波动方程第二章

式可求得
u e exx x
同理可求得沿y和z轴上单位长度得伸长值 v e e yy y w e ezz z
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（2）切应变 。变形体不仅在三个坐标方向上有相对伸长（或 压缩），而且还会产生旋转，即夹角也会发生变化。(见下图)
假设两个正交线元素 MN和MP。受力后， 相对位移分别是du1 和du2。假设： dx=|MN|=|dr1| dy=|MP|=|dr2| MN、MP的相对位移 du1和du2对可由（11）式求出。


理论力学是研究物体的整体运动。
弹性力学不仅要考虑物体的整体运动，而且要研究物 体内部各质点的相对运动，相对运动是产生应变的必 要条件。
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2.2.2 应变度量
线应变（e）
L1 L0
L1 L0 e (伸长时取正值) L0 L1 S (长度比) L0 L1 2 ( ) (1 e) 2 (平方长度比) L0
因此，引入与介质弹性特性有关的固体弹性力学 的基本理论是必要的。 2
2 固体弹性力学的基本理论
固体弹性力学理论研究的是外力和它 引起的物体形变和体变之间的关系。
• 如，液体在外力的作用下，只会引起大 小变化（体变），不会产生形变。
应力和应变则是描述外力和形变关系 的最佳量。
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2 固体弹性力学的基本理论
则上式可写为
du Adr
1 2
式中矩阵[A]为位移梯度 N点位移到N``，由上图可知：
dr dr du dr [ A]dr dr([ I ] [ A]) 1
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2、M点的应变分析
1 3 ds dr dx2 dy2 dz 2 N dr1 ,它相当于 N 点经过 du 位移到 N 形变后， M 点。则
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2.1 应力分析
应力的方向与作用力的方向一致 应力的大小
• σ= P(作用力) / A( 面积)
• 或dP / dA（当应力分布不均匀时）
对应力概念其它方式的理解
• 力的强度 • 类似的表达：压强，密度 …
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2.1 应力分析
7
2.1 应力分析
2.1.2 应力的分解
A0
P
σ Aα
σα
后位移到 M ，MM 称为M点的位移向量 设N为M 邻近点，其向径 为 r dr 。受力后N点位移 到 N ，它的位移向量记 为 u (r dr) 。 N点对M点的相对位移是
z
u (u, v, w)。记为 u (r )。
N (x+dx,y+dy,z+dz)
dr
M （x,y,z)
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2.1 应力分析
2.1.1 应力的概念
弹性体受外力（震源）作用后会发生弹性形 变：一方面这些外力在物体内部传递，另一 方面在物体内部也会产生一种反抗形变的内 力，以和外力想抗衡，最后达到平衡，这种 抗衡的内力成为内应力，简称应力。
应力定义为单位面积上所受的内力。应力并 不是一个力，因为它的量纲不是力而是单位 面积上的力。
u v w 假设是小变形，即 ， ， 《1代入 x y z 1 1 ( dudx dvdy dwdz) 2 ds 将（ - 4）中的du,dv,dw代入 1 u dx 2 v dy 2 w dz 2 ( ) ( ) ( ) x ds y ds z ds u v x dy u w z dx ( )( )( ) ( )( )( ) y x s ds z x s ds v w y dz ( )( )( ) z y s ds
2.1 应力分析
外力------体力和面力
• 面力——通过物体接触面传递的力，也称作表面力, 如水的压力 • 体力——作用于物体内部所有质点的力，如重力， 吸引力
内力------应力
• 应力——是在面力或体力作用下，物体内部假想面 上单位面积上的一对大小相等、方向相反的力，是 作用在该面上的力的大小的度量。
u (r )
dr1
u (r dr)
N
u (r dr) u (r )
r
当两点十分靠近时，可用 微分 du 近似地代表该相对 位移。
r dr
u
dr
N (x+dx+Δx
y+dy+Δy z+dz+Δz)
du
M（x+Δx,y+Δy,z+Δz)
1
x y z 式中 , , 是 dr ( MN ) 的方向余弦，记为 (l , m, n) 。并令： s s s
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u exx x
v e yy y
w ezz z
1 u v exy e yx 2 y x 1 u w ezx exz 2 z x 1 v w e yz ezy z y 2
u dx x
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2.2.2
应变度量
剪应变（）
＝tgψ
ψ－变形后偏离直角的量

右行( 顺时针 )剪切 为正
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2.2.3 均匀变形和非均匀变形
根据物体内部应变状态是否变化划分为均匀变形和非均匀变形
1、均匀变形
变形物体内各点应变特征相 同，表现为： • 变形前直线仍为直线 • 变形前平行线仍平行 • 单位圆→椭圆 • 可以用一点的变形代表 整体变形特征
u u u x y z du dx v v v du dv A dr dy dw dz x y z w w w x y z
• 压应力为正 • 张应力为负 • 与材料力学中的规定相反
σn
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剪应力
Aα ຫໍສະໝຸດ Baiduα
α τ A0
剪应力亦称作切应力，以τ或 σs表示。可分解为x和y方向的 两个互相垂直的切应力分量 σxn和σyn。 剪应力符号规定： • 使物体沿逆时针方向旋转的 剪应力为正 • 使物体沿顺时针方向旋转的 剪应力为负 • 与材料力学中的规定相反
2.2.1 形变与应变
变形——物体内部质点在力的作用下的位移，使初 始形状、方位、位置发生改变 • 平移 • 崎变（狭义变形） • 旋转 • 体变
应变——是变形程度（大小）的度量
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应变的概念
应变---当弹性体受到应力作用后，将发生体积和形状的 变化，即应变。

