数格点 算面积
正方形格点面积公式
正方形格点面积公式一个正方形是一个具有四条边相等且四个角度都是直角（90度）的四边形。
一个正方形也是一个矩形，因为它满足矩形的定义：对角线相等且相互垂直。
格点是指二维平面上的一个点，其坐标值为整数。
例如，(0,0)、(1,2)和(-3,4)都是格点，而(0.5,0)、(1.3,2.8)和(-3,-1)则不是格点。
现在我们来推导正方形格点面积公式。
假设一个正方形的顶点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)和(x4,y4)。
由于正方形的四条边相等，所以可以推导出以下关系：(x2-x1)=(y3-y2)=(x4-x3)=(y1-y4)=a（假设边长为a）由于一个正方形的对角线相等且相互垂直，所以可以推导出以下关系：(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(x3-x4)^2+（y3-y4)^2=2a^2解这组方程，我们得到：(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=2a^2(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+2(x2-x1)(y2-y1)=4a^2（将左边式子展开）(x2-x1+y2-y1)^2=4a^2(x2-x1+y2-y1)=2a所以，我们得到了正方形格点面积公式的一个关键点，即一个正方形的边长等于其两个对角顶点在同一水平线或垂直线上的格点数量的一半。
接下来，我们来证明正方形的面积等于其边长的平方。
假设正方形的边长为a，面积为A，我们需要证明A=a^2在正方形的格点内部，我们可以形成以格点为顶点的小正方形，以格点为顶点的小正方形的边长是正方形边长a的1/2或1/3或其他分数倍数。
这些小正方形的面积是a^2的一部分。
假设以a/2为边长的小正方形有N1个，以a/3为边长的小正方形有N2个，以a/4为边长的小正方形有N3个，以此类推。
因此，正方形的面积可以表示为：A=a^2+(a/2)^2+(a/3)^2+(a/4)^2+...=a^2(1+1/4+1/9+1/16+...)=a^2(1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...)我们可以使用数学知识证明这个级数的和为π^2/6、所以，我们得到：A=a^2(1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...)=a^2(π^2/6)=(a^2π^2)/6综上所述，我们得到正方形的格点面积公式：A=(a^2π^2)/6这就是正方形格点面积的公式。
第十一讲 格点与面积
第十一讲格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6×4=24.直角三角形Ｉ的面积是：6×2÷2＝6.直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.例3 如右图，计算这个格点多边形的面积.分析这是个不规则的多边形，可以仿照例2的方法，用矩形面积减去四个直角三角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要所分成的每个图形的面积好求，那么整个四边形的面积就能求了，如图（b）所示.解法1：矩形面积是4×3=12.直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5.直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2.所以，所求四边形的面积是12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）.解法2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；1×1÷2=0.5；2×1=2.所以整个四边形的面积是：1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面积单位）.从解法2可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是：切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出.为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例4.例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.解：用切割方法（如下图所示）.图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.图（B）面积为：3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.解：列表如下：我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.解：图形内部格点数N=21.图形周界上的格点数L=9.图形面积S=N+L/2-1=21+4.5-1=24.5（面积单位）.以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题.所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.解法1：如图（b）所示，在△ABC内连接相邻的三个点成△DEF，再连接DC、EA、FB 后是△ABC可看成是由△DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，不难得到S △ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以S△=1+2+3+4=10（面积单位）.解法 2：如下图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC的面积为10.解法3：如上图（d）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而△ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即S△ABE=3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而△ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即S△ADC=2.平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而△FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S△FBC=4.所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10（面积单位）.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2×N+L-2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例如例8中，N=4，L=4；所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面积单位）.例9如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.解：因为N=5；L=3：所以S=2×N+L-2=2×5+3-2=11（面积单位）.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD 的面积.解：因为N=9；L=4；所以S=2×N+L-2=2×9+4-2=20（面积单位）.习题十一1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.习题十一解答1.①∵ L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵ L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2.①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=6；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+6-2=20（面积单位）.④∵ L=7； N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.。
几何图形六年级
几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。
2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。
注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。
