据结合的包含关系，列出式子，求解即可. 详解：因为B A ⊆，所以24x =或2x x =， 若24x =，则2x =±，符合题意； 若2x x =，则0x =或1x =，当1x =时，不符合集合的互异性，舍去；当0x =时，符合题意. 所以满足条件的x 的值有：2，2-，0. 故选：C. 点睛：本题考查集合的包含关系，注意集合的互异性，属于基础题.9．B解析：若①正确，则①②正确，不符合条件；②正确可得有序数组()2,3,1,4、()3,2,1,4符合条件；③正确可得有序数组()3,1,2,4符合条件；④正确可得有序数组()2,1,4,3、()3,1,4,2、()4,1,3,2符合条件，共6组.详解：①正确，即1a =，则①②正确，不符合条件；②正确，则①③④错误，得4d =，则a =2或a =3，有序数组()2,3,1,4、()3,2,1,4符合条件； ③正确，①②④错误，得214c b d ===，，，有序数组()3,1,2,4符合条件；④正确，①②③错误，得1b =，则a =2或a =3或a =4，有序数组()2,1,4,3、()3,1,4,2、()4,1,3,2符合条件，共6组. 故选：B 点睛：本题考查逻辑推理、集合相等的概念，属于基础题. 10．C解析：没有元素的集合是空集，逐一分析选项，得到答案. 详解：A.不是空集，集合里有一个元素，数字0，故不正确；B.集合由满足条件的,0y x x =-≤上的点组成，不是空集，故不正确；C.2560x x ++=，解得：2x =-或3x =-，都不是自然数，所以集合里没有元素，是空集，故正确；D.满足不等式的解为3x =±，所以集合表示{}3,3-，故不正确. 故选C 点睛：本题考查空集的判断，关键是理解空集的概念，意在考查分析问题和解决问题的能力.二、填空题 1．2解析：由已知及A B A ⋃=可得BA ，则23a +=或22a a +=，分别解出a 得值，再检验集合A 、B 满足互异性即可.详解：由已知及A B A ⋃=可得B A ，所以23a +=或22a a +=，当23a +=即1a =时，此时{}1,3,1A =不满足元素互异性，不符合题意， 当22a a +=即1a =-或2a =，若1a =-则{}1,3,1A =不满足元素互异性，不符合题意， 若2a =则{}1,3,4A =，{}1,3B =，满足B A ，符合题意.所以实数2a =， 故答案为：2.2．{}2,1,2--解析：根据集合A 只有一个真子集，判断出集合A 中只有1个元素.根据二次项系数20k +=或20k +≠两种情况进行分类讨论，由此求得实数k 的取值集合.详解：由集合A 有且仅有1个真子集可得A 中含有1个元素，当2k =-时，{}14104A x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意；当2k ≠时，()24420k k ∆=-+=，解得1k =-或2k =.所以实数k 的取值集合是{}2,1,2--故答案为{}2,1,2-- 点睛：本小题主要考查根据集合真子集的个数判断集合元素的个数，考查方程20ax bx c ++=有一个解的条件，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 3．详解：次考查集合的运算和集合间的关系 思路分析：因为，要使，即中任意元素都在中，必须满足.4．1 详解：由2211m m m =-⇒=，经检验，1m =为所求5．6 详解：.子集可以为,{4},{4,7},{8},{8,7],{7}共6个，故答案为6点睛：本题主要考查了集合的关系，要解决本题关键就是知道集合“子集”定义，注意：空集是任何集合的子集.三、解答题1．（1）；（2）或解析：（1）当时，可直接求出集合与集合，再根据交集求解即可（2）易解得集合，由于集合中与2的大小存在不确定性，需对参数进行分类讨论，再根据包含关系进一步求解详解：（1）当时，，，所以.（2）由题意，得.当时，，此时不成立；当时，，由，得，解得；当时，，由，得，解得.故实数的取值范围为或.点睛：本题考查含参不等式的解法和根据集合包含关系求参，解此类题型要熟悉二次不等式中的因式分解法，要学会借鉴数轴图加以辅助理解，同时还要学会对参数进行分类讨论2．{}4|a a ≥解析：对集合B 分两种情况：B ＝∅或B≠∅，进行讨论： 当B ＝∅时，利用判别式直接求解；当B≠∅时，根据x 2－4x ＋a ＝0根的情况即可求解. 详解：由已知得A ＝1，2}．若B A ，则集合B 有两种情况，B ＝∅或B≠∅ 当B ＝∅时，方程x 2－4x ＋a ＝0无实根，∴1640a ∆＝－＜，∴a＞4． 当B≠∅时，若Δ＝0，则有a ＝4，B ＝2}⊆A 满足条件； 若Δ＞0，则1，2是方程x 2－4x ＋a ＝0的根， 但由根与系数的关系知矛盾，故Δ＞0不成立． ∴当B≠∅时，a ＝4．