有限元与数值方法-讲稿5-1变分原理简介
有限元与变分原理
有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。
本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。
一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。
它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。
有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。
在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。
有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。
二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。
它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。
在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。
这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。
三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。
它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。
在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。
通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。
有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。
四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。
随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。
目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。
有限元原理加权余量法和变分法PPT课件
• 3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数：
关于函数的函数， 称为：泛函数，或
泛函
Fj(R)
j
R
d
j R
d，
令 Fj(R) 0 则余数最小， 趋于
上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
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• 3. 加权余量法－－例1
d
3(
2 3
d )C2 10d 2
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0
• 3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解
解得：C1＝10 / d；C2＝0
2
近似解： （）＝
i 1
Ci xi＝C1x1
C2
x
2＝10 d
x
加权余量法求解流程：
1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定
数个数
• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
系数矩
阵n×n
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
矩阵元素值：
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
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• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
第三章变分原理与有限元方法
第三章变分原理与有限元方法1.引言在工程实践中，我们经常面临解决微分方程的问题，如结构力学问题和热传导问题。
变分法和有限元方法是两种常用的数值方法，用于求解这些微分方程。
2.变分原理变分法是一种通过变分问题建立微分方程解的数值近似的方法。
变分法的基本思想是将要求解的微分方程问题转化为一个泛函极小化问题。
在这个问题中，泛函是一个函数，它以一些函数（称为试探函数）为自变量。
通过求取使泛函极小化的试探函数，可以得到微分方程的近似解。
3.最小作用量原理变分法的核心原理是最小作用量原理，也称为哈密顿原理。
该原理指出，真实的系统在任意的微小变分下，其作用量是不变的。
作用量是系统的能量和时间的乘积，用来描述系统的运动轨迹。
根据最小作用量原理，可以得到一个极小化问题，通过对试探函数进行变分，使得作用量取得极小值。
有限元方法是一种通过将实际问题离散化为一个有限个子区域，然后在每个子区域内建立适当的数学模型，并进行逼近求解的方法。
有限元方法的核心思想是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数问题来得到连续问题的近似解。
5.有限元离散化有限元离散化是有限元方法的第一步，通过将连续的问题离散化为一组离散点上的代数问题。
这个过程中，将整个域划分为有限个子区域，即有限元，每个有限元内部的物理变量可以近似为一个简单的函数，比如常数或低阶多项式。
我们在每个有限元中引入一组基函数，将物理变量表示为这组基函数的线性组合。
6.有限元弱型表达有限元弱型表达是有限元方法的关键步骤，通过将原始的微分方程乘以一个试验函数并在整个域上积分，得到一个弱形式的表达式。
这个表达式中包含了未知函数及其导数的积分项，通过解这个弱形式的表达式，可以得到未知函数的近似解。
7.有限元方程组和边界条件通过离散化和弱型表达，可以得到一组线性代数方程组，其中未知数是有限元的节点上的物理变量。
这个方程组可以通过标准的数值方法求解。
边界条件是方程组的一部分，它指定了在边界上的物理变量的值。
变分原理及有限元中的应用
变分原理及有限元中的应用变分原理是应用于数学和物理学中的一种数学工具，它可以用来求解最优化问题和微分方程的边界值问题。
有限元方法是一种数值计算方法，通过将连续问题离散化为有限个小区域，从而将问题转化为代数方程组的求解。
变分原理在有限元方法中有着广泛的应用。
下面，我将详细解释变分原理以及在有限元方法中的应用。
首先，我们来讨论变分原理。
变分原理主要涉及到函数的变分，即函数微小变化的概念。
对于一个函数，我们可以将其表示为变量的函数形式，例如y(x)代表函数y关于自变量x的函数。
对于光的最短路径问题，我们希望找到一条路径使得光在这条路径上的传播时间最短。
我们可以将这个问题表述为，对于给定的两点A和B，找到一条路径y(x)使得穿过A和B的光线传播时间的变分最小。
在变分原理中，我们通过引入泛函的概念来描述函数的变分。
泛函是一个从函数空间到实数集的映射，通常表示为J[y(x)]。
对于光的最短路径问题，我们可以将光线传播时间表示为一个泛函。
\[ J[y(x)] = \int_a^b f(x,y,y')\,dx \]其中，f(x,y,y')是一个关于x，y和y'的函数，y'表示y关于x的导数。
变分原理的核心思想是，找到这样的函数y(x)使得泛函J[y(x)]取得极值。
如果y(x)是J[y(x)]的一个极值点，那么对于任意变化率为零的函数δy(x)，即满足δy(a) = δy(b) = 0，有\[ J[y + \epsilon δy] - J[y] = 0 \]对于任意的\[\epsilon\]。
这个条件叫做变分原理的欧拉-拉格朗日方程。
有限元方法是一种将连续问题离散化的数值计算方法。
其主要思想是将问题的求解域划分为多个小区域（称为单元），然后在每个单元内构建近似函数（称为形函数），利用这些形函数对问题的解进行近似求解。
有限元方法在工程领域有着广泛的应用，例如结构力学、流体力学和电磁场等领域。
第三章变分原理与有限元方法
（第三章 变分原理与有限元方法）
蔡中义
变分理论与数值分析方法
第三章 变分原理与有限元方法
泛函的极值函数可以通过求解相应的 Euler 方程（微分方程的边值问题）来获得，另一方面， 也可以通过求解泛函的极值函数获得相应微分方程的解。这就是说，求解微分方程边值问题等价于 求解相应泛函极值问题，这种相关性通常叫做变分原理。把这一原理应用于各类物理问题就构成了 各种物理问题的变分原理，变分原理是以积分形式表达的物理定律，这种积分形式的泛函常常代表 能量，习惯上也把微分方程边值问题转化为泛函极值问题的求解方法叫做能量法，如力学中的最小 势能原理、虚功原理等。