要区分面积是几个单位。
2．在数格点时要细心。
3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。
正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析 直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。
[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。
三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。
分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。
小学奥数之格点型面积求解(完整版)
小学奥数之格点型面积求解模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断 【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形⑴⑵⑶⑷4-2-7.格点型面积例题精讲毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-．【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑴是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑴是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)； 图⑴是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑴是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑴是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑴，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑴，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑴、⑴也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑴15；图⑴10；图⑴15；图⑴12；图⑴18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形⑴的面积是：6226⨯÷=；直角三角形⑴的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（） (面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )． 【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！ 在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ⑴12L =；10N =，⑴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑴ ⑴10L =；16N =，⑴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；（1）（2）（3）（4）⑴ ⑴6L =；12N =，⑴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑴ ⑴10L =；13N =，⑴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑴ 20；⑴14；⑴17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)．【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（） (面积单位)．【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和①的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】 ⑴的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，⑴的面积也为3223⨯÷=。
初中数学综合实践活动教案
数学活动课题：数格点算面积一、活动目标(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律；(2) 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识（3）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。
三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。
四、活动过程：本活动分为三个阶段第一阶段：课前活动一．概念认识格点多边形：方格网中的每个交点叫做格点（如左图中的点A、B、C、D、E…）.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)凸多边形与凹多边形：如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形.二．自主探究1．求下列多边形的面积2．我们设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，写出下图中3．仿照2中的图在网格纸上画出符合条件的不同．．1）画2个满足条件N=0的格点多边形，求出它们的面积S2) 画2个满足条件N=1的格点多边形，求出它们的面积S3) 画2个满足条件N=2的格点多边形，求出它们的面积S第二阶段课内活动一．对第一阶段活动的再认识1．认识格点多边形2．识别凹、凸多边形3．归纳格点多边形面积的求法4．会数格点多边形边上及内部的格点数二．探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一探究N=0的格点多边形中S与L之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=0的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？活动二探究N=1的格点多边形中S与L之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=1的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系？活动三探究N=2的格点多边形中S与L之间的关系（展示所画不同类型图形）活动四自主探究N=3时S与L之间的关系1．示范引领：画N=3的格点多边形2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S与L之间的关系活动五猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S 与L之间的关系活动六归纳分析S、N、L三者关系三．规律的应用求下列多边形的面积四．共同交流课内活动体会第三阶段课后活动活动一填写活动评价报告数学综合实践活动评价报告。
初中数学精品课件：《格点多边形的面积计算》
格点多边形的面积计算
如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格 子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形.
1.怎么计算格点多边形的面积？ 2.有没有更简便的方法呢？ 3.格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界 上的格点数有没有关系呢？
记S表示格点多边形的面积，a表示格点多边形内的 格点数，b表示格点多边形边界上的格点数.
3
4
3
5
3
6
3
7
模型：S=0.5b+2
④ 面积S
4 4.5 5 5.5
内部格点数a
0每 1增 2加
1 3
边界格点数b b b b b
面积S
S=0.5b-1 增 S=0.5b 加 S=0.5b+1 1
S=0.5b+2
归纳：S=a+0.5b-1（其中S表示格点多边形的面 积，a表示格点多边形内的格点数，b表示格点多 边形边界上的格点数.）
0
8
模型：S=0.5b-1
④
面积S
0.5 增
加
10 1.5 . 35
活动二 当a=1时，请你作出三至四个边界格点数不 同的格点多边形，再进行归纳、猜想和建模.
温馨提醒：你可以先暂停一下， 等你在你的方格纸上做出了符合 要求的格点多边形，再开始观看.
①
②
③
④
图形序号 ① ② ③ ④
内部格点数a 边界格点数b
1
4
1
5
1
6
1
8
模型：S=0.5b
面积S 2 2.5 3 4
活动三 当a=2时，请你作出三至四个边界格点数不 同的格点多边形，再进行归纳、猜想和建模.
