隐函数的求导方法总结

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隐函数及其求导法则

x 1 3 z

y
x 1 z 2 3 z y
x 2y 2 xy 2 3. 3z 3z 9z
( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )
设 z x y z , 求 dz . 例4
解令 F ( x, y, z ) z x y z . 因为
Fx z x lnz , Fy z y z 1 ,
xz x 1 y z ln y , Fz
导，得
z Fx Fz 0, x
z Fy Fz 0. y
因为Fz 0, 所以
Fy Fx z z , x Fz y Fz
这就是二元隐函数的求导公式.
z 例 3 设 x y z 4 z 0，求 2 . x
2
2 2 2
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z , 解令
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )
第六节
隐函数及其求导法则
1. 一元隐函数的求导公式设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端对 x 求导，得
Fx Fy dy 0, dx
若 F y 0, 则
dy Fx . dx Fy
这就是一元隐函数的求导公式.
例1
dy . 设 x y 2x , 求 dx
2 2பைடு நூலகம்
x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y

隐函数的求导方法课件

函数的求方件
• 隐函数求导的应用 • 隐函数求导的注意事项 • 隐函数求导的常见错误分析 • 隐函数求导的习题与解析
01
函数求
隐函数定义
隐函数
如果对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应，那么我们说$y$是$x$的隐函数。
举例
$x^2 + y^3 - 1 = 0$是一个隐函数，因为对于每一个$x$的值， $y$都有唯一确定的值与之对应。
几何解释是理解隐函数求导的直观方法。当我们对一个隐函数求导时，我们实际上是在找到等值线的斜率。这个斜率告诉我们函数值在各个点的变化速度和方向。在解决各种实际问题时，了解函数的几何意义可以帮助我们更好地理解和应用求导的结果。
03
函数求的用
极值问题
极值问题
隐函数求导在求解极值问题中具有重要应用。通过求导，我们可以找到函数的最值点，进而确定函数的极值。
隐函数求导的几何意义
几何意义
总结词
详细描述
隐函数求导的几何意义在于找到等值线的斜率。在二维平面上，等值线是一组具有相同函数值的点组成的曲线。通过求导，我们可以找到等值线的斜率，从而了解函数值的变化趋势。
隐函数求导的几何意义是理解函数值变化的关键。通过找到等值线的斜率，我们可以更好地理解函数的性质和行为。
习题三：求函数的极值
总结词
理解隐函数极值的求解方法
详细描述
通过求解一个具体的隐函数极值问题，掌握如何利用隐函数求导的结果来找到函数的极值点，理解极值的判定条件和求解步骤。
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THANKS
详细描述
在求隐函数导数时，复合函数的处理是关键。如果对复合函数的求导规则理解不准确，会导致求导结果错误。例如，在处理复合函数时，没有正确地应用链式法则，或者在处理复合函数的变量替换时出现错误，都会导致求导结果不准确。

隐函数求导法

隐函数求导法一、隐函数求导法1、原理及注意事项。

隐函数的导数在隐函数为连续型或可微型的情况下才能进行讨论。

隐函数在有限区间[0， +infty)上连续或可微时可采用“隐函数求导”的方法来推断其导数，即由隐函数的表达式通过隐函数求导公式，求出其导数值。

注意：隐函数为分段函数时不能采用此方法。

2、例题7。

已知f(x)在[-infty， 0]上连续， f(x)=-f(x+3/2)， x∈[0， -infty)。

f(x)=-1，求导数f'(x)=-2*3/2-1*3/2=3/2。

f'(x)=-6*3/2=18/24、解题方法：①如果对方程求导，得到f(x)与f'(x)，那么，我们可以直接求出f'(x)，再利用“一般的导数求导公式”就能求出f(x)。

②如果对方程求导，得到f'(x)与f''(x)，那么，我们也可以先求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”求出f'(x)。

