有限元与数值方法-讲稿5-1变分原理简介
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广义变分原理可以从由变分方法推出；Lagrange乘子的物 理意义
13
固体力学中的变分原理
1. 虚位移原理（虚功原理）
微分方程：
(u
) ij
x j
fi
0
x
ij nj Pi x S
ui ui x Su
满足位移边界条件及连续性条件的任意无限小位移称 为许可位移
14
固体力学中的变分原理
ui
有限元与数值方法第五讲
5.1 变分原理与变分法
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@dlut.edu.cn 教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月12日：8：00—10：20
1
基于变分法的求解方法
对于微分方程E u x 0及边界条件Bu x 0，有时可找到一个 一个标量J u x（ 称为泛函），该泛函的极值条件 J u x 0等价于 E u x 0和Bu x 0。
小位移假设下的真实应变与真实位移满足：
S ui ij n j Pi
dS
ij ij d S Pi uidS fi uid 0
ijijd S PiuidS fiuid
在任意的虚位移上,内 力虚功=外力虚功
15
2.虚应力原理
和外力(包括表面力和体力)平衡的任意应力称为许可应力； 非真实的许可应力是虚应力。
(y y) f (1) ( y) f (0)
f ( ) f (0) df (0) d
f ( ) f (0) df (0) d
7
利用微分推导变分问题的欧拉方程
Lagrange的泛函变分定义为
(y) y(x) y(x)
0
( y)
df
d
0
d
d
x2 x1
F
(
x,
y
y,
y
F wx
nx
F wy
ny
S
0
11
如何建立变分式: 从物理概念出发 从微分方程边值问题出发
如何由变分式推出欧拉方程
如何利用变分式得到物理问题近似解 瑞雷法,里兹法,伽略金法,有限元法
12
固体力学中的变分原理
介绍虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总 余能原理，广义变分原理
虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总余能 原理等都可以用变分方法推导求得
3
变分法的基本概念
基本概念
f(x)+δf(x)
δf(x)
一元函数： y f (x) 对于自变量 x y
泛函：函数的函数 对于函数 f (x) ( f (x))
f(x)
x2
f x F x, f , f ', f '',...dx x1
微分：y f (x)
dy df dx dy f (x dx) f (x) dx 同一函数在两点的函数值差
y
d dx
F y
ydx
0
由 y 的任意性，得到欧拉方程： 注意负号！
欧拉方程是泛函极 值的必有条件，并 非充分条件
F y
d dx
F y
0,
y( x1) y1,
y( x2 ) y2
或
F y
2F y2
y 2F yy
y 2F yx
0
y(x1) y1, y( x2 ) y2
9
多元函数的变分问题
ij
x j
fi
d
S ui
ij n j Pi
dS
Su ui ui ui dS 0
取 ui 0 则on Su
ui
ij
x j
fi
d
S ui ij n j Pi
dS
u
x j
ij d
S ij nj ui dS
fi uid
变分法是有限元列式的另一个理论基础 变分法比加权残数法有更明确的物理意义 并非所有问题都有相应的变分原理
2
变分法的基本概念
变分法的重要性;
微积分 微分方程和变分原理 从微观到宏观,从宏观到微观的方法论
中国学者贡献:胡海昌Hu-Washizu变分原理
大连理工大学在变分法方面的贡献
余能原理 极限分析与安定性分析的变分原理 参变量变分原理 广义变分原理和拟协调元
F w
( x
F wx
)
( y
F wy
) wdxdy
x
(
F wx
w
)
y
(
F wy
w
)
dxdy
F w
( x
F wx
)
( y
F wy
) wdxdy
( F wdy F wdx )
S wx
wy
10
多元函数的变分问题
由此推出欧拉方程
F F F ( ) ( )0
w x wx y wy 如果原问题没有边界条 件,则可推出自然边界条件
变分： f (x) y f (x) f1(x) f (x)
两个函数在同一点的函数值差
4
变分法的基本概念
一元泛函的一般形式是
ux
V
F
x,u,u x,
u x
,
2u x2
,
dV
A
E
x,u,
u x
,
2u x2
,
dA.
