高三第一轮复习数学指数函数与对数函数

高三第一轮复习数学——指数函数与对数函数

一、教学目标：1 •掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质；

2 •能利用指数函数与对数函数的性质解题.

二、教学重点：运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题.

三、教学过程：

(一)主要知识：

1、指数函数y=a x与对数函数y=log a x (a>0 , a工1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区

别和联系

如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理)

记住下列特殊值为底数的函数图象：

3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制

4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函

数的单调性是解决问题的重要途径。

(二)主要方法：

1 •解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2 •指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；

3 •比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差

(三)例题分析：

例 1 已知f(x)=a x,g(x)=log a X(a>0,a 丰 1)，若f(3) x g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能为(c)

『变式』当a>1时，在同一坐标系中，函数f(x)=a -x与g(x)=log a X的图象为()

解：选A

［评析］利用函数的底数与图象关系。确定函数图象可能的情况

1 1

3 2 3 3 3

例2、比较下列各数的大小：log 2 0.35 lg 25 lg15 23

5 5

解：(见轻舟P63)

0 7 6

『变式』比较① 6 ' , 0.7 , log 0.76 ②log 1.1 0.7 , log 1.20.7

1

“ b …“ a “ .b

…

》 A. 1 a b 1 a B.1 a

1 b ③当0

b

C.1 a b

a

1 a

2 D.1 a

b

1 b

解：① log O .7 6〈 0.76〈 60.7 ②Iog i.i 0.7 〈 log 1.20.7 ③D

［评析］利用指对函数的单调性和图象的特点，比较几个因式的大小

例3、函数y=a 2x +2a x -1(a>0,a 丰1)在区间［-1,1］上的最大值为14,求a 的值。

x

2

解：令 u=a ,y=(u+1) -2.因为-1

当a>1时u 1

C,a] [ 1,

a

), 14 a 2 2a 1 a 3或a 5(舍)

当0

u [a,1][ 1,

),14

2

1 21 1 a

-或a

】(舍)

a

a

a

3 5

综上得，a 3或a 3

『变式』已知f(x)=log 4(2X +3-X 2)求(1) f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的最大值及对 应的x 的值. 增区间为(-1,1］,减为区间［1,3 )

■/ u=-(x-1) +4= 4, ••• x=1 时 y=1 为最大值

［评析］指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题 的重要途径

例4、设函数f(x)=loga(x-3a) (a>0 , a * 1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点 Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)的图象上的点(1 )写出函数y=g(x)的解析式

(2)若当x € ［a+2,a+3］时，恒有丨f(x)-g(x) | < 1,试确定的取值范围。

解: (1)设点 Q(x , y ),则 x

x 2a, y

y

(

2

)

x 3a

a 2 3a 2a

2 0 -

1

0又a 0且a 1, 0 a 1

x a a 3 a

0 a 1, a 2 2a 故函数

r(x) =x 2 2

4ax 3a 在区间 x € [a+2,a+3] 上为增函数

0 a 1

—— 9 < 57

问题转化为 log a 9 6a 1 0a- 一

12 log a 4 4a 1

［评析］本题综合性较强，主要考查函数思想，化归思想，综合思维能力 【备用】已知a>0 , a 丰1, f Iog a x (1) 当f(x)的定义域为(-1,1 )时，解关于 m 的不等式f(1-m)+f(1-m 2

)<0;

(2)

若f(x)-4 恰在(-a ,2)上取负值，求a 的值

a

解: (1 )令 t=log a x,可得 f(t)=

— a t a t f x f x f x 为奇函数 a 2 1

a a 2 1

［评析］用函数思想去处理有关问题，是 要.

(四) 巩固练习：

(3)设 x

0, 且 a x

b x

1 (a 0 L b

0), 则a 与 :b 的大小关系是 (

(A ) b a 1

(B )a

b 1

(< C ) 1 b a (D )

1 a b

(1 )由 a 2

b a 1得 - a , 故log b b _

lOgb '

a 1 lOg a

b .

a

a

(2)令 2X 3y 5z t ，则 t 1 ,X lgt y lgt z lgt ,

lg2 ' Ig3 ' lg5

•- 2x 3y

2lg t 3lgt lgt (lg9 lg8) 0, • 2x 3y ；

lg 2 lg3

lg2 lg |3

同理可得： 2x 5z 0 ,• 2x 5z , • 3y 2x 5z . (3) 取 X

1 , 知选(

B )

已知函数f (

X

a x 2

(a 1),

3y )上为增函数; 方程 f(x) 0没有负数根.

(2) X

1

解: 2. 求证：(1) 证明：(1) 1. (1)若 a 2

(2)若 2X X 2 ,

5z ，且x , y , z 都是正数，则2x , 3y , 5z 从小到大依次

为 X

函数f(x)在(1,

设1

a>1 时 a X1 a X2,a 2 0

f X 1 f X 2 0为增函数

(2)由题意，当x

,2 , f x

4,且 f 2

4 0

种重要的思想方法，特别在综合题目中，尤为重

b

b a 1，则log b - , lo g b a , log a b 从小到大依次为 ______________ a 则 f (x 1)

f (X 2) a 51 X i x i 2 1

a X2 a 51 X 2 x-i 2 1 x-i

3(X 1 X 2

X 2)

X 1 0, X 2

x 2 2 x 2 1

x 2 2 x 2 1 0 ,

X

a 51 X 2

a X2

3(X 1 X 2) (X 1 1)(X 2 1)' 1 x-i x 2，且 a 1 , • a x a X2 , • a 51 a X2 0,

• f (X 1) f (X 2)

0,即 f (X 1) f (X 2), •函数f (x)在( 1,

)上为增函数；

(2)假设X 0是方程

f(x)

0的负数根, 且 X 0

1，则 a x °

X 2 0,

X 0 1

即 a x 0

2

x 。3

(X 0 1) 3 1 ,

①

X 0 1

X 0

X 0 1

当1 X 0 0时， 0 X 0

1 1 , •-

3

-3 ,•

3

1 2 ，而由a 1知a X0

；

(人 1)(X 2 1)

1

X

X 0

•••①式不成