对于 M 中任意的 u u0 ，应有
J[u] J[u0 ] L(u0 ),u0 2 f ,u0
（3.1.3-3）
因为 L 是对称正算子，根据内积的性质，上式可以展开
J[u] L(u0 ),u0 L(u0 ), L(),u0 L(), 2 f ,u0 2 f ,
J[u] L(u),u 2 f ,u
（3.1.3-1） （3.1.3-2）
4
变分理论与数值分析方法
在 u u0 处取极小值。
定理中的泛函 J[u] ，一般称为算子方程的能量泛函。
证明 先证明必要性：
若 u u0 是算子方程（3.1.3-2）的解，则有
L(u0 ) f 0
由（3.1.1-1）式可以看出，两个函数的内积是一个实数，它由积分值所确定。
从内积的定义可以得到内积的如下性质：
设为 u(P) 、 v(P) 、 u1 (P) 、 u2 (P) 是定义域在 上的连续函数， 、 是任意实数，则 ① 对称性： u, v v, u ② 线性： (u1 u2 ), v u1 , v u2 , v ③ 非负性： u, u 0 ④ u, u 0 u(P) 0 ， P
有限元法和变分原理
用伽辽金法建立积分形式：
{v }取- {δ u} {v}取{δ u} T T T {δ u} {L(u )} d Ω + ∫Ω {δ u} { f } d Ω − ∫C {δ u} ({B ( u )} − {b}) ds = 0 ∫Ω
⇒ 1 ⎡ T T T {δ u} {L(u )} + {δ u} {L(u )}⎤ d Ω + ∫Ω {δ u} { f } d Ω ⎦ 2 ∫Ω ⎣ − ∫ {δ u}
第二章 连续体问题的离散化方法
1
应力场、温度场、电磁场等
数学
偏微分方程或微分方程＋边条 件＋初始条件，即边值问题
等价（若存在对应的泛函）
变分法（泛函求极值）
经典变分法 （整个求解域）
有限元法 （把求解域离散 许多子区域）
2
要点
微分方程的等效积分形式 加权余值法 变分原理和里兹法 有限元法 弹性力学变分原理
πx
(1) 配点法：
⎧ A (φ ) L = 0 x= ⎪ 4 ⎨ ⎪ A (φ ) x = 3 L = 0 ⎩ 4 ⇒ 2 L2 a1 = 2π 2 L2 a2 = 2 8π
13
(2) 子域法：
Ω1： 0 ~ L 2 Ω2： L ~ L 2
⎧ L2 ⎡ π 2 ⎛ πx 2π x ⎞ ⎤ + 4a2 sin ⎪ ∫0 ⎢1 − 2 ⎜ a1 sin ⎟ ⎥ dx = 0 L L ⎠⎦ ⎪ ⎣ L ⎝ ⎨ ⎪ L ⎛ a sin π x + 4a sin 2π x ⎞ dx = 0 2 ⎟ ⎪ ∫L 2 ⎜ 1 L L ⎠ ⎩ ⎝ ⎧L π 2 ⎛ L ⎧ 4L ⎞ L2 a2 ⎟ = 0 ⎪ − 2 ⎜ a1 + ⎪a1 = ⎪2 L ⎝π ⎪ π ⎠ 4π ⇒ ⇒ ⎨ ⎨ L2 L 4L ⎪ a − ⎪a = a2 = 0 ⎪π 1 π ⎪ 2 16π ⎩ ⎩
变分原理与有限元素法
变分原理与有限元素法
变分原理和有限元素法都是计算机辅助工程分析和设计中常用的数值方法。
它们都是基于将复杂的物理问题转化为简化的数学问题进行求解的理念。
1.变分原理
变分原理是一种数学上的极值问题处理方法，将原问题转化为一个可以通过求泛函的极值来解决的数学问题。
它的核心思想是在一个函数空间中找到一个函数，使得一些泛函或者函数als的值取得极值。
这个问题通常可以用一个数学方程或者方程组来描述。
在工程分析和设计中，变分原理常用于求解连续介质力学问题，如结构力学、流体力学等。
通过将连续介质的力学性质和边界条件用数学方式表达出来，并构造一个合适的泛函，再通过极值问题求解的方法求得物理系统的平衡状态。
有限元素法的基本思想是先假设物理问题的解为一系列分段线性或非线性函数，在每个小单元内通过解析或数值方法计算出物理量的近似解。
然后通过连接各个单元的自由度，建立整个物理系统的方程组，通过求解该方程组得到最终的数值解。
有限元素法的优点是适用于多维、复杂形状的物体，并且可以灵活处理各种物理条件和边界条件。
它广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域的数值计算。
总结起来，变分原理和有限元素法都是数值方法中常用的数学工具。
变分原理通过构造合适的泛函来描述物理问题，并求取泛函的极值解。
而