数学实践活动教案10数格点算面积
初中数学实践课教案10 课题数格点算面积一、活动目标(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律；(2) 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识（3）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。
三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。
四、活动过程：本活动分为三个阶段第一阶段：课前活动一．概念认识格点多边形：方格网中的每个交点叫做格点（如左图中的点A、B、C、D、E…）.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)凸多边形与凹多边形：如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形.二．自主探究12．我们设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数ab为L ，写出下图中格点多边形的N 、L3．仿照2中的图在网格纸上画出符合条件的不同．．格点多边形 1）画2个满足条件N=0的格点多边形，求出它们的面积S2) 画2个满足条件N=1的格点多边形，求出它们的面积S3) 画2个满足条件N=2的格点多边形，求出它们的面积S第二阶段 课内活动一．对第一阶段活动的再认识1．认识格点多边形2．识别凹、凸多边形3．归纳格点多边形面积的求法4．会数格点多边形边上及内部的格点数二．探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一 探究N=0的格点多边形中S 与L 之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=0来吗？活动二 探究N=1满足N=1活动三 探究N=2的格点多边形中S 与L 之间的关系（展示所画不同类型图形）观察上表，你又有了什么发现？活动四 自主探究N=3时S 与L 之间的关系1．示范引领：画N=3的格点多边形2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S 与L 之间的关系活动五 猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S 与L 之间的关系活动六 归纳分析S 、N 、L 三者关系121-+=N L S三．规律的应用求下列多边形的面积四．共同交流课内活动体会。
巧用皮克定理求格点上的多边形面积
巧用皮克定理求格点上的多边形面积
皮克定理是一个非常有用的数学定理，它可以帮助我们计算平面上的多边形面积。
这个定理的基本思想是，如果我们知道了一个多边形的顶点都在格点上，那么我们就可以用这个定理来计算它的面积。
皮克定理的表述非常简单：如果一个多边形的顶点都在格点上，那么它的面积可以表示为：
S = i + b/2 - 1
其中S是多边形的面积，i是多边形内部的格点数，b是多边形边界上的格点数。
这个公式非常容易理解，因为它的意思是，多边形的面积可以看作是内部格点数和边界格点数的和减去一个常数。
为了更好地理解这个公式，我们可以考虑一个简单的例子。
假设我们有一个正方形，它的顶点都在格点上。
这个正方形的边长为4，因此它的面积为16。
现在我们来计算一下这个正方形的内部格点数和边界格点数。
首先，我们可以看到正方形的内部有一个格点，因此i=1。
其次，正方形的边界上有12个格点，因此b=12。
将这些值代入公式中，我们可
以得到：
S = i + b/2 - 1
= 1 + 12/2 - 1
= 6
这个结果与我们预期的相符，因为正方形的面积为16，而我们计算出来的面积为6，正好是16的三分之一。
当然，皮克定理不仅适用于正方形，它同样适用于任何顶点都在格点上的多边形。
因此，如果我们想计算一个任意多边形的面积，只需要先确定它的顶点都在格点上，然后就可以用皮克定理来计算它的面积了。
总的来说，皮克定理是一个非常有用的数学定理，它可以帮助我们计算平面上的多边形面积。
虽然它的表述非常简单，但它的应用却非常广泛，因此我们应该好好掌握它。
七年级下数学拓展课——数格点算面积
当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理 解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化 简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是 一个更简单的问题。
——希尔伯特
再见！
的格点数，那么有 S 2 N L 2
A
即：格点多边形面积等于图形内部所包含
格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
C
B
B
(a)
巩固：
1、求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴” 成面积为1的等边三角形)．
⑴
⑵
⑶
⑷
2、把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然
