高中数学-指数(分数指数幂)教案
数学教案-指数
数学教案－指数教学目标教学建议教材分析（1）本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质．教学难点是根式的概念和分数指数幂的概念．（2）由于分数指数幂的概念是借助次方根给出的，而次根式，次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．（3）学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．教法建议（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的，不妨在设计时可以考虑以下几点：②当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备．③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出即谁的四次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再把指数换成，写成即谁的次方等于，在语言描述的同时，也把数学的符号语言自然的给出．（2）在次方根的定义中并没有将次方根符号化原因是结论的多样性，不能乱表示，所以需要先研究规律，再把它符号化．按这样的研究思路学生对次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．教学设计示例课题根式教学目标：1．理解次方根和次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算．3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．教学重点难点：重点是次方根的概念及其取值规律．难点是次方根的概念及其运算根据的研究．教学用具：投影仪教学方法：启发探索式．一. 复习引入今天我们将学习新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展．下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗以为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数，称为幂．教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义．．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出及，同时追问这里的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念2．5指数(板书)1. 关于整数指数幂的复习(1) 概念既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出：(2) 运算性质：;;．复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．2. 根式(板书)如如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即，求问题也就是：谁的平方是16，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4有个名字叫16的平方根．再如知3和8，问题就是谁的立方是8这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．(根据情况教师可再适当举几个例子，如，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)在以上几个式子会解释的基础上，提出即一个数的次方等于，求这个数，即开次方，那么这个数叫做的次方根．(1)次方根的定义：如果一个数的次方等于(，那么这个数叫做的次方根．(板书)对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．由学生翻译为：若(，则叫做的次方根．(把它补在定义的后面)翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的的次方根就没有用符号表示，原因是什么(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对的次方根的取值规律的研究．(2)的次方根的取值规律：(板书)先让学生看到的次方根的个数是由的奇偶性决定的，所以应对分奇偶情况讨论当为奇数时，再问学生的次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按的正负分为三种情况．Ⅰ当为奇数时，的次方根为一个正数;，的次方根为一个负数;，的次方根为零．(板书)当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明为偶数时的结论，再由学生总结归纳Ⅱ当为偶数时，的次方根为两个互为相反数的数;，的次方根不存在;，的次方根为零．对于这个规律的总结，还可以先看的正负，再分的奇偶，换个角度加深理解．有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述次方根了．(3) 的次方根的符号表示(板书)可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当为奇数时，由于无论为何值，次方根都只有一个值，可用统一的符号表示，此时要求学生解释符号的含义：为正数，则为一个确定的正数，为负数，则为一个确定的负数，为零，则为零．当为偶数时，为正数时，有两个值，而只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成，其含义为为偶数时，正数的次方根有两个分别为和．为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题：一定表示一个正数吗中的一定是正数或非负数吗让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结．对于符号，当为偶数是，它有意义的条件是;当为奇数时，它有意义的条件时．把称为根式，其中为根指数，叫做被开方数．(板书)(4) 根式运算的依据(板书)由于是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．如应该得什么有学生讲出理由，根据次方根的定义，可得Ⅰ=．(板书)再问：应该得什么也得吗若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如吗吗让学生能发现结果与有关，从而得到Ⅱ=．(板书)为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．三．巩固练习例1.求值(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(要求学生口答，并说出简要步骤．四．小结1．次方根与次根式的概念2．二者的区别3．运算依据五．作业略六．板书设计2．5指数(2)取值规律(4)运算依据1. 复习2. 根式(3)符号表示例1(1)定义。
高中数学第21课时分数指数幂教案1苏教版必修1