3、注意事项：隐函数求导不仅适用于连续和可微两种情形，而且可以在处处不等价的情形中运用。

对于处处不等价的情形要注意“极限的思想”。

二、分段函数的导数1、原理及注意事项。

在研究分段函数时，有些函数(如正弦、余弦函数)的导数也可用“隐函数求导”的方法来求，这是因为有些分段函数虽然各段不等，但导数仍满足一定的条件。

在此介绍几个典型的例子。

这种做法是直接利用一般的导数求导公式求出隐函数，同时求出一般的导数。

隐函数的导数也称为隐函数的“因式分解”。

2、例题3、解题方法：①如果对方程求导，得到f'(x)与f''(x)，那么，我们可以直接求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”就能求出f'(x)。

②如果对方程求导，得到f''(x)与f''(x)，那么，我们也可以先求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”求出f'(x)。

隐函数的求导公式

Fy z xz Fx z yz , , Fz cos z xy x Fz cos z xy y
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中中的u 及 y 看作不的 y 看作不变而对x 的偏导数变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求，， . x y z
解令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1

隐函数的求导法则

隐函数的求导法则
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x 0 , y0 ) 0 ， F y ( x0 , y0 ) 0 ，则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并有
z Fx Fz 0 x
z z 2 z Fxx 2Fxz Fzz ( ) Fz 2 0 x x x
2
1 z 3 [ Fxx Fz2 2Fxz Fx Fz Fzz Fx2 ] 解得： 2 Fz x
2
两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。`
z Fx x , x Fz 2 z
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz ) ，求，， . x y z 思路： z 把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得， x x 把 x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得， y y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 . z
F ( F , G ) u J ( u, v ) G u
F v G v
在点 P ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) 不等于零，则方程组 F ( x , y , u, v ) 0 、 G ( x , y , u, v ) 0 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u u( x , y ) ， v v ( x , y ) ，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ) , v 0 v ( x0 , y0 ) ，并有

隐函数的求导公式

两种方法相比，方法二较简便，因为可避免商
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方程，得到关于x,y 的恒等式：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2

隐函数的求导法则

Fu Fy 1 (F ,G ) v = = Gu G y J ( u, y ) y
例 5
Fu Fv . Gu Gv
设xu yv = 0,yu + xv = 1,
u u v v 求 , , 和 . x y x y
直接代入公式; ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ接代入公式;
解1
运用公式推导的方法, 解2 运用公式推导的方法, 将所给方程的两边对 x 求导并移项
1 = 3 [FxxFz2 2FxzFxFz + FzzFx2 ] Fz
( Fx )Fz Fx ( Fz ) 2 z x = x 2 Fz2
Fx z = , Fz x
2z 2z 类似地可求得 , 2 x y y ②直接法方程两边连续求导两次
z Fx + Fz = 0 x
z z 2 2z Fxx + 2 Fxz + Fzz ( ) + Fz 2 = 0 x x x
dy dz F ( x , y , z ) = 0 两边对 x 求导怎样求 , dx dx
注意左边是复合函数(三个中间变量), 注意左边是复合函数(三个中间变量),
dy dz Fx + Fy + Fz = 0 dx dx
同理
dy dz Φ x + Φ y + Φz = 0 dx dx Fy Fz 若则 J= ≠0 Φy Φz
练习题
一,填空题: 填空题:
y 1 ,设 ln x 2 + y 2 = arctan ,则 x dy = ___________________________. dx 2, 2,设 z x = y z ,则 z = ___________________________, x z = ___________________________. y 二,设 2 sin( x + 2 y 3 z ) = x + 2 y 3 z , z z 证明: + 证明: = 1. x y