综上所述，满足B A 时，a 的取值范围是{}4|a a ≥． 3．1,0-解析：如果两个集合相等，那么这两个集合的元素应该相同，这样可以列出方程组，解方程组求出实数a ，b 的值，要注意集合元素之间的互异性. 详解：因为集合{}1,,a b 与{}2,,a a ab 相等，所以有：（1）21,1.a a ab b ⎧=⇒=⎨=⎩或1,0.a b =-⎧⎨=⎩，当1a =时，不符合集合元素的互异性，故舍去；当1,0.a b =-⎧⎨=⎩时，符合集合元素的互异性; （2）21,, 1.1.a a b b ab =⎧=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，不符合集合元素的互异性，故舍去, 所以1,0a b =-=. 点睛：本题考查了根据集合相等，求实数的值问题.考查了分类思想、运算能力.本题值得注意的是要注意到集合元素的互异性.4．(1) (R C A )∩B＝x|－2≤x≤－1}． (2) a ＜1解析：（1）由题意，当2a =时，求得集合B ，进而求得U C A ，再利用集合的交集的运算，可求解；（2）由A B A ⋃=，得B A ⊆，根据集合的运算，即可求解. 详解：(1)当a ＝2时，B ＝x|x≤－1}． 又A ＝x|x ＜－2或x≥2}， ∴R C A ＝x|－2≤x＜2}．∴(R C A )∩B ＝x|－2≤x＜2}∩x|x≤－1}＝x|－2≤x≤－1}． (2),A B A B A ⋃=∴⊆∵A＝x|x ＜－2或x≥2}，B ＝x|x≤a－3}， ∴a－3＜－2，即a ＜1.所以，,A B A ⋃=若则实数a 的取值范围是a ＜1 点睛：本题考查集合的运算问题，对于集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．5．（Ⅰ）{|36}A B x x ⋂=<<，()()R R C A C B ⋃{|36}x x x =≤≥或；（Ⅱ）1a ≤或25a ≤≤. 解析：试题分析：（I ）根据交集与并集、补集的定义，计算即可；（II ）由B C B ⋃=得C B ⊆，讨论C =∅和C ≠∅时，求出实数a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）∵集合{|36}A x x =<<， {}|29B x x =<<， ∴{|36}A B x x ⋂=<<，∴()()()R R R C A C B C A B ⋃=⋂ {|36}x x x =≤≥或；（Ⅱ）∵{|21}C x a x a =<<-，且B C B ⋃=， ∴C B ⊆， 当C =∅时，21a a ≥-，计算得出1a ≤； 当C ≠∅时，计算得出25a ≤≤；综上，实数a 的取值范围是1a ≤或25a ≤≤.。
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高中数学：集合之间的关系与运算练习1．设A ＝{正方形}，B ＝{矩形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{梯形}，则下列包含关系中不正确的是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆CC ．C ⊆D D ．A ⊆C2．下列命题中正确的是( )A ．空集没有子集B ．空集是任一集合的真子集C ．空集中的元素个数为零D ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集3．集合A ＝{x|0≤x<3，且x∈N }的真子集个数为( )A ．16B ．8C ．7D ．44．用恰当的符号填空(＝，⊆，⊇)．(1)已知集合M ＝{1,3,5}，集合P ＝{5,1,3}，则M__________P ；(2)设集合A ＝{x|(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝{x|x －3x ＋3＝0}，则A__________B. 5．用适当的符号填空． (1)a____{a ，b ，c}； (2)0____{x|x 2＝0}；(3)∅____{x|x 2＋1＝0}；(4){0,1}____N ；(5){0}____{x|x 2＝x}；(6){2,1}____{x|x 2－3x ＋2＝0}．1．若集合A ＝{正方形，}B ＝{菱形}，C ＝{矩形}，D ＝{平行四边形}，则下列关系中错误的是……( )A ．AB CB ．A B DC ．A C DD ．A C B2．