现代控制理论状态反馈控制器设计

取k=1，则
⎡0 − 1⎤ ⎡ p1 ⎢ 1 0⎥ ⎢ p ⎦⎣ 2 ⎣ p 2 ⎤ ⎡ p1 +⎢ ⎥ p3 ⎦ ⎣ p 2 p 2 ⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡ p1 − 2 ⎢p ⎥ ⎢ p3 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣− 1 0⎦ p 2 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ p1 [ 0 1 ] ⎢p ⎢ ⎥ p3 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣1⎦ p 2 ⎤ ⎡1 0⎤ =0 +⎢ ⎥ ⎥ p 3 ⎦ ⎣0 1 ⎦
AT P + PA − 2kPBB T P + I = 0
（黎卡提矩阵方程）
优点：若对给定的常数 k 0 ，以上矩阵方程有解，则对
u = − kB T Px 都是系统的稳定化控制律。 任意的 k ≥ k 0 ，
结论：正无穷大的稳定增益裕度！ 例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
&1 ⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡x =⎢ + ⎢ ⎥u ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ & 2 ⎦ ⎣− 1 0⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣1⎦
现代控制理论
Modern Control Theory
状态反馈控制器设计
状态反馈控制器设计
9 建立了状态空间模型 9 提出了基于状态空间模型的运动分析 9 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 认识世界 ⇒ 如何来改变世界？！ 设计控制系统！ 开环控制、闭环控制 经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的输入； 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈
dV ( x ) dt = x T ( AT P + PA) x − 2kx T PBB T Px = x T ( AT P + PA − 2kPBB T P ) x
若矩阵P满足
AT P + PA − 2kPBB T P = − I
那么，
dV ( x ) dt = − x T x < 0
控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题：
u = −kB T Px = −k[ p 2 k = − − 1 + 3 31 4 x 2
[
p3 ] x
]
另一方法：线性矩阵不等式处理方法。
5.3 极点配置
系统性能：稳态性能和动态性能 稳态性能：稳定性、静态误差 动态性能：调节时间、振荡、超调、上升时间... 系统稳定性的决定因素：系统极点 影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置） 高阶系统（一对主导极点） 结论：极点影响系统的稳定性和动态性能
展开矩阵方程，得到
2 − 2 p2 − 2 p2 +1= 0 2 2 p 2 − 2 p3 +1= 0
p1 − p 3 − 2 p 2 p 3 = 0
并不是一个线性方程组
求取一个正定的解矩阵
p1 = 3 3 2 , p 2 = ( −1 + 3 ) 2 , p3 = 3 2
对任意的 k ≥ 1 ，稳定化控制律：
B
∫
A K
x
C
y
u = − Fy + v 静态线性输出反馈控制：
& = Ax + Bu x y = Cx
用输出信号
⇓
& = ( A − BK ) x + Bv x y = Cx
v
u _
B
∫
A F
x
C
y
v表示系统的参考输入，若 v = Fy r
u = − F ( y − yr ) = − Fe
用输出误差来校正系统
是负定的。矩阵P是对称的，x T PBu = uT B T Px
dV ( x ) dt = x T ( AT P + PA) x + 2 x T PBu
5.2.1 黎卡提方程处理方法
dV ( x ) dt = x T ( AT P + PA) x + 2 x T PBu
若选取 u = −kB T Px, k > 0
K = FC 时，状态反馈变为输出反馈。
5.1.2 反馈控制的性质 在静态反馈下，闭环系统矩阵变为
A − BK 和 A − BFC
闭环系统矩阵的特征值决定了系统的稳定性。 系统极点决定系统的过渡过程特性。 结论：反馈可以改变系统的动态特性。 定理 状态反馈不改变系统的能控性。
例 分析系统
⎡0 1 ⎤ ⎡0 ⎤ & x=⎢ x + ⎢ ⎥u, ⎥ ⎣1 0⎦ ⎣1⎦
C ⎡ ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎢C ( A − BK )⎥ = ⎢0 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
不能观！状态反馈 可能改变能观性
状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
⎡ s −1⎤ ⎡0⎤ s 1 −1 C[ sI − ( A − BK )] B = [0 1] ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ = 2 = s 0 s ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s
y = [0 1] x
在状态反馈 u = −[1 0] x
⎡0 1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ 下的闭环系统能控能观性。 A − BK = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥[1 0] = ⎢ ⎥ ⎣ 1 0 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣0 0 ⎦
⎡0 1 ⎤ [ B ( A − BK ) B ] = ⎢ ⎥ 1 0 ⎦ ⎣
能控！
−1
定理 输出反馈不改变系统的能控能观性。 定理 状态反馈不能改变单输入单输出系统的零点 反馈形式的讨论： ¾ 静态反馈不增加系统动态特性； ¾ 状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性； ¾ 输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能； ¾ 利用系统的信息多，所能达到的性能好。
5.2 稳定化状态反馈控制器设计
基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器
& = Ax + Bu 系统模型：x
控制律：u = − Kx
& = ( A − BK ) x 闭环系统：x
闭环系统渐近稳定的充分必要条件是：存在一个李雅 普诺夫函数 V ( x ) = x T Px 关键的问题：如何确定以上的矩阵K 和 P。
5.2.1 黎卡提方程处理方法
5.1 线性反馈控制系统
外部输入
v + _ 被控对象 y
& = Ax + Bu x y = Cx
控制器
控制系统结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
状态反馈控制器：u = − Kx + v
K 称为是状态反馈增益矩阵。
动态补偿器 静态输出反馈控制器
导出的闭环系统： v
& = ( A − BK ) x + Bv x y = Cx
u _
V ( x ) = x T Px 如何才能成为闭环系统的李雅普诺夫函数？
1。V(x)是正定的； 2。沿闭环系统轨线，
& T Px + x T Px & dV ( x ) dt = x
= ( Ax + Bu)T Px + x T P ( Ax + Bu)
= x T AT Px + ( Bu)T Px + x T PAx + x T PBu = x T ( AT P + PA) x + uT B T Px + x T PBu