最新方阵最小多项式的求法与应用

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矩阵的最小多项式和不变因子的关系

矩阵的最小多项式和不变因子的关系矩阵的最小多项式和不变因子是两个重要的概念，在矩阵理论中有着广泛的应用。

它们之间存在着一定的联系，下面我们就来详细探讨一下这个关系。

首先，我们来介绍一下矩阵的最小多项式和不变因子的定义。

矩阵的最小多项式是指一个首项系数为1的多项式，满足该多项式是该矩阵的一个零化多项式（即将该矩阵代入该多项式中得到0）。

而矩阵的不变因子是指一个首项系数为1的多项式，满足该多项式是该矩阵的一个因子，且该因子对于该矩阵的每一个特征值都是一个零化多项式。

接下来，我们来探讨一下矩阵的最小多项式和不变因子之间的联系。

首先，我们可以证明，矩阵的最小多项式是矩阵的不变因子的因子。

具体来说，如果一个多项式是矩阵的最小多项式，那么它一定是矩阵的不变因子的因子。

这是因为，如果一个多项式是矩阵的最小多项式，那么它必须是矩阵的一个零化多项式，因此它一定能被矩阵的任意一个特征值对应的特征向量所零化。

而矩阵的不变因子对于矩阵的每一个特征值都是一个零化多项式，因此它们的公共因子一定能被每一个特征向量所零化，从而成为矩阵的零化多项式。

反过来，如果一个多项式是矩阵的不变因子，那么它不一定是矩阵的最小多项式。

这是因为，矩阵的不变因子可以有多个，而不同的不变因子可能存在公共因子，这些公共因子不一定是矩阵的最小多项式。

但是，我们可以证明，矩阵的最小多项式和不变因子的最高次幂一定相等。

这是因为，矩阵的不变因子对于矩阵的每一个特征值都是一个零化多项式，因此它们的最高次幂都能被每一个特征向量所零化。

而矩阵的最小多项式也是一个零化多项式，因此它的最高次幂也能被矩阵的每一个特征向量所零化。

因此，矩阵的最小多项式和不变因子的最高次幂一定相等。

综上所述，矩阵的最小多项式和不变因子之间存在着密切的联系，它们的关系可以归纳为以下几个方面：矩阵的最小多项式是矩阵的不变因子的因子；矩阵的最小多项式和不变因子的最高次幂一定相等。

这些关系在矩阵理论中有着广泛的应用，对于深入理解矩阵的性质和特征有着重要的意义。

矩阵分析课件-第六章

cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2，，s；k＝0，1，，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值，则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0

矩阵的最小多项式

矩阵的最小多项式
求矩阵最小多项式的方法：特征多项式：(λ+1)(λ-1)^2，因为(A-E)(A+E)=0，所以最小多项式是(λ+1)(λ-1)。

最小多项式是代数数论的基本概念之一。

A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

矩阵的最小多项式

：设 A ∈ P
n×n
, 在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为A的最小多项式.
二、最小多项式的基本性质
1.（引理引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 2.（引理引理2）设 g ( x )是矩阵A的最小多项式，则
f ( x ) 以A为根 ⇔ g ( x ) f ( x ).
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义一、最小多项式的定义二、最小多项式的基本性质
引入
n×n ∀ A ∈ P , f (λ ) =| λ E − A | 由哈密尔顿―凯莱定理，
是A的特征多项式，则 f ( A) = 0.
n×n A ∈ P 因此，对任定一个矩阵，总可以找到一个
多项式 f ( x ) ∈ P[ x ], 使 f ( A) = 0. 此时，也称多项式 f ( x ) 以A为根. 本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系.
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子.
例1 数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 x − k; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x − 1 ；零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵. 1 1 0 例2 求 A = 0 1 0 的最小多项式. 0 0 1
2
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
的最小多项式皆为( x − 1) ( x − 2), 但A与B不相似. Q | λ E − A |= ( x − 1)3 ( x − 2), | λ E − B |= ( x − 1)2 ( x − 2)2 即 | λ E − A |≠| λ E − B | . 所以，A与B不相似.