Байду номын сангаас
5
变分法的基本概念
变分的运算
f1 x 1 2 1 2
6
利用微分推导变分问题的欧拉方程
固定边界最简泛函的欧拉方程
min y x2 F x, y(x), y(x)dx
y(x)
x1
y(x1) y1, y(x2 ) y2
计算 y y y
y(x)+δy(x)
y(x) 1
δy(x) 2
(y y) (y)
( y y) f ( ) x1 F(x, y y, y y)dx x0
y)dx
0
x2 x1
F
y
y
F y
y
dx
由分部积分
x2 F ydx
x1 y
x2 F d y dx
x1 y dx
F y
y
x2
x1
x2 x1
d dx
F y
ydx
8
利用微分推导变分问题的欧拉方程
y x x1 y x x2 0
( y)=
x2 x1
F
考虑下列多元函数的变分问题
w( x, y ) F( x, y,w( x, y ),wx( x, y ),wy( x, y ) )dxdy
w( x, y )满足边界条件 w( x, y ) 0, s为的边界 s
对w(x,y)取变分可得
w( x, y )
F w
w
F wx
wx
F wy
wy
dxdy
1 1
1 2 1 2 1 2
f xdx f xdx
变分与积分号可互换
f x x1 0 f x x2 0 函数在固定点的变分为零
y ' y '(x) y '0 (x) y(x) y0 (x)' ( y) ' 函数导数的变分等于变分的导数
13
固体力学中的变分原理
1. 虚位移原理（虚功原理）
微分方程：
(u
) ij
x j
fi
0
x
ij nj Pi x S
ui ui x Su
满足位移边界条件及连续性条件的任意无限小位移称 为许可位移
14
固体力学中的变分原理
ui
有限元与数值方法第五讲
5.1 变分原理与变分法
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@dlut.edu.cn 教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月12日：8：00—10：20
1
基于变分法的求解方法
对于微分方程E u x 0及边界条件Bu x 0，有时可找到一个 一个标量J u x（ 称为泛函），该泛函的极值条件 J u x 0等价于 E u x 0和Bu x 0。
小位移假设下的真实应变与真实位移满足：
S ui ij n j Pi
dS
ij ij d S Pi uidS fi uid 0
ijijd S PiuidS fiuid
在任意的虚位移上,内 力虚功=外力虚功
15
2.虚应力原理
和外力(包括表面力和体力)平衡的任意应力称为许可应力； 非真实的许可应力是虚应力。
(y y) f (1) ( y) f (0)
f ( ) f (0) df (0) d
f ( ) f (0) df (0) d
7
利用微分推导变分问题的欧拉方程
Lagrange的泛函变分定义为
(y) y(x) y(x)
0
( y)
df
d
0
d
d
x2 x1
F
(
x,
y
y,
y
F wx
nx
F wy
ny
S
0
11
如何建立变分式: 从物理概念出发 从微分方程边值问题出发
如何由变分式推出欧拉方程
如何利用变分式得到物理问题近似解 瑞雷法,里兹法,伽略金法,有限元法
12
固体力学中的变分原理
介绍虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总 余能原理，广义变分原理
虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总余能 原理等都可以用变分方法推导求得
3
变分法的基本概念
基本概念
f(x)+δf(x)
δf(x)
一元函数： y f (x) 对于自变量 x y
泛函：函数的函数 对于函数 f (x) ( f (x))
f(x)
x2
f x F x, f , f ', f '',...dx x1
微分：y f (x)
dy df dx dy f (x dx) f (x) dx 同一函数在两点的函数值差
y
d dx
F y
ydx
0
由 y 的任意性，得到欧拉方程： 注意负号！
欧拉方程是泛函极 值的必有条件，并 非充分条件
F y
d dx
F y
0,
y( x1) y1,
y( x2 ) y2
或
F y
2F y2
y 2F yy
y 2F yx
0
y(x1) y1, y( x2 ) y2
9
多元函数的变分问题
ij
x j
fi
d
S ui
ij n j Pi
dS
Su ui ui ui dS 0
取 ui 0 则on Su
ui
ij
x j
fi
d
S ui ij n j Pi
dS
u
x j
ij d
S ij nj ui dS
fi uid
变分法是有限元列式的另一个理论基础 变分法比加权残数法有更明确的物理意义 并非所有问题都有相应的变分原理
2
变分法的基本概念
变分法的重要性;
微积分 微分方程和变分原理 从微观到宏观,从宏观到微观的方法论
中国学者贡献:胡海昌Hu-Washizu变分原理
大连理工大学在变分法方面的贡献
余能原理 极限分析与安定性分析的变分原理 参变量变分原理 广义变分原理和拟协调元
F w
( x
F wx
)
( y
F wy
) wdxdy
x
(
F wx
w
)
y
(
F wy
w
)
dxdy
F w
( x
F wx
)
( y
F wy
) wdxdy
( F wdy F wdx )
S wx
wy
10
多元函数的变分问题
由此推出欧拉方程
F F F ( ) ( )0
w x wx y wy 如果原问题没有边界条 件,则可推出自然边界条件
变分： f (x) y f (x) f1(x) f (x)
两个函数在同一点的函数值差
4
变分法的基本概念
一元泛函的一般形式是
ux
V
F
x,u,u x,
u x
,
2u x2
,
dV
A
E
x,u,
u x
,
2u x2
,
dA.
Байду номын сангаас
5
变分法的基本概念
变分的运算
f1 x 1 2 1 2
6
利用微分推导变分问题的欧拉方程
固定边界最简泛函的欧拉方程
min y x2 F x, y(x), y(x)dx
y(x)
x1
y(x1) y1, y(x2 ) y2
计算 y y y
y(x)+δy(x)
y(x) 1
δy(x) 2
(y y) (y)
( y y) f ( ) x1 F(x, y y, y y)dx x0
y)dx
0
x2 x1
F
y
y
F y
y
dx
由分部积分
x2 F ydx
x1 y
x2 F d y dx
x1 y dx
F y
y
x2
x1
x2 x1
d dx
F y
ydx
8
利用微分推导变分问题的欧拉方程
y x x1 y x x2 0
( y)=
x2 x1
F
考虑下列多元函数的变分问题
w( x, y ) F( x, y,w( x, y ),wx( x, y ),wy( x, y ) )dxdy
w( x, y )满足边界条件 w( x, y ) 0, s为的边界 s
对w(x,y)取变分可得
w( x, y )
F w
w
F wx
wx
F wy
wy
dxdy
1 1
1 2 1 2 1 2
f xdx f xdx
变分与积分号可互换
f x x1 0 f x x2 0 函数在固定点的变分为零
y ' y '(x) y '0 (x) y(x) y0 (x)' ( y) ' 函数导数的变分等于变分的导数