高考数学考点专题：解析几何：圆的方程

圆的方程
【考点梳理】
1. 圆的定义和圆的方程
2. 点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)d<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．
【教材改编】
1．(必修2 P121练习T2改编)圆(x－3)2＋(y＋2)2＝16的圆心坐标和半径分别为()
A．(3，－2)，r＝16 B．(3，－2)，r＝4
C．(－3,2)，r＝16 D．(－3,2)，r＝4
[答案] B
[解析] 根据圆的标准方程知，圆心为(3，－2)，半径r＝4，故选B.
2．(必修2 P123练习T1(1)改编)圆x2＋y2－6x＝0的面积为()
A．3π B．6π
C ．9π
D ．12π
[答案] C
[解析] 法一：由x 2＋y 2－6x ＝0得(x －3)2＋y 2＝9. ∴r 2＝9，r ＝3，则圆面积为S ＝πr 2＝9π，故选C. 法二：∵r ＝1
2D 2＋E 2－4F
＝12
(－6)2＋02－4×0＝3.
∴圆的面积为S ＝πr 2＝9π，故选C.
3．(必修2 P 123练习T 2(3)改编)若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( )
A ．1
B ．2 C. 2 D ．4
[答案] B [解析] 由r ＝1
2D 2＋E 2－4F ＝1
2
4a 2＋4b 2＝2得 a 2＋b 2＝2.
∴点(a ，b )到原点的距离d ＝
a 2＋
b 2＝2，故选B.
4．(必修2 P 119例2改编)过点A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)的圆的面积为( ) A ．15π B ．20π C ．25π D ．30π
[答案] C
[解析] 由题意得线段AB 的中垂线方程为x －2y －8＝0，① 线段BC 的中垂线方程为x ＋y ＋1＝0，②
将①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2
y ＝－3，∴过三点A ，B ，C 圆的圆心坐标为(2，－3)，则该
圆的半径为r ＝5，∴该圆的面积S ＝πr 2＝25π，故选C.
5．(必修2 P 124B 组T 3改编)已知A (－1,0)，B (2,0)，动点C 满足|CA |＝2|CB |，则△ABC 面积的最大值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
[答案] B
[解析] 设动点C (x ，y )， ∵|CA |＝2|CB |，∴
(x ＋1)2＋y 2＝2
(x －2)2＋y 2， ∴y 2＝－x 2＋6x －5(1<x <5)，∴|y |＝－x 2＋6x －5 ＝
－(x －3)2＋4，∴|y |max ＝4＝2，∴△ABC 面积的最大值为S max ＝1
2|AB |·|y |max
＝1
2×3×2＝3，故选B.
6．(必修2 P 122例5改编)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4
C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 [答案] A
[解析] 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，
PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧
x ＝4＋x 02
y ＝－2＋y
2
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2
.
因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简
得
(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
7．(必修2 P 124A 组T 1(4)改编)若圆x 2＋y 2－2by －2b 2＝0的面积为27π，则b ＝________.
[答案] ±3 [解析] r ＝12
(－2b )2－4×(－2b 2)＝3b 2.
∴π×3b 2＝27π，∴b ＝±3.
8．(必修2 P 124A 组T 4改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3), 若M (m ，6)在圆C 内，则m 的范围为________．
[答案] 0<m <4
[解析] 设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.∴a ＝2. 半径r ＝|CA |＝
(2＋1)2＋12＝10.
故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 由题意知(m －2)2＋(6)2<10，
解得0<m <4.
9．(必修2 P 124A 组T 4改编)圆C 的圆心在y 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________．
[答案] x 2＋(y －3)2＝2
[解析] 设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋4
2＝3. 半径r ＝12|AB |＝1
2
[(1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.
∴圆C 的方程为x 2＋(y －3)2＝2.
10．(必修2 P 124A 组T 5改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的方程为________．
[答案] x 2＋(y －2)2＝2
[解析] 设圆心坐标为C (0，a )， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即
(a －1)2＋1＝
(a －3)2＋1，
解得a ＝2，所以圆心为C (0,2)， 半径 |CA |＝
(2－1)2＋1＝2，
∴圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝2.
11．(必修2 P 133B 组T 4改编)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与⊙C 交于点M ，N .
(1)若OP
→＝12
(OA →＋OB →)，求直线l 的方程； (2)当四边形AMBN 的面积为162时，求直线l 的方程． [解析] (1)由OP →＝12(OA →＋OB →
)
知点P是弦AB的中点，如图所示．
∴CP⊥l，又∵圆心C(0,4)，直线CP的斜率k CP＝－1，
∴直线l的斜率为k＝1，
∴直线l的方程为y－2＝x－2，
即x－y＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，易求得四边形AMBN的面积不为162，与题意不符，故直线l的斜率存在．
设l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，圆C的方程为x2＋(y－4)2＝16，圆心C(0,4)，半径r＝4，
∵圆心C到直线l的距离d＝2|k＋1|
k2＋1
，
则|AB|＝2r2－d2＝2 16－4(k＋1)2 k2＋1
，
由题意知，MN为⊙C的直径，|MN|＝8，∴四边形AMBN的面积为1
2|AB|·|MN|＝162，
∴1
2×2 16－4(k＋1)2
k2＋1
×8＝162，
∴k2－2k＋1＝0，解之得k＝1，∴l的方程为x－y＝0.。