矢量分析与场论(定理一及例题)

r r ur r r ur i jk i jk
ur rot A
x y z x y z
P Q R ux uy uz
r
r
ur
( uzy uyz ) i ( uxz uzx) j (uyx uxy ) k
∵ 函数P,Q,R具有一阶连续偏导数,
∴ 函数u具有二阶连续偏导数.
ur r
ur
∴ rot A 0, 即 A为无旋场.
而全体势函数为 v sin y x2 yz 2 c
例2. 用不定积分法求例1中矢量场的势函数.
解：在例1中已经证得A为有势场，故存在函数u满足
ur A gradu, 即有
由第一个方程对x积分，得
与 代入
比较，得 得
从而，势函数
v
v
v
v
例3. 证明 A 2xyz3i x2z3 jur 3xr2 yz2k
ur ( x0 , y0 ,z0 )
下面证明这个u(x,y,z)满足 A gradu,只要证明
P ux , Q uy , R uz
u u( x x, y, z) u( x, y, z)
( xx, y,z)
( x, y,z)
Pdx Qdy Rdz
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
1. ▽θ；读作“grad θ ”， 此时θ必须是个标势函数或标量，▽θ表示θ的梯度。 2. ▽·A；读作“div A”, 此时A必须是矢势函数或矢量，▽·A标势A的散度。 3. ▽×A，读作“rot A”,
此时A必须是矢势函数，或矢量，▽×A标势A的旋度。
[充分性]
设
uAr为无旋场，即在场中处处有rotuAr
( x, y,z)
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
以任一路径从点M0( x0 , y0 , z0 ) 到点 M( x, y, z) 积分,求出函数u后，再令v =-u就会得到势函数.
一般为了简便,常选取平行于坐标轴的折线来 作为积分路径.
选取积分路径：
所以
vv A dl
x2 yz3
B
12 4
8
»AB
A
代入公式
v
v
v
v
例4. 若 A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k 为保守场，
则存在函数u(M )使
vv
B
A dl u(M ) u(B) u( A)
AB
A
得
y
z
ur
定理1. 在线单连域内,矢量场A 为有势场的
ur
充要条件是 A为无旋场.
此性质表明：
ur r A dl Pdx Qdy Rdz
u dx u dy u dz x y z
du
即表达式
ur A
r dl
Pdx
Qdy
Rdz是函数u的全微
ur r
分,也称函数u为表达式 A dl Pdx Qdy Rdz的
2. 有势场的判定
ur
定理1. 在线单连域内,矢量场A 为有势场的
ur
充要条件是 A为无旋场.
证 [必要性]
设
v A
P( x,
y,
v z)i
Q( x,
y,
v z) j
R( x,
y,
v z)k
ur
如果 A为有势场，则存在函数u(x, y, z)满足
ur A gradu,
即 P ux , Q uy , R uz
原函数.
ur r
一般地,称具有曲线积分M¼0M A d l 与路径
无关性质的矢量场为保守场.
在线单连域内,以下四个命题彼此等价：
1) 场有势(梯度场);
2) 场无旋；
3) 场保守；
4)表达式
ur A
r dl
Pdx
Qdy
Rdz是某个函数的
全微分.
3.势函数的求法
在场中选定一点 M0( x0 , y0 , z0 ), 用公式
r 0,
对于场中的任何封闭曲线l,则
ur r
ur ur
Ñl A dl
(rot A) d S
urS r
0
因此曲线积分 M0M
A
d
l与路径无关.
其积分值只
与起点 M0( x0, y0, z0 )和终点 M(x, y, z)有关.
记
( x, y,z)
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
Pdx Qdy Rdz
P( x, y, z)dx
( x,y,z)
( x,y,z)
x x
x P( x, y, z)dx P( x x, y, z) x
∴ u P( x x, y, z)
x
∴ u P( x, y, z)
x
同理可证 u Q( x, y, z), u R( x, y, z)
z
R(x, y, z)dz z0
为简便计算，取 M0 ( x0 , y0 , z0 ),为坐标原点O（0,0,0） 否则，求出的势函数与此只相差一个常数
u
x
0dx
y
cos ydy
z 2x 2 yzdz sin y x 2 yz 2
0
0
0
于是得势函数 v u sin y x2 yz 2
( x0 , y0 ,z0 )
( x, y,z)
Pdx Qdy Rdz
( xx , y,z )
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
( x,y,z)
( x, y,z)
Pdx Qdy Rdz
Fra Baidu bibliotek
( x0 , y0 ,z0 )
( xx , y ,z )
( xx , y ,z )
为保守场，并计算曲线积分 A d l,其中 »AB
A(1, 4,1), B(2, 3,1).
解：显然 2 yz3
D
uv A
2xz3
6 xyz 2
2 xz 3 0
3x2 z 2
6xyz2
3
x
2
z
2
6x2 yz
得rotAv 0v， 故Av为保守场。
d (x2 yz3 ) A dl 2xyz3dx x2 z 3dy 3x2 yz 2dz
例1.
证明矢量场
v
r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为有势场，并求其势函数.
解： u( x, y, z) (x,y,z) Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
x
x0 P( x, y0, zo )dx
y
y0 Q( x, y, z0 )dy
z
R(x, y, z)dz z0
例1. 证明矢量场
v
r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为有势场，并求其势函数.
解：由
2 yz2
D
uv A
2xz
2
4xyz
2 xz 2 sin y 2x2z
4xyz
2
x
2
z
2x2 y
得rotAv 0v， 故Av为有势场。
M0( x0 , y0 , z0 ) R( x, y0 , z0 ) S(x, y, z0 ) M(x, y, z)
则
( x, y,z)
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
x
y
x0 P( x, y0, zo )dx y0 Q( x, y, z0 )dy