金融时间序列第三章条件异方差模型

可以用其延迟值的简单二次函数来描述。具体的 说，一个ARCH(m)模型是假定：
at
tt ,t2
0
1at
2 1
matm2
其中{t} 是均值为0、方差为1的独立同分布随机变
量序列，0 0 ，对i>0有i 0 。系数 i 必须满足 一些正则条件以保证 at 的无条件方差是有限的.
3.4.1 ARCH模型的性质
思想对平方序列at 2的应用，利用ARMA模型的无条件均值，我们有：
E(at2 )= 1
0
max( m , s ) i 1
(i
2 t
Var(rt
|
Ft-1)
Var(at
|
Ft-1).本章的条件异方差模型
就是用来描述 t 2的演变的。 t 2随时间变化的方式可以用不同的波动率模型来表示。
3.2 模型的结构
我“们新把息 t”at ，称t为2 为资产收的益正率平在方t t根时，刻的的“模扰型动r称t ”为或 的均值方t2 差， 模型rt 称为 的波动率方程。因此， 条件异方差性建模时对时间序列模型增加一个动 态过程来刻画资产收益率的条件方差随时间的演 变规律。第一类是用确定的函数来刻画条件异方 差的演变，如GARCH模型；第二类是用用随机方 程来描述条件异方差，如随机波动率模型。
3.3 建模
第二个检验是Engle的拉格朗日乘子检验。该检验等价于在如下线性回归中用F统
计量检验i
0(i
1,m);
at 2
0
1at
2 1
m
at
2 m
et
,t
m
1,,T ,
其中et表示误差项，m是事先指定的正整数，T是样本容量。具体地，原假设是
T
2
T
H0:1= =m =0.令SSR0 = (at2 ) ,其中 (1/T) at2是at2的样本均值，并
对于ARCH(1)模型：at tt， t2 0 1at12，其中0 0,1 0.
首先，由于E(at )=E[E(at | Ft-1)]=E( tE(t ))=0,即at的无条件均值为0。
其次，Var(at
)
E(at2 )=E[E(at2
|
Ft-1)]=E[0
1at
2 1
]=
0
1E(a
2 t
3.2 模型的结构
波动率研究的基本思想：序列{rt}是序列不 相关的或低阶序列相关的，但不是独立的。 波动率模型就试图去刻画收益率序列的这 种不独立性。
3.2 模型的结构
为了把波动率模型放在一个合理的框架中，考虑给定t-1时刻已知的信息集
Ft-1时rt的条件均值和条件方差t E(rt | Ft-1),t2 Var(rt | Ft-1) E[(rt t )2 | Ft-1]
第三章 条件异方差
本章的目的是研究一些在文献中用来给资产收益率的波动率 的模型统计方法和计量经济模型，这些模型就称为条件异方 差模型。
由于时间序列模型中的扰动方差稳定性通常比假设的要差， 通常大的及小的预测误差常常会成群的出现，表明存在一种 异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。也 就是说预测的误差在某一时间里相对的小，而在某一时期里 则相对的大，然后在另一时期又是小的，这种变化和可能由 于金融市场的波动性易受到谣言、政局变动、政府货币政策 与财政政策变化等的影响，从而有理由相信误差项的条件方 差不是某个自变量的函数，而是随时间变化并且依赖于过去 误差的大小。
3.3 建模
对资产收益率序列建立一个波动率模型需要如下 四个步骤
(1)通过检验数据的序列相关性建立一个均值方程， 如有必要，对收益率序列建立一个计量经济模型 来消除任何的线性依赖。
(2)对均值方差的残差进行ARCH检验。 (3)如果ARCH效应在统计上是显著的，则指定一个
波动率模型，并对均值方程和波动率方程进行联 合估计。 (4)仔细检验所拟合的模型，有必要则对其进行改进
阶的确定
(1)如at 2果通过检验发现存在显著的ARCH效应则可
以用 的偏自相关函数(PACF)来确定模型的阶。
由于我们有 t 2
0
1a
2 t
1
m
a
2 t
，对于给定的
m
样本，at 2是 t 2的无偏估计，因此，我们期望at 2以m阶
自回归模型的方式与a
2 t
1，
，a
2 t
线性相关。注意到