方阵最小多项式的求法与应用

方阵最小多项式的求法与应用方阵最小多项式的求法与应用[摘要]:本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子Minimal polynomial of a square matrix and its applicationsFENG Yu-xiang(Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui[Abstract]:The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied.[Keywords]:square matrix; minimal polynomial; invariant operation一、引言文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C 上n 阶方阵和多项式.二、最小多项式的性质及求法由哈密尔顿定理可知，对于一n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则 ,0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有定义1 设n n C A ⨯∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小多项式，记为)(λA ψ.最小多项式有以下一些基本性质：定理1[1] 设A n n C ⨯∈，则（1）A 的任一零化多项式都能被)(λA ψ整除；（2）A 的最小多项式)(λA ψ是唯一的；（3）相似矩阵最小多项式相同.2．1 由特征多项式求最小多项式定理2[1] 0λ是A 的特征多项式零点的充分条件是0λ为A 的最小多项式)(λA ψ的零点.证明：见参考文献[1].推论1 若n 阶方阵A 的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积： s m s m m f )()()()(2121λλλλλλλ---= ，其中i λ是A 的相异的特征值，i m 是特征值i λ的重数，且,1n m si i =∑=则A 的最小多项式具有如下形式：s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ ，其中),,2,1(s i m d i i =≤为正整数.推论1实际上给出了由方阵A 的特征多项式，求最小多项式的方法.例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的最小多项式.解：因为A 的特征多项式为)4()1()(2--=λλλf ，根据推论1便可知，A 的最小多项式有以下两种可能：（1-λ）（4-λ），)4()1(2--λλ由于0000000000211121112111111111)4)((=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--E A E A 因此，A 的最小多项式为)4)(1(--λλ.有时)(λf 在分解时比较困难，但由推论1可知，A 的最小多项式实质包含A 的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出.))(),((()(λλλf f f '例2 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=1333313333133331A 的最小多项式.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+-+=-1333313333133331λλλλλA E =512320484234---+λλλλ)80243(4)(512320484)(23234--+='---+=λλλλλλλλλf f由辗转相除法求得(168))(),(2++='λλλλf f 于是168512320484))(),(()(2234++---+='λλλλλλλλλf f f=3242--λλ=()8)4(-+λλ 于是 ())8(4)(3-+=λλλfA 的最小多项式有以下三种可能：),8)(4(-+λλ ),8()4(2-+λλ )8()4(3-+λλ而 0)8)(4(=-+E A E A ，因此A 的最小多项式为)8)(4(-+λλ.2．2 按最小多项式的定义及存在性求最小多项式定理3[1] 任意 n 阶矩阵A 都存在最小多项式)(λA ψ.证明：参见文献[1].这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是：第一步试解E A 0λ= 若能解出0λ，则A 的最小多项式为0)(λλλ-=ψA ；若E A 0λ=关于0λ无解，则做第二步试解E E A 102λλ+= 若能解出0λ与1λ，则A 的最小多项式为λλλλλ102)(--=ψA 若不能解出0λ与1λ，则做第三步试解22103A A E A λλλ++= 若能解出0λ，1λ与2λ，则A 的最小多项式为22103)(λλλλλλλ---=ψA 若不能解出0λ，1λ与2λ，则再做第四步试解3322104A A A E A λλλλ+++=等等，直到求出i λ（),,,2,1,0m i =使矩阵方程成立为止（由哈密尔顿---凯莱定理，这样的过程最多只有n 步即可终止），这时用λ代替A ，便得到所求最小多项式)(λA ψ.例2 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1101111001111111A 的最小多项式.解：（1）试解 E A 0λ=，显然关于0λ无解. （2）试解 A E A 102λλ+=写出方程两边的矩阵，并选择某行（某列）来求解代数方程组，以此求0λ和1λ，例如，比较第一行（3，2，0，-1）；A E 10λλ+的第一行为（11110,,,λλλλλ-+），从而的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===+202311110λλλλλ此方程组显然无解.（3）试解22103A A E A λλλ++=写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解0λ，1λ和2λ，这可由此比较方程两边第一列：1)7,7,7,6(---；2210A A E λλλ++的第一列:121221310)2,2,2,3(----+++λλλλλλλλ,得关于0λ，1λ和2λ的方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-=+=++7272726321221210λλλλλλλλ 解此方程组得 270-=λ, 01=λ, 272=λ因为对于上面解出的0λ，1λ和2λ,矩阵方程232927A A A -=成立.所以A 的最小多项式为2927)(23+-=ψλλλA2.3 利用Jordan 标准型求最小多项式定理4[1] 设矩阵n n C A ⨯∈,则A 的最小多项式可以由 s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ给出,其中),,2,1(s i i =λ是A 的相异的特征根,),,2,1(s i d i =是在A 的Jordan 型J 中包含i λ的各分块的最大阶数.证明:参见文献[1].推论2 当A 的所有特征值都相异时,A 的最小多项式)(λA ψ就是A 的特征多项式A E f -=λλ)(.由定理4,在一般情况下,A 的最小多项式可以通过求出它的Jordan 标准型J 获得.例3 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=200001020000002000001200101112100000A的最小多项式.解：由A 的特征多项式33)2()1()(--=-=λλλλA E F知A 有两个不同的特征值：2,121==λλ（均为三重的）.容易求得5)(=-E A rank ，所以对于11=λ的特征向量仅有一个，这表示对应的Jordan 块的数目是1.又由于,4)2(=-E A rank 对应于22=λ的特征向量有2个，因此对应于22=λ的Jordan 块共有2块.故A 的Jordan 标准型为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡221211111可见J 中包含11=λ的块的阶数31=d ，包含22=λ的Jordan 块的最大阶数22=d ，因此A 的最小多项式为：23)2()1()(--=ψλλλA2.4 利用不变因子求最小多项式引理1[4] A 的最小多项式是A 的初等因子的最小公倍式. 证明：相似矩阵有相同的最小多项式和初等因子.因此只要对A 的若当标准型矩阵J 证明即可.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡S J J J21，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i ii iJ λλλ11，s i ,,2,1 = 并且.1n n si i =∑=我们已知i J 的最小多项式是i n i )(λλ-，现在对任一多项式)(λf 有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21s J f J f J f J f因此0)(=J f 当且仅当0)()()(21====s J f J f J f .这就是说，)(λf 是J 的化零多项式)(λf 是s J J J ,,,21 的化零多项式，进一步，)(λg 是J 的最小多项式必须)(λg 是s J J J ,,,21 的化零多项式，因此是的最小多项式的公倍式；另一方面，这些i J 的最小多项式的任一公倍式必须是J 的化零多项式，因而被)(λg 整除.故J 的最小多项式必须是s J J J ,,,21 的最小多项式，即J 的初等因子s n s n n )()()(2121λλλλλλ--- 的最小公倍式.定理5[4] A 的最小多项式恰为A 的最后一个不变因子.证明由于A 的最后一个不变因子)(λn d 具有性质()λλn i d d |)(，,1,,2,1-=n i 所以()λn d 中包含了A 的初等因子所有互异的指数最高一次因式的幂，它恰是A 的全部初等因子的最小公倍式，于是命题得到证明.例5 证明⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=--12211000000010001000)(a a a a a A n n n λλλλλλ的不变因子是11,,1,1-n ，)(λf ，其中n n n n a a a f ++++=--λλλλ111)( .证明：因为)(λA 的左下角的1-n 阶子式为1)1(--n ，所以1)(1=-λn D ，于是)()()(121λλλ-===n D D D将)(λA 的第二，第三，…，第1-n 行，第n 行分别各乘以122,,,,--n n λλλλ 都加至第一行上，依第一行展开即得：n n n n n a a a A D ++++==--λλλλλ111)()(因此，)(λA 的不变因子是11,,1,1-n ，)(λf .由定理5可知，A 的最小多项式实质为A 的最后一个不变因子)(λn d ，而)()()(1λλλ-=n n n D D d ，其中)(λn D 为A 的n 阶行列式因子，故可得求A 的最小多项式的方法.例6 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=2345100010001)(λλλλλA 的最小多项式.解：543223451000100012344++++=+---=λλλλλλλλD)(λA 右上角有一个三级子式1101001-=---λλ所以 1321===D D D5432,1,1,12344321++++====λλλλd d d d所以)(λA 的不变因子是1，1，1，5432234++++λλλλ，它的最小多项式为5432234++++λλλλ三、最小多项式的应用这一节我们将讨论最小多项式的一些应用3．1 求矩阵的高次幂例7 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=4513416103A ，求100A 解：3)1()(-=-=λλλA E f ，由0≠-E A ，而0)(2=-E A ，知A 的最小多项式2)1()(-=λλg ，所以A 不能对角化.但我们有 )()()1(2100b a q ++-=λλλλ用待定系数法令1=λ，1=+b a ，对上式求导后再令 1=λ，解得11 99,100-==b a因此，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=300500100300499100600100020199100100E A A 3.2 判断矩阵是否可逆例8 设)(λg 是矩阵A 的最小多项式.)(λh 是任意多项式，证明：)(λh 可逆的充要条件是1))(),((=λλg h证：若1))(),((=λλg h ，则存在)(),(λλv u ，使1)()()()(=+λλλλv g u h于是E u h =)()(λλ，故0)(≠A h ，从而)(λh 可逆.反之，当)(λh 可逆时，设)())(),((λλλd g h =，于是 )()()(λλλd u h =， )()()(λλλd v g =从而有 )()()(0A d A v A g ==，)()()(A d A u A h =（*）因为0)(≠A h ，所以0)(≠A d ，即)(A d 可逆，这就有等式（*）推出0)(=A v ，并进一步得到 )()(λλg v =且1)(=λd .本文在文献[1]的基础上对最小多项式的求法做了总结和改进，并提出一些新的求法.同时，将最小多项式的求法应用到了求矩阵的高次幂和判断方阵可逆上，以此达到理论与实践的良好结合.[参考文献]1. 夏必腊，方阵最小多项式的性质与求法[J]，高等数学研究，2003，3：34—39.2. 杨子胥，高等代数习题解[M],山东:山东科学技术出版社,2001.3. 北京大学数学力学系，高等代数[M],北京：高等教育出版社，1988.4. 刘玉森，苏仲阳主编，高等代数应试训练[M]，北京：地质出版社，1995.。

