[N1,N2]离散均匀分布第i顺序统计量
§2-3 顺序统计量,经验分布函数
一．顺序统计量及其分布
例题 1
设总体 X 在 ( 0, ) 上服从均匀分 布，求容量为 2 的样本 ( X1, X2) 的顺序 统计量X (1),X (2) 的联合概率密度，并且
讨论X (1) , X (2) 是否相互独立．
1 f ( x) θ 0
0 xθ 其它
f1, 2 ( x1 , x2 ) 2! f ( x1 ) f ( x2 )
从而是统计量（随机变量）。 （3）当样本容量 n 足够大时，总体的经验分布 函数是它的理论分布函数很好的近似。
样本点：20
样本点：40
样本点：150
三、直方图
三． 直方图
概率密度函数的 估计问题
设 ( x1, x2, …, xn ) 是来自连续型总体
X ~f ( x )的一个样本观测值，试估计未知
§2-3 顺序统计量 经验分布函数
一、顺序统计量及其分布 二、经验分布函数及其性质
三、直方图
一、顺序统计量及其分布
一．顺序统计量及其分布
顺序统计量的定义
设 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X ～F ( x) 的样本， 将它们按从小到大的次序排列为 X (1)≤X (2) ≤ … ≤X (n) ， 则称X (1), X (2) , … ,X (n) 为由样本X1, X2, …, Xn 生成的顺序 统计量， X (k),称为第 k 个顺序统计量． 最大顺序统计量 最小顺序统计量 X (n) = max {X1, X2, …, Xn} X (1) = min {X1, X2, …, Xn}
三． 直方图
概率密度函数 的 估计问题
步骤 1 设 ( x1, x2, …, xn ) 是来自连续型总体 X ~f ( x )的一个样本观测值 ，试估计未知的 概率密度函数 f ( x ) 。
次序统计量理论及应用
顺序统计量的分布及其应用探究学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。
经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数：1.离散型随机变量子样最小值的分布律为)(])1()!(!![)(11)1(I r pi r p l n l n x X P nl l n rl lr∈--==∑∑=-=2.离散型随机变量子样最大值的分布律为)(])1()!1()!1(![)(11111)(I r pi r p j n j n x X P nj j r l j n rn ∈-+--==∑∑=--=+-3.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数4.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数为关键词 最小顺序统计量，最大顺序统计量，第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数引言顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于顺序统计量有一些性质不依赖于母体的分布，并且计算量很小，使用起来较方便，因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。
顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。
定义定义1：设(X 1，X 2…，X n )是总体X 的一个样本，假如样本的实值函数g(X 1，X 2…，X n )不依赖任何未知的量，则称g(X 1，X 2…，X n )为统计量。
[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计
![[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计](https://img.taocdn.com/s3/m/90363b11c281e53a5802ff71.png)
N1,N2 离散均匀分布参数的点估计本文基于Wolfram Mathematica 9,讨论了 N1,N2 离散均匀分布参数的点估计，包括矩估计法和极大似然估计。
并通过程序产生伪随机数进行模拟。
N1,N2 区间内的离散均匀分布，我们记作DU N1,N2 。
总体均值Μ m1 N1 N22，方差Σ2 1121 1 N1 N2 2 。
X 1,X 2, ,X n 为其一简单随机样本，X 1 ,X 2 , ,X n 为样本顺序统计量。
一、矩估计当N1，N2其中一个已知时，可知另一个即N1 2m1 N20或N2 2m1 N10，用样本矩估计总体矩m1 X 1n n i 1X i ，即得N1 2m1 N20或N2 2m1 N10。
当N1，N2其均未知时，显然方差是均值的函数，因此，无法用样本均值和方差估计出参数N1、N2。
我们考虑二阶原点矩m2 16N1 2N12 N2 2N1N2 2N22 ,将N2 2m1 N1代入，得到：m2 13m1 4m12 N1 2m1N1 N12 。
整理得到：N12 2m1 1 N1 4m12 m1 3m2 0,令b 2m1 1,c 4m12 m1 3m2,解方程得到：N1 b b 2 4c2.由于N1和N2对称且N1 N2,所以N1 b b 2 4c2，N2 b b 2 4c2。
同样，用样本矩m1 X 1n n i 1X i 代替同m1,m2 1n n i 1X i 2代替m2,即可得N1 ，N2 。
二、极大似然估计不管N1，N2是否其中一个已知，还是都未知，通过求解对数似然方程，容易得它们的极大似然估计为N1 X 1 ,N2 X n 。
