数学分析泰勒公式(一)
泰勒公式
第一章引言泰勒公式是数学分析和高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其它数学问题的有力杠杆。
本文以大量的例题进行讲解说明。
第二章 预备知识2.1泰勒()Taylor 多项式和泰勒系数()20000000()()()()()()()()1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数()f x 在点0x 处的泰勒多项式，()0()!k f x k (1,2,,)k n = 称为泰勒系数。
2.2带有佩亚诺型余项的泰勒公式2.21带有佩亚诺型余项的泰勒公式和佩亚诺型余项()200000000()()()()()()()()(())1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n '''=+-+-++-+- (1)称为函数()f x 在点0x 处的泰勒公式，()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式的余项，形如0(())n x x - 的余项称为佩亚诺型余项，所以(1)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。
2.22（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式泰勒公式(1)在00x =时的特殊形式：()2(0)(0)(0)()(0)()1!2!!n nn f f f f x f x x x x n '''=+++++称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式。
2.23常用的（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式)(!212n nxx n x x x e +++++=)()!12()1(!3sin 121213+--+--++-=n n n x n x x x x)()!2()1(!21cos 1222++-++-=n n n x n x x x )(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x++--+-++=+ααααααα)()1(2)1ln(12n nn x nx x x x +-++-=+- 211()1n n x x x x x=+++++- 2.3带有拉格朗日型余项的泰勒公式2.31带有拉格朗日型余项的泰勒公式和拉格朗日型余项()(1)21000000000()()()()()()()()()(())()1!2!!(1)!n n n nn f x f x f x f f x f x x x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+-+ （2） 其中00()x x x ξθ=+-(01)θ<< 称为函数()f x 在点0x 处的泰勒公式，(1)10()()()()()(1)!n n n n f R x f x T x x x n ξ++=-=-+，其中00()x x x ξθ=+-(01)θ<<称为拉格朗日型余项，所以（2）式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
高中泰勒公式展开式大全
高中泰勒公式展开式大全
高中数学中，泰勒公式是一种重要的数学工具，用于将一个函数在某一点附近展开成无限项的幂级数。
它在数学分析、微积分等领域有着广泛的应用。
下面将为大家介绍一些常见的高中泰勒公式的展开式。
1. 正弦函数展开式：
正弦函数的泰勒展开式可以写成：
sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...
2. 余弦函数展开式：
余弦函数的泰勒展开式可以写成：
cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...
3. 自然指数函数展开式：
自然指数函数的泰勒展开式可以写成：
e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...
4. 对数函数展开式：
对数函数的泰勒展开式可以写成：
ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...
这些展开式在高中数学中经常用到，可以用来近似计算复杂的函数值。
通常情况下，展开式的前几项会给出较为准确的结果，而随着项数的增加，近似的精度也会提高。
需要注意的是，泰勒展开式只在展开点附近有效，当离展开点越远，近似的精度就会变得越低。
因此，在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的展开点和合适的项数，以得到满意的近似结果。
以上是一些常见的高中泰勒公式的展开式，通过学习和理解这些展开式，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力。
泰勒公式及其应用
本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：泰勒公式及其应用****：***学号： **********专业：信息与计算科学班级：计科1301****：***完成时间：2014年7月20日泰勒公式及其应用摘要在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用目录序言 (1)一、泰勒公式 (1)（一）定义 (1)（二）余项 (1)1.佩亚诺(Peano）余项 (1)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项 (2)3.拉格朗日（Lagrange）余项 (2)4.柯西（Cauchy）余项 (2)5.积分余项 (2)（三）推导过程 (2)1.展开式 (2)2.余项 (3)二、泰勒公式的应用 (5)（一）实例 (5)1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (5)2.利用泰勒公式进行近似值计算 (6)3.利用泰勒公式求极限 (6)4.利用泰勒公式证明不等式 (7)5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 (8)6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (9)7.利用泰勒公式判断函数的极值 (9)8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (10)9.利用泰勒公式进行近似计算 (10)10.利用泰勒公式解经济学问题 (11)三、实践总结 (12)参考文献 (13)序言在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