有限元素法则通过将物理问题离散化为小单元，并在每个小单元内计算近似解，最终通过连接各个单元的自由度求解得到物理系统的数值解。
有限元变分原理
1有限元变分原理有限元是求解偏微分方程的数值方法，在数学上属于变分法范畴，是古典的Ritz－Galerkin方法与分片多项式插值的结合。
古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是求解域内的连续函数，有限元法的试函数是分片多项式。
作为变分法的试函数产生了很大区别：古典的Ritz－Galerkin方法的试函数要求域内的连续或平方可积且满足位移边界条件，试函数定义在泛函分析的Hilbert空间，或称为内积空间。
有限元法的试函数要求在单元域内连续或平方可积，且不用考虑位移边界条件，因为有限元是以节点位移参数为未知数，可以直接代入位移边界条件，但是单元间出现了连续性条件，即所谓的平面和三维弹性问题的C0连续，和薄板问题的C1连续等，相对古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是一种广义函数。
有限元试函数定义在泛函分析的Sobolev空间，或称为广义导数空间。
2 分片检验2.1分片检验长期以来在有限元收敛理论中的分片检验成为关注的焦点，同时也是一个疑难症。
分片检验所以倍受关注，是因为它不仅可以用于检验单元的收敛性还可以用于构造收敛单元，而且十分方便。
分片检验的研究大致经历了如下三个里程。
第一，1965年Irons提出了不协调元的分片检验条件(Patch Test) [1,2]，这是一个通过数值计算检验单元的收敛性的方法，可以通过对一小片有限元问题的数值计算检验单元的收敛性，也是有限元法中最实用的检验单元收敛性的方法，但是，作为一种数值检验的方法，在数学和力学原理上的提法都不够严密，而有限元的单元收敛性又是不能回避的问题。
鉴于这个方法的有效性和实用性，人们一直对其开展系列的理论研究工作。
1972年Strang首先给出分片检验的数学描述[3]，后来，这个条件被解释成对一个单元的约束条件，称之为单体条件[4]，这个条件使用很方便，可以做为单体的约束条件构造单元函数，但是，对这个分片检验一直缺少严格的数学证明。
有限元法与程序-变分原理及广义变分原理
( y( x)) 0
课后思考题：查资料理解强变分、弱变分，强极大 （小）、弱极大（小）的概念
二、欧拉方程 1 变分法的基本预备定理 如果函数F(x)在线段(x1, x2)上连续且对于只满足某些 一般条件的任意选定的函数δy(x)，有
x2Biblioteka x1F ( x) y( x)dx 0
则在线段(x1, x2)上有 F ( x) 0 δy(x)的一般条件是： （1）一阶或若干阶可微；
0
这就是决定w(x,y)[在边界C上满足w= wC(x,y)]的微分 方程，也称欧拉方程。
（2）常见泛函极值及对应的欧拉方程 泛函
w w w (w( x, y, z )) F x, y, z, w( x, y, z ), , , dxdydz x y z
F y wy
wdxdy
F F w w dxdy x w y w x y S
由格林公式(G. Green)
由驻值条件δ Π =0，根据变分法基本预备定理
F F S w x wx F y wy wdxdy 0
F F w x wx
F w y y
F F sin cos wdl C w w y x 在边界C上，w(x,y)已知且为wC(x,y)，对于都通过 wC(x,y)的任意w(x,y)的变分δ w在边界上恒等于零。
因此
F F S w x wx F y wy wdxdy
从而说明变分法与欧拉方程的等价性
有限元与变分
有限元与变分有限元算法是利用微分方程与变分原理的形式一致性而提出的求解微分方程的算法。
其主要优势在于对边界条件的处理。
对一个微分方程的问题，其可以等价于一个变分问题，这其中有两种等价方案：Galerkin变分原理和Ritz变分原理。
Galerkin变分原理是在原微分方程两边同乘以一个检验函数，同时积分，左右分别几何含目标函数和不含目标函数的项，得到的等式变分原理。
Ritz变分原理是直接求解泛函的极值，得到微分方程的等价形式。
两种原理得到的结果是一样的。
强制边界条件与自然边界条件的处理方法不同，强制边界条件出现于容许空间和检验空间的构造中，自然边界条件出现于变分方程中。
解方程之前必须突出说明。
Galerkin变分原理和Ritz变分原理得到的解是弱解。
弱解的存在唯一性和弱解与古典解的关系由Lax-Milgrim定理保证。