m
单个的at 2不是 t 2的有效估计，但它可以做为一个近似。
可以用一个或两个 的滞t2 后值替代许多 的a滞t2 后值，这
就是GARCH模型的基本思想。
3.5 GARCH模型
对一个收益率序列rt ,另at =rt t为t时刻的扰动，若at满足下式：
m
m
at
t
t，
2 t
0
i
a2 t i
i
2 t
j
,
其中{
t
}是均值为0、方差为1
i1
i1
max( m , s )
3.3 建模
ARCH效应的检验 为了符号上的方便，即 at rt t 为均值方程的残差， 则可以平方序列 来a检t2 验条件异方差性，即所谓 的ARCH效应。有两个检验方法。 第一个检验是将通常的Ljung-Box统计量{Q(m)}应 用于序列{at2}，前面提到的混成检验。该检验的原 假设是{at2} 序列前m个间隔的ACF 都为零。
的独立同分布随机变量序列，0 0,i 0, j 0,
(i i ) 1,
i1
以保证at的无条件方差是有限的，同时它的条件方差
2是随时间变
t
化的。则称at
服从GARCH（m,s）模型。若
是标准正态的或标准
t
化的学生t-分布或广义误差分布，若s=0,就简化一个ARCH(m)模型。
i和 j分别称为ARCH参数和GARCH参数。
3.4.3 ARCH模型的建立
(2)从另一个角度，定义t at2 t2, 那么可以证明{t}
是均值为零的不相关序列。于是ARCH模型变成
at 2
0
1a
2 t
1
m
a
Baidu Nhomakorabea
2 t
m
t , 这是at2的AR(m)形式，
同样用at 2的PACF定阶m，但{t }不是独立同分布的，
所以上述模型的最小二乘估计是相合的，但不是有效
动率过程，往往需要很多参数。ARCH模型的实践难点就
是：如果滞后阶数P较大，无限制约束的估计常常会违背 i
都是非负的限定条件，而事实上恰恰需要这个限定来保证
方差
2 t
永远是正数。
Bollerslev提出了一个有用的推广形式，称为广义的ARCH
模型（GARCH)。该模型是考虑
2 t
的一个分布滞后模型，
3.1 波动率的特征
波动率的不可预测性：股票波动率的一个特殊性 是它不能被直接观察，这是由于一个交易日只有 一个观测值，所以股票日波动率不能从收益率中 直接观测出来。而若考虑日内波动率，由于股票 波动率包括日波动率和隔夜波动率，高频交易日 内收益率只包含隔夜波动率很有限的信息。波动 率的不可预测性给评价条件的异方差模型的预测 表现带来了困难。
3.1 波动率的特征
存在波动率聚集：波动率可能在一些时间段上高， 而在另一些时间断上低。
波动率以连续方式随时间变化，即波动率跳跃是 很少见的，
波动率不发散到无穷，即波动率在固定的范围内 变化，这意味着波动率往往是平稳的。
波动率对价格大幅上升和价格大幅度下降的反应 不同，这种现象称杠杠效应。
计Bo量x统可计用量来可检用验来均检值验方波程动的率充方分程性的，正a%t2确的性L。ju{an%t}g-
的偏度、峰度、分位点对分位点图(QQ图)可以用 来检验分布假定的正确性。
3.4.3 ARCH模型的建立
预测
考虑一个ARCH(m)模型，从预测原点h出发，
2的
h+1
向前一步预测为 h2 (1)
地。当样本容量较小时，at 2的PACF可能不是有效的。
3.4.3 ARCH模型的建立
估计(1)
3.4.3 ARCH模型的建立
3.4.3 ARCH模型的建立
估计(2)
3.4.3 ARCH模型的建立
3.4.3 ARCH模型的建立
估计(3)
3.4.3 ARCH模型的建立
模型的验证 对于一个正确指定的ARCH模型，标准化的残差 即a%t at / t 是一列独立同分布的随机变量序列。因 此，我们可以通过检查序列 {a%t} 来检验所拟合的 ARCH模型的充分性。特别地，a%t 的Ljung-Box统
3.4.2 ARCH模型的缺点
(3)对于弄清一个金融事件序列的变化的来源， ARCH模型不能提供任何新见解，它只是提 供一个机械的方式来描述条件方差的行为， 而对由什么引起这种行为却没有给出任何 启示。