江苏省新沂市第二中学高中数学第21课时分数指数幂教案1 苏教版必修1课题第十四课时分数指数幂（1）课型新授课教学目标1．理解n次方根及根式的概念；2．掌握n次根式的性质,并能运用它进行化简，求值；3．提高观察、抽象的能力．重点掌握n次根式的性质,并能运用它进行化简难点掌握n次根式的性质,并能运用它进行化简教法讲授法、讨论法、探究法教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动自学评价1．如果2x a=，则x称为a的平方根；如果3x a=，则x称为a的立方根．2. 如果*(1,)nx a n n N=>∈，则x称为a的n次实数方根；0的n次实数方根等于0．3. 若n是奇数，则a的n次实数方根记作n a；若0>a则n a为正数，若oa<则n a为负数；若n是偶数，且0>a，则a的n次实数方根为n a±；负数没有n次实数方根．4. 式子n a()1,n n N*>∈叫根式，n叫根指数，a叫被开方数；()nn a=a．5. 若n是奇数，则n n a=a；若n是偶数，则n n a=||a．【精典范例】例1：求下列各式的值：（1）2(5)（2）33(2)-（3）44(2)-（4）()23π-【解】（1）2(5)5=（2）33(2)2-=-（3）4444(2)22-==（4）()23|3|3πππ-=-=-点评: 正确的领会求n n a的值的公式是求根式值的关键。
例2：设－3<x<3，化简961222++-+-xxxx追踪训练一1. 27的平方根与立方根分别是（B）（A）33,3（B）33,3±（C）33,3±（D）33,3±±2．2211x xx x--=--成立的条件是（()D）()A21xx-≥-()B1x≠()C1x<()D2x≥3．在①24(4)n-；②214(4)n+-；③54a；解：因为－3<x<3 所以x+3>0所以原式=|x －1|+|x+3| 当1≤x<3时，原式=2x+2当－3<x<1时，原式=1－x+x+3=4 综上所述原式=⎩⎨⎧<<≤+1x 3-43122，x ，x π例3．计算：625625++- 解：原式=22)23()23(++- =2323++-=23 ④54a （,n a ∈∈N R ）各式中，有意义的是（ ()B ）()A ①② ()B ①③ ()C ①②③④ ()D ①③④板书设计当堂作业课外作业教师札记根式 根式定义 根式的性质 根式与方程关系根式的运算。
高一数学教案411N次方根与分数指数幂
第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计一、教学目标1.理解n次方根与分数指数幂的概念与性质。
2.掌握分数指数幂与根式的互化。
二、教学重难点1.教学重点n次方根与分数指数幂的概念与性质，分数指数幂与根式的互化2.教学难点分数指数幂与根式的互化三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入提问：如果x2=a，那么x是a的什么？例如：就是4的平方根。
教师提问，学生回答：x是a的平方根。
提问引入，吸引学生的学习兴趣。
2.探索新知如果x3=a，那么x叫做a的立方根。
例如：2就是8的立方根。
n次方根的定义：一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N。
那么n的取值会影响n次方根的值吗？小组讨论。
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a 的n次方根用符号表示。
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正学生讨论n的取值的影响，加强对n次方根的定义的理解，讨论出答案后教师进行纠正。
加深学生对知识的记忆，培养学生自主发现的能力。
的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示。
正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 (a>0).负数没有偶次方根提问:为什么负数没有偶次方根？0的任何次方根都是0,记作=0.根式的定义：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a叫做被开方数。
根据n 次方根的意义，可得=a.=a一定成立吗？如果不成立，如何表示？当n是奇数时，=a当n是偶数时，=|a|=完成课本P105例1根据n次方根的定义和数的运算，我们知道==a2=(a>0)分数指数幂的概念：当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。
你还记得哪些整数指数幂的运算性质。
把根式表示为分数指数幂的形式时，整数指数幂的运算性质对分数指数幂仍然适用。
学生思考讨论后回答，教师进行更正：因为负数的偶次方根一定是正数。
高中数学2.1.1指数与指数幂的运算(2)教案新人教版必修1
高中数学2.1.1指数与指数幂的运算（2）教案新人教版必修1内容：分数指数幂一、教学目标（一）知识目标（1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
（2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。
（二）能力目标（1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．（2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．（3）训练学生思维的灵活性（三）德育目标（1）激发学生自主学习的兴趣（2）养成良好的学习习惯 教学重点：次方根的概念及其取值规律。
教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。
教学过程：一、复习回顾，新课引入：指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。
引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。
．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出及，同时追问这里的由来。
二、师生互动，新课讲解：1.分数指数幂看下面的例子：当0>a 时，（1）2552510)(a a a ==，又5102=，所以510510a a =； （2）3443412)(a a a ==，又4123=，所以412412a a =． 从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m n ma a =（0>a ，1*,,>∈n N n m ）．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0<a 时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式． 例如：3273-=-，而3)27(62=-．规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用．联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用(1)a r a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q)(2)(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q)(3)(ab)r =a r b r (a>0,b>0, r,∈Q)3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。
高中数学 第17课时 分数指数幂教学案苏教版必修1