数值求解方程的基本出发点是使用有限维空间逼近无限维的能量空间。
在取定的有限维有限元空间中取定基函数，令目标函数和检验函数均位于有限元空间中并被基函数线性表示，则由检验函数的任意性或者是极值的KKT条件得到一个线性方程组，即刚度矩阵。
刚度矩阵的对称正定性保证了解得存在唯一性，也给出了数值解用基函数表示的具体方法。
有限元算法的一个核心技巧在于基函数的构造方法，不是直接的节点构造，而是分片的构造方法。
基函数系有Lagrange型基函数系和Hermite型基函数系两种。
首先将求解空间划分为若干个元素，每个元素内构造独立的r阶外形函数，函数个数与元素内所有节点的自由度之和相同。
节点分为元素内部的内节点和元素边界的外节点。
对于每个节点，有所有包括这个节点的元素组成影响区域，由每个元素中在这个节点不为零的外形函数线性迭加得到这个节点的各阶基函数。
所有的节点都照此处理，得到基函数系。
有限元算法的另一个核心技巧在于整体刚度矩阵和单元刚度矩阵的关系。
由Galerkin-Ritz双线性函数的性质得到在积分式中，alfa和beta项的值完全取决于alfa和beta节点的共同影响区域中所有元素的外形函数的积分，由于交叉项为零，所以共同影响区域的刚度项完全取决于每个元素内的单元刚度矩阵的迭加。
4.变分原理
∫
x1
0
2 1 + ( y ′ + δy ′)2 1 + ( y ′) − y + δy y
dx
δy , δy ′作为小量，按Talyor级数展开，
1 + ( y′ + δy′) 1 + ( y′) = + y + δy y
2 2
y 1 + ( y ′)
E、泛函的驻值 、 函数的驻值 如果函数 y(x ) 在 x = x0 附近的任意点上的值都不大 （小）于 y (x 0 ) ，即 ∆y = y (x ) − y (x0 ) ≤ 0 （或 ≥ 0）则函数 y (x ) 在 x = x0上达到极大（或极小）值，且 x dy x = x = 0 ， 0 为驻点， y ( x 0 )为驻值。
(
)
=0
Ⅳ、从中就可求出 y ( x ) 。 这类从泛函变分获得的微分方程 ⇒ 欧拉方程
变分法的三个步骤： • • • ① 从物理问题建立泛函及其条件； ② 通过泛函变分，利用变分法基本原理求得欧拉方程； ③ 求解欧拉方程，得到所求函数。
注意： • ① 变分法和欧拉方程代表同一个物理问题，从变分法 求近似解与从欧拉方程求近似解，效果相同。前者容 易，而后者困难； • • ② 物理方程可以从泛函变分中求得； ③ 微分方程求解困难时，可转化为相当的泛函变分求 极值问题，从而采用近似方法求解； ④ 若微分方程的泛函不存在，可采用伽辽金法，加权 余量法求解。
∆Π = Π ( y ( x )) − Π ( y 0 ( x )) ≤ 0(或 ≥ 0 )
则泛函 而且在
Π[ y (x )] 在曲线 y = y 0 ( x ) 上达到极大（或极小）值。
【精品课件】压电材料的变分原理与有限元方法
Wq
qdS
sq
符合说明： Ve、Vp和V= Ve+ Vp分别为弹性材料体积、 压电材料体积和总体积。
5 系统广义泛函
由Hamilton原理，系统广义泛函为：
t1 t2T U U p W T W qd t0
将上面的本构方程、几何方程带入得到系统的能 量泛函为：
VuiuidvVijijdvVpDidEidv
z i
同样对于每个单元，电场向量可以表示为为：
E e
E
E
E
x y z
x
y
z
又，电势可以用单元节点电势和形函数表示：
从而：
n
Nii i1
n
N
i
i
i1
x
E e
E
E
E
x
y
z
n
N
i1
y
n
N
i i
i i
i1
z
上式用矩阵形式表示为：
压电材料的变分原理 和有限元分析方法
1 前言
压电材料由于其机电耦合特性，受到使用者的欢 迎。当将压电材料应用到结构中时，由于结构形 式的多样性、边界条件的多样性和外界激励环境 的复杂性，解析解会遇到不可克服的困难，因而 大多数情况需要采用数值的方法来分析结构和解 决问题。
变分原理是进行数值计算的基础，因而研究压电 材料的变分原理为建立压电材料的有限元模型和 方程提供了依据。
对上面的式子进行化简，就可用得到单元的有限元方程：
K Ku u eeu K Ku e e uee Q Fe e
从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则称为三维单元。如有限条法、边 界元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法等，用以解决特殊的问题。