隐函数的求导法则

隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。

具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。

在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。

假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。

如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。

我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。

现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。

现在我们来看几个例子。

例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。

假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。

我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。

假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。

我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。

我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。

我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。

《隐函数的求导方法》课件

隐函数与显函数的关系
显函数：由自变量和因变量通过等号连接的函数，如y=f(x)。
隐函数不一定能通过等号转化为显函数，但两者都表示了因变量与自变量之间的关系。
隐函数的几何意义
隐函数在坐标平面上的表现是一条曲线。
通过对方程F(x,y)=0进行求导，可以确定曲线上各点的切线斜率，从而了解曲线的形状和变化趋势。
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程，再利用普通方程求导法则进行求导。
详细描述
对于由参数方程 $x = varphi(t), y = psi(t)$ 确定的隐函数，可以通过消去参数 $t$，将其转化为 $y = f(x)$ 的形式，然后利用复合
函数求导法则和链式法则进行求导。
由极坐标方程确定的隐函数求导
乘积法则
总结词
乘积法则用于求解两个函数的乘积的导数，通过乘积法则可以将两个函数的导数相加。
详细描述
乘积法则是链式法则的一种特殊形式，如果两个函数y=f(x)和u=g(x)的导数存在，那么它们的乘积的导数为y的导数乘以u加上u的导数乘以y，即 dy*du=(dy/dx)*u+(u/dx)*y。
商式法则
顺序确定
在求导过程中，运算的顺序需要确定，根据求导法则和运算优先级进行判断。
顺序处理
在求导过程中，需要注意运算的顺序处理，确保运算的正确性和一致性。
顺序变换
在求导过程中，运算的顺序可能会发生变化，需要根据求导法则和运算优先级进行判断。
求导过程中的公式选择问题
公式选择
在求导过程中，公式的选择是关键，需要根据函数的类型和求导法则进行选择。
02 隐函数的求导法则
链式法则
总结词

隐函数的求导法则__取对数求导法

隐函数的求导法则__取对数求导法隐函数是指用一个或多个自变量与一个或多个函数关系式所定义的函数。

在一般情况下，我们可以通过将隐函数转化为显函数来求导。

然而，有时候转化为显函数非常困难或不可行，这时我们可以使用隐函数求导法则来求解。

在隐函数求导法则中，最常用且重要的方法之一是取对数求导法。

本文将详细介绍隐函数的取对数求导法则，包括基本原理、具体步骤以及一些实际应用。

1.基本原理：隐函数的取对数求导法则基于以下数学原理：如果一些变量随着另一个变量的变化而变化，我们可以通过取对数来将这个关系式转化为线性关系，从而更容易进行求导。