三、计算程序及结果In[225]:=Needs "HypothesisTesting`"N10 6;N20 57000;X RandomVariate DiscreteUniformDistribution N10,N20 ,300 ;min Min X ;max Max X ;m1 Mean X ;m2 Moment X,2 ;"一.矩估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2ME1 Ceiling 2m1 N10"1.2函数法："N2ME2 CeilingN2ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2ME2 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N2ME1,N2ME2 ;"2.已知N2 N20，估计N1：""2.1公式法："N1ME1 Ceiling 2m1 N20"2.2函数法："N1ME2 CeilingN1ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME2,N20 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N1ME1,N1ME2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："a 1;b 2m1 1;c 4m12 m1 3m2;N1ME3 Floor b b2 4a c 2a ;N2ME3 Ceiling b b2 4a c 2a ;N1ME3,N2ME3"3.2函数法："N1ME3,N2ME3 N1ME3,N2ME3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME3,N2ME3 ,ParameterEstimator "MethodOfMoments" ;Floor N1ME3 ,Ceiling N2ME3Clear N1ME3,N2ME3 ;"二.极大似然估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2MLE1 max"1.2函数法："N2MLE2 Ceiling N2MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2MLE2 Clear N2MLE1,N2MLE2 ;"2.已知N2 N20，估计N1："2[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb3"2.1公式法："N1MLE1 min"2.2函数法："N1MLE2 Ceiling N1MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE2,N20 Clear N1MLE1,N1MLE2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："N1MLE3 min;N2MLE3 max;N1MLE3,N2MLE3"3.2函数法："N1MLE3,N2MLE3 N1MLE3,N2MLE3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE3,N2MLE3 ; N1MLE3,N2MLE3Clear N1MLE3,N2MLE3 ;Clear N10,N20,X,min,max,m1,m2 ;Out[233]=一.矩估计：Out[234]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[235]= 1.1公式法：Out[236]=58932Out[237]= 1.2函数法：Out[238]=58932Out[240]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[241]= 2.1公式法：Out[242]=1938Out[243]= 2.2函数法：Out[244]=1938Out[246]= 3.N1、N2均未知：Out[247]= 3.1公式法：Out[253]= 434,58504Out[254]= 3.2函数法：Out[256]= 434,58504Out[258]=二.极大似然估计：4[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nbOut[259]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[260]= 1.1公式法：Out[261]=56930Out[262]= 1.2函数法：Out[263]=56930Out[265]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[266]= 2.1公式法：Out[267]=203Out[268]= 2.2函数法：Out[269]=203Out[271]= 3.N1、N2均未知：Out[272]= 3.1公式法：Out[275]= 203,56930Out[276]= 3.2函数法：Out[278]= 203,56930。
均匀分布次序统计量的性质
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ ＣＯＬＬＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＧＥ Ｍ ＣＳ
高等 数 学 研 究
１ ７
均 匀分 布 次序 统计 量 的性 质
熊加 兵 王 志祥 。 ，
（ ． 阴 师 范 学 院 后 勤 处 ， 苏 淮 安 ，２ ３０ ２ 淮 阴 师 范学 院数 学 系 ， 苏 淮 安 ，２ ３ ０ １淮 江 ２ ３０ ； ． 江 ２３ ０ ）
， 、
＝
． ｛
ｆ
【， ０
）
． （ ， ＜ ＜； Ｚ １～ ，ｏ １ ａ 一 ’一 一’ ＇ － Ｉ
其它．
收 稿 日期 ：０ ７— ０ — １ ． ２０ ７ ０
则 称 Ｘ 服 从 于贝塔 分 布 ， 记作 Ｘ ～ 口 口 ６ 。 （ ，）
基 金 项 目 ： 苏 省 高 校 自然 科 学 基 金 资助 项 目（ ５ Ｊ １ ０ ４ ． 江 ０ Ｋ Ｄ１ ０ ３ ） 作 者 简 介 ： 加 兵 （９ ６－） 男 ， 苏 沭 阳 人 ， 士 ， 教 授 ， 事 概 率 熊 １６ － ， 江 硕 副 从 论与数理统计研究 ， Ｅ—ｍａ ｌｊ＠ ｈ ｔ．ｄ ．ｎ ｉ ｂ ｙｃｅ ｕ ｃ Ｉ ｌｘ 厂 ）＞ ０ ＾
∈ｒ。 ∈Ｋｏ １ ．］
Ｎｏ ｌ ｅ ｒ Ａｎ ｌ １ ９ ３ ４ ７ ～ ５ ４ ｎ ｉ ａ ａ ， ９ ９， ８： ９ ｎ ０．
其 中，
［］ ２ 许友军 ， 元春梅 ， 董桂荣． 一类半线 性椭圆边值问题的正解 ｌ］ 曲阜师 范大学学报 ，０ ５ ７ ３ ：０ ２ － ． Ｊ ２ ０ ， （） ４ —４ ． ［ ］Ｏ Ａ Ｌ ｄ ｚｅ ｓ ａａ ３ ． ． ａｙｈ ｎ ｋ ｙ ，Ｎ．Ｎ． Ｕｒｈ ｅａ ｉｅ ｒａ ｄ ａ ａｖ ．Ｌｎａ ｎ ｑａ ｉ ｎａ ｌｐｉ ｅｕ ｔ ｎ ［ ．Ａｃｄ ｍｉ Ｐ ｅｓ Ｎｅ ｕ ｓｌ ｅ ｒ ｌ ｔ ｑ ａｉ ｓ Ｍ］ ｉ ｅｉ ｃ ｏ ａｅ ｃ ｒｓ ， ｗ