有限元课件变分法资料
A、泛函定义
如果对于某一类函数yxi中 的每一个函数 yx ， I 都有 一个值与之对应；或者，I 变量对于函数 yx的关系成 立，变量 I 称为函数 yx的泛函，记为：
I I y x
泛函是变量与函数的关系，为函数的函数（非隐函
数），一种广义的函数。其中 yx称为宗量
（而函数是变量与变量之间的关系）
为 yx 同阶或更高阶小量， yx 0 0, maxyx 0
线性部分 称之为泛函的变分：
I L yx, yx
泛函的变分可理解为泛函的增量的主部。而且其主部
相对于变分yx 为线性的。
定义二（Lagrange定义）
泛函变分是 I(y(x), yx) 对 的导数在 0 时的值，
I I y x y x
寻找最短弧长曲线 yi x的形式即为变分学所要研究的问题。
B、变分
泛函I yx 的宗量 yx 的增量在指定域中都很小时，就
称之为变分。
yx yx y1x
y 也为x的函数，须在指定x域中是微量，
yx在接近 y1x的一类函数中任意变化的。
如果 yx与 y1x很接近，且函数有k阶导， ykx 也与 y1kx很接近，即其差的模都很小，则 yx 与 y1x具有k阶接
举例—短程线问题
在指定平面内连接两定点的各种容许曲线中，选定一 条使两点间沿该曲线的距离最短的曲线。
定点：Ax1, y1 , Bx2 , y2
连接AB两点的任一曲线的弧长 可以表述为：
Lyx x2 1 dy 2 dx
x1
dx
B dx2 dy2 A
这里L只与曲线 yi x 的函数形式相关。而不直接与X相关！
1
an (x xn1) (1-7)
有限元变分原理范文
有限元变分原理范文有限元变分原理是有限元法的基础理论之一，它用于建立求解有限元方程的数学模型。
在工程实践中，有限元法被广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域。
本文将对有限元变分原理进行详细解释，主要包括其基本原理、主要步骤以及应用实例。
有限元变分原理的基本原理是假设待求解的物理问题可以通过能量最小化的方式来描述。
这个原理的核心思想是，物理问题的解应该使系统的总能量达到一个稳定的最小值。
在有限元法中，将求解的物理问题分解为离散点上的局部子问题，通过优化每个子问题的局部能量来达到整体能量的最小化。
这样，待求解问题的解就是使得整体能量最小的解。
1.构建变分问题：首先，需要将待求解的物理问题建立为一个变分问题。
具体来说，需要将原问题转化为一个泛函，该泛函包含了待求解函数的变分形式。
2.分割域和单元：将整个求解域进行分割，得到若干个单元。
每个单元与一个局部函数空间相关联，并构成了整个变分问题的基础。
3.建立有限元空间：定义离散的有限元空间，通过合适的基函数对每个单元的局部函数空间进行近似。
基函数的选择和数量取决于实际问题的性质，常见的有线性基函数和二次基函数等。
4.构建变分形式：在有限元空间中，通过将变分函数引入到待求解函数的泛函中，得到变分形式。
变分形式是一个关于变分函数的函数，用于描述待求解函数的局部核心特性。
5.选择试探函数：在有限元空间中，选择一组试探函数，来近似表示待求解函数。
试探函数是有限元空间中的基函数的线性组合。
6.应用变分法：应用变分法，将变分形式中的变分函数和试探函数进行内积运算，并将待求解函数替换为试探函数的线性组合。
7.构建离散方程：通过展开试探函数和基函数的内积，将变分形式表达为离散方程。
离散方程是一个线性方程组，其中包含了未知数的系数。
8.求解线性方程组：通过求解离散方程得到未知量的数值解。
通常情况下，可以采用迭代法或直接法求解线性方程组。
9.分析结果：对求解结果进行分析，包括误差估计、收敛性分析等。
弹性力学有限元第五章 变分法解平面问题
用V表示外力的势能(以u,v=0的自然状态下的势能为0)，它等于外 力在实际位移上所做的功冠以负号，则：
d U V 0
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
d U V 0
U+V是形变势能和外力势能的总和，可以看出，在给定的外力作 用下，实际存在的位移应使总势能的变分成为零。 最小势能原理
积分可得形变势能。 平面应变问题作弹性常数的替换。
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
设有平面问题中的任一单位厚度的弹性体，在外力作用下平衡。
