利息理论3.ppt

时间流程图(现金流图）time diagram
➢ 用一条直线表示时间（从左到右），刻度 为实现给定的时间单位
➢ 发生的现金流量写在对应的时间点 ➢ 标识比较时间点 ➢ 注：时间流程图对于资金流动频繁的复杂
情况和建立价值方程有帮助。
例 ： 某 资 金 账 户 现 金 流如 下 ： 在 时 刻0有100元 资 金 支 出 ， 在 时 刻5有200元 资 金 支 出 ， 在 时 刻10有 最 后 一 笔 资 金 支 出 ； 作 为 回 报 ， 在 时 刻8有 资 金 收 回600元 。 假 定 半 年 换 算 名 义 利 率 为8％ ， 试 计 算 时 刻10的 支 出 金 额 大 小 。
➢ 考虑利息问题时，货币具有时间性，具有 “货币的时间价值”（time value of money)
➢ 不同时刻的货币量无法直接比较大小，必须 将这些量经过累积或折现到某个共同日期（比
较时刻点，可比时刻点comparison date）
➢ 建立计算方程“价值方程”（equation of value)
a(t) e , 0trdr A(t) A(0)e0trdr
lim i(m)
m
lim d ( p)
p
n
0 A(t ) tdt
A(n) A(0)
例：求单利i 下在时刻 t 的利息力。
解：a(t) 1 it,
t
a' ( t ) a( t )
i 1
it
例：求复利 i 下在时刻 t 的利息力。 解：a(t) (1 i)t ,
X 186.76元
结论：不同比较日的价值方程的计算结果相同。
对于复利，时刻点的选择结果相同。单利情况是不同的。
时间问题的求解
例1：以每月计息的年利率12%，投资1万元，欲积累到3万元， 需几年时间？
解：由题意10, 000(1 i)n 30, 000， 已知i(12) 12%,于是10, 000(1 i（12）)12n 30, 000
解：A(10) A(0)a(10),
A(0) 1000, a(10) e0.0510 e0.5
于是A(10) 1000e0.5 $1649
例 ： 基 金F以 息 力函 数t
1
1
t
,(t
0)累 积 ； 基 金G以 息 力
函 数t
4t 1 2t2
,(t
0)累 积 。 分 别 用aF
(t)和aG (t)表 示 两个
投资5年的积累值。
利息问题求解
➢ 有关利息计算的基本要点 (1) 投资开始时的现值（货币） (2) 投资经过的时间 (3) 利息的度量方式 (4) 投资结束时的终值（货币） ➢ 关键：其中任何三个值都可以确定第四个
值。 ➢ 关注：资金的流入和流出以及对应的时间
点，利息的度量
Q:多笔金融业务发生在不同时刻，如何统一处理？
1
d ( p) p[1 (1 d ) p ]
几种率之间的关系
(1
i(m) m
)m
1
i
(1
d )1
1
d( p) p
p
m, p 1
利息力
t
a( t ) a(t)
A( t ) A( t )
t 表示单位本金的资金改变率
已知a(t)或A(t), 可求得息力t .
已知息力t , 如何求得a(t)或A(t)？
回顾：利息的度量方式
➢ 实际利率和实际贴现率 ➢ 名义利率和名义贴现率 ➢ 等价的率
名义利率与等价的实际利率有如下关系：
i(m)和i对应的标准度量期相同。
(1)i
1
i(m) m
m
1
(2)i(m)
m(1
1
i)m
Байду номын сангаас 1
名 义 贴 现 率 与 等 价 的 实际 贴 现 率 的 关 系 ：
1 d [1 d ( p) ]p ( p 1) p
基 金 在时 刻t(t 0)的 累 积函 数 ， 令 ：h(t) aF (t) aG (t),
问 何 时h(t)达到最大值，并求最大值 。
t
解：a(t ) e 0sds
于是aF (t)
e 0t
1 1
s
ds
1t
aG (t)
e 0t
4s 12s2
ds
1 2t2
根据定义，h(t) t 2t2 h'(t) 1 4t,
半年的实际利率为4%
选取不同的比较日t 建立价值方程： t 0, t 5, t 10
1)t 0 100 200v10 Xv20 600v16
X 186.76元
2)t 5
100(1 i)10 200 Xv10 600v6
X 186.76元
3)t 10
100(1 i)20 200(1 i)10 X 600(1 i)4
12 解得 n 9.2年 例2：在给定利率下，求货币价值增加一倍的时间间隔？
解：由题意（1 i)n 2 n ln 2 ln(1 i)
有些时候也会采用“72算法"rule of 72.
例2：在给定利率下，求货币价值增加一倍的时间间隔？
n ln 2 ln 2 • i 0.6931 • 0.08 ln(1 i) i ln(1 i) i ln(1 0.08)
a'(t) (1 i)t ln(1 i)
t
a' ( t ) a( t )
ln(1 i)
计作常数
一般考虑复利下：
t ln(1 i) a(t) e 0t rdr e t
i e 1
1 i e
例: Find the accumulated valueof $1000 investedfor ten yearsif the force of interestis 5%.
2
A(2) A(0)e0 tdt 1000e0 0.01tdt 1020.2元
I2 A(2) A(1) 15.2元
t
1
2
n
(2)a(n) e0 sds e 0 sds 1 sds
n1
s
ds
a(n) e12 n
作业
1.练习题：T7,T9
2.补充：确定10000元分别按(1) =5%(2)t 0.05(1 t)2
t 1 , h( 1 ) 1 448
练习
(1)t 0.01t,(0 t 2),求1000元本金一年末的积累值
以及第二年内的利息。
(2)t n ,(n 1 t n),求累积函数a(n)。
1
1
解答：（1）A(1) A(0)e0 tdt 1000e0 0.01tdt 1005元
2