矩阵的最小多项式的求解及其应用

矩阵的最小多项式的求解及其应用冯福存【摘要】首先介绍最小多项式的相关概念及最小多项式的一些基本性质,然后给出求解最小多项式的几种常用方法,最后结合实例归纳总结最小多项式在解题中的几个应用.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】5页(P28-32)【关键词】最小多项式;特征多项式;应用【作者】冯福存【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院, 宁夏固原 756000【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵可以说贯穿线性代数始终，而矩阵的特征多项式则是高等代数学习中的重点和难点，它与最小多项式的结合又常常成为数学系硕士研究生入学考试的难点和焦点．矩阵最小多项式在求矩阵函数的结果以及观察矩阵的特征值等方面具有重要的应用,大多数教材[1-3]只对矩阵最小多项式的定义做了简单的介绍,如何快速准确地计算出其最小多项式却很少给予系统的讨论，作者在长期的教学实践中，参阅相关文献[4-7]，得到和总结了关于矩阵最小多项式的系列性质，并对计算最小多项式常用的易于掌握的几种方法进行整理、总结和对比，并将教材上的Jordan标准形和最小多项式两个知识点串联到了一起,有利于加深初学者对这两部分内容的理解，以期对读者有所帮助．1 基本概念及性质定义1 设f(x)∈C[x]，A∈Cn×n,若f(A)=0，则称f(x)为A的零化多项式．定义2 设A∈Cn×n,A的零化多项式中次数最低的首项系数为1的多项式称为A的最小多项式．关于矩阵的最小多项式有如下结论：性质1[1] A∈Cn×n，则A存在唯一的最小多项式，记为mA(λ)．性质2 A∈Cn×n，mA(λ)整除A的任一零化多项式，特别的mA(λ)|fA(λ)，(fA(λ)=|λE-A|)．证明设f(λ)是A的任一零化多项式，由带余除法定理可知f(λ)=mA(λ)q(λ)+r(λ),若r(λ)≠0，由f(A)=0，mA(λ)=0可知r(A)=0，则r(λ)为A的最小多项式，与性质1矛盾，故r(λ)=0，即mA(λ)|f(λ)．由Hamilton-Cayley定理[1]知fA(λ)是A的一个零化多项式，故mA(λ)|fA(λ)．性质3[7] A∈Cn×n，A的最小多项式的根必是A的特征多项式的根，反之亦然．性质4[1] 设A∈Cn×n，若A是一个准对角阵并设A1的最小多项式为g1(λ)，A2的最小多项式为g2(λ)，那么A的最小多项式为g1(λ)，g2(λ)的最小公倍式[g1(λ),g2(λ)]．性质5[6] 相似矩阵的最小多项式相同，即最小多项式是相似不变量．性质6[1] k级Jordan块的最小多项式为(λ-a)k．性质7[1] 设Α是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使得Α在这组基下的矩阵是Jordan形．2 最小多项式的求解求矩阵的最小多项式有多种方法，本文主要介绍四种便于掌握的方法．2.1 由特征多项式求最小多项式设A∈Cn×n的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，则A的特征多项式为fA(λ)=|λE-A|=(λ-λ1)k1(λ-λ2)k2…(λ-λs)ks,由性质3可知A的最小多项式必有如下形式：mA(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms，上式中mi≤ki(i=1,2,…,s)．若A的特征值均为单根时，mA(λ)=fA(λ)；若A的特征多项式为fA(λ)=(λ-λ1)n 时，mA(λ)=(λ-λ1)m(m≤n)，m为使(λ1I-A)m=0的最小次数．2.2 待定系数法A∈Cn×n，设A的最小多项式为mA(λ)=λm+am-1λm-1+am-2λm-2+…+a1λ+a0(1≤m≤n)，可如下操作：第一步：m=1，试解A=-a0I，看是否有解：若有解a0，则最小多项式为mA(λ)=λ+a0；若无解；则进入下一步；第二步：m=2，试解A2=-a1A-a0I，看是否有解：若有解a0,a1，则最小多项式为mA(λ)=λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；第三步：m=3，试解A3=-a2A2-a1A-a0I，看是否有解，若有解a0,a1,a2，则最小多项式为mA(λ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；如此循环，直到求出ai(0≤ai≤n)使矩阵方程Am=-am-1Am-1-am-2Am-2-…-a1A-a0I成立为止，以λ代A，以1代I便可得到所求的最小多项式．2.3 初等变换法设A∈Cn×n，λI-A为矩阵A的特征矩阵，这是一个λ-矩阵，对该矩阵施行初等行(列)变换将λI-A化为标准形，通过标准形可求得A的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)，则mA(λ)=dn(λ)，即λI-A的标准形的最后一个不变因子就是A的最小多项式．也可以先求出λI-A的n-1阶和n阶行列式因子分别为Dn-1(λ)，Dn(λ)，由前面可知A的最小多项式为2.4 利用Jordan标准形求最小多项式文献[8]关于A∈Cn×n的Jordan标准形的求解已做了详细的介绍，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，如果λi是A的单特征值，则对应一阶Jordan块Ji=(λi)，如果λi是A的ri(ri>1)重特征值，则以λi为对角元素的Jordan块的阶数之和为ri，设以λi为对角元素的Jordan块的最大阶数为di,可得A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds．由性质6可知每个Jordan块对应一个一次因式的方幂(初等因子)，即A化为标准形后每个Jordan块与A的初等因子是一一对应的．再由性质4、性质7可知A的最小多项式为所有这些初等因子的最小公倍式．这样，通过A的所有初等因子也可以确定A的最小多项式．