2020届皖北五校联考 理科数学+答案

2020届高三上学期“五校”联考
数学试题（理科）
命题单位：安徽省怀远第一中学 审题单位：安徽省怀远第一中学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，共150分，共4页。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合A ={4,a },B ={
1,a
2
}，a ∈R ，则A B 不可能．．．
是 A.{}1,1,4- B.{}1,0,4 C.{}1,2,4 D.{}2,1,4-
2.复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为
A.i
B. i -
C.1
D.1-
3.《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4
π
米，
肩宽约为
8
π
米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为
1.732≈≈）
A.1.012米
B.1.768米
C.2.043米
D.2.945 米
4.数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k = A.10 B.15 C.20 D.25
5.已知向量(),1λ=-a ，()1,3=-b ，若，则λ的值为（ ）
A.3-
B.2-
C.0
D.1
6.曲线2
1:C y x =，2
2:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为 A.1 B.3 C.6 D.8
7.已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1>q ”是“1012112+>S S S ”的(
)
怀远一中 蒙城一中 淮南一中 颍上一中 涡阳一中
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.函数2211()sin 4f x x x x π
=+
-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为
9.已知平面,,αβγ仅有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系 A.两两平行 B.两两异面 C.两两垂直 D.两两相交
10.安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（参考数据：
1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）
A.0.04y x =
B. 1.0151x y =-
C.tan 119x y ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
D.()11log 310y x =-
11.设函数()()21ln x f x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．则函数()f x 的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2
D.3
12.锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin
5A C b A a
+=，BA BC AB AC ⋅+⋅=
． 则ABC ∆面积的取值范围是
A.14,
33⎛⎫
⎪⎝⎭
B. C.()1,2 D.⎭
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则
,PR QR
的最大值是 ．
14.cos102cos 20cos10-⋅= ．
15.若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则b = ．
16.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一 种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），
如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米）
，上底 边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的 表面积为 平方分米.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知2
2
1a b +=.
（1）求证：1a b ab -≤-；
（2）若0a b ⋅>，求()()
33a b a b +⋅+的最小值.
18.（12分）
把正弦函数函数图象沿x 轴向左平移
6
π
个单位，向上平移
1
2
个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来
1
ω
()0ω>，所得曲线是()f x .点,,P Q R 是直线()0y m m =>与函数
()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且123
PQ QR π=
=. （1）求()f x 解析式； （2）求m 的值.
19.（12分）
已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1a b ==-，131
144
n n n a a b +-=
+ ，111443n n n b b a +-=-.
（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）若2
2
n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .
20.（12分）
如图1，在直角梯形ABCD 中，,E F 分别为AB 的三等分点FG ED BC ∥∥，BC AB ⊥，
BC CD ⊥， 3 ,2AB BC ==，若沿着,FG ED 折叠使得点,A B 重合，如图2所示，连结,GC BD .
（1）求证：平面GBD ⊥平面BCE ； （2）求二面角C GB D --的余弦值.
21.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-
2sin sin A B =.
（1）求C ；
（2）若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠. 求AM ．
22.（12分）
已知函数()1
()cos 1()x f x e
x ax a R +=++-∈.
（1）若()f x 在()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）当 1a =-时，若实数1212,()x x x x <满足12()()2f x f x +=，求证：120x x +<.