若集合M ＝{(x ，y)|xy>0且x ＋y>0}，N ＝{(x ，y)|x>0，y>0}，则有( )A ．N∈M B．N MC ．N MD ．M ＝N3．设集合M ＝{x|x>1}，P ＝{x|x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．P MC ．M PD ．M∪P＝R4．已知集合A ＝{x|x 2＝a 2，a>0}，B ＝{x|nx ＝a}，若B A ，则n 的取值集合为__________．5．已知A ＝{a,0，－1}，B ＝{c ＋b ，1a ＋b，1}，且A ＝B ，则a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________.6．已知a∈R ，x∈R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a}，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}．求：(1)使A ＝{2,3,4}的x 值；(2)使2∈B，B A 的a ，x 的值；(3)使B ＝C 的a ，x 的值．7．若A ＝{x|－3≤x≤4}，B ＝{x|2m －1≤x≤m＋1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围．1．下列各式中，正确的是( )A ．23⊆{x|x≤4}B ．23∈{x|x≤4}C ．{23}{x|x≤3}D ．{23}∈{x|x≤4}2．与集合{x∈N |x>1，且x≤3}相等的集合是( )A ．{2}B ．{1,2,3}C ．{x|x ＝3，或x ＝2}D ．{x|x ＝3，且x ＝2}3．设集合A ＝{x|1<x<2}，B ＝{x|x<a}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a>2C ．a≤1D ．a>14．设A ＝{0,1}，B ＝{x|x ⊆A}，则A 与B 的关系是( )A ．A BB ．A∈BC ．B ⊆AD ．A ＝B5.A ＝{1,3，a}，B ＝{a 2－a ＋1,1}，且B ⊆A ，则a ＝__________.6.已知集合A ＝{(a ，b)|a 2＋2b －1＝2a －1，a∈R ，b∈R }，B ＝{(1，12)}，则A____B. 7．满足{1,2,3}A {1,2,3,4,5}的集合A 的个数有__________个．8．已知集合M 满足{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，写出所有可能的集合M.9．同时满足①M⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M则6－a∈M的非空集合M有多少个？写出这些集合．10．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}．写出满足下列条件的一个集合 C.C 中各元素加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减去2后，则变为B的一个子集．答案与解析课前预习1．C 四个集合之间的关系借助维恩图表示为：显然，A⊆B⊆C，而C⃘D.2．C 空集是任意集合的子集，是任一非空集合的真子集．3．C A＝{0,1,2}，则A的单元素子集有{0}，{1}，{2}；双元素子集有{0,1}，{0,2}，{1,2}；还有空集，故共有7个真子集．点评：含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集．4．(1)＝(2)⊇(2)∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴A⊇B.5．(1)∈(2)∈(3)＝(4)(5)(6)＝(1)是元素和集合的关系；(2)是元素和集合的关系，且{x|x2＝0}＝{0}；(3)是集合与集合的关系，且{x|x2＋1＝0}＝∅；(4)是集合与集合的关系；(5)是集合与集合的关系，且{x|x2＝x}＝{0,1}；(6)是集合与集合之间的关系，且{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．课堂巩固1．A 正方形是特殊的菱形和矩形；菱形和矩形是特殊的平行四边形．2．D 关键要弄清集合M 、N 中元素的特征性质，其中M 中元素满足：xy>0且x ＋y>0，即为x>0，y>0，所以与N 中元素的特殊性质相同，故M ＝N.3．C 由x 2>1可得x>1或x<－1，∴M P.4．{0，－1,1} ∵A＝{－a ，a}，当n ＝0时，nx ＝a 无解，即B ＝∅；当n ＝－1时，B ＝{－a}；当n ＝1时，B ＝{a}，∴n 的取值集合为{0，－1,1}．