这四种求矩阵最小多项式的方法中特征多项式法和待定系数法都有试探的成分，实际操作起来比较麻烦.前者适合低阶的比较简单的矩阵，而后者可适用于任意阶矩阵，计算方法机械，可用计算机编程来处理．如果知道矩阵的Jordan标准形，则可以快速的写出矩阵的最小多项式，但如果不知道矩阵的Jordan标准形而要计算矩阵的Jordan标准形有时也是比较麻烦的．初等变换法和行列式因子法相似，他们都是利用λ-矩阵的相关理论解决问题．3 矩阵最小多项式的应用3.1 计算Ak文献[8]中对于这种问题通过相似变换讨论过，即在n维线性空间V中，任意一个矩阵A∈Cn×n与一个n阶Jordan矩阵相似，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J，则及的形式，可以把一般的矩阵的问题化为Jordan形来讨论，使得问题简化．本文用最小多项式来解决此类问题，令f(λ)=λk，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，mA(λ)的次数∂(mA(λ))=m.若k≤m，则直接计算Ak，若k>m，由带余除法可得f(λ)=q(λ)mA(λ)+r(λ)，其中,∂r(λ)=r<m．因为mA(A)=0，所以f(A)=r(A)，只需要确定r(λ)便可计算f(λ)，不妨设r(λ)=lm-1λm-1+lm-2λm-2+…+l1λ+l0，通过最小多项式的根待定系数后可确定r(λ)的系数，从而计算f(λ)．可以将这类问题的计算进一步推广为：已知方阵A与任意多项式f(λ)求f(A)，解决方法与前面的讨论完全一致．3.2 求方阵A的全体多项式所生成的线性空间的维数与基对于一个给定的方阵A的矩阵多项式,考察的核心对象是该矩阵的幂的形式.如果矩阵A没有明显的特征，则它的各次幂一般也没有明显的特征，这时就不好确定A 的矩阵多项式的次数，从而无法确定A的矩阵多项式所生成的空间的维数与基．将这类问题的结论以命题的形式给出，对于这一类型的问题只需知道A的最小多项式便可套用命题的结论解决．定理[1][9] A∈Cn×n，A的最小多项式的次数为k,W={f(A)|A∈Cn×n},则有：(1)dimW=k；(2)E,A,A2,…,Ak-1为W的一组基．3.3 求解常系数线性微分方程组关于常系数线性微分方程组的求解和解的理论可参看文献[10],读者会发现比较繁杂，要求掌握矩阵函数和矩阵的微分和积分的知识才能看懂和进行相关的计算．本文给出一种较简单直观的方法来求解线性齐次微分方程组．对于常系数线性微分方程组(其中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T，i=1,2,…,n，A为n 阶数字方阵)的求解本质是求解它的基解矩阵，基解矩阵其本质就是一个矩阵函数．根据矩阵函数的定义，一般矩阵函数f(A)是用在A的特征值上和f(λ)一致的多项式g(λ)所对应的矩阵多项式g(A)来表示的．但是，这样的g(λ)并不是唯一的，因此用来定义矩阵函数f(A)的g(A)也不是唯一的，但借助于A的最小多项式后这样的g(A)是唯一的，从而f(A)也是唯一的．设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，最小多项式为mA(λ)，次数为∂(mA(λ))=m，由带余除法可得g(λ)=p(λ)mA(λ)+r(λ)，由矩阵函数的定义，利用拉格朗日插值公式可求解f(A)．(i)当A的最小多项式没有重根时(1)其中(ii)当A的最小多项式有重根时设此时最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，其中d1+d2+…+ds=m≤n，则其中mi(A)=(A-λ1I)d1(A-λ2I)d2…(A-λi-1I)di-1(A-λ1I)di+1…(A-λ1I)ds,；j=1,2,…,ds．4 应用举例例1 求下列矩阵的最小多项式．解计算得|λI-A|=(λ-1)4，r(λI-A)=2,可知对应特征值1的特征向量有2个，所以矩阵A的Jordan标准形由2个Jordan块构成，但无法判断Jordan块是一个1阶和3阶，还是2个2阶的，采用文献[8]中的波尔曼法计算可得A的Jordan标准形为由本文确定最小多项式的Jordan标准形方法可得矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-1)3．例2 解下列线性微分方程组其中解矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-4)(λ-2)．由微分方程理论可知所求方程组解的形式为X=eAtc，其中c=(c1,c2,c3)，ci(i=1,2,3)不全为零．下面只需计算矩阵函数f(A)=eAt和向量c，为此，令f(λ)=eλt，λ1=4,λ2=2.最小多项式无重根，由公式(1)可得其中于是得故一般解为X=eAtc．当t=0时，由初值条件可得c1=0，c2=1，c3=1．故满足初始条件的解为参考文献:【相关文献】[1] 北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2013．[2] 库洛什．高等代数教程[M]．北京：高等教育出版社，1983．[3] 蓝以中．线性代数引论[M]．北京：北京大学出版社，1998．[4] YU Bo,ZHANG Jintao,XU Yanyan．The RCH Method for Computing Minimal Polynomials of Polynomial Matrices[J]．J.Syst.Sci .Complex，2015,25:190-209.[5] 夏必腊.方阵最小多项式的性质与求法[J].高等数学研究,2003,6(3):34-39．[6] 张跃辉．矩阵理论与应用[M]．北京：科学出版社，2011．[7] 魏洪增．矩阵理论与方法[M]．北京：电子工业出版社，2005．[8] 冯福存．矩阵的Jordan标准形及其应用[J]．绵阳师范学院学报，2016,35(5):11-15．[9] 林志兴，杨忠鹏．线性组合与积相等矩阵对及其多项式表示[J]．浙江大学学报(理学版)，2015,42(3):261-267．[10] 王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2006．。