2.取对数求导法的具体步骤：(1)首先，将隐函数表示为等式或方程的形式，用x和y表示自变量和函数变量，记隐函数为f(x,y)=0。

(2) 对等式两边同时取对数，得到ln(f(x, y)) = ln(0)。

(3) 使用链式法则对等式两边进行求导。

对左侧进行求导时，考虑y是x的函数，即y = g(x)，则ln(f(x, y)) = ln(f(x, g(x)))。

根据链式法则，左侧的导数为f'(x, y) / f(x, y)。

对右侧进行求导时，由于ln(0)为常数，其导数为0。

(4)最后，解方程求得f'(x,y)/f(x,y)的表达式，即为隐函数的导数。

3.举例说明：假设有一个方程为x^2 + y^2 = 1、我们想要求解方程中y关于x的导数。

首先，我们将隐函数表示为等式的形式：f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。

然后，取等式两边的对数，得到ln(f(x, y)) = ln(x^2 + y^2 - 1)。

根据链式法则，左侧的导数为 f'(x, y) / f(x, y)。

右侧的导数为0。

于是，我们可以得到 f'(x, y) / f(x, y) = 0。

最后，解方程可得f'(x, y) = 0，即 y 关于 x 的导数为0。

4.实际应用：隐函数的取对数求导法则在实际问题中有着广泛的应用。

隐函数求导的三种方法

隐函数求导的三种方法
隐函数求导有三种方法：
1. 隐函数在 x 和 y 的方程式中，通过对 x 求导从而解出 y 对 x 的隐函数，再对隐函数进行求导。

这种方法可以直接求得的第一阶导数，但是高阶导数比较困难。

2. 利用全微分公式，即将原方程式两边同时对 x 求全导数，再用全微分公式求解 y 对 x 的导数。

这种方法比较方便，但需要对全微分公式有深刻的理解。

3. 利用参数方程的方法，将隐函数对应的方程表示为参数方程，然后对参数方程求导，最后用导数比求解 y 对 x 的隐函数导数。

这种方法可以求解高阶导数，但转换成参数方程比较麻烦。

这些方法都需要熟练掌握和灵活运用，才能快速高效地求解隐函数的导数。

隐函数求导数的五种方法

4求导"此时6是-"4的函数"求偏导数时"需要把6看作-" 4的函数#
例设方程求 3
-) P4) N* 6N$+) M%"6c$" 6" 6#
- 4
四微分法
设方程3*
-"4+
确定函数 M%"
4M!* -+
"利用微分形式
不变性"对方程两边同时求微分"此时需要将3看成关于
-"4的一个二元函数#
科教论坛
!"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)(%(%%'
科技风 "#"$ 年 % 月
隐函数求导数的五种方法
张亚龙4高改芸4刘爽
北京科技大学天津学院天津
摘4要针对隐函数求导数问题在隐函数存在定理的基础上总结出求隐函数导数的五种方法同时利用五种方法分别求解一元隐函数和二元隐函数并分析和比较每个方法的优点与缺点
解两端同时对-求导得)-N) * 6N$ + 6M%"所以 -
例设求 1 -N_-*-) P-4+M%" ,4# ,-
6M - 6N$
#
解两边同时求微分得 " ,-N-) P$-4,* -) P-4+ M%",-N
两端同时对求导得所以 4
)4N)* 6N$+ 6M%" 4
46M6N4$#
一"也是高等数学中的一个难点# 利用多元复合函数求偏导"对于初学者容易出错# 利用隐函数求导数可以求解空

隐函数的求导方法

2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
练习2:设
公式法隐函数求导方法1：
求
直接求导法方法2：
【解Ⅰ 】公式法令 F ( x , y , z ) z f ( x y z , xyz ) ，则
Fx f1 f 2 yz ,
一、一个方程的情形
二、方程组的情形
公式证明复习：一元函数的隐函数求导问题
F
方程y 2 x y 0确定隐函数 y y ( x)
问题1:求 y
两边对 x 求导,其中 y y ( x) 解1: 直接求导法， y y 2y x 问题2:求 y
x y x
解2:公式法(本节讲)
1
x y y x y
(1 y )( x y ) ( x y )(1 y ) y ( x y )2 2 2 2 y 2 xy 2( x y ) 2 ( x y) ( x y )3
两边再对 x 求导 (1 y) y ( x y ) y 1 y 1 ( y )2 x y y y x y x y
课本方法：
u x u yv 2 x y2 x 故有： xv yu v x2 y2 x
u 1 u y xu yv x2 y2 x J v x v 1 x J
2
z 2 1 ( ) x
2z 4 2 0 x
2 z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x
直接求导法隐函数求导方法1：
公式法方法2：
解法2：公式法设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4 x x Fx z z2 2 z x Fz

隐函数导数求导

隐函数导数求导1. 隐函数和隐函数导数的概念在数学中，如果一些变量可以通过方程式来表示，而不是由明确给出的公式来表达，那么这些变量就被称为隐函数。

这种函数的存在导致了许多有趣的数学问题，例如: 如何计算隐函数的导数？导数可以看做是函数在某一点的瞬时变化率，它是微积分中的基础概念。

我们可以用公式来计算导数，但是对于隐函数，如何计算出导数却是个挑战。

2. 隐函数求导的基础知识隐函数的导数计算利用了隐函数定理的思想。

隐函数定理告诉我们，如果$x$和$y$之间的关系可以用一个可导函数$F(x,y)=0$来表示，那么我们可以将它看作是在$x$和$y$之间建立了一条曲线。

在这条曲线上，对于每个$x$值，我们都可以找到一个$y$值。

隐函数定理告诉我们，如果这条曲线上的所有点都是单值函数，则该隐函数存在且唯一。

对于如何求解隐函数的问题，可以采用求导来解决。

假设$x$和$y$之间的关系可以表示为$F(x,y)=0$，那么我们可以求出关于$x$的导数，由于$y$是$x$的函数，所以我们可以写成:$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$其中$F_x$是$F$关于$x$的偏导数，$F_y$是$F$关于$y$的偏导数。