第17课时 分数指数幂三维目标：（1）理解n 次实数方根及n 次根式的概念；（2）掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值； （3）通过具体实例理解分数指数幂的含义；（4）回顾整数指数幂的运算性质，并将其推广到有理数指数． 教学重点：根式,分数指数幂的概念及运算 教学难点：根式,分数指数幂的理解 一、建构数学 1. 根式(1) 如果 ，那么x 称为a 的平方根； (2) 如果 ，那么x 称为a 的立方根；(3) 一般地，如果一个实数x 满足 ，那么x 称为a 的n 次实数方根； (4) 0的n 次实数方根等于 .(5) 式子 叫做根式，其中n 叫做 ，a 叫做 . 2. 分数指数幂: 一般地，我们规定：=nma。
这就是正数a 的正分数指数幂的意义.仿照负整数指数幂的意义，我们规定=-nma .特别规定：0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数幂 3. 分数指数幂的运算性质(1) (2) (3)二、学生活动1. 用根式的形式表示下列各式（0>a ）（1）51a （2）43a （3）57a （4）23-a2. 用分数指数幂的形式表示下列各式（1）32x （2）)0(34>y y x （3）)0(2>m mm3.求下列各式的值 （1）2325 （2）23425-⎪⎭⎫⎝⎛ （3）63125.132⨯⨯4. 化简下列各式（1）)0(834121>-a a a a （2）()0,063121>>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x（3）()0,032223>>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x xy y x三、数学应用例1．求下列各式的值：（1）2 （2）3 （3（4（5）348思考：n= ，= ．例2．求值：（1）12100 （2）238 （3）329-（4）3416()81-例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（0>a ） （1）a a 2（2）52a （3）（531a） （4）a a （5）a a a例4.已知32121=+-x x ，求xx 1+的值四、课堂小结五、课堂练习1.23100-= 2.将22化成指数式为 3.若0>a ，且5,3==yxa a ，则22y x a +=4. 若0<a ，则aa 1-= 5.()()23231515-+=6.已知()625x 2-=-y ，则x-y=7. 化简下列各式（0,0a b >>）：（1）1232()a b -- （22选作（3）思考：8. 计算0.259. 利用指数的运算法则，解下列方程： （1）1321(0.5)4xx --= （2）2233800x x +---=．六、作业1.27的平方根和立方根分别是2.()32a a ⨯-=3.求值：（1）()335- （2）532- （3）()43- （4）()223-4.当2<x 时，()()22233+---x x x =5.若2323,2323-+=+-=y x ，则22353y xy x --=6.（1）计算：()()41221016203----+--（2）已知321,21==b a ，求()()232121223⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----a ab b a 的值7.化简下列各式()0,0>>b a(1) 3221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41412121b a b a8.化简（1）()()33211+++x x （2）2221122-------++ba b b a a。
高中数学指数与指数函数教案
指数与指数函数一、学习目标1、理解n资助方根、根式、分数指数幂概念，会对根式、分数指数幂进行互化；2、掌握分数指数幂的运算性质，熟练运用性质进行化简、求值；3、培养化归意识，思维的灵活性和严密性；4、掌握指数函数的根念；5、掌握指数函数的图像、性质；6、能利用指数函数的性质比较幂的大小；7、培养学生的应用意识。
二、例题分析第一阶梯[例1]求下列各式的值；分析：根式可化为分数指数幂形式，利用分数指数幂运算性质计算。
解：说明：既含有分数指数幂，又有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂的形式。
例2、指出下列函数中哪些是指数函数；(1)y=4x; (2)y=x4; (3)y=-4x; (4)y=(-4)x; (5)y=πx;(7)y=xx;分析：根据指数函数定义进行判断。
解：（1）、（5）为指数函数；（2）不是指数函数；（3）是-1与指数函数4x的乘积；（4）中底数-4<0，∴不是指数函数；（6）中指数不是自变量x，而是x的函数x2;（7）中底数x不是常数。
它们都不符合指数函数的定义。
说明：指数函数严格限定在y=ax(a>0且a≠1)这一结构，（2）（3）（4）（6）（7）均不是指数函数，不具备指数函数的基本性质。
第二阶梯例3、A、1B、2a-1C、1或2a-1D、0思路分析:根据根式的意义直接进行判断.解:(2)取a=0,b=1,A不成立;取a=0,b=-1,C不成立;取a=-1,b=-1,D不成立;因为a2+b2≥0,所以B正确,故选B.答案:(1)C (2)B例4、函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是_______。
思路分析：利用二次函数、指数函数的单调性，结合函数的有关知识进行解答。
解答：∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为x=1,由此得b=2,又∵f(0)=3,∴c=3.∴f(x)=x2-2x+3在（-∞，1）内递减，在（1，+∞）内递增。
高中数学2_1指数与指数幂的运算教案版
黑龙江省鸡西市高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教版必修1课题：§2.1.1指数及指数幂的运算模式与方法启发式教学目的使学生理根式的概念，掌握n次方根的性质。
重点指数的运算难点指数的运算教学内容师生活动及时间分配一，引入课题为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到实数指数幂，本小节主要学习分数指数幂的概念和运算性质，并给出了无理数指数幂的概念和性质。
2．为了学习分数指数的概念，首先要介绍根式的概念，学生在初中已学习了数的开平方、开立方和二次根式，根式的内容是这些已学内容的推广。
因此要结合这些已学内容引入根式的概念和n次方根的性质。
二、探索新知（一）引出根式的概念。
需要注意的是，当n 是奇数时，表示a的n次方根；当n是偶数时，a≥0，表示正的n次方根或0。
在两种情况下，根据n次方根的概念，都有。
也就是.教师引导学生复习初中所学的公式及相关知识引导讨论x的范围加深对于公式的理解及应用说，先开方，再乘方（同次），结果为被开方数，如果先乘方，再开方（同次），结果是什么呢？可让学生分别求出的结果，然后指出，一般地，当n 为奇数时，，当n为偶数时，。
可向学生说明，当n 是偶数时。
的结果为|a|，是因为≥0时，而则是根据绝对值的意义得出的。
课堂练习：1、填空： （1）25的平方根是 （2）27的立方根是（3）－32的五次方根为 （4）16的四次方根是2、若244(),a a a -=-则a 的取值范围是3、求下列各式的值（1）2(5) （2）33(2)- （3）44(2)- （4）2(3)π-.四，小结：教师引导学生总结并补充五、课后作业教科书P 59 4选做：练习册。
高一数学分数指数幂数学教案