最小多项式1

定义1 设方阵n n A P ，我们称[]P l 中能使()g A O 的次数最低的首一多项式()g l 为A 的最小多项式。

注意最小多项式一定不是零多项式，也不是零次多项式，它的次数至少在一次及其以上。

我们把最小多项式的性质列为下述七个引理。

引理1 A 的最小多项式是唯一的。

证明设1()g l 和2()g l 都是A 的最小多项式，由带余除法得12()()()()g q g r l l l l ，其中()0r l 或 2()r g l l .我们说()0r l ，即 21g g l l .否则由12()()()()g A q A g A r A 得()r A O ，这与2()g l 是A 的最小多项式矛盾。

因此21()()g g l l .同理可证12()()g g l l . 所以11()()g g l l . ▎用同样的方法可证，当()f A O 时，A 的最小多项式()()g f l l .于是得引理2 设()g l 是A 的最小多项式，则()f A O ()()g f l l . ▎ 由Hamilton Cayley 定理又得引理3 A 的最小多项式()g l 是它的特征多项式()f E A l l 的一个因式。

▎引理4 A 的最小多项式()g l 与它的特征多项式()f l 在P 中有相同的根（重数可能不同）。

证明由引理3知， g l 在P 中的根一定是 f l 的根。

下面证明 f l 在P 中的任一个根0l 也一定是 g l 在P 中的根：设X 是A 的属于0l 的特征向量，则它也是 g A 的属于特征值 0g l 的特征向量，由 g A O 得0O g A X g X l .因为X O ,所以 00g l ，即0l 也一定是 g l 在P 中的根。

▌求最小多项式的方法1：（1）先将A 的特征多项式 f l 在P 中作标准分解，找到中A 的全部特征值12,,,s l l l ；（2）对 f l 的标准分解式中含有 12s l l l l l l 的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A 的多项式就是最小多项式。

怎么计算极小多项式举例

极小多项式是一个线性代数和抽象代数中的重要概念，用于描述矩阵的性质。

计算极小多项式的过程相对复杂，需要一定的数学知识和技巧。

下面将介绍如何计算极小多项式，并提供一个示例来帮助理解。

1.构造行列式首先，考虑一个n阶方阵A，我们需要构造一个关于A的多项式。

定义一个矩阵多项式的行列式D(t)： D(t) = det(tI - A)其中，I是单位矩阵，t是一个未知数。

方阵(tI - A) 称为伴随矩阵。

2.寻找零化多项式下一步是找到一个次数最低的非零多项式p(t)，使得p(A) = 0。

根据伴随矩阵的定义，我们可以得到一个定理：p(t)必须是D(t)的因子。

所以，我们需要计算D(t)的因子来找到极小多项式。

这可以通过对D(t)进行因式分解来实现。

关于如何因式分解多项式的具体步骤，可以参考线性代数教材或内容。

3.确定极小多项式一旦我们找到了一个次数最低的非零多项式p(t)使得p(A) = 0，那么极小多项式就是p(t)。

以下是一个例子，用于帮助理解如何计算极小多项式：假设我们有一个2阶方阵A： A = [1 2] [3 4]首先，我们构造伴随矩阵： (tI - A) = [t-1 -2] [-3 t-4]然后，计算行列式： D(t) = det(tI - A) = (t-1)(t-4) - (-2)(-3) = t^2 - 5t + 6将D(t)进行因式分解：D(t)=(t-2)(t-3)因此，极小多项式是p(t) = (t-2)(t-3)通过验证，我们可以发现p(A) = 0。

以上是计算极小多项式的基本步骤和示例。

实际上，更复杂的方阵需要更复杂的计算方式来得到极小多项式。

有关更详细的计算方法和示例，可以参考相关专业的线性代数和抽象代数教材。

怎么计算极小多项式举例

怎么计算极小多项式举例计算一个矩阵的极小多项式可以通过以下步骤进行：步骤1：确定矩阵首先，我们需要确定我们要计算极小多项式的矩阵。

矩阵通常用一个方阵表示，方阵是一个行数和列数相等的矩阵。

举例：考虑一个3x3的矩阵A，如下所示：A=[123][456][789]步骤2：计算特征多项式接下来，我们需要计算该矩阵的特征多项式。

特征多项式通过矩阵A 减去单位矩阵I并求行列式得到。

特征多项式的公式如下所示：p(λ) = det(A - λI)其中，λ是一个常数，A是待计算的矩阵，I是单位矩阵。

举例：我们计算矩阵A的特征多项式。

A-λI=[1-λ23][45-λ6][789-λ]det(A - λI) = (1-λ)[(5-λ)(9-λ) - 6*8] - 2[(4)(9-λ) - 6*7] + 3[(4)(8) - 5(7)]步骤3：计算特征值现在，我们需要解特征多项式的方程，以计算特征多项式的根（也称为特征值）。

特征多项式的根对应于矩阵的特征向量，这些特征向量描述了矩阵的不变子空间。

举例：我们解特征多项式的方程，计算特征值。

将特征多项式置为0，然后解方程：(1-λ)[(5-λ)(9-λ)-6*8]-2[(4)(9-λ)-6*7]+3[(4)(8)-5(7)]=0求解方程，我们得到三个特征值λ1=15,λ2=-1,λ3=-3步骤4：计算矩阵的幂接下来，我们需要计算从1到矩阵的阶数的所有矩阵幂。

这些幂值将用于计算矩阵的Jordan标准型。

举例：我们计算矩阵A的幂值。

A^2=A*A=[123][123][456][456][789][789]A^2=[303642][668196][102126150]同样地，我们可以计算A的其它幂值。

