约数与倍数(正式)

约数与倍数

知识点拨：

a、b是两个任意整数，其中b≠0，如果存在整数q，使得a＝bq成立（或者说，如果a

除以b能得到整数商q），我们就说a能被b整除，或者b整除a，记作b∣a．当a能被b 整除时，我们就说a是b的倍数，或者说b是a的约数（也叫因数）．如果满足条件a＝bq

的整数q不存在，我们就说b不能整除a，或者a不能被b整除，记作b a．

整除的概念是在整数范围内讨论的，即只有当被除数、除数和商都是整数（除数不能是零）时，才能叫做整除．因为自然数a的约数不会大于a，a的约数的个数也就不会多于a，所以自然数a的约数的个数是有限的．因为自然数集是无限的，所以一个自然数的倍数的个数是无限的．

零可以被任何自然数整除，所以零是任何自然数的倍数，任何自然数都是零的约数．

任何整数都能被1整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的约数．

约数和倍数表达的是两个数之间的关系，所以它们只具有相对的意义．15＝3×5，只能

说“15是3的倍数”，“3是15的约数“，不能说“15是倍数”或“3是约数”．

将自然数N分解质因数后，

N= （a1、a2、a3、a4、…a n为不相同的质因数；r1、r2、r3、r4、…r m为a1…a n的指数）；

N所有约数个数：

=（r1＋1）×（r2＋1）×（r3＋1）×（r4＋1）×…×（r m＋1）

N所有约数个数的和：

约数与倍数中的一个结论：完全平方数的约数个数是奇数。

【约数问题】

例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题）

【分析】不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。

而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。

1155的约数共有16个。

16÷2=8（对）。

所以，有8种不同的拼法。

LX1、用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.

【分析】4。

因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.

例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？

（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）

【分析】将360分解质因数，得

360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。

所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）

这24个约数的和是：

（20+21+22+23）×（30+31+32）×（50+51）=1170

LX2、28的所有约数之和是_____.

【分析】56

28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为

1+2+4+7+14+28=56.

例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？

（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）

【分析】这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。

把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：

99=3×3×11；98=2×7×7；

97是质数；96=2×2×2×2×2×3。

发现，96是上面数的约数。

所以，两位数的约数中，最大的是96。

LX3、一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____.

【分析】64

因为28=2×2×7,所以28的约数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.

故符合题目要求的两位数仅有64.

例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。

（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

【分析】一个自然数N，当分解质因数为：

因为8=1×8=2×4=2×2×2，

所以，所求自然数分解质因数，可能为：

27，或23×3，或2×3×5，……

不难得出，最小的一个是24。

LX4、含有6个约数的两位数有_____个.

【分析】16

含有6个约数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M 表示含有6个约数的数，用a 和b 表示M 的质因数，那么

5a M =或b a M ⨯=2

因为M 是两位数，所以M = a 5只有一种可能M =25，而M = a 2⨯b 就有以下15种情况：

72,52,322

22⨯=⨯=⨯=M M M ， 172,132,112222⨯=⨯=⨯=M M M ，

23,232,192222⨯=⨯=⨯=M M M ，

113,73,53222⨯=⨯=⨯=M M M ，

27,35,252

22⨯=⨯=⨯=M M M . 所以,含有6个约数的两位数共有

15+1=16(个)

【倍数问题】

例5、6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

【分析】因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。

6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。 因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它们共有：

1×36+2×30+5×25=221（分）。

4元4角2分=442（分），442÷221=2。

所以，1分的硬币共36×2=72（枚），2分的硬币共30×2=60（枚），5分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。

LX5、张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.

【分析】150

根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.