高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。
2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。
3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。
二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。
难点：分数指数幂的计算及实际应用。
三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。
（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。
板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。
板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。
例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。
四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。
在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。
在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
4.1.1n次方根与分数指数幂-新人教版高中数学优秀教案
第四章 指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n 次方根与分数指数幂学习要求1.理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．2.能利用根式的性质对根式进行运算．3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．教学重难点重点：根式概念的理解；分数指数幂的理解；掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学过程一、创设情境良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚街道和瓶窑镇，1936年首次发现，这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑，考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年~前2300年.你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数函数.指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.追问：初中我们学习指数的有关运算：n m n m a a a +=.；n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(；m m b a m b a =⋅)(其中N n m R b a ∈∈,,,二、复习巩固，引入新课1.n 次方根的概念问题2：初中我们学过平方根、立方根的概念,你能回顾出这些概念吗?请举例说明。
若,2a x =则x 叫做a 的平方根,记作:a ±，例如，±2就是4的平方根若,3a x =则x 叫做a 的立方根,记作:3a ，例如，±2就是8的立方根追问：类比平方根、立方根,你能给出4次方根、5次方根,，n 次方根的定义吗?师生活动 学生独立完成,然后进行全班交流，教师进行点评的基础上,给出完整的定义.教师要注意学生在写a 的4次方根时可能出现的错误。
一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根. 其中1>n ，且*N n ∈.2. n 次方根的性质（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数。
高中数学教案《指数》
教学计划：《指数》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解指数的概念，掌握指数的基本运算法则（包括指数的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方等）；能够识别并计算简单的指数表达式。
2.过程与方法：通过实例引入，引导学生自主发现指数的概念和性质；通过小组合作，探讨指数运算法则的推导过程，培养学生的探究能力和合作精神；通过练习巩固，提高学生运用指数知识解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维能力和创新意识；通过指数的学习，让学生感受数学中的简洁美和规律美，增强对数学美的感受力；培养学生的耐心和细心，形成严谨的科学态度。
二、教学重点和难点●教学重点：指数的概念、基本运算法则及其应用。
●教学难点：理解指数运算法则的推导过程，掌握并灵活运用这些法则解决复杂问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例：通过细胞分裂、银行复利等生活实例，引导学生观察并发现其中的共同规律——数量以某种方式快速增长，从而引出指数的概念。
●概念揭示：正式介绍指数的概念，说明底数、指数和幂的含义，以及它们之间的关系。
●激发兴趣：提问学生是否还知道其他与指数相关的生活现象，鼓励学生积极发言，活跃课堂气氛。
2. 讲授新知（约15分钟）●运算法则讲解：逐一介绍指数的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方等基本运算法则，并给出具体的例子进行说明。
●法则推导：对于部分运算法则（如幂的乘方与积的乘方），可以通过具体例子引导学生自行推导，培养他们的逻辑思维能力。
●注意事项：强调指数运算中的特殊情况和易错点，如0的指数幂、负整数指数幂、分数指数幂等，帮助学生建立正确的知识体系。
3. 巩固练习（约10分钟）●基础练习：设计一系列基础题目，让学生独立完成，以检验他们对指数概念和基本运算法则的掌握情况。
●错题解析：收集学生练习中的典型错误，进行全班性的讲解和纠正，帮助学生理清思路，避免类似错误再次发生。
●小组合作：鼓励学生组成小组，相互检查练习答案，讨论解题思路，促进知识的内化和吸收。
指数与指数幂的运算(三) 必修一教案19
)
例 2． （P52 例 5）计算下列各式
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（1） ( 3 25 （2）
a2 a. 3 a2
125) 4 25
(a ＞0）
例 3．.已知 a 2 a 2 =3，求下列各式的值: （１） a a 1 ； （２） a 2 a 2 ；
3
;
4
3
81 9 2
;
6. 已知 x a3 b2 , 求 4 x2 2a3 x a6 的值.
7．从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 1 升，然后用水填
3
满，再倒出 1 升，又用水填满，这样进行 5 次，则容
3
器中剩下的纯酒精的升数为多少？
四、小结： 1． 础. 2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化 为分数指数幂后再计算. 五，作业 化简： （1） ( （2）
3
1a
1 a2
3 2 1 2
．
a
三、巩固练习： 1. 化简： ( x 2 y 2 ) ( x 4 y 4 ) .