u,v为其实际位移分量，假设这些位移分量发生了位移变分(虚位 移)d u, d v，成为：u u d u v v d v
考察其能量方面的变化。
b a a
增量的主要部分定义为泛函的变分，则
f f 代入d f，则 d I d y d y dx a y y
b
d I d f dx
b a
显然，存在关系式： d
b
a
f dx d f dx
a
b
只要积分的上下限不变，变分的运算和定积分运算可以交换次序
U1 U1 U1 dxdy f xd u f yd v dxdy f xd u f yd v ds e x de x e y de y g xy dg xy
虚功方程：方程右边各项称为应力在虚应变上的虚功。 如果在虚位移发生之前，弹性体是出于平衡状态，那么在虚位移过程 中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。
b
第五章 变分法解平面问题
§5-1 变分法简介
变分原理与有限元素法
变分原理与有限元素法变分原理和有限元素法是一种常用的数学建模和计算方法，在工程和科学计算领域有广泛的应用。
变分原理是一个最优化问题的数学表述，而有限元素法是一种数值方法，用来近似求解变分原理。
本文将介绍变分原理的基本概念和原理，并详细说明有限元素法在实际计算中的应用。
1.变分原理的基本概念变分原理是最优化问题的一种数学表述方法，通过将原问题转化为一个极值问题来求解。
它的核心思想是将寻找函数的最优解转化为求解泛函的最小值。
泛函是定义在函数空间上的一类函数，可以看作是一种函数的函数。
给定一个泛函J，其一般形式为J[y]=\int_a^b F(x,y,y')dx其中y是一个函数，F是y及其导数y'的函数。
变分原理的目标是求解出使得泛函J取得最小值的函数y。
变分原理的基本思想是，寻找函数y的变分，即在函数y的附近找到一个微小的增量\delta y，通过对泛函进行一阶近似，得到\delta J[y]=\int_a^b (F_y\delta y+F_{y'}\delta y')dx其中F_y和F_{y'}分别是F对y和y'的偏导数。
根据极值条件，可以得到\delta J[y]=0这个条件对任意的\delta y成立，因此可以得到欧拉-拉格朗日方程\frac{d}{dx}F_{y'}-F_y=0这个方程称为变分原理的欧拉-拉格朗日方程，求解这个方程就可以得到泛函的最优解。
2.有限元素法的基本原理有限元素法是一种将连续问题离散化为有限个子域的数值方法。
它的核心思想是将求解域分割成有限个离散的单元，通过在每个单元内进行近似求解，最后将这些单元的近似解在整个求解域上组装成为全局解。
有限元素法的基本步骤如下：(1)离散化：将求解域分割成有限个子域，即有限元素。
每个有限元素都有一组节点，通过在这些节点上定义一个适当的插值函数，可以将连续函数近似表示为在每个元素上的分段线性函数。
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小位移假设下的真实应变与真实位移满足：
6
利用微分推导变分问题的欧拉方程
固定边界最简泛函的欧拉方程
min y x2 F x, y(x), y(x)dx
y(x)
x1
y(x1) y1, y(x2 ) y2
计算 y y y
y(x)+δy(x)
y(x) 1
δy(x) 2
(y y) (y)
( y y) f ( ) x1 F(x, y y, y y)dx x0
广义变分原理可以从由变分方法推出；Lagrange乘子的物 理意义
13
固体力学中的变分原理
1. 虚位移原理（虚功原理）
微分方程：
(u
) ij
x j
fi0xi源自 nj Pi x Sui ui x Su
满足位移边界条件及连续性条件的任意无限小位移称 为许可位移
14
固体力学中的变分原理
ui
(y y) f (1) ( y) f (0)
f ( ) f (0) df (0) d
f ( ) f (0) df (0) d
7
利用微分推导变分问题的欧拉方程
Lagrange的泛函变分定义为
(y) y(x) y(x)
0
( y)
df
d
0
d
d
x2 x1
F
(
x,
y
y,
y
有限元与数值方法第五讲
5.1 变分原理与变分法
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@ 教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月12日：8：00—10：20
