数学分析泰勒公式(一)

§3.泰勒公式

[教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。

[教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；

（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。（3）会用带Taylor 型余

项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。

[教学重点]Taylor 公式

[教学难点]Taylor 定理的证明及应用。

[教学方法]系统讲授法。

[教学程序]

引言

不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？

上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f 在点0x 可导，则有有限存在公式；

0000()()()()0()

f x f x f x x x x x '=+-+-即在0x 附近，用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时，其误差为00()x x -。

然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00()x x -，其中n 为多项式次数。为此，有如下的n 次多项式：

0100()()()n

n n p x a a x x a x x =+-++- 易见：

00()n a p x =，01()1!n p x a '=，02()2!n p x a ''=，…，()0()!

n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）。

对于一般的函数，设它在0x 点存在直到n 阶导数，由这些导数构造一个n 次多项式如下：

()00000()()()()()()1!!

n n

n f x f x T x f x x x x x n '=+-++- 称为函数f 在点0x 处泰勒多项式，()n T x 的各项函数，()0()!

k f x k （k ＝1,2,…,n ）称为泰勒系数。问题当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为0()()0(())n

n f x T x x x -=-1、带有皮亚诺余项的泰勒公式

定理1若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()0(())n

n f x T x x x =+-，即()000000()()()()()()0(())1!!

n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+-

即函数f 在点0x 处的泰勒公式；()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式的余项。形如00(())n x x -的余项称为皮亚诺（peano ）型余项。

注1、若f(x)在点0x 附近函数满足0()()0(())n n f x P x x x =+-，其中0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- ，这并不意味着()n p x 必定是f 的泰勒多项式()n T x 。但()n p x 并非f(x)的泰勒多项式()n T x 。（因为除(0)0f '=外，f 在x ＝0出不再存在其它等于一阶的导数。）；2、满足条件0()()0(())n

n f x P x x x =+-的n 次逼近多项式()n p x 是唯一的。由此可知，当f 满足定理1的条件时，满足要求0()()0(())n n f x P x x x =+-的多项式()n p x 一定是f 在0x 点的泰勒多项式()n T x ；3、泰勒公式0x ＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin ）公式：()(0)(0)()(0)0()1!!

n n n f f f x f x x x n '=++++ 引申：定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y ＝f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当0x x →时，误差是较0()n x x -高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano 余项的泰勒公式上看不出来。为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式。

2、带有Lagrange 型余项的Taylor 公式

定理2（泰勒）若函数f 在[a,b]上存在直到n 阶的连续导函数，在(a,b)内存在n ＋1阶导函数，则对任意给定的0,[,]x x a b ∈，至少存在一点(,)a b ξ∈使得：

()(1)1

000000()()()()()()()()1!!(1)!

n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+ 注：（1）、当n ＝0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；（2）、当00x =时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式

()(1)1(0)(0)()()(0)1!!(1)!

n n n n f f f x f x f x x x n n θ++'=+++++ (0,1)

θ∈3、常见的Maclaurin 公式

(1)带Penno 余项的Maclaurin 公式210()2!!n

x

n x x e x x n =+++++ 352112sin (1)0()3!5!(21)!

m m m x x x x x x m --=-+++-+- 24221cos 1(1)0()2!4!(2)!

m m m x x x x x m +=-+++-+