1 1 1 1
2. 已知 f ( x) x ,
x1 x2 0 ，试求
f ( x1 ) f ( x2 ) 的值
3. 用根式表示 (m 4 n
9) 3 ( 3 102 ) 2 1002
2 9
5
熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基
3 2 2 3 2 2
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（3）
a a
a a
后记：
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人教版高中数学必修 1 教案
授课时间： 备课时间: 年 年 月 月 日 日
人教A版高中数学必修一指数与指数幂的运算第课时示范教案新
第二章 基本初等函数（Ⅰ）本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 21的图象,了解它们的变化情况.本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考）2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解.(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.教学难点:(1)分数指数幂及根式概念的理解.(2)有理指数幂性质的灵活应用.课时安排3课时教学过程第1课时指数与指数幂的运算(1)导入新课思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算.推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?(4)可否用一个式子表达呢?活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维.讨论结果：(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.(4)用一个式子表达是,若x n=a,则x叫a的n次方根.教师板书n次方根的意义:一般地,如果x n=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n 次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：（1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2. （2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零. （3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用n a表示,如果是负数,表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±n a(a＞0).负的n次方根用n a②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号n a表示.③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零. 上面的文字语言可用下面的式子表示:a 为正数:⎪⎩⎪⎨⎧±.,,,nn a n a n a n a n 次方根有两个为的为偶数次方根有一个为的为奇数a 为负数:⎪⎩⎪⎨⎧.,,,次方根不存在的为偶数次方根只有一个为的为奇数n a n a n a n n零的n 次方根为零,记为n 0=0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例.思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况?活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题. 解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为527-,而-27的4次方根不存在等.其中527-也表示方根,它类似于n a 的形式,现在我们给式子n a 一个名称——根式. 根式的概念:式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数. 如327-中,3叫根指数,-27叫被开方数. 思考nn a 表示a n 的n 次方根,等式n n a =a 一定成立吗？如果不一定成立,那么n n a 等于什么？活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理.〔如33)3(-=327-=-3,44)8(-=|-8|=8〕. 解答：根据n 次方根的意义,可得:(n a )n=a.通过探究得到：n 为奇数,n na =a. n 为偶数,nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a因此我们得到n 次方根的运算性质：①(n a )n=a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.②n 为奇数,n na =a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.n 为偶数,n na =|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值.应用示例思路1例1求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b).活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数. 解：(1)33)8(-=-8; (2)2)10(-=10; (3)44)3(π-=π-3; (4)2)(b a -=a-b(a>b).点评：不注意n 的奇偶性对式子nna 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用. 变式训练求出下列各式的值: (1)77)2(-;(2)33)33(-a (a≤1); (3)44)33(-a . 解：(1)77)2(-=-2, (2)33)33(-a (a≤1)=3a-3, (3)44)33(-a =⎩⎨⎧<-≥-.1,33,1,33a a a a点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a 与1大小的讨论,造成错解.思路2例1下列各式中正确的是( ) (1)44a =a;(2)62)2(-=32-; (3)a 0=1;(4)105)12(-=)12(-.活动：教师提示,这是一道选择题,本题考查n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.解：(1)44a =a,考查n 次方根的运算性质,当n 为偶数时,应先写n na =|a|,故本题错. (2)62)2(-=32-,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为62)2(-=32,故本题错.(3)a 0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4).点评：本题由于考查n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心.例223++223-=_________活动：让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路. 解：223+=2)2(221++=2)21(+=2+1.223-=122)2(2+-=2)12(-=2-1.所以223++223-=22.点评：不难看出223-与223+形式上有些特点,即是对称根式,是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式. 思考上面的例2还有别的解法吗?活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.另解：利用整体思想,x=223++223-,两边平方得x 2=3+22+3-22+2(223+)(223-)=6+222)22(3-=6+2=8,所以x=22.点评：对双重二次根式,特别是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对B A B A 22-±+的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解. 变式训练若12a -a 2+=a-1，求a 的取值范围.解：因为12a -a 2+=a-1,而12a -a 2+=2)1(-a =|a-1|=a-1, 即a-1≥0, 所以a≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键. 知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上) 1.以下说法正确的是( ) A.正数的n 次方根是一个正数 B.负数的n 次方根是一个负数 C.0的任何次方根都是零D.a 的n 次方根用n a 表示(以上n ＞1且n∈N *).答案：C2.化简下列各式:(1)664;(2)42)3(-;(3)48x ;(4)636y x ;(5)2y)-(x . 答案：(1)2;(2)9;(3)x 2;(4)|x|y ;(5)|x-y|.3.