作为数学系的学生，我认为掌握泰勒公式及其应用是非常有必要的。
本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。
对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。
对数函数的泰勒公式
对数函数的泰勒公式对数函数是数学中常见的一类函数，用来描述指数运算的反函数关系。
在数学分析中，我们可以通过泰勒公式来近似地表示对数函数。
泰勒公式是一种通过多项式逼近函数的方法，它将一个函数在某一点处展开成多项式的形式，并利用多项式来近似原函数的值。
对数函数的泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)表示对数函数的值，f'(x)表示对数函数的导数，a表示泰勒公式展开的中心点。
对于对数函数来说，它的导数有一个特殊的性质，即导数的值与函数的值是相等的。
也就是说，对数函数的导数等于它自身。
这个性质使得对数函数在泰勒公式中的展开非常简单。
以自然对数函数ln(x)为例，它的导数等于它自身，即ln'(x) = ln(x)。
因此，对于ln(x)来说，泰勒公式可以简化为：ln(x) = ln(a) + ln(a)(x-a) + ln(a)(x-a)^2/2! + ln(a)(x-a)^3/3! + ...这个泰勒公式可以用来近似计算ln(x)的值。
通过选择合适的展开点a，可以使得泰勒公式的近似效果更好。
通常情况下，我们会选择a=1，因为ln(1)等于0，这样可以简化计算。
通过不断增加泰勒公式的项数，我们可以得到对ln(x)的更精确的近似。
当项数无限增加时，泰勒公式可以完全表示ln(x)。
但在实际计算中，我们通常只取前几项来近似计算，因为计算机的计算能力是有限的。
除了ln(x)之外，其他对数函数，如以10为底的对数函数log(x)，以及以其他任意正数为底的对数函数loga(x)，也可以使用泰勒公式来进行近似计算。
它们的泰勒公式的形式与ln(x)类似，只是展开点a和系数不同而已。
总结起来，对数函数的泰勒公式是一种近似计算对数函数值的方法。
2024考研数学常见泰勒公式展开式
2024考研数学常见泰勒公式展开式泰勒公式是数学分析中的一个重要定理，它给出了一个函数在其中一点附近的多项式逼近。
它的形式如下：设函数f在点x=a处n+1次可导，则它在点x=a处的泰勒展开式为：\[f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)\]其中，Rn(x)为泰勒余项，余项有以下形式：\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]其中a<c<x为函数f在区间[a,x]上的其中一点。
常见的泰勒公式展开式如下：1.指数函数的泰勒展开式：\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n! }+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=\frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}\]2.正弦函数的泰勒展开式：\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=(-1)^n\frac{\cos c}{(2n+2)!}x^{2n+2}\]3.余弦函数的泰勒展开式：\[\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=(-1)^n\frac{\sin c}{(2n+1)!}x^{2n+1}\]4.自然对数函数的泰勒展开式：\[\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=(-1)^n\frac{(1+c)^{-n}}{n+1}x^{n+1}\]5.三角函数的泰勒展开式：\[\begin{align*} \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad \text{(奇次项展开式)} \\ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \quad \text{(偶次项展开式)} \end{align*}\]除了上述常见的泰勒展开式之外，还有一些其他函数的泰勒展开式，如二次函数、指数对数混合形式等，这些展开式在不同的数学问题中有着重要的应用。
数学分析泰勒公式
数学分析泰勒公式泰勒公式是数学分析中的重要定理之一，它描述了一个函数在特定点附近的局部行为。
泰勒公式的内容非常丰富，有多个版本，包括泰勒级数展开、拉格朗日余项等等。
本文将主要介绍泰勒公式的一般形式及其应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，在(a,b)内存在一点c，那么对于(a,b)内的任意x，都存在一个介于x和c之间的点ξ，使得f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中f'(c)表示f(x)在点c处的一阶导数，f''(c)表示f(x)在点c处的二阶导数，依此类推，f⁽ⁿ⁾(c)表示f(x)在点c处的n阶导数。
R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是泰勒公式的余项，用于估计f(x)与泰勒级数展开之间的误差。
其具体形式为：R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(x-c)ⁿ⁺¹/(n+1)!*f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)其中ξ位于x和c之间。
泰勒公式的一般形式给出了一个函数在特定点附近的局部近似表示。
