高考数学考点专题:解析几何:圆的方程
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圆的方程
【考点梳理】
1. 圆的定义和圆的方程
2. 点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系:
(1)d>r⇔M在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外;
(2)d=r⇔M在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上;
(3)d 【教材改编】 1.(必修2 P121练习T2改编)圆(x-3)2+(y+2)2=16的圆心坐标和半径分别为() A.(3,-2),r=16 B.(3,-2),r=4 C.(-3,2),r=16 D.(-3,2),r=4 [答案] B [解析] 根据圆的标准方程知,圆心为(3,-2),半径r=4,故选B. 2.(必修2 P123练习T1(1)改编)圆x2+y2-6x=0的面积为() A.3π B.6π C .9π D .12π [答案] C [解析] 法一:由x 2+y 2-6x =0得(x -3)2+y 2=9. ∴r 2=9,r =3,则圆面积为S =πr 2=9π,故选C. 法二:∵r =1 2D 2+E 2-4F =12 (-6)2+02-4×0=3. ∴圆的面积为S =πr 2=9π,故选C. 3.(必修2 P 123练习T 2(3)改编)若圆x 2+y 2+2ax -b 2=0的半径为2,则点(a ,b )到原点的距离为( ) A .1 B .2 C. 2 D .4 [答案] B [解析] 由r =1 2D 2+E 2-4F =1 2 4a 2+4b 2=2得 a 2+b 2=2. ∴点(a ,b )到原点的距离d = a 2+ b 2=2,故选B. 4.(必修2 P 119例2改编)过点A (5,1),B (7,-3),C (2,-8)的圆的面积为( ) A .15π B .20π C .25π D .30π [答案] C [解析] 由题意得线段AB 的中垂线方程为x -2y -8=0,① 线段BC 的中垂线方程为x +y +1=0,② 将①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =2 y =-3,∴过三点A ,B ,C 圆的圆心坐标为(2,-3),则该 圆的半径为r =5,∴该圆的面积S =πr 2=25π,故选C. 5.(必修2 P 124B 组T 3改编)已知A (-1,0),B (2,0),动点C 满足|CA |=2|CB |,则△ABC 面积的最大值是( ) A .2 B .3 C .4 D .6 [答案] B [解析] 设动点C (x ,y ), ∵|CA |=2|CB |,∴ (x +1)2+y 2=2 (x -2)2+y 2, ∴y 2=-x 2+6x -5(1 -(x -3)2+4,∴|y |max =4=2,∴△ABC 面积的最大值为S max =1 2|AB |·|y |max =1 2×3×2=3,故选B. 6.(必修2 P 122例5改编)点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x +2)2+(y +1)2=4 C .(x +4)2+(y -2)2=4 D .(x +2)2+(y -1)2=1 [答案] A [解析] 设圆上任一点为Q (x 0,y 0), PQ 的中点为M (x ,y ),则⎩⎨⎧ x =4+x 02 y =-2+y 2 , 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=2x -4y 0=2y +2 . 因为点Q 在圆x 2+y 2=4上,所以x 20+y 20=4,即(2x -4)2+(2y +2)2=4,化简 得 (x -2)2+(y +1)2=1. 7.(必修2 P 124A 组T 1(4)改编)若圆x 2+y 2-2by -2b 2=0的面积为27π,则b =________. [答案] ±3 [解析] r =12 (-2b )2-4×(-2b 2)=3b 2. ∴π×3b 2=27π,∴b =±3. 8.(必修2 P 124A 组T 4改编)圆C 的圆心在x 轴上,并且经过点A (-1,1),B (1,3), 若M (m ,6)在圆C 内,则m 的范围为________. [答案] 0 [解析] 设圆心为C (a,0),由|CA |=|CB |得 (a +1)2+12=(a -1)2+32.∴a =2. 半径r =|CA |= (2+1)2+12=10. 故圆C 的方程为(x -2)2+y 2=10. 由题意知(m -2)2+(6)2<10, 解得0 9.(必修2 P 124A 组T 4改编)圆C 的圆心在y 轴上,并且过点A (-1,1)和B (1,3),则圆C 的方程为________. [答案] x 2+(y -3)2=2 [解析] 设圆心C 的坐标为(a ,b ),则a =-1+12=0,b =2+4 2=3. 半径r =12|AB |=1 2 [(1-(-1)]2+(4-2)2= 2. ∴圆C 的方程为x 2+(y -3)2=2. 10.(必修2 P 124A 组T 5改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (-1,2),B (1,4),则圆C 的方程为________. [答案] x 2+(y -2)2=2 [解析] 设圆心坐标为C (0,a ), ∵点A (-1,1)和B (1,3)在圆C 上, ∴|CA |=|CB |,即 (a -1)2+1= (a -3)2+1, 解得a =2,所以圆心为C (0,2), 半径 |CA |= (2-1)2+1=2, ∴圆C 的方程为x 2+(y -2)2=2. 11.(必修2 P 133B 组T 4改编)已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y =0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点,线段AB 的中垂线与⊙C 交于点M ,N . (1)若OP →=12 (OA →+OB →),求直线l 的方程; (2)当四边形AMBN 的面积为162时,求直线l 的方程. [解析] (1)由OP →=12(OA →+OB → )