论函数、性质与图象的关系及教学建议

论函数、性质与图象的关系及教学建议

作者：潘玉恒

来源：《科教导刊》2013年第17期

摘要本文首先讨论了函数、图形与性质之间的关系，认为它们是三位一体且互相等价的，因此，研究函数的性质就是为了研究函数和图象；其次讨论了函数的各类性质，并指出这些性质虽然是反映函数图象的几何特征的，却都是利用代数形式定义并用代数方法推导的；因此，从认知学的角度提出了在高等数学的教学中要重视代数形式的演绎推导的观点。

关键词函数图象几何特征代数方法

中图分类号：G424 文献标识码：A

0 引言

传统教材上认为微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数，这种说法过于概括，并没有具体到研究了函数的什么内容；另外，还忽略了是怎样进行研究的方法论问题，因此，笔者认为有必要在这些问题上做一些粗略的探讨，以利于在微积分上有针对性地教学。

1 函数、性质及其图象之间的关系

2 微积分研究函数性质的方法

3 结论及对高等数学教学的启示

上述道理也可以在更深层次上来理解：自笛卡尔建立了直角坐标系后，数学问题的解决终于从繁琐的几何方法的桎梏中解放出来，从而获得了飞速的发展——进入“纯数学（代数）”时代。同时，现代科学技术的发展表明，任何科学技术的进步，都是由数学来推动的，因此，这就引出了“纯数学（代数）为什么能够推动科学技术的进步”的问题，要回答清楚这个问题，必须回到人的大脑的思维特性的层面来分析。我们知道，大脑思维离不开思维的对象，而可能成为思维对象的只能是代表一定对象的符号，而不可能是具体的实物，正如德国哲学家卡西尔所认为的“人是符号的动物”。其实，人和动物都有大脑和五官，在感知自然世界方面，都能看、能说并对外界事物具有一定的思维判断能力，但只有人类把外界事物转化为了相对应的符号，从而极大地促进了人类最外界事物的思维判断能力。但现代科学技术表明，人类只靠符号思维还远远不够，这是因为，人类大脑的思维能力是有限的，面对复杂和深层次的问题就无法进行思维、甚至会拒绝思维。关于这一点可以从两方面来验证：（1）对某一科厌学的学生总是拒绝学习这一学科；（2）现代技术条件下的复杂的数据、图表必须借助于计算机、而依靠人力很难完成。由于数学不仅为人类提供了丰富代数符号和表示方法，并且在实践中创造了可靠的符号的形式演绎系统，在形式演绎系统里，问题的解决是依靠一步步推导进行的，只要保证每一步推导是成立的，那么，得到的结论就是正确的，这不仅极大地减轻了人的大脑思维的负

担，甚至还可以编程利用计算机完成而不需要过多的人的脑力劳动。总之，若把人的大脑思维分为：（1）依靠直接看的直观思维；（2）利用符号（脱离具体实物）抽象思维；（3）依靠符号的形式演绎系统（动手）推导等三个层面，那么，依靠符号的形式演绎系统（动手）推导显然是人类手脑并用的高级思维模式。从这一点上来说，为什么数学教学要强调学生做一定量的习题练习，这实际上就是为了培养学生依赖数学符号的形式演绎系统（动手）推导——解决问题的能力，不是为了做题而做题。可是，如果在函数的教学上强调让学生直接依靠“数形结合”、“几何直观”来解决问题，这不仅遮蔽了（代）数与（图）形的先后生成的次序关系，也严重萎缩了学生依靠符号的形式演绎系统（动手）推导的能力——当学生在直观上看不懂一个数学问题时，他们不会主动推导——这是在教学中经常发生的事情；特别地，当学生遇到无法画出几何图形、函数图象或者是高维空间的问题时，就束手无策，这必然导致学生在实际应用上出现“高分低能”的现象。从这个角度来看我国大学数学教育改革的问题，例如在极限的定义上，有些学者认为要降低其难度的主张，不仅无法培养学生依靠符号的形式演绎系统（动手）推导的能力，甚至无法培养学生的极限（无穷）思想和方法，这不能不令我们深思和探讨。

参考文献

[1] 黄立宏.高等数学[M].上海：复旦大学出版社，2010.

[2] 同济大学应用数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报，2003.12（2）.