步骤5：计算矩阵的Jordan块现在，我们需要计算矩阵的Jordan块，这些块是由特征值的重数决定的，它们描述了通过矩阵的相似变换所表示的不变子空间。

举例：我们计算矩阵A的Jordan块。

矩阵最小多项式的特征多项式求法

ｉｌ＝
ｆ（）Ａ的特征多项式，ｆ（＝０ｔｉ是则Ａ）。
ｋ，；＝１２… ，）ｍ（，，ｓ都是正整数，ｉ由最小多项式定定理２设Ａ是数域的Ｐ上一个ｎ级矩阵，义可知，ｉ１２ … ，ｉ，，，）Ａｋ是，，ｍ（＝１２ … ｓ中使ｇ（Ａ）
式的Ａ的最小多项式的根。
ｌｌ
Ⅱ — （）Ⅱ — ）ｌ），
ｉ＝１ｉ１；
命题３矩阵Ａ的最小多项式是唯一的。 …
所以，ｉＩ — 因为（ ≠ （＝１２ｐｔ Ⅱ ），（））０ｉ，，
ｆｌ＝
＝
的特征多项式为ｆｉ：Ⅱ —。，ｔ，：（）ｔ）其中ｉｉ，。ｔ
ｉ１＝
０的最小正整数。证毕。
作者简介：秦勇（９８）男，１５一，常州师范专科学校数学系主任，副教授。
维普资讯
２
设Ａ的最小多项式为ｇ）一２ “ —１虹（ ≤ 后≤２１）（＝（）（），１。， ≤ｋ≤２２
因为
００００１００１００
（Ａ一２（Ｅ）Ａ—Ｅ）＝
００００
００ —１１
２定理、
…
，）且，ｉ的首项系数为１所以＇（），ｓ，ｐｔ（），Ｐｉ＝１从ｔ
ｌ
（）ｔ）且（１，ｓ又 ≤ｍ２）定理１。设Ａ是数域的Ｐ上一个ｎ级矩阵，而ｇｉ＝儿 — 后＝， …，，
（州师范专科学校，苏常州２３２）常江１０２

8.7 最小多项式

结论2 结论2 若复数矩阵 A的特征值互异，则的特征值互异，
A 的最小多项式就是其特征多项式. 的最小多项式就是其特征多项式.
例 4 设n级复矩阵满足： A2+A=2E, 级复矩阵A满足级复矩阵满足：
证明：必与对角阵相似必与对角阵相似. 证明：A必与对角阵相似
小结
1.最小多项式的定义 1.最小多项式的定义 2.最小多项式的性质 2.最小多项式的性质 3.矩阵可对角化的条件 3.矩阵可对角化的条件
所以 J 的最小多项式为 ( x - a )k .
证毕
推论2 推论2
n 阶复矩阵的最小多项式就是的阶复矩阵A的最小多项式就是的最小多项式就是A的
最后一个不变因子 d n (λ ) . 证设A的若当标准形是的若当标准形是
J1 J2 J = , ⋱ Js
因此，因此， r(A) = O. 由最小多项式的定义，由最小多项式的定义， r(x) = 0 , 即 g2(x) | g1(x) . 同样可证 g1(x) | g2(x). 只能相差一个非零常数因子. 因此 g1(x) 与 g2(x) 只能相差一个非零常数因子又因 g1(x) 与 g2(x) 的首项系数都等于 1 ，所以 g1(x) = g2(x) .
由不变因子与初等因子的关系知，由不变因子与初等因子的关系知，
(λ − λ1 )k1 , (λ − λ2 )k2 , ⋯ , (λ − λ s )ks . d n (λ ) =
由引理1之推论知，引理1之推论知
d n (λ ) 为J的最小多项式的最小多项式. 的最小多项式
又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，所以，的最小多项是它的最后一个不变因子所以，A的最小多项是它的最后一个不变因子 d n (λ ).

矩阵最小多项式的应用

A=ê
证明：有理多项式 f ( x ) 使 f ( A ) = 0 的充分必要
ë-3 3 û
条件是 f ( x ) 为 x 2 - 5x + 3 的倍式。
证明：先求 A 的最小多项式。在特征矩阵 xE - A =
1 ù
éêx - 2
ú 中，由于存在一阶子式为非零常数，所以
二、利用最小多项式判断矩阵多项式式是否为零
因为 f ( x ) 以 A 为根的充分必要条件是 A 的最小多项式整
矩阵是否相似、判断矩阵多项式是否为零、判断矩阵是否可对
除 f ( x )，所以要判断 f ( A ) 为零，只要证明 A 的最小多项式整
角化和求矩阵的高次幂等方面的应用进行了详细的研究 .
2
因此 λE - B 的不变因子为 1, λ2 + 1。由矩阵的最小多项式是它
的最后一个不变因子知 B 的最小多项式为 λ 2 + 1。设
A ∈ ℝ 2 × 2，且 λ2 + 1 为其零化多项式。设 λE - A 的不变因子为
m 1 ( λ ) 和 m 2 ( λ )，则其最小多项式 m 2 ( λ ) |( λ2 + 1 ) 在实数域
上不可约，所以 m 2 ( λ ) = λ2 + 1。而 m 1 ( λ ) |m 2 ( λ )，所以
m 1 ( λ ) = 1。此即 λE - A 的不变因子也是 1, λ2 + 1。由于它们
0 -1 ù
ú。
有相同的不变因子，所以 A 相似于 éê
ë1 0 û
［分析］要证明两矩阵相似，只需要证明它们有相同的不变

方阵最小多项式的求解与应用

方阵最小多项式的求解与应用作者：王亚琼来源：《读写算》2011年第32期【摘要】本文首先从n阶方阵的基本理论入手，先后介绍了方阵的零化多项式，方阵的最小多项式及最小多项式的性质，进而系统归纳总结了求解方阵最小多项式的六种方法，最后在此基础上给出了最小多项式在矩阵可对角化问题中的应用。

【关键词】方阵零化多项式最小多项式方法应用方阵的最小多项式是一种特殊的零化多项式，该理论以λ-矩阵和矩阵的若当标准形为基础，以哈密顿-凯莱定理为理论前提，并通过研究最小多项式的性质来进一步研究零化多项式的性质。