计算407407-++=__________. 解：407407-++=2222)2(252)5()2(252)5(+∙-++∙+ =22)25()25(-++=5+2+5-2- =25. 答案：25 拓展提升问题：n na =a 与(n a )n=a （n ＞1,n∈N ）哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳,得出问题结果,对a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论. 解答：①（n a ）n=a （n ＞1,n∈N ）.如果x n=a （n ＞1,且n∈N ）有意义,则无论n 是奇数或偶数,x=n a 一定是它的一个n 次方根,所以（n a ）n=a 恒成立.例如：（43）4=3,33)5(-=－5.②nna =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a当n 为奇数时,a∈R ,n na =a 恒成立. 例如：552=2,55)2(-=－2.当n 为偶数时,a∈R ,a n≥0,n n a 表示正的n 次方根或0,所以如果a≥0,那么n na =a.例如443=3, 40=0；如果a ＜0,那么n n a =|a|=－a,如2(-3)=23=3.即（n a na ）n=a （n ＞1,n∈N ）是恒等式,n na =a （n ＞1,n∈N）是有条件的. 点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.课堂小结学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上. 1.如果x n=a,那么x 叫a 的n 次方根,其中n ＞1且n∈N *.用式子n a 表示,式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数.(1)当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用-n a 表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).(2)n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.2.掌握两个公式：n 为奇数时,(na )n=a,n 为偶数时,n na =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a作业课本P 59习题2.1A 组 1.补充作业:1.化简下列各式：(1)681;(2)1532-;(3)48x ;(4)642b a . 解：(1)681=643=323=39; (2)1532-=1552-=32-; (3)48x =442)(x =x 2;(4)642b a =622)|(|b a ∙=32||b a ∙.2.若5<a<8,则式子22)8()5(---a a 的值为__________. 分析:因为5<a<8,所以22)8()5(---a a =a-5-8+a=2a-13. 答案：2a-13.3.625625-++=__________.分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式,不难看出625+=22)(3+=3+2.同理625-=22)(3-=3-2.所以625++625-=23. 答案：23设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式n a 的讲解要分n 是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学.。
指数与指数幂的运算(第一课时)教案
2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)一、教材分析：本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容. 二、学习目标：①理解n 次方根与根式的概念;②正确运用根式运算性质化简、求值; ③了解分类讨论思想在解题中的应用.三、教学重点：理解有理数指数幂的含义及其运算性质．四、教学难点：理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n 次方根的运算.五、课时安排：2课时 六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:①当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?21，,...)21(,)21(32 ②当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(③由以上的实例来推断生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系式应该是什么?573021tp ⎪⎭⎫ ⎝⎛=考古学家根据上式可以知道,生物死亡t 年后,体内碳14含量P 的值.那么这些数21，,...)21(,)21(32,573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(，573021t p ⎪⎭⎫ ⎝⎛=的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.2、学生探索,尝试解决问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?若x2=a,则x叫做a的平方根.同理,若x3=a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数.问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?如果一个数的4次方等于a,那么这个数叫做a的4次方根;如果一个数的5次方等于a,那么这个数叫做a的5次方根.问题3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根.问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢?方根的定义:一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.3、信息交流,揭示规律试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(多媒体显示,学生完成)(1)25的平方根是±5;(2)27的立方根是3;;(3)-32的5次方根是-2;(4)16的4次方根是±2;(5)a6的立方根是a2;(6)0的7次方根是0.问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?①以上各数的对应方根都是整数;②第(1)(4)题的答案有两个,第(2)(3)(5)(6)题的答案只有一个;③第(1)(4)题的答案中的两个根互为相反数.问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?一个数的奇次方根只有一个;一个数的偶次方根有两个,且互为相反数.问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?因为任何一个数的偶次方都是非负数,所以负数没有偶次方根;0的n次方等于0,所以0的n次方根等于0.问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢?n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次.(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次,负的n.正的n次方根与负的na>0).注:①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作n 0=0;③当a ≥0时,n a ≥0,所以类似416=±2的写法是错误的. 另外,我们规定:式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 问题9:利用上面所学n 次方根的知识,能否求出下列各式的值? (1)(5)2;(2)38-;(3)416;(4)33)3(-a (a>0). (1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3.问题10:上面的计算涉及了哪几类问题? 主要涉及了(a)n 与n a 的问题.组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论: (1)(n a )n =a.例如,(3)3=27,(-2)5=-32. (2)当n 是奇数时,nn a =a ;当n 是偶数时,nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0(,)0(,a a a a 例如,33)2(-=-2,442=2;553=3,()883-=|-3|=3.4、类比前面的学习，给出并讲解分数指数幂的定义和运算性质 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．（1）．