§1.4 顺序统计量的分布
§1.4 顺序统计量≤≤≤=1212(1)(2)()1212()()(1)(2)()12(,,,) (,,,),(,,,)(,,,),(1,2,,), (,,,)(,,1.4.1 ,n n n n n k k n X X X X x x x x x x X X X x x x X x k n X X X X X 设是从总体中抽取的一个样本,是其一个观测值将观测值按由小到大的次序重新排列为一、顺序统计量的定义当取值为时定义取值为由此得到的称为样本 定义(1)(2)()) (,,,)..n n X x x x 的对应的成为其顺序统计量观察值≤≤≤≤===-称为样本的特别地，称为 称为 称为由于每个都是样本的函数，所以都是随机变量第个顺序统计量最小顺序统计量最大顺序统计量. 一般它们不相互独立.设总体的分布为样本极差.例1注：： ()12(1)1()1()()(1)()12(1)(2)():(,,,)min .max .(,,,),,,.k n i i nn i i nn n k n n X X X X X X X X R X X X X X X X k X X X 仅取的离散均匀分布，其分布列为0, 1, 2----=--<<<=-><=-≤-=-+-=---⎰设总体分布为为样本，则的联合密度函数为 令 由可以推出 则该分布参例数为 12(1)()21,()(1)(1)()122(0,1),,,,(,)(,)(1)(),0 1.,001()(1)[3()](1)(1).(1n n n n n n r n R n X U X X X X X f y z n n z y y z R x x R X X R R f r n n y r y dyn n r r n 的贝塔分布.,2)。
中位数和顺序统计量
第9章中位数和hhh顺序统计量
第i个顺序统计量(order statistic)是该集合中第i小的元素。
最小值是第1个顺序统计量(i=1)
最大值是第n个顺序统计量(i=n)
中位数(median)是它所属集合的“中点元素”。
当n为奇数时，中位数唯一，位于i=(n+1)/2处。
选择问题
input：一个包含n个（互异的）数的集合A和一个整数i,1<=i<=n。
output：元素xϵA，且A中恰有i-1个其他元素小于它。
9.1 最小值和最大值
1 MINMUN(A)
2 min =A[1]L
3 for i=2 to A.length
4 if min >A[i]
5 min=A[i]
6 return min
同时寻找最大值、最小值的情况下，只要分别找出最小值和最大值，各需要n-1次比较，共需要n-1次比较。
可以采取优化，并不是每一个输入元素斗鱼当前的最小值和最大值进行比较一对而是对
输入元素成对地进行处理。
将较小的元素与当前最小值比较，较大的与当前最大值进行比较。
[a,b]离散均匀分布参数的区间估计
![[a,b]离散均匀分布参数的区间估计](https://img.taocdn.com/s3/m/5df4163aa32d7375a41780e7.png)
1
F Β 取最小值 ，也就是区间长度最短为 L1 b0 X 1 Α n 1 ,
Α时，
此时b的置信水平为 1 Α的最短置信区间为 b0 1 最短区间长度为等尾区间长度的百分比 r L1 L0
1
b0 X 1 Α n a
1
Αn 1
1
Αn 2
1 X1。
1
Αn
1
。
2
当b未知时，我们用b的极大似然估计代替 , 即 bMLE X n ,
FullSimplify , X 1 a && X 1 b && X 1 Integers
1
Out[283]=
1
b X1 n b
1ab
X1
True
[a,b]离散均匀分布参数的区间估计.nb 3
由Β 1 得到 b0 1 其区间长度 L
bk 1ab b0 X 1
n
1
1
Βn
1
b0 X 1 Β n
Α Β, 当b b0已知时，
a, b 区间内的离散均匀分布参数的区间估计
本文基于 Wolfram Mathematica 9, 在求出样本最大值和最小值分布的前提下 ， 给出了一个参数在另一个参数已知和未知情况下置信区间估计方法 ， 并分别讨论了常用的等尾区间估计和最短置信区间估计 ， 对它们的区间长度进行了比较 ，最后对以上结果进行编程计算 。
a0, b0
, 100 ;
"一、已知aΒιβλιοθήκη a0,求b的区间估计 ："
"1.等尾区间 公式法:"
1
Αn
bL Floor 1 a0 max 1
a0 1 ;
2
[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布
![[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布](https://img.taocdn.com/s3/m/b2e177e719e8b8f67c1cb971.png)
离散均匀分布DU N1,N2 样本最大值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 N1,N2 区间内离散均匀分布DU N1,N2 样本最大值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、生存函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。
"四.样本极大值分布："dist DiscreteUniformDistribution N1,N2 ;dist1 OrderDistribution dist,n ,n ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist12[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist,k Log PDF dist1,k , k,N1,N2Clear dist1四.样本极大值分布：1.概率密度（质量）函数:1 k N11 N1 N2 n 11 N1 N2 1 k N11 N1 N2 n k N1 0&&k N2 01 1 11 N1 N2 n k N2 0&&k N1 00k N2 0 k N1 01 11 N1 N2 n k N1 0&&k N2 01 N1 N2 n True2.累积分布函数:1 N1 Floor k 1 N1 N2 n N1 k N21k N20True3.生存（可靠性）函数：1k N11 1 N2 Floor k1 N1 N2 n N1 k N20True4.