1
基于变分法的求解方法
对于微分方程E u x 0及边界条件Bu x 0，有时可找到一个 一个标量J u x（ 称为泛函），该泛函的极值条件 J u x 0等价于 E u x 0和Bu x 0。
3
变分法的基本概念
基本概念
f(x)+δf(x)
δf(x)
一元函数： y f (x) 对于自变量 x y
泛函：函数的函数 对于函数 f (x) ( f (x))
f(x)
x2
f x F x, f , f ', f '',...dx x1
微分：y f (x)
dy df dx dy f (x dx) f (x) dx 同一函数在两点的函数值差
F wx
nx
F wy
ny
S
0
11
如何建立变分式: 从物理概念出发 从微分方程边值问题出发
如何由变分式推出欧拉方程
如何利用变分式得到物理问题近似解 瑞雷法,里兹法,伽略金法,有限元法
12
固体力学中的变分原理
介绍虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总 余能原理，广义变分原理
虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总余能 原理等都可以用变分方法推导求得
ij
x j
fi
d
S ui
ij n j Pi
dS
Su ui ui ui dS 0
取 ui 0 则on Su
ui
ij
x j
fi
d
S ui ij n j Pi
dS
u
x j
ij d
S ij nj ui dS
fi uid
考虑下列多元函数的变分问题
w( x, y ) F( x, y,w( x, y ),wx( x, y ),wy( x, y ) )dxdy
w( x, y )满足边界条件 w( x, y ) 0, s为的边界 s
对w(x,y)取变分可得
w( x, y )
F w
w
F wx
wx
F wy
wy
dxdy
F w
( x
F wx
)
( y
F wy
) wdxdy
x
(
F wx
w
)
y
(
F wy
w
)
dxdy
F w
( x
F wx
)
( y
F wy
) wdxdy
( F wdy F wdx )
S wx
wy
10
多元函数的变分问题
由此推出欧拉方程
F F F ( ) ( )0
w x wx y wy 如果原问题没有边界条 件,则可推出自然边界条件
y
d dx
F y
ydx
0
由 y 的任意性，得到欧拉方程： 注意负号！
欧拉方程是泛函极 值的必有条件，并 非充分条件
F y
d dx
F y
0,
y( x1) y1,
y( x2 ) y2
或
F y
2F y2
y 2F yy
y 2F yx
0
y(x1) y1, y( x2 ) y2
9
多元函数的变分问题
变分法是有限元列式的另一个理论基础 变分法比加权残数法有更明确的物理意义 并非所有问题都有相应的变分原理
2
变分法的基本概念
变分法的重要性;
微积分 微分方程和变分原理 从微观到宏观,从宏观到微观的方法论
中国学者贡献:胡海昌Hu-Washizu变分原理
大连理工大学在变分法方面的贡献
余能原理 极限分析与安定性分析的变分原理 参变量变分原理 广义变分原理和拟协调元
S ui ij n j Pi
dS
ij ij d S Pi uidS fi uid 0
ijijd S PiuidS fiuid
在任意的虚位移上,内 力虚功=外力虚功
15
2.虚应力原理
和外力(包括表面力和体力)平衡的任意应力称为许可应力； 非真实的许可应力是虚应力。
y)dx
0
x2 x1
F
y
y
F y
y
dx
由分部积分
x2 F ydx
x1 y
x2 F d y dx
x1 y dx
F y
y
x2
x1
x2 x1
d dx
F y
ydx
8
利用微分推导变分问题的欧拉方程
y x x1 y x x2 0
( y)=
x2 x1
F
变分： f (x) y f (x) f1(x) f (x)
两个函数在同一点的函数值差
4
变分法的基本概念
一元泛函的一般形式是
ux
V
F
x,u,u x,
u x
,
2u x2
,
dV
A
E
x,u,
u x
,
2u x2
,
dA.
5
变分法的基本概念
变分的运算
f1 x 1 2 1 2
1 1
1 2 1 2 1 2
f xdx f xdx
变分与积分号可互换
f x x1 0 f x x2 0 函数在固定点的变分为零
y ' y '(x) y '0 (x) y(x) y0 (x)' ( y) ' 函数导数的变分等于变分的导数