有理指数幂的运算性质①r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>；②rss r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；③srra a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题 让学生先看并一起分析讲解例题．（教材例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 4． 无理指数幂结合教材实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（二） 、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题.【例1】求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-; (3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b ).解：（1）33)8(-=-8；（2）2)10(-=10-=10；（3）44)3(π-=;33-=-ππ（4）2)(b a -=.b a b a -=- 例2、 计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈）（3）1n >，且n N *∈） 【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-；当n =3π-.（3）||x y -，当x y ≥时，x y -；当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n 的奇偶性对式子n na 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.（三）、当堂检测 1.课本.321,54题、、p2、（P 56，例2）求值：①238；②1225-；③51()2-；④3416()81-.学生思考，口答，教师板演、点评． 2、解：① 223338(2)=2323224⨯===； ② 1122225(5)--=12()121555⨯--===； ③ 5151()(2)2---=1(5)232-⨯-==；④334()44162()()813-⨯-=3227()38-==3、用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）①3a 2a 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：①117333222a a a a a +=⋅==②2223a a a =⋅28233aa +==；③421332()a a ====.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)先让学生独自回忆，然后师生共同总结．本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． 以下是本节课重要知识点及需要理解的概念： 1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3． 掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.1.复习课本P 48~50内容,熟悉巩固有关概念和性质;2.课本P 59习题2.1A 组第1、2、4题. 八、教学反思：。
高中数学 第24课时分数指数幂2教学案 苏教版必修1 教案
一、复习提问 1、根式的概念2、正数和零的分数指数幂的意义3、有理指数幂的运算性质二、例题分析例1、判断下列各式正误（1）()R a a ∈=10（2）n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛()Z n b ∈≠，0（3）t r t r a a a +=⋅)(Q t r R a ∈∈，， （4）实数a 的n 次方根是n a ()+∈N n例2、计算下列各式(式中字母都是正数) （1）46394369)()(a a ⋅ （2）3222212)()()(---÷⋅b a ab b a（3）)221(2323131--xx x （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛656165212132362b a b a b a例3、化简（1）43321328116411008-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅ （2）()5.0212001.0492513-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）322b a ab ba （4）323222323222-----------++yxy x yxy x例4、计算下列各式 （1）)0(322>⋅a aa a （2）()2114121300132104272325.0--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯例5、已知2=x ，求11115.12121-++++x x x x 的值。
三、随堂练习1、下列运算中正确的是。
（1）a a a =⋅4334 （2）a a a =÷3132 （3）03232=⋅-a a （4）a a =441)(2、化简（1）3252)(a a ⋅ （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----3241322131414132b a b a b a3、已知()321=+-a a ，求33-+a a 的值。
四、回顾反思1、熟练掌握分数指示幂与根式的互化；2、熟练运用有理指数幂的运算性质解决问题。
教案 高教版《数学》(基础模块)——4.1有理数指数幂(1)
4.1有理数指数幂(1)——分数指数幂【教学目标】知识目标：1、复习整数指数幂的知识；2、 了解n 次根式的概念；3、理解分数指数幂的定义。
能力目标：1、掌握根式与分数指数幂之间的转化；2、会利用计算器求根式和分数指数幂的值；3、培养学生观察、分析问题的能力；培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。
【教学重点】分数指数幂的定义及运算性质，运用有理数指数幂性质 进行化简、求值。
【教学难点】对分数指数幂概念的理解，根式和分数指数幂的互化。
【教学设计】1、通过复习二次根式而拓展到n 次根式，为分数指数幂的介绍做好知识铺垫；2、复习整数指数幂知识以做好衔接；3、利用课件介绍分数指数幂的概念，字母动感闪耀强化位置关系；4、加大学生动手计算的练习，巩固知识；5、小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能。
【课时安排】2课时。
(90分钟)【教学过程】一、根式1、在初中时，我们已经把指数幂推广到了零指数和负整数指数幂，大家来回忆一下： a 0= (a ≠0),a -n= (a ≠0,n ∈N) 并且满足如下运算法则：(1) ),,0(Z n Z m a a a a n m n m ∈∈≠=⋅+ (2) ()()Z n Z m a a a mn nm ∈∈≠=,,0(3) ()()Z n b a b a ab n n n∈≠≠=,0,0例如：（师生共同完成）（1） 10001.011.011.022===- （2） a 3a -2=a 3-2=a （3）（2a -2）-3=2-3a（-2）（-3）=681a2．我们学习了n 次根式，知道当n a 有意义时，有下列性质：（1）a a nn =)(（2）⎩⎨⎧=)(|,|)(,为偶数；为奇数n a n a a n n利用这个运算性质，引导学生得出下列各式： （1）362=332)2(=22=362， （2）5103=552)3(=32=5103，（3）32a =3332)(a =32a由此，可得出式子：362=362，5103=5103，32a =32a 。
分数指数幂教案
分数指数幂教案教案标题：分数指数幂教案教学目标：1. 理解分数指数幂的概念和性质。
2. 掌握计算分数指数幂的方法。
3. 能够应用分数指数幂解决实际问题。
教学重点：1. 理解分数指数幂的定义和运算规则。
2. 掌握分数指数幂的计算方法。
3. 能够运用分数指数幂解决实际问题。
教学难点：1. 理解分数指数幂的概念和性质。
2. 掌握计算分数指数幂的方法。
教学准备：1. 教材：包含有关分数指数幂的知识点和例题的教材。
2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教案、练习题、实例题。
3. 学具：计算器。
教学过程：Step 1：导入新知1. 引入分数指数幂的概念，通过实例引发学生对分数指数幂的思考。
2. 提问学生：你们对分数指数幂有什么了解？它们与整数指数幂有何异同？Step 2：概念解释与讲解1. 通过示意图和实例，解释分数指数幂的定义和性质。
2. 引导学生理解分数指数幂的运算规则，并进行实例演示。
Step 3：练习与巩固1. 分发练习题，让学生进行个人或小组练习。
2. 指导学生解答练习题，解答过程中注重引导学生运用分数指数幂的计算方法。
Step 4：拓展与应用1. 提供一些实际问题，引导学生运用分数指数幂解决实际问题。
2. 鼓励学生思考并讨论其他应用场景，并进行分享和讨论。
Step 5：归纳总结1. 综合学生的学习情况，对分数指数幂的概念、性质和运算规则进行归纳总结。
2. 强调分数指数幂的重要性和应用价值。
Step 6：作业布置1. 布置相关的作业题目，巩固学生对分数指数幂的掌握程度。
2. 鼓励学生自主学习，通过课外阅读或网络资源进一步了解分数指数幂的应用。