最小多项式的求解是我们在高等代数这门课程中经常要接触到的一类题型，研究更好更有效的解题方法是本课题的最终目的。

一、基本理论1、方阵的零化多项式2、最小多项式及其性质最小多项式具有以下一些性质：(3)相似矩阵的最小多项式相同.二、最小多项式的求解下面给出求解方阵A的最小多项式的三种不同的方法：2.1 由不变因子求解最小多项式2.3 由矩阵的秩来确定最小多项式一个方阵的最小多项式的求法往往是麻烦的，在方阵A满足一定的条件时，可按如下定理方法较易得到它的最小多项式.三、最小多项式在判定一个矩阵可否对角化中的应用定理8:数域上阶矩阵可对角化的充分必要条件是的最小多项式是上互素的一次因式的乘积.例6:判定矩阵=可否对角化，因此矩阵的最小多项式为.由，可知没有实根而有两个不同的复根，故矩阵在有理数域、实数域上不可对角化而在复数域上可对角化.根据定理10，例6中的矩阵可否对角化取决于的最小多项式能否化为互素的一次因式的乘积.容易判定，没有有理根，故在有理数域上不可对角化；又，，可知在复数域上可化为互素的一次因式的乘积，故在复数域上可对角化；但在实数域上能否化为互素的一次因式的乘积，即有无3个不同的实根，此时尚不确定，我们可利用定理.看作是一个很大的正数，看作是绝对值很大的一个负数.也就是说，对于任一实系数多项式=，存在，使得时，与同号；时，与同号，因此有推论:设是非常数的实系数多项式且，，，…，为的序列，的首项为，则的实根数为-，其中表示数列…，的变号数，表示数列的变号数.参考文献[1] 夏必腊.方阵最小多项式的性质与求解[J][2] 北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M][3] 杨子胥.高等代数习题集（下册）[M]注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

求矩阵最小多项式的初等变换方法

A 1 ) 化为矩阵 ( Ε 2 , A 2 ). 设 Β2 = A 2 Α 1 , 若向量 Β 2 的第二行下面的元素不全为零, 则可通过一
系列初等行变换 ( 但矩阵的前两行 Nhomakorabea参与第一, 第二两种初等行变换, 也不能把前两行中某一行的倍数加到下面的行) , 把矩阵 ( Β2 , A 2 ) 化为矩阵 ( Ε 3 , A 3 ). 如此一直进行下去, 一直
- 2 - 1 因 Α 7) , 向量 Β2 = A 2 Α 1, - 2, 0) T 的第二行下面的元素全 1 = A Α 0 = ( 11, 9, 1 = (T
2 ) = Κ 为零, 故 Α关于 A 的的最小多项式为 f ( Κ + 2Κ+ 1.
参考文献:
[ 1 ] 蓝以中. 高等代数简明教程 ( 下册) [M ]. 北京: 北京大学出版社, 2002. [ 2 ] 王湘浩, 谢邦杰. 高等代数 [M ]. 北京: 人民具有出版社, 1964. [ 3 ] 樊辉, 钱吉林. 代数学词典 [M ]. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994. [ 4 ] 杨继明, 蔡炯辉. 零化多项式的一个应用 [J ]. 数学的实践与认识, 待发表.
) , i = 1, …, n , 则矩阵 A 的最小多项式为 A 的最小多项式为 f i ( Κ ) = [ f 1 (Κ ) , …, f n ( Κ )] f (Κ ) , …, f n ( Κ ) ] 表示多项式 f 1 ( Κ ) , …, f n ( Κ ) 的首项系数为 1 的最小公倍式这里 [ f 1 ( Κ . ) 是Α 证因 f i ( Κ 0, i = 1, …, n. 又因为 i 关于 A 的最小多项式, 故 f i (A ) Α i = ) f (Κ ) , 所以 f (A ) Α f i (Κ 0, i = 1, …, n. 于是, f (A ) ( Α i = 1 , …, Α n) =

工程应用数学基础_10_--方阵多项式与最小多项式

4
0

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0 12 8 0 4 4 0 0 4
研究生MOOC课程
第10讲方阵多项式与最小多项式
一、方阵多项式
工程应用数学基础
问题
对一般的多项式 g( ) a0 m a1 m 1 … am 1 及矩阵A，怎么计算方阵多项式g(A)?
am ，
方法一: 将方阵A相似化简；
0
1
研究生MOOC课程
工程应用数学基础
第10讲方阵多项式与最小多项式
一、方阵多项式
令
1 1 0 P [x1 x2 x3] 0 1 0
1 0 1
则有:
3
A

P

2

P
1
2
PJP 1
1 1 0
P 1

0
1 0
1 1 1
g( As )
工程应用数学基础
第10讲方阵多项式与最小多项式
一、方阵多项式
工程应用数学基础
例 2 设 g( ) 2 10 8
10，试求方阵多项式 g(A)，其中
3 1 0 A 0 2 0
1 1 2
解先将 A 相似化简:
3 1 0 fA( A) | I A | 0 2 0 ( 2)2( 3)
Jk
(0k ) 0k
1 2!
(0k
)
(0k )
(r
1 1)!
(0k
)( r 1)

1 2!
(0k
)

(0k ) 0k
rr

方阵最小多项式的性质探究

方阵最小多项式的性质探究摘要：讨论方阵最小多项式的几个性质及相关的几个简单应用关键词：方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式定义1：设方阵A ，若f(x) F(x)，使f(A)=0，则称f(x)为A 的零化多项式。

命题1：方阵的零化多项式是存在的。

证明：设A 为n n ⨯方阵，()n M F 表示域F 上的所有n n ⨯方阵的集合，构一线性空间，它的维数为2n ，A 属于()n M F ，由22,,,,n E A A A 这21n +个向量必定线性相关。

则存在一组不全为零的数：201,,,n a a a ,使得22010n n a E a A a A +++= ，作多项式2201()n n f x a a x a x =+++ ,且()0f x ≠，有()0f A =,即()n M F 中的任意向量A 来说，零化多项式是存在的。

定义2：次数最低首项为1的零化多项式称为最小多项式。

由命题1的证明过程，我们知道最小多项式是存在的。

只要由,,,k E A A ，随k 增大往上找。

但是这也只能说方阵A 的最小多项式的次数最多不超过2n ,这个估计是比较粗糙的，我们可以估计得更精确些。

命题2：（cayley-Hamilton 定理）设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，()f x E A λ=-是A 的特征多项式，则11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-= 证明：详见北大数教材《高等代数》P303。

