高中数学高考数学学习资料：专题3 第2讲 数列的综合应用

[解]
nban－1 (1)∵a1＝b＞0，an＝ ， an－1＋n－1
n 1 1 n－ 1 ∴a ＝b＋b· ， a n n－1 n 1 1 令cn＝a ，则cn＝b＋bcn－1， n 1 1 ①当b＝1时，cn＝1＋cn－1，且c1＝ ＝b＝1 a1 ∴{cn}是首项为1，公差为1的等差数列， n ∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，于是cn＝a ＝n，这时an＝1； n
2．(2011· 新课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2 ＝1，a2 3＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an，求数列{b }的前n项和． n
解：(1)设数列{an}的公比为q. 1 2 2 2 由a3 ＝9a2a6得a2 ＝ 9 a ，所以 q ＝ . 3 4 9 1 由条件可知q＞0，故q＝ . 3 1 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝ . 3 1 故数列{an}的通项公式为an＝ n. 3
－
所以S2n＝b1＋b2＋„＋b2n ＝2(1＋3＋„＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－ 1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln3 1－32n ＝ 2× ＋nln3＝32n＋nln3－1. 1－3
1．(2011· 南昌模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an nn＋1 ＝－(1＋2＋„＋n)＝－ . 2 1 2 1 1 故b ＝－ ＝－2(n－ )． nn＋1 n＋ 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ＋ ＋„＋b ＝－2[(1－ )＋( － )＋„＋(n－ )]＝－ . b1 b2 2 2 3 n ＋ 1 n ＋ 1 n 1 2n 所以数列{b }的前n项和为－ . n＋ 1 n
等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、
三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表
的同一列.
第一行
第二行 第三行 第一列 第二列 第三列
3
6 9
2
4 8
10
14 18
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前2n 项和S2n·
知考情 第2讲 数 列 的 综 合 应 用
研考题
析考向
战考场
高频考点
考情解读
考查方式
数列求和，多以解答题的形式出现，作为其
数列求和 中一问，内容可涉及通项公式、函数、方程、 解答题 不等式等知识.
数列与函数不等式的综合多以解答题形式出 数列与函数、 现，内容涉及指数函数，对数函数，函数的 不等式 单调性等知识，属中低档题.zxxk
1 1 1 1 1 1 ②当b≠1时，cn＋ ＝ (c ＋ )，且c1＋ ＝ ＋ ＝ 1－b b n－1 1－b 1－b b 1－b 1 ， b1－b 1 1 1 {cn＋ }是首项为 ，公比为b的等比数列， 1－b b1－b 1 1 1 n－1 n 1 1 ∴cn＋ ＝ · ( ) ，由 a ＋ ＝ 得an＝ 1－ b b1－b b 1－b 1－bbn n n1－bbn ， 1－bn b＝1 1， ∴an＝n1－bbn n ，b≠1 1 － b
(2)Tn＝1×2＋4×5＋42×8＋„＋4n 1(3n－1)，①
－
4Tn＝4×2＋42×5＋43×8＋„＋4n(3n－1)，② ②－①得3Tn＝－2－3(4＋42＋„＋4n－1)＋4n(3n－1) ＝－2＋4(1－4n 1)＋4n(3n－1)
－
＝2＋(3n－2)· 4n.
2 n 2 ∴Tn＝n－34 ＋ . 3
(2)错位相减法： 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这 种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{an}，{bn}
分别是等差数列和等比数列．
(3)裂项相消法：zxxk 利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程 中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．
[做考题
查漏补缺]
数列的实际 数列的实际应用问题一般是等差数列或等比 应用 数列通项、求和问题，题目难度一般较大.
解答题解答题 为主[联知识 数列求和的方法技巧： (1)转化法：zxxk
串点成面]
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数
列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常 见的数列，即先分别求和，然后再合并．
[悟方法
触类旁通]
错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法．在应用这 种方法时，一定要抓住数列的特征．即数列的项可以看作是 由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的.
[做考题 查漏补缺] nban－1 (2011· 广东高考)设b＞0，数列{an}满足a1＝b，an＝ an－1＋n－1 (n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.
3n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：Sn＝a1＋a2＋„＋an ＝(21＋3×1－1)＋(22＋3×2－1)＋„＋(2n＋3n－1) ＝(21＋22＋„＋2n)＋(3×1＋3×2＋„＋3n)－(1＋1＋„＋1) 21－2n ＝ ＋3(1＋2＋„＋n)－n 1－2 nn＋1 ＝2(2n－1)＋3· －n 2 3 1 ＝2n＋1＋ n2＋ n－2. 2 2 3 1 答案：2n＋1＋ n2＋ n－2 2 2
3．(2011· 中山模拟)已知{an}为正项等比数列，a1＝1，a5＝
256，Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1＝2,5S5＝2S8. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设Tn＝a1b1＋a2b2＋„＋anbn，求Tn.
解：(1)设{an}的公比为q，由a5＝a1q4得q＝4， 所以an＝4n－1. 设{bn}的公差为d，由5S5＝2S8， 得5(5b1＋10d)＝2(8b1＋28d)， 3 3 d＝ b1＝ ×2＝3， 2 2 所以bn＝b1＋(n－1)d＝3n－1.
[解] (1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3， 故an＝2· 3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan ＝2· 3n－1＋(－1)nln(2· 3 n －1 ) ＝2· 3n 1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，