逆生存函数：ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 1 N1 N2 1 q 1n 0 1 1 q 1n 1N21 1 q 1n 0N1True,0 1 q 1n 1 5.风险函数（故障率）:1 k N21 N1 N2 n0 k N1 1&&k N2 01k N1 1 0 k N2 11 k N21 N1 N2 n 1 1 k N21 N1 N2 n1 1 1 k N21 N1 N2 n k N1 1&&k N2 00True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t11.均值:1 N211 n 1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N212.中位值:ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling2 1 n 1 N1 N2 0 2 1 n 1N12 1 n 0N2True,0 2 1 n 113.四分位数列表:[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb3ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2 0 4 1 n 1N14 1 n 0N2True,0 4 1 n 1 ,ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling2 1 n 1 N1 N2 0 2 1 n 1N12 1 n 0N2True,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpression 1 N1 Max 1,Ceiling 341n1 N1 N2 0341n1N1 341n 0N2True,0341n114.q 分位数:ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 1 N1 N2 q 1n 0 q 1n 1N1q 1n 0N2True,0 q 1n 115.方差: 1 N1 2 1 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N12 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N2 12 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 BernoulliB3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N23 n16.标准差:4 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb1 N1 21 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N12 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N2 12 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N217.一、三四分位数间矩:ConditionalExpression1 N1 N2 Max 1,Ceiling 341n1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 341n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2018.偏度系数: 1 N1 321 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N233 1 N1 22 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N23 1 N1 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2 31 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N12 2 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N2[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb51 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N214 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N21 N1 21 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N23 219.峰度系数: 1 N1 431 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N244 1 N1 32 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N26 1 N1 2 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N26 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2 61 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N221 N12 2 1 N1 2 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N24 1 N1 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N214 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N2 41 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 3 3 1 N1 22 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N23 