体积形变----指物体只发生体积变化而无形状变化的 应变。它是受正应力作用的结果。 形状形变-----物体只发生形状的变化。它是剪切应 力作用的结果。
• 最大主应力是空间一点上量值最大的正应力。
一点的应力状态可以用三个主应力的大小和方 向表示，依次为σxx， σyy， σzz。
主应力的方向称作主应力轴方向或主方向。
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应力状态
三轴应力状态 —— 三个主应力都不等于0
当σxx=σyy=σzz时，为均压，称作静水压力或流体静压力。 这种状态只引起物体体积变化，不改变其形状
y
du u(r dr) u(r)
x
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其分量形式是
du u dx u dy u dz x y z dv v dx v dy v dz x y z dw w dx w dy w dz x y z
（1-1）
如果记为
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2.1 应力分析
2.1.2 应力的分解
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过任一点O将存在无穷多个平面,每一个面都存在三个应 力分量,无穷多个面则会有无穷多个应力分量。 可以证明只有9个应力分量是独立的，其他的分量都可以 通过这9个分量转换获得。
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主应力
弹性力学证明，平衡力系中，可以找到三个 互相垂直的面，其上只有正应力，而没有剪 应力。这种面称作主平面（或主应力面）， 其上的正应力称作主应力。
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E 为应变张量。它是由9个分量组成，也是一个对称张量。可由（1-5）式求出
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3、应变分量的物理含义 （1）正应变。取设取l , m, n 1,0,0 时，则
y z 0， 表示y s s 和z方向无伸长度。只存在x轴方向上得伸长度 x 1。由 （1-7） s
（1-5）
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通过计算化简，则得到M点在任意方向 (l , m, n) 上的伸长度 为e
e exx l 2 e yy m 2 ezz n 2 2exy lm 2exz l * n 2e yz mn exx exy exz l (l , m, n) e yx e yy e yz m e e e n zx zy zz exx exy exz E e yx e yy e yz e e e zx zy zz
α τ σ A0 n
当截面与应力方向不 垂直时，作用在该斜 P 截面上的合应力可分 解为垂直于作用面的 正应力和平行于作用 面的剪应力 特别注意：应力与作 用面密切相关
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正应力
Aα A0 α
σα
正应力亦称作直应力， 以σ或σn表示。 正应力可以是压应力， 也可以是张应力。 正应力符号规定：
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注意：MN位移后不仅有x轴方向上的相对伸长 ，而且 产生了旋转，即夹角变化，使y和z轴上也产生了形变。即 v 使x轴方向上的伸长影响到y轴方向的压缩为 x dx和z轴方 w dx 。MN平行于x轴，故dy=dz=0, 则du1的分量可 向为 x 表示为： u MN
du1 dv1MN x v dx exy dx x dx exx dx
2 固体弹性力学的基本理论
本章包括：

应力分析


应变分析
应力与应变关系,弹性参数弹性

弹性波的波动方程：Navier方程、纵波传
播方程、横波传播方程
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2 固体弹性力学的基本理论
地震波可视为弹性波。
弹性波在弹性介质中传播时，波经过的介质产生 两种类型的变化—— 内部应力的重新分布； 几何形态的改变； 这些变化的大小及类型既与波自身的特性有关， 又与地下地质体的弹性特性有关。
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2、非均匀变形 各点应变特征不相同，
表现为：
• 变形前的直线变为非 直线 • 平行线变为非平行线 • 圆变为非椭圆
C为不连续变形 ——非渐变的应变状态
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2、非均匀变形 用物体内部变形 单元体（应变椭 圆）表示非均匀 变形 ——褶皱
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2.2.4 应变分析
一个点在所有方向上的无穷小伸长度就构成了该点的 应变状态。 研究应变时，必须假设形变是很小的，即
满足以下假设条件： 第一，假设位移为 u (u, v, w) ，则位移梯度值应满足
u v w , , 1 x y z
第二，假设位移分量 u, v, w 与物体在相同方向上的长 度相比是很小的。
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1、M点附近的形变
r ( x, y, z ) 。受力 M为物体内任意一点，在初始状态时其向径为
它的长度为
ds1 dr (dx du)2 (dy dv)2 (dz dw)2 1
因为 MN=dr, 则其长度为
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MN 的相对伸长e可表达为
ds1 ds ds1 e 1 ds ds
1 6
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其中 ds
ds
1 2
1 1 (dudx dvdy dwdz) 2 ( du 2 dv2 dw2 ) ds2 ds
剪切应力：作用在（a,b,c,）平面内的应力分量，有6个 剪切力分量σxy, σyx , σzx , σxz , σyz , σzy , 剪切应力还形成了力偶，力偶得大小为：力x力臂 当物体处于无转动的静平衡状态时 则有： σij = σji 上式为剪切应力成对定理
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2.2 应变分析