当x靠近c的时候，余项R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)往往趋近于0，这意味着f(x)可以很好地由前面几项和来近似表示。
特别地，当n较大时，泰勒公式给出了一个无穷级数展开，称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开形式如下：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+...通常将f(x)在c处展开的泰勒级数称为f(x)的泰勒级数展开式，并记作：f(x)=Σf⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!泰勒级数展开具有很好的性质，例如，它可以用于计算函数在特定点的值、求函数在特定点附近的最值、近似求解方程等等。
例如，对于常见的指数函数、三角函数、对数函数等，它们可以通过泰勒级数展开来进行计算和近似。
泰勒公式
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
(2021年整理)泰勒公式的证明及应用(1)
泰勒公式的证明及应用(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（泰勒公式的证明及应用(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为泰勒公式的证明及应用(1)的全部内容。
一．摘要 (3)前言 (3)二、泰勒公式极其极其证明…………………… ……。
.3（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3)（二)带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4)(三)带有柯西型余项的泰勒公式 (5)(四)积分型泰勒公式 (6)(五)二元函数的泰勒公式.......................................。
.7三、泰勒公式的若干应用 (8)(一）利用泰勒公式求极限 (8)（二）利用泰勒公式求高阶导数 (9)（三）利用泰勒公式判断敛散性 (10)（四）利用泰勒公式证明中值定理 (12)（五）利用泰勒公式证明不等式 (13)（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15)（七)利用泰勒公式研究函数的极值 (16)四、我对泰勒公式的认识 (16)参考文献 (17)英文翻译 (17)Taylor 公式的证明及应用【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用.在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。
在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。
并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数1、常见Taylor 公式定义及其证明我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式.定义:设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式,称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。
数学分析1教案泰勒公式
数学分析1教案泰勒公式§3.泰勒公式[教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。
[教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。
（3）会用带Taylor 型余项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。
[教学重点]Taylor 公式[教学难点]Taylor 定理的证明及应用。
[教学方法]系统讲授法。
[教学程序]引言不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。
一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点0x可导，则有有限存在公式；0000((((0。
fxfxfxxxxx'=+-+-即在0x附近，用一次多项式1000((((pxfxfxxx'=+-逼近函数f(x)时，其误差为00(xx-。
然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00(xx-，其中n为多项式次数。
为此，有如下的n次多项式：0100(((nnnpxaaxxaxx=+-++-易见：00(napx=，01(1!npxa'=，02(2!npxa''=，…，(0(!nnnpxan=（多项式的系数由其各阶导数在0x的取值唯一确定）。
对于一般的函数，设它在0x点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下：(00000((((((1!!nnnfxfxTxfxxxxxn'=+-++-称为函数f在点0x处泰勒多项式，(nTx的各项函数，(0(!kfxk（k＝1,2,…,n）称为泰勒系数。
泰勒公式
f
(k )
(k = 0 , 1 , 2 , … , n) (0) sin(x k ) 2 x 0
k si n 2
0 ,
k = 2m
(－1)m , k = 2m+1
数学分析（上）
可得
x sin x x 3!
3
3
(1)
5
n 1
x n cos x 2 n 1 (1) x (2n 1)! (2n 1)!
数学分析（上）
x 0 I， 设 f ( x ) 在区间 I 上具有 n+1 阶导数，
多项式 ( n) f ( x0 ) n Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n! 称为 f ( x )在x0处 n次Taylor多项式,公式(1)称为 f ( x ) 按 ( x x0 ) 的幂展开的 n阶泰勒公式， Rn ( x ) 称为拉格朗日型余项 . 注 1) n = 0 时 , 得到 Lagrange 中值定理 . 因此 Taylor公式是 Lagrange 定理的推广 . 2) n = 1 时 , 得到微分近似计算公式 .