1 N11 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb713 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N2 14 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n4 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N213 n6 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n 4 BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N2 15 n BernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,1 N1 N2 15 n BernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,2 N1 N21 N1 21 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2220.四分偏度系数:8 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nbConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 341 N1 N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N22Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2341 342 2N1 2N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2341 N1 N2 2Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N234Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N22Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2True21.r阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r22.r阶中心矩:CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r 23.r阶阶乘矩:FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r 24.r阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb9"25.信息熵："k N1N2Log1 k N11 N1 N2n11 N1 N21 k N11 N1 N2nk N1 0&&k N2 01 111 N1 N2nk N2 0&&k N1 00k N2 0 k N1 0 111 N1 N2n k N1 0&&k N2 0 1 N1 N2 nTrue11 N1 N2N1 k N20True10 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb。
次序统计量理论及应用
顺序统计量的分布及其应用探究学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。
经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数：1.离散型随机变量子样最小值的分布律为)(])1()!(!![)(11)1(I r pi r p l n l n x X P nl l n rl lr∈--==∑∑=-=2.离散型随机变量子样最大值的分布律为)(])1()!1()!1(
顺序统计量的特点
顺序性
顺序统计量按照数据的大小顺序排列，具有明确的顺 序关系。
唯一性
对于一组数据，其顺序统计量是唯一的，不会因数据 排列顺序的改变而改变。
简单易得
顺序统计量计算简单，容易获取，不需要复杂的数学 模型和计算过程。
顺序统计量的应用场景
独立样本假设检验
顺序统计量可以用于独立样本假设检验中， 通过比较两组独立样本的差异，判断两组样 本是否来自同一总体。
在决策分析中的应用
风险决策分析
顺序统计量可以用于风险决策分析中，通过比较不同方案的风险 和收益，选择最优方案。
贝叶斯决策分析
顺序统计量可以用于贝叶斯决策分析中，通过比较不同方案的期 望收益和风险，选择最优方案。
3
应用场景
顺序统计量分布广泛应用于统计学、数据分析、 风险管理和可靠性工程等领域，用于描述和分析 数据的概率分布特征。
03
CHAPTER
常见顺序统计量的分布
正态分布下的顺序统计量
总结词
正态分布下的顺序统计量呈现钟形曲 线，其概率密度函数为正态分布。
详细描述
在正态分布中，所有数据都围绕均值 对称分布，顺序统计量也不例外。随 着数据点在均值附近的增加，其出现 的概率也相应增加。
顺序统计量与参数和统计量的比较
顺序统计量是根据数据大小排列的数值，而参数和统计量则是基于数据计算得出的数值。
与其他统计量的联系与区别
联系
顺序统计量和总体及样本统计量都是描 述数据特征的数值，它们都可以用来描 述数据的分布情况、中心趋势和离散程 度等。
VS
区别
顺序统计量只关注数据的大小排列，不涉 及数据的具体数值；而总体和样本统计量 则更注重数据的具体数值和分布情况。
第二章 顺序统计量与样本极差
f ( y ) f ( z ).
证毕。
设总体 X的 分 布 函 数 为 F ( x )，X 1 , X 2 ,, X n是 容 量 推论2： 为n的 样 本 ， 则 X (1) , X ( n )的 联 合 密 度 函 数 为
n( n 1)F ( z ) F ( y )n 2 f ( y ) f ( z ) y z f 1n ( y , z ) 其它 0
定理3： 前r个次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( r )的联合密度函数为
n! n r 1 F ( yr ) f ( y1 ) f ( yr ) g( y1 ,, yr ) ( n r )!
y1 y2 yr
r n.