后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已 知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积 是______平方分米．
D
添补法：把不规则图形周围添
补上规则的小图形转化一个规
则的大图形，使总面积便于计
算。
（1）求下列多边形的面积
（2）不妨设S---格点多边形的面积，N--多边形内部的格 点数，L--它的边上的格点数，那么S、N、L三者之间有没 有关系呢？
图形序号 S N L
① 104
② 2.5 1 5
③
42 6
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动五 猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S与L 之间的关系 活动六 归纳总结：格点多边形中S与L之间的关系
S N L 1 2
通过上面的探究，我们发现，这种格点多边形的面积计 算起来很方便，只要数一下图形边线上的格点的数目及图形 内部的格点的数目，就可用公式算出。
格点与面积公式
格点与面积公式数学是一门美妙的学科，它以精密的符号和准确的逻辑构成了一幅绚丽的画卷。
格点与面积公式便是其中的亮点之一，它们可以让我们对平面几何的结构和形式进行深入的探究。
在接下来的文章中，我们将对这两个概念进行详细的介绍和解析。
一、格点格点是平面上的一个十字交叉点，它的坐标通常用整数来表示。
我们可以将平面上的许多点组成一个格点图形，其中每个小正方形都是一个单独的格点。
这样的图形拥有明显的规则性和对称性，从而更容易被我们处理和分析。
在许多数学问题中，格点的定位和计算是非常重要的。
例如，在计算多边形内部的点数时，我们需要使用格点计数法，在寻找最短路径时，也需要用到最短路算法中的格点概念。
二、面积公式面积公式是平面几何中最基础和最重要的概念之一。
在不同的情境下，我们有多种面积公式可以使用。
其中最常见的有以下几种：1. 三角形面积公式： S = 1/2 * b * h，其中b为底边长，h为高。
2. 矩形面积公式：S = a * b，其中a和b分别为矩形的两条相邻边长。
3. 梯形面积公式：S = (a + b) * h / 2，其中a和b为梯形的两个底边长，h为高。
4. 圆的面积公式：S = π * r^2，其中π为圆周率，r为半径。
这些面积公式在我们日常生活和学术研究中都经常运用，它们是对平面几何形体面积的基本刻画和描述。
三、格点与面积公式的关系格点与面积公式可以相互结合，从而给我们带来更多的数学启示和理解。
例如，在计算一个多边形内部格点数时，我们既可以使用格点计数法，也可以根据多边形的面积和边界轮廓来计算。
此外，格点与面积公式也常常应用于数学竞赛中的难度较高的题目。
在解决这些问题时，我们需要有系统的数学思维和灵活的运算能力，从而才能得出正确的结论。
总之，格点与面积公式是平面几何中极具特色和魅力的概念，它们为我们开启了一扇通向无限数学世界的大门。
希望读者可以在这些概念的引领下，不断深入探究，开拓思维，从而更好地理解和应用数学知识。
数格点算面积
L＝6 N＝7 S＝9
L＝8 N＝5 S＝8
把一个多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所
得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形；
把一个多边形的一边向两方延长，如果其他各边分别位于延长 所得直线的两旁，这样的多边形叫做凹多边形.
活动七
请你在下面的网格中画出一个S＝9，N＝6的
格点多边形．
哥哥说：“我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一圈有17 棵树，弟弟的面积大！”
弟弟说：“我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵树， 哥哥的面积大！”
预备知识
如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行 线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点.如果 一个多边形的顶点都在格点上，那么多边形叫做格点多 边形.
A E
B
C
S=
1 2
D
L＋N－1
奥地利数学家皮克（Georg Alexander Pick，1859～1943）在1899年
发现了上述公式，并进行了证明.这个公式被称为“皮克定理”，该定理
被誉为有史以来“最重要100个的数学定理”之一.
活动六
请你在下面的网格中设计一个格点多边形，并利用上述定理 求出各格点多边形的面积．
0 0 0
③
边上格点数L 面积S
4
1
6
2
8
3
活动二 探究N＝1的格点多边形的S与L之间的数量关系．
① 图形序号
① ② ③
② 内部格点数N
1 1 1
③
边上格点数L 面积S
4
2
5
2.5
9
4.5
活动三 探究N＝2的格点多边形的S与L之间的数量关系．
① 图形序号
数格点_算面积
请把自己的 想法说给同 学听听。
Ⅰ Ⅳ ⅡⅢ
如右图将图形分割成
4块进行计算
解：把图形分割成如下图所示的四块：
图形Ⅰ的面积是：3；图形Ⅱ的面积是：3；
图形Ⅲ的面积是：3；图形Ⅳ的面积是：9。