2 n 1
x x sin x x 3! 5!
2 4
(1)
n 1
x 2 n 1 o x (2n 1)!
2n
2 n 1
x x n x 2 n 1 cos x 1 (1) o( x ) 2! 4! (2n)!
o( x )
数学分析（上）
Rn
( n 1 )
( x) f
( n 1 )
( x)
( n)
令 g（x）= ( x －x0 )n+1 , 则
数学分析课件：14-4泰勒公式
x x
y
2
y
f
( x0
tx,
y0
ty)
(k)(t)
x x
y k y
f
( x0
tx,
y0
ty)
带入（1）表达式即可.
定理4.3设函数f ( x1, x2 ,, xn )在点( x10 , x20 ,, xn0 ) 附近具有k 1阶连续偏导数，那么该点附近有：
f ( x10 x1, x20 x2 ,，xn0 xn ) f ( x10 , x20 ,，xn0 )
n i 1
xi
xi
f
(
x10 ,,
xn0
)
1 k!
n i 1
xi
xi
k
f
( x10 ,, xn0 )
Rk
其中
Rk
(k
1 1)!
n i 1
xi
xi
k1
f ( x10 x1,, xn0 xn ),
(0 1), 称为Lagrenge余项
引理14.1 设k, n是两个正整数，那么
(k
1 x 1)! x
y
k1
y
f
( x0
x,
y0
y)
(0 1)称为Lagrange余项.
x
x
y
p
y
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x0 ,
y0 )
p
C
i p
i0
p f x piyi
( x0 ,
y0 )(x) pi (y)i
证 令(t) f ( x0 tx, y0 ty), 则 (t)在t＝0处有Taylor 公式
泰勒公式的所有形式
泰勒公式的所有形式泰勒公式是数学分析中一个非常重要的概念，它可以将一个复杂的函数用一系列简单的多项式函数来近似表示。
下面咱就来好好唠唠泰勒公式的各种形式。
咱先从最常见的泰勒公式形式说起。
对于一个在某点具有足够阶导数的函数 f(x) ，它在点 x = a 处的泰勒公式可以写成：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a)/2!](x - a)^2 + [f'''(a)/3!](x - a)^3 +... + [f^(n)(a)/n!](x - a)^n + R_n(x)这里的 f^(n)(a) 表示 f(x) 在点 a 的 n 阶导数，n! 表示 n 的阶乘，R_n(x) 是余项。
给您举个小例子，比如说咱要研究函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开。
那先算导数，f'(x) = e^x ，f''(x) = e^x ，一直算下去会发现f^(n)(x) 还是 e^x 。
所以在 x = 0 处，f(0) = 1 ，f'(0) = 1 ，f''(0) = 1 ，依次类推，f^(n)(0) = 1 。
那它的泰勒展开就是：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +... + x^n/n! +...您看，这就把复杂的指数函数用简单的多项式给近似表示出来啦。
还有一种带佩亚诺余项的泰勒公式。
这种形式常用于求函数在某点的极限。
比如说，函数 f(x) 在点 x = a 处的泰勒公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a)/2!](x - a)^2 + [f'''(a)/3!](x - a)^3 +... + [f^(n)(a)/n!](x - a)^n + o((x - a)^n)这里的 o((x - a)^n) 就是佩亚诺余项。
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是数学中的一个重要概念，它可以用来表示函数在某一点的光滑性质。
通过泰勒公式，我们可以将一个复杂的函数表示为一个无穷级数的形式，这对于分析函数在某一点的性质和行为非常有帮助。
在本文中，我们将为您详细介绍泰勒公式的展开式，并给出一些常见函数的泰勒展开式的具体表达。
泰勒公式是一个非常重要的数学工具，它可以用来近似表示函数在某一点的取值。
泰勒公式的一般形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(x) \) 是要表示的函数，\( a \) 是展开点，\( f'(a) \) 是函数在点 \( a \) 处的一阶导数，\( f''(a) \) 是函数在点 \( a \) 处的二阶导数，以此类推。
通过泰勒公式，我们可以将函数 \( f(x) \) 在点 \( a \) 处展开为一个无穷级数的形式，这对于研究函数在该点的性质和行为非常有帮助。
接下来，我们将给出一些常见函数的泰勒展开式的具体表达。
1. 指数函数的泰勒展开式：指数函数 \( e^x \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ e^x = e^a + e^a(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \frac{e^a}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]2. 三角函数的泰勒展开式：正弦函数 \( \sin(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \sin(x) = \sin(a) + \cos(a)(x-a) \frac{\sin(a)}{2!}(x-a)^2 \frac{\cos(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots \]余弦函数 \( \cos(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \cos(x) = \cos(a) \sin(a)(x-a) \frac{\cos(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{\sin(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]通过以上的例子，我们可以看到泰勒展开式的具体表达形式。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。
泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。
本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。
这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。
2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。
它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。
这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。
2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。
本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。
3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。
3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。
知乎 中考公式 泰勒公式(一)
知乎中考公式泰勒公式(一)知乎中考公式什么是知乎中考公式？知乎中考公式是指在知乎中针对中学生参加中考所需掌握的数学公式的讨论与总结内容。
这些公式在中考中非常重要，理解并熟练运用这些公式可以帮助学生在数学科目上取得好成绩。
泰勒公式什么是泰勒公式？泰勒公式是一种用于数学分析的公式，它可以将一个函数在某一点的值表示为该点处的函数值、导数值、二阶导数值等的线性组合。
泰勒公式可以用于近似计算复杂函数的值，是高等数学中的重要工具之一。
泰勒公式的表达形式泰勒公式的一般表达形式如下：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+f‴(a)3!(x−a)3+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+R n(x)其中f(x)是待求函数，a是函数的展开点，f′(a)、f″(a)、f‴(a)等分别表示函数在展开点a处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n表示展开的阶数，R n(x)是泰勒公式的余项。
泰勒公式的应用举例例1：计算函数f(x)=sin(x)在x=0处的泰勒展开式，并利用泰勒展开式计算sin()的近似值。
解：根据泰勒展开式，我们需要求函数在x=0处的一阶导数、二阶导数等。
一阶导数f′(x)：f′(x)=cos(x)二阶导数f″(x)：f″(x)=−sin(x)代入泰勒公式，展开式为：sin(x)=sin(0)+cos(0)(x−0)+−sin(0)2!(x−0)2+⋯对于计算sin()的近似值，我们只计算到二阶导数：sin()≈0+1()+−12!()2计算得到：因此，sin()的近似值为。
例2：利用泰勒公式计算e的近似值。
解：在泰勒公式中，我们可以将函数f(x)=e x在x=0处展开，并利用展开式计算e的近似值。
一阶导数f′(x)：f′(x)=e x二阶导数f″(x)：f″(x)=e x代入泰勒公式，展开式为：e x=e0+e0(x−0)+e02!(x−0)2+⋯展开式可以简化为：e x=1+x+x22!+⋯当x=1时，展开式变为：e=1+1+12!+13!+⋯通过计算可以得到：因此，e的近似值为。
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式泰勒公式（Taylor Series）是数学分析中的一个重要工具，用于近似地表示一个函数在其中一点附近的值。
其基本思想是使用函数在其中一点的各阶导数来逼近函数的值。
泰勒公式的完整推导可以用数学归纳法证明，展开为一般形式为：\[f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)\]其中，\(f(x)\)是要近似的函数，\(a\)是近似的中心点，\(n\)是近似的阶数，\(f'(x), f''(x), \ldots, f^{(n)}(x)\)是函数在\(a\)点的各阶导数，\(R_n(x)\)是余项。
以下是几种常用的泰勒公式：1.一阶泰勒公式：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\]这是泰勒公式的最简单形式，将一阶导数乘以\(x-a\)，得到函数在近似点附近的一次线性逼近。
2.二阶泰勒公式：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\]在一阶泰勒公式的基础上，再加上二阶导数乘以\(\frac{(x-a)^2}{2!}\)，得到函数在近似点附近的二次二项式逼近。
3.三阶泰勒公式：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3\]在二阶泰勒公式的基础上，再加上三阶导数乘以\(\frac{(x-a)^3}{3!}\)，得到函数在近似点附近的三次三项式逼近。
泰勒公式
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
因为 Rn ( x) f ( x) Tn ( x)
R( k n
)
(
x)
f
(
k
)
(
x
)
T( n
k
)
(
x
)
所以
在近似计 算中的应用
Rn( x0 ) Rn ( x0 ) Rn(n)( x0 ) 0,
这也就是说, Tn( x) 是逼近 f ( x) 的最佳 n 次多项式.