特别地，当 r n时，X(1) ,, X( n)的联合密度函数为
n j
考虑到 F ( x )的连续性，当 y 0，z 0时，有
f ij ( y , z ) lim P ( X ( i ) ( y , y y ], X ( j ) ( z , z z ]) y z
y 0 z 0
n! i 1 j i 1 F ( y) F ( z ) F ( y) ( i 1)!( j i 1)!( n j )! 1 F ( z )
在定理 1的假定下，次序统计量 ( X ( i ) , X ( j ) )，i j 定理2： 的联合概率密度函数为
f ij ( y, z )
n! F ( y)i 1 F ( z ) F ( y )j i 1 1 F ( z )n j f ( y) f ( z ), ( i 1)!( j i 1)!( n j )!
i 1
顺序统计量课件-PPT
推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
1 注: 在一个样本中, X1 , X 2，……, Xn 是独立同分布的, 而次序统计量 X (1) , X (2) ……, X (n)
则可能既不独立n,
分布也不相同.2
•来自正态总体的样本，若总体期望已知， (X ) 最大观测值 x max = x (n);
k-1
1
n-k
x
x+x
x (k) 的取值示意图
Fk (x x) Fk (x)
n!
[F (x)]k1[F x x F (x)][1 F (x x)]nk
(k 1)!(n k)!
两边同除以 x , 并令 x→0 , 即有
解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。 设总体 X 的分布如下: 所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓。
三、顺序统计量的分布
1、单个顺序统计量的分布
设总体X的密度函数为 f (x) ，分布函数为 F (x) ， x1, x2, …, xn 为样本，则第 k 个次序统计量 x (k) 的 密度函数为:
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值 落在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于 “样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间 (x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ， 有 n-k 个观测值大于 x + x ”，其直观示意图见下 图
充分统计量
设(X1,X2,…,Xn)是从总体X中抽取的一个样本，(x1,x2,…,xn)是其中一个观测值，将观测值按从小到大的次序重新排列为：
解：1）因X1,X2,…,Xn独立，且服从相同分布
第二章 顺序统计量与样本极差.
n1 2
1 2
X
n 2
X n 1 2
n为 奇 数 n为 偶 数
样
本p分
位
数m
定
p
义
为
mp
X [np1]
1 2
X (np )
X (np 1)
np不 是 整 数 np是 整 数
定理5：
设
总
体
n!
F ( y) i1 f ( y)y F (z) F ( y y) ji1
(i 1)!1!( j i 1)!1!(n j)!
f (z) z 1 F (z z) n j
考虑到F( x)的连续性，当y 0，z 0时，有
考察在统计量T的取值为t的情况下样本X的条件分布 F( X | T t)，可能有两种情况：
(1) F ( X | T t)依赖于参数，此条件分布仍含有的信息；
(2) F ( X | T t)不依赖于参数，此条件分布已不含的信息。
可 得Rn的 密 度 函 数
fRn (z)
n(n 1)
1 z 0
n2
z dx
n(n 1)zn2(1
z)
为参数(n-1, 2)的贝塔分布。
0 z 1
五、样本分位数与样本中位数
定义3：设X(1) ,
,
X
(
是
n)
有
序
样
本
，
则
样
本
中位
数m0.5定
义
为
m0.5
§1.4顺序统计量的分布（发）