也就是说可以把方n n ⨯方阵的最小多项式的次数缩小到不超过n 。

下面介绍几个最小多项式的性质：命题3：矩阵A 的最小多项式是唯一的。

命题4：设g(x)为方阵A 的最小多项式，那么f(x)以A 为根当且仅当g(x)整除f(x).命题5:相似矩阵具有相同的最小多项式。

证明：设方阵A 的最小多项式是()m x ,矩阵B 最小多项式是n(x),由A 与B 相似知，有1B P AP -=，其中P 为可逆阵。

矩阵论_最小多项式_JORDAN式子

λ-矩阵一、λ-矩阵的基本概念数域P 上m n ⨯的λ-矩阵的一般形式()()()()()()()1111n ij mnm mn a a A a a a λλλλλλ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中各()[]ij a P λλ∈.1 ()A λ的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式； 2()A λ的：该子式是一个非零多项式；3 ()A λ的秩为r ：()A λ有一个r 级子式不为零，而所有的1r +级子式（如果还有的话）全为零；4 n 级λ-矩阵()A λ可逆：存在n 级λ-矩阵()B λ使()()()()A B B A E λλλλ==，这时记()B λ为()1A λ-称为()A λ的逆矩阵。

()A λ可逆()A λ⇔=非零常数（即零次多项式）. 5 ()A λ与()B λ等价：()A λ与()B λ可以经过初等变换互相转化。

()A λ与()B λ等价⇔存在可逆矩阵()(),P Q λλ使()()()()P A Q B λλλλ=.二、λ-矩阵的标准准形及三种因子1 每个λ-矩阵()A λ都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准形()()()()1200r d d B d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ，其中()()()12,,,r d d d λλλ 均为首一多项式，称为()A λ的不变因子。

它们满足依次整除关系：()()1i i d d λλ+，1,2,,1i r =- .因为初等变换不改变()A λ的秩，所以上述()()r r A λ=.2()A λ的所有k 级子式的首一最大公因式()k D λ称为()A λ的k 级行列式因子。

（1）若()()r A rλ=，则()A λ的行列式因子恰有r 个：()()()12,,,r D D D λλλ .（2）初等变换不改变()A λ的各级行列式因子，所以()A λ与它的标准形()B λ有相同的行列式因子。

最小多项式

高等工程数学理学院杨文强
第二章方阵的相似化简
§3 CayleyCayley-Hamilton定理和最小多项式
(3“ ) ⇐ ”Q mA (λ ) f A (λ ) 其中f A (λ )是A的特征多项式
若mA (λ0 ) = 0，则有f A (λ0 ) = 0 即λ0是A的特征值
“ ⇒ ”设λ0是A的特征值，特征向量是x0 由定理1知， mA (λ0 )是方阵多项式mA ( A)的特征值，且x0是方阵mA ( A)关于特征值mA (λ0 )的特征向量，故有
仍是一n阶方阵，称(∗)式为方阵多项式.
第二章方阵的相似化简
§3 CayleyCayley-Hamilton定理和最小多项式
定理1：设n阶方阵A的特征值为： λ1，λ2， L，λn xi是A关于λi的特征向量，则方阵多项式的特征值为：g (λ1 )，g (λ2 )， L，g (λn ) g ( A) = a0 Am + a1 Am −1 + L + am −1 A + am I
第二章方阵的相似化简
§3 CayleyCayley-Hamilton定理和最小多项式一、特征多项式：
设A是n阶方阵A = (aij ) n×n，记其特征多项式为：
f A (λ ) = λ I − A = λ + b1λ
n n −1
+ L + bn −1λ + bn
有关特征多项式的一些结论： L，λn， (1) f A (λ )在C中有n个根λ1，λ2， f A (λ ) = ( λ − λ1 )( λ − λ2 ) L ( λ − λn ) λ1，λ2， L，λn中可能有相同的
2 −1 −1 3 ，求A的最小多项式. 例3：设A = 0 5 0 −4 −2

最小多项式

§9 最小多项式根据哈密尔顿—凯莱定理，任给数域P 上一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上一个多项式)(x f ，使0)(=A f . 如果多项式)(x f 使0)(=A f ，就称)(x f 以A 为根当然，以为A 根的多项式是很多的.一、定义1．定义：次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式. 2．基本性质引理1 矩阵A 的最小多项式是唯一的.引理2 设)(x g 是矩阵A 的最小多项式，那么)(x f 以A 为根的充要条件是)(x g 整除)(x f . 由此可知，矩阵A 的最小多项式是A 的特征多项式的一个因式. 3．如何求矩阵A 的最小多项式例1 数量矩阵kE 的最小多项式为k x -，特别地，单位矩阵的最小多项式为1-x ，零矩阵的最小多项式为x .另一方面，如果A 的最小多项式是1次多项式，那么A 一定是数量矩阵. 例2 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A求A 的最小多项式.例3 相似矩阵有相同的最小多项式，反之不然．设111111,1222A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. A 与B 的最小多项式都等于)2()1(2--x x ，但是它们的特征多项式不同，因此A 和B 不是相似的.二、应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化的问题１．引理3 设A 是一个准对角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A ,并设1A 的最小多项式为)(1x g ，2A 的最小多项式为)(2x g , 那么A 的最小多项式为)(1x g ,)(2x g 的最小公倍式)](),([21x g x g .这个结论可以推广到A 为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形.即：如果⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21, i A 的最小多项式为s i x g i ,,2,1,)( =，那么A 的最小多项式为 )](,),(),([21x g x g x g s２．引理4 k 级若尔当块⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a J 11 的最小多项式为k a x )(-.３．定理15 数域P 上n 级矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件为A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积.４．推论复数矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是A 的最小多项式没有重根.更广一点讲, 在复数域上, 如果存在一个没有重根的多项式 ()f x , 满足()0f A =, 则 A 就可以对角化.例. 设 A 是 n 阶方阵，满足 32220A A A E +--=，问 A 是否相似于对角矩阵解：32()22(1)(1)(2)f x x x x x x x =+--=+-+ 是 A 的化零多项式，从而 A 的最小多项式没有重根，可以对角化，第七章线性变换(小结)线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内存联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示, 在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换.一、线性变换及其运算1. 基本概念:线性变换,可逆线性变换与逆变换;线性变换的值域与核，秩与零度;线性变换的和与差,乘积和数量乘法,幂和多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象与核是V 的子空间.若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成,而A 的秩+A 的零度=n ,且A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}.二、线性变换与矩阵1.基本概念:线性变换在基下的矩阵;相似矩阵.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。