这个公式告诉我们如何通过$x$和$y$的关系来计算出导数。

3. 实战练习：隐函数求导方法假设我们有一个方程$y^3+x^2y-4x-1=0$，问题是如何求出$\frac{dy}{dx}$。

3.1 第一步：求出偏导数我们首先需要计算出方程式的偏导数。

对于$x$，我们有:$$3y^2\frac{dy}{dx}+2xy-4=0$$对于$y$，我们有:$$y^3+x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}=0$$3.2 第二步：求解$\frac{dy}{dx}$现在我们可以使用上面的公式计算$\frac{dy}{dx}$:$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{2xy-4}{3y^2+x^2}$$4. 总结隐函数的导数已经成为了微积分中的重要概念。

隐函数求导归纳总结

隐函数求导归纳总结摘要：一般的函数都是将因变量写成自变量的明显表达式，形如y=f（x），这类函数成为显函数。

而有些函数不是用显函数或不能用显函数表示，例如x2+y2=xy，把种有F （x，y）=0表示的因变量y与自变量x的函数关系称为隐函数。

在求隐函数的导数时，有些直接由函数关系得到形如y=f（x）的显函数，再对其求导。

但是有些隐函数不能或很难解为y=f（x）的显函数形式，这时可直接用隐函数求导算导数。

本文简述了隐函数求导的几种常见方法，以供读者在求隐函数的导数时参考。

关键词：隐函数求导法则目录1 引言 (1)2 正文 (1)2.1 显化法： (1)2.2 公式法： (1)2.3 微商法： (2)2.4 参数法： (3)2.5 复合法： (4)2.6 直接法： (4)3、问题的回顾与总结 (5)1 引言对隐函数求导时许多初学微分同学们的一个难点问题，鉴于此问题，本文针对隐函数问题做出一些归纳，以供参考，隐函数是一类应用非常广泛的函数，隐函数求导法则在导数教学和求导过程中的合理使用，可以优化课程内容和结构。

2 正文通过对隐函数求导的学习，在此总结出六种常见的方法，并对每种方法的使用范围，优缺点都作出总结，现一一介绍如下： 2.1 显化法：把隐函数化为显函数，再利用显函数的求导方法，此方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导。

此方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用。

例题：方程+3x ㏑0)(=-x yxy 确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数。

解：原方程化解为㏑=-)(x y xy 3x -⇒3x e x y xy -=-⇒3)1(x e xx y -=-⇒xx ey x113-=-（将隐函数化为显函数，利用显函数的求导法则求y ´）222)1()11(113'33x x x e xx e x y xx-+-⋅+--=--232211331)11()3(x x x x x x y x y +-+--+-⋅+-= y x x x x x x 1)11()1(322-+---=)11(3x e xx y --= 但是，不是所有的隐函数都可采用隐函数化为显函数的方法，例如：方程：-++y x xe xy 2㏑(arctan xy)+23x -y 4确定了y 是x 的函数，就不易将隐函数化为显函数。

高数课件25隐函数求导法则

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题目类型：包括选择题、填空题、计算题和证明题等多种类型，以全面考察学生对隐函数求导法则的理解和应用能力
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解析方式：对于每个题目，提供详细的解析过程，包括解题思路、解题步骤和答案，帮助学生理解和掌握隐函数求导法则的运用技巧
练习题的解析过程和答案
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解析过程：首先，根据隐函数求导法则，找出隐函数
隐函数求导是解决微分方程的重要方法
隐函数求导是研究函数性质的重要手段
隐函数求导的方法简介
隐函数求导法则：用于求解隐函数导数的方法基本思想：通过隐函数方程，将隐函数转化为显函数，然后利用显函数求导法则求解主要步骤：确定隐函数方程，找出隐函数，利用显函数求导法则求解
应用范围：广泛应用于数学、物理、工程等领域
隐函数求导法则是微积分中的重要内容，对于理解和掌握微积分具有重要意义。
隐函数求导法则是解决实际问题的重要工具，如物理、工程等领域中的问题。
隐函数求导法则是数学分析中的重要方法，对于理解和掌握数学分析具有重要意义。
隐函数求导法则是数学教育中的重要内容，对于培养学生的数学思维和数学素养具有重要意义。
应用过程中的注意事项和技巧
隐函数求导法则的应用需要理解隐函数的定义和性质在应用过程中，需要注意隐函数的形式和性质，避免错误使用在求解过程中，需要注意隐函数的连续性和可导性，避免出现错误结果在应用过程中，需要注意隐函数的定义域和值域，避免出现错误结果在应用过程中，需要注意隐函数的对称性和周期性，避免出现错误结果在应用过程中，需要注意隐函数的单调性和极值，避免出现错误结果
y=f(x)的导数f'(x)。然后，将f'(x)代入到练习题中给出的函数表达式中，求解出答