在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形式
变为
f ( x) f (0) f '(0) x L f (n) (0) xn o( xn )
1!
n!
n f (k)(0) xk o( xn ).
k0 k!
f
(98 ) (0)
98! 249 49!
,
f (99)(0) 0.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
例3
求
1 x
在点
x
1的泰勒公式.
解 利用 1 1 x x2 L xn o( xn ). 1 x
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
§3 泰勒公式
多项式函数是最 简单的函数.用多项式来 逼近一般的函数是近似计 算的重要内容,也是数学 的研究课题之一.
一、带有佩亚诺型余项 的泰勒公式
二、带有拉格朗日型余项 的泰勒公式
泰勒公式及应用
泰勒公式及其应用摘要本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。
泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。
本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。
关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项泰勒级数一、泰勒公式及其余项1：泰勒公式对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构造一个n 次多项式，n n x x n x f x x x f x x x f x f x Tn )0(!)0()0(!2)0('')0(!1)0(')0()0()(2-++-+-+= 称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式,)(x Tn 的各项系数),,2,1(!)0()(n k k x f k =称为泰勒系数。
2：泰勒余项定理1：若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有))0(()()(nx x n T x f -+= ；即))0(()0(!)0()0(!2)0('')0)(0(')0()()(2n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+= 其中)()()(x Tn x f x Rn -=称为泰勒公式的余项。
形如))0((nx x - 的余项称为佩亚诺型余项。
特殊的当0=x 时;)(!)0(!2)0('')0(')0()()(2n nn x x n f x f x f f x f +++++= 称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。
定理2：（泰勒定理） 若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[0,b a x x ∈，至少存在一点∈ξ(a,b)使得+-++-+-+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )0(!)0()0(!2)0('')0)(0(')0()()(21)1()0()!1()(++-+n n x x n f ξ其中=-=)()()(x Tn x f x Rn 1)1()0()!1()(++-+n n x x n f ξ, )10(),0(0<<-+=θθξx x x ,称为拉格朗日型余项。
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§3.泰勒公式
[教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。
[教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；
（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。
（3）会用带Taylor 型余
项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。
[教学重点]Taylor 公式
[教学难点]Taylor 定理的证明及应用。
[教学方法]系统讲授法。
[教学程序]
引言
不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。
一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？
上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f 在点0x 可导，则有有限存在公式；
0000()()()()0()
f x f x f x x x x x '=+-+-即在0x 附近，用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时，其误差为00()x x -。
然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00()x x -，其中n 为多项式次数。
为此，有如下的n 次多项式：
0100()()()n
n n p x a a x x a x x =+-++- 易见：
00()n a p x =，01()1!n p x a '=，02()2!n p x a ''=，…，()0()!
n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）。
对于一般的函数，设它在0x 点存在直到n 阶导数，由这些导数构造一个n 次多项式如下：
()00000()()()()()()1!!
n n
n f x f x T x f x x x x x n '=+-++- 称为函数f 在点0x 处泰勒多项式，()n T x 的各项函数，()0()!