第四节顺序统计量≤≤≤=1212(1)(2)()1212()()(1)(2)()12(,,,) (5.4.1 ,,,),(,,,)(,,),(1,2,,), (,,,)( ,,,n n n n n k k n X X X X x x x x x x X X X x x x X x k n X X X X X X 设是从总体中抽取的一个样本,是其一个观测值将观测值按由小到大的次序一、顺序统计量的定义定重新排列为当取值为时定义取值为由此得到的称为样本义(1)(2)()) (,,,)..n n x x x 顺序的对应的成统量为其计观察值≤≤≤≤===-称为样本的特别地，称为 称为 称为由于每个都是样本的函数，所以都是随机变量第个顺序统计量最小顺序统计量最大顺序统计量. 一般它们不相互独立.设总体的分布为样本极差.例1注：： ()12(1)1()1()()(1)()12(1)(2)():(,,,)min .max .(,,,),,,.k n i i nn i i nn n k n n X X X X X X X X R X X X X X X X k X X X 仅取的离散均匀分布，其分布列为0, 1, 2----=--<<<=-><=-≤-=-+-=---⎰设总体分布为为样本，则的联合密度函数为 令 由可以推出 则该分布参例数为 12(1)()21,()(1)(1)()122(0,1),,,,(,)(,)(1)(),0 1.,001()(1)[3()](1)(1).(1n n n n n n r n R n X U X X X X X f y z n n z y y z R x x R X X R R f r n n y r y dyn n r r n 的贝塔分布.,2)。
数理统计第二章抽样分布2.3节次序统计量的分布
n 1
1 I[(0, )] ( x)
最大次序统计量X(n)的密度函数为
nx n1 f n ( x) n I[(0, )] ( x)
11
( X (1) , X (n ) )的联合密度函数为
n(n 1)( y x) n 2 , 0 x y , n f1,n ( x, y ) 0, 其它.
pq (2 q q )
n
n1
n1
n=1,2,…
22
n Fm ( x) P( X ( m) x) ( F ( x))i (1 F ( x)) ni i m i
n
5
因此
利用恒等式
n i n p m1 n i nm p (1 p ) i t (1 t ) dt 0 i m i i
极差R X ( n ) X (1)的密度函数为
n(n 1)( r )r n 2 , n f R (r ) 0, 0 r , 其它.
12
统 L1 , L2 例2 设系统 L 由两个相互独立的子系 联接而成, 连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, 如图所示.
f n ( x) nF ( x)n1 f ( x)
7
二 次序(顺序)统计量的联合分布
(1)次序统计量( X (1) , X ( n) )的联合分布为
n n [ F ( y )] [ F ( y ) F ( x )] , 当x y, F1,n ( x, y ) n [ F ( y )] , 当x y.
βe ,x0 , fY ( y ) x0 0,
北交大-统计学-第二章 数理统计的基本概念2
一、顺序统计量及其分布
定义： 设X 1 , X 2 , , X n是取自总体X的样本，X ( i )称为
该样本的第i个顺序统计量，它的取 值是将样本 观测值，由小到大排列 后得到的第i个观测值，
其中
X (1) min(X1 , X 2 ,, X n )
称为该样本的
五、样本分位数与样本中位数
设X (1) ,, X ( n)是有序样本，则样本中 位数m0.5定义为 定义3：
n为奇数 X n1 2 1 X n X n n为偶数 1 2 2 2
最小顺序统计量， X( n) max(X1 , X 2 ,, X n ) 称为该样本的最大顺序统计量。
一般情况下，X (1) , X ( 2) ,, X ( n)既不独立，分布也不相 同。
例1： 设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布
X
0
1 3
1
1 3
2
1 3
P
现从中取出3个样本，X 1 , X 2 , X 3，其一切可能取值 1 有3 27种，每一组观测值的概率相同，都为 。 27 下面，我们分别求出各顺序统计量的边缘分布， 说明上面结论的正确性。
n! n r 1 F ( yr ) f ( y1 ) f ( yr ) g( y1 ,, yr ) ( n r n.