隐函数求导

xy ln y − y . ∴ y′ = 2 xy ln x − x
2
作业：作业：
P130 习题习题3.5 1.(5)(6)(7)(8) 2.(2)(4) 3.(1)(2)(3)(4)
练习：练习：求 y = (1 + 2 x ) ( x > 0)的导数 .
y 解： ′ = (1 + 2 x ) [ln(1 + 2 x ) ]′
例5
( x + 1) 3 x − 1 , 求y ′. 设 y= 2 x ( x + 4) e
1 解 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
的导数. 例1 求由方程 x 2 + y 2 = a 2 所确定的隐函数 y = y( x ) 的导数.
解
求导( 的函数), ),得方程两边关于 x 求导(将 y 视为 x 的函数),得
2 x + 2 y ⋅ y′ = 0 ，解得
x y′ = − . y
比较：显化后, 比较：显化后, y = a 2 − x 2 , 1 y′ = ⋅ (a 2 − x 2 )′ 2 a2 − x2 x 1 −x =− ； = ⋅ ( −2 x ) = y 2 a2 − x2 a2 − x2 x x 2 2 ′= 另一分支: 另一分支: y = − a − x , y =− . y a2 − x2
′ x −1 1 f ′( x ) = 2 ln x 2 − 1 − ln x − ln 2 x + 1 2x + x 2

隐函数求导问题的方法总结

隐函数求导问题的方法总结在微积分中，斜率是重要的概念。

它表明一个函数在某个点发生变化时，函数另一个参数的变化量。

在微积分中，求斜率就是求导，这是微积分中最常见的问题，也是学习微积分的基础。

求导的方法有很多种，但是在某些情况下可能出现隐函数的情况，而求解隐函数求导就比较困难，尤其是函数中有多个隐函数，一般情况下，很难一次性求出所有隐函数的导数。

首先，在求导之前，需要将隐函数显式化，从而简化计算。

比如，若有f（x）= y2+2xy-1，其中y是一个隐函数，那么可以将f （x）= (y+1)2-2，将f（x）显式化后，求y的导数则变得简单，可以用隐函数法求得。

其次，如果隐函数有多个，这样的情况就比较复杂。

一般情况下，推荐使用局部导数的方法，也就是把所有函数限制在某一个点，然后分别求各个函数的局部导数，直到求出所有隐函数的导数，局部导数法特别适用于多变量、多个隐函数的情况。

另外，对于非线性的隐函数求导，可以使用链式法则来进行求导。

这种方法要求对每个变量都求得一个导数，然后根据链式法则将这些导数进行组合，得到总的导数，链式法则很容易并且计算量不大，适用于各种多变量的情况。

最后，可以使用函数的分部展开的方法来求解隐函数求导。

这种方法要求将隐函数先转化为一个级数，然后求出各项系数，最后根据分部展开法则求出导数。

这样求出来的导数比较准确，所以使用分部展开的方法来求解隐函数求导是一个不错的选择。

总之，求隐函数求导的方法有很多，以上是其中的几种，选择正确的求导方法可以加快计算速度，提高计算精度，使求导过程更加顺利。

另外，学习微积分时，要多加练习，熟练掌握各种求导方法，才能使得解决问题更加轻松。