∴图形ABCDE的面积为3+3+3+9=18。
试一试：
如下图，一个三角形的面积为1，计算ABCDE的面积多少？
O
如果第一步为“左”或“右”，那么转 A
B
化为第（ 1）题，各有 6种路线。一共是
8+6×2=20（种）。
S ABCD
第二层：凹多边形
自主探索：
下图是一个 10×10的正方形，求正方形内的四
边形的面积是多少？
因为ABCD不是凸四边形，所以
请把自己的想 法说给同学听 听。
如在原题图上取格点E，则三角形BCE 及四边形AECD就都是凸的图形了。
②用拼割方法得：ABCD的面积=长方形的面积-四角上的四个
三角形的面积=96-(622+332+432+452)=54(6+4.5+6+10)=27.5
(面积单位)
H
B
G
A
E
D
F
2、下图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗” 多占的面积是几？
解：图形内部格点数 为59，图形周界上格 点数为 19。所以图形 的面积为： 59+19÷2-1=67.5( 面 积单位)。
（1）19 解：由三角形格点面积公式得， n=8，m=5。
A
E
解：因为不是凸四边形，所
以如在原题图上取格点，则
三角形及四边形都是凸的图
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巧用“格点”算面积
请你算一算下面各图的面积：（为了计算的方便，我们把图中相邻两个点之间的距离看作是1个长度单位，把相邻4个点连线后得到的正方形的面积看成是1个面积单位。
）
这里一共有6张图，估计大家利用计算公式可以很方便地算出图1和图3的面积。
图1面积长×宽：7×3=21，图3面积长×宽÷2：5×4÷2=10。
但其它的几张图就不能直接算了。
你有没有发现，这些图都是画在格点图上的，利用这些格点，我们就可以很轻松地算出所有图形的面积了。
格点面积=内部格点数+周界格点数÷2－1。
还是拿图1和图3举例。
图1面积：12＋20÷2－1=21；图3面积：7＋8÷2－1=10。
计算的结果和我们刚才用面积计算公式的结果是一样的。
那你现在是不是也可以用这个新的公式来算算其它几张图的面积了呢？
哈哈，其实这个新公式并不是我的发明，它的名字叫“毕克定理”。
利用该公式计算格点面积时，不必考虑这是一个什么图形，而是直接利用它就可以算出各种图形的面积了。
是不是很方便啊？。
毕克定理
巧用毕克定理妙解格点面积
上星期在上数学奥数的时候，发现其中的小狗图学生理解比较难，解题比较复杂。
所以我特意加了一节课，让学生对格点面积有个更清楚的认识，学会这类图形面积的计算。
在正方形的方格纸中．每个小方格的顶点叫做格点，这样就建立了一个方格网，方格网中任意两个相邻的交点间的距离均为一个单位．如果方格网中有一个多边形，它的每个顶点均为格点。
那么这个多边形叫做格点多边形。
这种格点多边形的面积计算我们使用毕克定理来计算很方便．
格点面积=内部格点数+周界格点数除以2再减1
注意点:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心.。
格点面积公式推导过程
格点面积公式推导过程格点面积公式是用来计算平面上格点所围成的多边形面积的公式。
其推导过程可以参考以下内容：1. 基本概念：- 格点：平面上的一个点，具有固定的坐标，可以用整数坐标表示。
- 多边形：由若干个边相连的封闭图形。
- 顺时针和逆时针方向：以多边形内部为参考，依次沿多边形边界移动的方向。
2. 推导过程：假设有一个多边形由 n 个格点组成，其顶点坐标分别为P1(x1, y1), P2(x2, y2), ..., Pn(xn, yn)，以及其逆时针方向。
- 计算多边形面积的方法之一是分割成若干个三角形，并计算每个三角形的面积，然后累加得到最终面积。
由于多边形是由整数坐标表示的格点构成的，因此分割成三角形时，三角形的底边一定为横坐标或纵坐标之差为1。
所以我们只需要考虑底边为横坐标之差为1的三角形。
- 对于底边为横坐标之差为1的三角形，它的高可以通过格点的纵坐标之差来计算。
假设底边为 P(i, j) 到 P(i+1, j) 之间的边，其中 i 和 j 分别为两个格点的横、纵坐标。
由于顶点坐标为整数，底边长度为1，所以该三角形的面积可以表示为该三角形底边上格点之间的垂直距离的累加。
- 对于逆时针方向的多边形，三角形底边从左到右遍历，垂直距离可以累加获得。
- 根据以上推导，多边形的面积可以通过以下公式计算：面积 = sum{ (x(i+1) - x(i)) * (y(i+1) + y(i)) / 2 }，i = 1, 2, ...,n-1其中，x(i) 和 y(i) 分别表示第 i 个格点的坐标。
3. 示例：假设有一个由四个格点(0,0), (1,0), (1,1), (0,1) 所围成的矩形，则其面积可以通过以上公式计算：面积 = (1-0) * (0+0)/2 + (1-1) * (0+1)/2 + (0-1) * (1+1)/2 + (0-0) * (1+0)/2 = 1通过以上推导过程，我们可以得出格点面积公式，并用于计算平面上格点所围成的多边形面积。
格点求面积公式(一)
格点求面积公式(一)
格点求面积公式
1. 矩形格点面积公式
对于平面上的矩形格点区域，面积可以通过格点的个数来计算，
公式如下：
Area=(n+1)×(m+1)