5．1 －2 2 由A ＝B 可得a ＝1，c ＋b ＝0，1a ＋b ＝－1，∴a＝1，b ＝－2，c ＝2.6．解：(1)由题意知{2,3,4}＝{2,4，x 2－5x ＋9}，∴x 2－5x ＋9＝3.解得，x ＝2或x ＝3.(2)∵2∈B，B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋9＝3，x 2＋ax ＋a ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－23，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－74，x ＝3.(3)∵B＝C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(a ＋1)x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，x ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，x ＝－1.7．解：∵B ⊆A ，∴B＝∅或B≠∅.当B ＝∅时，得2m －1>m ＋1，∴m>2；当B≠∅时，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≤m＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4.解之，得－1≤m≤2.综上所述，m 的取值范围为m≥－1.点评：本题容易忽略B ＝∅的情况，出现B ⊆A 或B A 时，一定要讨论全面． 课后检测1．B 弄清楚元素与集合之间，集合与集合之间的关系如何正确表达．2．C {x∈N |x>1，且x≤3}＝{2,3}＝{x|x ＝2，或x ＝3}．3．A 借助数轴：点评：当研究数集之间的关系时，数轴是很有效的工具．4．B 集合B 中元素的特征性质是x ⊆A ，∴x 是A 的子集，即集合B 是由集合A 的全体子集所构成的．∴A∈B.点评：B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，集合A 只是集合B 中的一个元素．5．－2或2 ∵B ⊆A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，由a 2－a ＋1＝3解得a ＝－1或2，由a 2－a ＋1＝a 解得a ＝1，不合题意，∴a＝－1或2.6．＝ A ＝{(a ，b)|a 2＋2b －1＝2a －1，a∈R ，b∈R }＝{(a ，b)|－(a －1)2＝2b －1，a∈R ，b∈R }＝{(1，12)}＝B. 7．2 因为{1,2,3}A ，所以A 中至少含有元素1,2,3.同时A {1,2,3,4,5}，所以A 不可能为{1,2,3,4,5}．所以符合题意的集合A 只可能为{1,2,3,4}或{1,2,3,5}．8．解：①当M 中含有两个元素时，M 为{1,2}；②当M 中含有三个元素时，M 为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；③当M 中含有四个元素时，M 为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；④当M 中含有五个元素时，M 为{1,2,3,4,5}．所以满足条件的集合M 为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．9．解：由题意知，a∈M,6－a∈M，且M ⊆{1,2,3,4,5}，故以M 中元素的个数进行分类．①M 中含1个元素时，若3∈M，则6－3∈M，∴M＝{3}；②M 中含2个元素时，M 为{1,5}，{2,4}；③M 中含3个元素时，M 为{1,3,5}，{2,3,4}；④M 中含4个元素时，M 为{1,2,4,5}⑤M 中含5个元素时，M 为{1,2,3,4,5}．因此满足条件的集合共有7个，即{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5，}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．10.解：若A 中元素减去2，得0,2,4,6,7，则C 中元素必在其中，B 中元素加2得3,4,5,7,10，则C 中元素必在其中，所以C 中元素只能是4或7.故C ＝{4}，或C ＝{7}，或C ＝{4,7}．点评：本题采用了逆向思维的方式，要体会“正难则反”的思维方法．。