安徽省怀远第一中学等2020届高三上学期“五校”联考
数学试题（理科）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
C
B
A
A
D
C
C
A
D
C
D
二、填空题
13.90
； 14. 15.0或1-； 16.33π
三、解答题
17.【解析】（1）要证原不等式，即证： ()()22
1a b ab -≤-，
只需证：(
)(
)2
2
110a b
--≤，
∵2
2
1a b +=， ∴221,1a b ≤≤ ∴(
)(
)2
2
110a b --≤，故原不等式成立. …………………………5分
（2）()(
)3
3
4
334a b a b
a
ab a b b +⋅+=+++
44a b ≥+ ()
2
2
21a b
=+=…………………………10分
18.【解析】（1）由题意可得()()1
sin 062
f x x πωω⎛
⎫=+
+> ⎪⎝
⎭， T PQ QR π=+=，
∵2T π
ω
=
，且0ω>，
∴2ω=.()1
sin 262
f x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝
⎭. …………………………6分 （2）设()0,P x m ，0,3Q x m π
⎛⎫+
⎪⎝
⎭
， 则001
1
sin 2sin 262362x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+
+=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
，
即005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫
⎛
⎫
+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
解得02k x π=
()k Z ∈，则1
sin 62m k ππ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，
∵0m >
∴1m =. …………………………12分
19.【解析】（1）由题意可知131
144
n n n a a b +-=
+，111443n n n b b a +-=-，111a b +=，113a b -=，
∴()1131311
1144442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=++=+---+，
即()111
2
n n n n a b a b ++=++，
∴数列{}n n a b +是首项为1、公比为1
2
的等比数列，
故11
2
n n n a b -+=，…………………………3分
∵113131
1124444n n n n n n n n a b a b b a a b ++⎛⎫ ⎪=+-=-+ ⎪⎝⎭
----，
∴数列{}n n a b -是首项3、公差为2的等差数列， 故21n n a b n -=+.…………………………6分 (2)由(1)可知，1
1
2n n n a b -+=
，21n n a b n -=+， ∴()()22
1212
n n n n n n n n n c a b a b a b -+=-=-⋅+=，…………………………8分
()011111
3521222
n n S n -=⨯+⨯+++⨯ ①
①式两边同乘1
2
，得
()()1211111135212122222
n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯++⨯ ② ①－②得
()011111
11321222
22n n n S n -⎛⎫=++++-+⨯ ⎪⎝⎭ ∴1
25
102n
n n S -+=-
…………………………12分
20.【解析】（1）取,BD BE 的中点分别为,O M ，
连结,,GO OM MF .OM ED ∥且
1
2
OM DE =
，又∵GF ED ∥，且12
GF ED =
∴GF OM ∥且GF OM
=∴四边形OMFG 是平行四边形，故GO FM ∥∵M 是EB 的中点，三角形BEF 为等边三角形，故FM EB
⊥∵平面EFM ⊥平面BCDE
∴FM ⊥平面BCDE ，因此GO ⊥平面BCDE 故平面GBD ⊥平面BCE …………………………6分（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，
()0,1,2C ，()0,0,2D
，1,12G ⎫
⎪⎪⎝⎭
，
故()0,0,2BC =
，1,12BG ⎫=-⎪⎪⎝⎭
，()0,1,2BD =-
设平面CBG 的法向量为m (),,x y z =，则
00
⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
m BC m BG
，即20
20z y z =⎧⎪-+=， 令1x =得
m ()
=，
设平面DBG 的法向量为n (),,x y z =，则
00
⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n BD n BG
，即20
20y z y z -=⎧⎪-+=， 令1z =得n ()0,2,1=，
cos ,m n =
⋅⋅m n m
n ==∵二面角C GB D --的平面角是锐角，设为θ∴cos θ
=
(12)
分
21.【解析】（1）由(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =，
得()2
2
2a b c ab +-=，即2
2
2
a b c +=
∴90C =
； …………………………4分 （2）令CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=，则
在AMB ∆中，902,180MBA BMA θθ∠=-∠=- 由正弦定理得：
()()
sin 902sin 180AM AB
θθ=--
， 即cos 2sin AB AM θ
θ
⋅=
…………………………8分
在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ∠=∠=
由正切定义：tan 2AC θ=
在ACB ∆中，90,ACB BAC θ∠=∠= 由正切定义：tan 2cos cos AC AB θ
θθ
=
=，…………………………10分 ∴tan 2cos 2cos 2sin AM θ
θθθ
⋅==.…………………………12分
22.【解析】（1）()1
()sin 1x f x e x a +'=-+-
由()f x 在()1,-+∞上单调递增， 故当1x >-时，()1
sin 10x e x a +-+-≥恒成立
即()1
sin 1x a e
x +≤-+
设()()()1
sin 11x g x e
x x +=-+>-，()()1cos 1x g x e x +'=-+，
∵1x >-，∴()1
1,cos 11x e
x +>+≤
∴()0g x '>，即()g x 在()1,-+∞上单调递增， 故()()11g x g >-=
∴1a ≤；…………………………5分 （2）当1a =-时，()()1
cos 1x f x e
x x +=+++，()()1sin 110x f x e x +'=-++>
∴()f
x 在R 上单调递增，
又∵()11f -=且()()122f x f x +=， 故121x x <-<
要证120x x +<，只需证21x x <-
即证()()21f x f x <-，只需证()()112f x f x -<- 即证()()1120f x f x +--> 令()()()2h x f x f x =+--，
()h x '()()()()11sin 11sin 11x x e x e x +-=-+++-+--
112cos1sin x x e e x +-=--⋅
令()1
12cos1sin x x x e
e x ϕ+-=--⋅，
()112cos1cos 22cos1cos 0x x x e e x e x ϕ+-'=+-⋅≥-⋅>
∴()x ϕ在(),1-∞-上单调递增
∴()()2
11sin 20x e ϕϕ<-=--<，故()h x 在(),1-∞-上单调递减，
∴()()()12120h x h f >-=--=，故原不等式成立. …………………12分。