k f x k （k ＝1,2,…,n ）称为泰勒系数。
问题当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为0()()0(())n
n f x T x x x -=-1、带有皮亚诺余项的泰勒公式
定理1若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()0(())n
n f x T x x x =+-，即()000000()()()()()()0(())1!!
n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+-
即函数f 在点0x 处的泰勒公式；()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式的余项。
形如00(())n x x -的余项称为皮亚诺（peano ）型余项。
注1、若f(x)在点0x 附近函数满足0()()0(())n n f x P x x x =+-，其中0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- ，这并不意味着()n p x 必定是f 的泰勒多项式()n T x 。
但()n p x 并非f(x)的泰勒多项式()n T x 。
（因为除(0)0f '=外，f 在x ＝0出不再存在其它等于一阶的导数。
）；2、满足条件0()()0(())n
n f x P x x x =+-的n 次逼近多项式()n p x 是唯一的。
由此可知，当f 满足定理1的条件时，满足要求0()()0(())n n f x P x x x =+-的多项式()n p x 一定是f 在0x 点的泰勒多项式()n T x ；3、泰勒公式0x ＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin ）公式：()(0)(0)()(0)0()1!!
n n n f f f x f x x x n '=++++ 引申：定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y ＝f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当0x x →时，误差是较0()n x x -高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano 余项的泰勒公式上看不出来。
为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式。
2、带有Lagrange 型余项的Taylor 公式
定理2（泰勒）若函数f 在[a,b]上存在直到n 阶的连续导函数，在(a,b)内存在n ＋1阶导函数，则对任意给定的0,[,]x x a b ∈，至少存在一点(,)a b ξ∈使得：
()(1)1
000000()()()()()()()()1!!(1)!
n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+ 注：（1）、当n ＝0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；（2）、当00x =时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式
()(1)1(0)(0)()()(0)1!!(1)!
n n n n f f f x f x f x x x n n θ++'=+++++ (0,1)
θ∈3、常见的Maclaurin 公式
(1)带Penno 余项的Maclaurin 公式210()2!!n
x
n x x e x x n =+++++ 352112sin (1)0()3!5!(21)!
m m m x x x x x x m --=-+++-+- 24221cos 1(1)0()2!4!(2)!
m m m x x x x x m +=-+++-+
231ln(1)(1)0()23n n n x x x x x x n
-+=-+++-+ 2(1)
(1)(1)
(1)10()
2!!n n x x x x n ααααααα---++=+++++ 2110()1n n x x x x x
=+++++- （2）带Lagrange 型余项的Maclaurin 公式
21
12!!(1)!n x
x n x x e e x x n n θ+=++++++ x R ∈，(0,1)
θ∈3521121cos sin (1)(1)3!5!(21)!(21)!
m m m m x x x x x x x m m θ--+=-+++-+--+ x R ∈，(0,1)θ∈242122cos cos 1(1)(1)2!4!(2)!(22)!m m m m x x x x x x m m θ++=-+++-+-+ x R ∈，(0,1)
θ∈23111ln(1)(1)(1)23(1)(1)
n n n n n x x x x x x n n x θ+-++=-+++-+-++ 1x >-，(0,1)θ∈2(1)
(1)(1)
(1)12!!n n x x x x n ααααααα---++=++++ 11
(1)()
(1)!n n n x x n ααααθ--+--++ 1x >-，(0,1)
θ∈122
111(1)n n n x x x x x x θ++=+++++-- 1x <，(0,1)θ∈4、常见的Maclaurin 公式的初步应用
（1）利用上述Maclaurin 公式，可求得其它一些函数的Maclaurin 公式或Taylor 公式。
例1写出2
2()x f x e -=的Maclaurin 公式，并求(98)(0)f 与(99)(0)f 例2求ln x 在x ＝2处的Taylor 公式
（2）求某种类型的极限
例122
40cos lim x x x e
x →-（3）在近似计算上的应用
例1（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；（2）证明e 为无理数。
例2：用Taylor 多项式逼近正弦函数sinx ，要求误差不超过310-，试求m ＝1和m ＝2两种情形分别讨论x 的取值范围。