(4)ARCH模型给出的波动率预报值会偏高， 因为它对收益率序列大的孤立的扰动反应 缓慢。
3.4.3 ARCH模型的建立
3.5 GARCH模型
GARCH模型的性质
令t
at 2
2 t
,
也即
2 t
at 2
t，把
2 t-i
a2 t i
t-i代入模型就变成
如下形式：
max( m , s )
s
at2 0
(i i )ati21 t j t-i ,
i 1
j=1
对序列at 2来说是ARMA形式，因此GARCH模型可认为是ARMA的
3.3 建模
对大部分资产收益率系列，如果序列相关 性的话，也很弱。因此，如果样本均值显 著的不为零的话，建立均值方程就等于从 数据中移除样本均值。对于某些日收益率 序列，建立一个简单的AR模型是必要的， 在某些情形下，均值方程可能要用到解释 变量，比如为解释周末效应或一月效应而 引进的指示变量。
信息集Ft-1包含过去收益率的一切线性函数。
我们假定rt服从一个简单的时间序列模型，如带解释变量的平稳ARMA(p,q)模
k
p
q
型。换句话说，我们接受模型rt t at , t 0 i xit irti iati ,
i1
i1
i1
其中k,p和q是非负整数，xit是解释变量。
结合上述两个式子我们有
3[
2 0
210Var(at )+12m4 ]
3
2 0
(1
2 0 ) 1 1
312m4
从而m 4
302 (1+1) (1-1 )(1-312
)
，这个结果又两个重要含义：首先，因为at的四阶矩是正
的，所以1必须满足1-312
0,即0
12
1 3
;
其次，at的无条件峰度是
3.4.2 ARCH模型的缺点
这样，at 的超额峰度是正的，并且at 的分布的尾 部AR比C正H(态1)分模布型的的尾“部扰要动a厚”t ，说比明高服斯从白条噪件声高序斯列的 更容易产生异常值。这些性质对一般的ARCH模 型仍成立，但对高阶ARCH模型的公式会变得更 复杂一些。
3.4.2 ARCH模型的缺点
ARCH模型的缺点 (1)ARCH模型假定正的扰动和负的扰动对波动率有相同性 质的影响，因为波动率依赖于过去扰动的平方。而在实际 中，金融资产的价格对正的和负的扰动的反应不同 (2)ARCH模型对参数的限制相当强，比如，若序列有有限 的四阶矩，则ARCH(1)中的12 必须在区间[0,1/3]中。对高 阶的ARCH模型，这种约束会变得更复杂。在实际中这就 限制了带高斯新息的ARCH模型更好地刻画超额峰度。
例如，为研究at的尾部性质，我们要求at四阶矩是有限的，假定t
服从正态分布，则有E(at4 | Ft-1)=3[E(at2 | Ft-1)]2，因此，
E(at4 )=E[E(at4
|
Ft-1 )]=3E( 0
1at
2 1
)2
=3E(
2 0
21
0
at
2 1
+12at
4 1
)
若at 是四阶平稳的且记m 4
t m 1
t 1
T
且SSR1= eˆt2,其中eˆt2是前面线性回归最小二乘估计的残差。于是我们有： t m 1
（SSR F=
SSR1
0
/
SSR
）/m
1
(T 2m 1)
,
它渐近服从自由度为m的
2分布。当F
2 m
(
)或F的p值小于
，则拒绝原假设。
3.4 ARCH模型
ARCH模型的基本思想是：资产收益了的扰动 at 是序列不相关的，但不是独立的：at 的不独立性
1
)，
因为at
是平稳过程且E(at
)=0,所以Var
(at
)
Var
(at
1
)
E(a
2 t
1
)，
从而我们有Var(at
)
0
1Var(at
)，即Var
(at
)
0 1 1
，由于at的
方差必须为正的，所以0 1 1.最后，在一些应用中，我们需要
at更高阶矩的存在，从而1还需要另外的约束条件。
3.4.1 ARCH模型的性质
0
1a
2 h
ma2h1m
向前两步预测为 h2 (2)
0
1a2h (1)
2a2h
ma
2 h
2m
m
向前l步预测为 h2 (l) 0 i h2 (l i),其中，若l i 0, i 1
则
h
2
(l
i)
a2 hl i
3.5 GARCH模型
虽然ARCH 模型简单，但为了充分地描述资产收益率的波