其中，n表示矩形格点区域的纵向格点数，m表示矩形格点区域的横向格点数。
例子：假设有一个长为3，宽为4的矩形格点区域，即n=2，m=3。
根据公式计算可得：
Area=(2+1)×(3+1)=9
所以，该矩形格点区域的面积为9个格点。
2. 正方形格点面积公式
对于平面上的正方形格点区域，面积也可以通过格点的个数来计算，公式如下：
Area=(n+1)2
其中，n表示正方形格点区域的边长。
例子：假设有一个边长为5的正方形格点区域，即n=4。
根据公式计算可得：
Area=(4+1)2=25
所以，该正方形格点区域的面积为25个格点。
3. 三角形格点面积公式
对于平面上的三角形格点区域，面积同样可以通过格点的个数来计算，公式如下：
Area=(n+1)×(m+1)
2
其中，n表示三角形格点区域的高度（即底边上的格点数），m表示三角形格点区域的宽度（即最长斜边上的格点数）。
例子：考虑一个高度为3，宽度为4的三角形格点区域，即n=2，m=3。
根据公式计算可得：
$Area = = = $
所以，该三角形格点区域的面积为个格点。
以上就是几种常见的格点求面积公式，根据不同形状的格点区域，我们可以利用相应的公式来计算其面积。
八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解格点的概念，掌握格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点；
2.学会利用格点计算多边形面积的方法，特别是不规则多边形的面积计算；
3.能够运用三角剖分、拼凑等方法将复杂多边形转化为简单多边形，从而求解其面积；
4.掌握计算多边形面积的公式，如海伦公式、向量叉乘等，并能够灵活运用；
教学活动：使用多媒体动画演示格点多边形的形成过程，结合实物模型，让学生直观地理解多边形的构成。
3.设想三：采用分组讨论、合作探究的方式，引导学生发现并总结多边形面积计算的方法。
教学活动：设计具有挑战性的问题，让学生分组讨论、合作探究，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队协作能力。
4.设想四：设计丰富的例题和练习，巩固提高作业：选取一道生活中的实际问题，如测量不规则地块的面积，运用所学知识进行计算，并撰写解题报告。报告内容包括问题背景、解决方法、计算过程和结果。
3.创新作业：鼓励学生尝试编写一个程序（如使用Scratch、Python等编程语言），实现格点多边形面积的计算。此作业旨在培养学生的编程兴趣和跨学科综合运用能力。
（二）讲授新知
1.教学活动一：讲解格点的概念及基本性质
从定义入手，详细讲解格点的概念，并通过示例说明格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点。
2.教学活动二：介绍多边形面积计算方法
以具体的图形为例，讲解如何利用格点计算多边形面积，特别是不规则多边形的面积计算方法，如三角剖分、拼凑等。
3.教学活动三：推导面积计算公式
3.教学活动三：小组代表展示讨论成果
每个小组选派一名代表，展示他们的讨论成果，分享解题思路和经验。
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的正确性？
问题情境
L=15；L ，红色多边形的 S较大？ N=17 =17 ，S=7.5+17-1=23.5 L S=8.5+16-1=23.5 N=17 =17； ；N N=16 =16， ，黄色多边形的 S较大？
活动小结
拓展研究
如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是 1，那么还 能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
0 0 0 0
3 4 5 6
0.5 1 1.5 2
1 S= 2 L－1
探究开始啦！
猜想归纳
Ｎ＝０
Ｎ＝１ Ｎ＝２
Ｎ＝３
S=
1 Ｓ＝ 2 L 1 1 Ｓ＝ L＋０ 2 1 Ｓ＝ L 1 2 1 Ｓ＝ 2 L 2
1 L N 1 2
验证猜想
你将如何验证归纳所得
S=
1 L N 1 2
☆ 1889 年发现了 S 、 L 、 N 三者数量关 系的“皮克公式”，并进行了证明，得 到“皮克定理”。
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最重要 100 个数学定 理”之一。
活动任务
设格点多边形的面积为S，它的边上的格 点数为L，内部的格点数为N。
探究S与L、N之间的数量关系。
探究模拟
探究N=0的格点多边形中S与L之间的数量关系
拓展研究
如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1 ， 那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
八年级数学实验课
数格点 算面积
连云港市新海实验中学 姜晓刚
预备知识
格点多边形的面积记为 S 格点多边形的边上的格点 的数量记为L 格点多边形的内部的格点 的数量记为NFra bibliotek问题情境
L=15；L=17，红色多边形的S较大？
N=17；N=16，黄色多边形的S较大？
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。