教学延伸：1. 针对学生的学习情况，可以提供更多的练习题和拓展问题，以加深对分数指数幂的理解和应用。
2. 可以组织学生进行小组讨论或展示，分享他们在实际生活中发现的分数指数幂的应用案例。
教学评价：1. 课堂练习：通过学生在课堂上的练习情况，评估他们对分数指数幂的掌握程度。
分数指数幂教案
分数指数幂教案一、学习任务分析本节课是人教版高中数学必修1第2章第一节的第二个课时，在此之前我们学习了根式表达，整数指数幂的概念与运算性质。
这一课时也算是对整数指数幂的一个推广，后面紧接着要学习指数函数及其性质，所以对分数指数幂的理解也至关重要。
二、学情分析学生们已经掌握了整个整数指数幂的概念，所以对于接受分数指数幂的概念及有关运算性质也比较容易，并且也刚刚学习过根式的内容，有助于对分数指数幂的规定。
对于学生来说，比较困难的可能是对负分数指数幂的理解，以及运用运算性质做一些相关计算。
但总体来说，本节课的内容难度都不打，容易接受。
三、教学目标知识与技能：理解分数指数幂的性质，掌握分数指数幂与根式的转化，掌握一些相关计算过程与方法：体会类比推广的数学思想情感态度与价值观：养成独立思考的良好习惯四、教学重难点重点：分数指数幂的概念和性质难点：负分数指数幂的理解，以及运用分数指数幂的运算性质解决问题 五、教学过程 （1） 实例引入问题1：请大家计算一下√a 105与√a 124。
设计意图：根据已有的知识，学生应该能对这两个式子进行计算，这两个式子的被开方数的指数数能被根指数整除，进而引出不能整除时的情况。
问题2：从以上的两个例子的算你能发现什么？ 教师可叫两个学生起来表述自己的想法，学生不难发现计算结果a 的指数正好是a 的指数与被开放数的商。
教师将学生的话转述成数学语言，带领大家得到结论：当根式的被开放数的指数能被根指数整除时，根式可以写成a被开方数的指数根指数的形式。
设计意图：由学生归纳总结共同得出以上结论，进一步引发学生对不能整除的情况的思考问题3：刚才我们对a 的指数能被根指数整除的情况作了计算，那再看看接下来几个例子，√a 23,√b ,√c 54又该如何表示？在前面的认知基础上，学生会比较容易想到√a 23=a 23,√b =b12,√c 54=c 54。
设计意图：引出分数指数幂的概念。
（2） 分数指数幂的概念形成由教师直接给出正数的正分数指数幂的概念：a mn =√a m n(a >0,m 、n ∈N ∗,且n >1) 问题4：正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂意义相仿，a −m =1am,那么a −mn 等于什么呢？根据所提示的a −m =1a m，学生比较容易得出结论。
高中数学人教A版 必修1《 4.1.1 n次方根与分数指数幂》教案 Word
4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计1．掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．教学重难点【教学重点】理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)【教学难点】能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)课前准备引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础．二、教学过程：（一）自主预习——探新知：问题导学预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n次方根是怎样定义的？2．根式的定义是什么？它有哪些性质？3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？（二）创设情景，揭示课题（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，类似的，（±2）4＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？给出定义．（3）当n是奇数时，a的n n是偶数时，若a>0，则a的n次方根为若a=0，则a的n次方根为0；若a<0，则a的n次方根不存在．即：负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.,1)n N n ∈>叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （4）一起看354分别等于什么？一般地n等于什么？n a =由n 次方根的意义，可得 ，换一下呢？n na 等于什么？当na =； 当n||a =，然后对a 的正负分类考虑，以夏天、冬天穿衣服为例子帮助记忆。
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高中数学-指数（分数指数幂）教案
第二课时
提问：
1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义 1(0)n n a a a -=≠ ;()m n m n m n mn a a a a a +⋅==
(),()n m mn n n n a a ab a b ==
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数. 2．观察以下式子，并总结出规律：a ＞0
①
1051025255()a a a a === ② 884242()a a a a === ③ 1212343444()a a a a === ④5105102525
()a a a a === 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： 2323
(0)a a a ==>
1
2(0)b b b ==> 5544(0)c c c ==>
*(0,,1)m
n m n
a a a n N n =>∈> 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
*(0,,)m n m n a a a m n N =>∈
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：*1
(0,,)m
n m
n a a m n N a -=>∈
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)n m m m m a a a a a =⋅⋅⋅⋅> 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）(0,,)r s r s a a a
a r s Q +⋅=>∈ （2）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈
（3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈
若a ＞0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 62——P 62.
即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2.
所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25.
当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示)
所以，25是一个确定的实数.
一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂
的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考：3
2的含义是什么？
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： (0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈
()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈
()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈
3．例题
（1）．（P 60，例2）求值
解：① 2223323338(2)224⨯==== ② 111
2()212221
25(5)555--⨯--====
③ 5151(5)
1()(2)2322----⨯-===
④334()344162227
()()()81338-⨯--===
（2）．（P 60，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）
解：11
7
333222.a a a a a a +=⋅==
2
28
23222333a a a a a a +⋅⋅⋅==
31442133332()a a a a a a a =⋅===
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习：P 63练习 第 1，2，3，4题
补充练习：
1. 计算：1221
21(2)()2
48n n n ++-⋅的结果
2. 若1
3
10
731033
3,384,[()]n a a a a a -==⋅求的值
小结：
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的. 作业：P 69 习题 2.1 第2题。