特别地，当r n时，X(1) ,, X( n)的联合密度函数为
g( y1 ,, yn ) n! f ( y1 ) f ( yn )
X (1)与X ( 2)的联合分布列为
X ( 2) X (1)
0
7 27
0
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0 1
k N2 BetaRegularized , i, 1 i n 1 N1 N2 1 k N2 BetaRegularized , 1 i n, i 1 N1 N2 1 k N2 BetaRegularized , 1 i n, i 1 N1 N2
1 && k
0 6.矩母函数 MGF :
True
"二.第i个次序统计量的分布 :" dist DiscreteUniformDistribution N1, N2 dist1 OrderDistribution dist, n , i ; "1.概率密度 （质量）函数 :" PDF dist1, k "2.累积分布函数 :" CDF dist1, k "3.生存（可靠性）函数：" SurvivalFunction dist1, k "4.逆生存函数 ：" InverseSurvivalFunction dist1, q "5.风险函数 （故障率）:" HazardFunction dist1, k "6.矩母函数 MGF :" MomentGeneratingFunction dist1, t "7.中心矩母函数 CMGF :" CentralMomentGeneratingFunction dist1, t "8.累积量母函数 CGF :" CumulantGeneratingFunction dist1, t "9.阶乘矩母函数 FMGF :" CharacteristicFunction dist1, t "10.特征函数 :" CharacteristicFunction dist1, t "11.均值 :" Mean dist1 "12.中位值 :" Median dist1 "13.四分位数列表 :" Quartiles dist1 "14.q分位数 :" Quantile dist1, q "15.方差 :" Variance dist1 "16.标准差 :" StandardDeviation dist1
MomentGeneratingFunction OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 7.中心矩母函数 CMGF : CentralMomentGeneratingFunction OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 8.累积量母函数 CGF : CumulantGeneratingFunction OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 9.阶乘矩母函数 FMGF : CharacteristicFunction OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 10.特征函数: CharacteristicFunction OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 11.均值: Mean OrderDistribution 12.中位值: 1 N1 1 ConditionalExpression N1 N2 13.四分位数列表: Max 1, Ceiling N1
;
2
[N1,N2]离散均匀分布第i顺序统计量.nb
"17.一、三四分位数间矩 :" InterquartileRange dist1 "18.偏度系数 :" Skewness dist1 "19.峰度系数 :" Kurtosis dist1 "20.四分偏度系数 :" QuartileSkewness dist1 "21.r阶原点矩矩 :" Moment dist1, r "22.r阶中心矩 :" CentralMoment dist1, r "23.r阶阶乘矩 :" FactorialMoment dist1, r "24.r阶累积量 :" Cumulant dist1, r "25.信息熵：" Assuming N1 k N2, Sum PDF dist, k Log PDF dist1, k Clear dist1
True
, i, 1
i
n
N1
k
N2
k N2 True
k ,1 i n, i N1
N1 k N2
True
[N1,N2]离散均匀分布第i顺序统计量.nb
3
1 ConditionalExpression N2 N1 5.风险函数（故障率）: 1 N1 N2
BetaRegularized
k i, 1 i n n i n k k
N1
0 && k
N2
0
N1 N1
0 && k 0 && k
N2 N2
0 0
0 2.累积分布函数: BetaRegularized 1 0 3.生存（可靠性）函数： 1 BetaRegularized 0 4.逆生存函数：
N2 Floor k 1 N1 N2 1 N1 Floor k 1 N1 N2
, k, N1, N2
二.第i个次序统计量的分布: 1.概率密度（质量）函数:
1 k N1 , i, 1 i n 1 N1 N2 1 1 k N1 BetaRegularized , 1 N1 N2 1 N1 N2 1 1 BetaRegularized 1 , i, 1 1 N1 N2 1 BetaRegularized , i, 1 i 1 N1 N2
N1 Max 1, Ceiling 1 N1 N2 1 InverseBetaRegularized q, 1 i n, i
0 InverseBetaRegularized InverseBetaRegularized True
i, 1
i
n
0 k k
k N1 N1
N1 1
1 && k 0 k N2
N2 N2 0
离散均匀分布 DU N1, N2 样本第 i顺序统计量 基于 Wolfram Mathematica 9, 下表给出了 N1, N2 区间内离散均匀分布 DU N1, N2 样本第 i顺序统计量的概率密度 （质量） 函数、 累积分布函数 、生存函数 、逆生存函数 、风险函数 （故障率）、矩母函数 MGF 、 中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、 特征函数的计算和结果表达式 ，均值、中位值、众数、四分位数列表 、q分位数、 方差、标准差、一三四分位数间矩 、偏度系数 、峰度系数 、四分偏度系数 、r阶原点矩 、 r阶中心矩 、r阶阶乘矩 、r阶累积量 、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式 。